LOIS DE PROBABILITÉS CONTINUES. Dans ce chapitre, on va s'intéresser aux variables aléatoires X qui prennent leurs valeurs dans un intervalle.

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1 LOS DE PROBABLTÉS CONTNUES Dns c chpitr, on v s'intérssr u vrils létoirs X qui prnnnt lurs vlurs dns un intrvll.. Dnsité t loi d proilité.. Définition Dnsité d proilité Soit un intrvll. On ppll dnsité d proilité sur tout fonction ƒ continu t positiv sur tll qu : = u.. C ƒ Rmrqus : Si = [, ], lors l quntité noté désign simplmnt. Si st un intrvll non orné, pr mpl [, + [, lors l quntité noté désign, lorsqu'll ist, l limit suivnt : Définition nlogu si st du typ ], [. = lim + Enfin, si =, lors l quntité noté désign, lorsqu'lls istnt, l somm ds du limits suivnts : = lim ƒ ()d + lim + Empls :. Détrminr un rél α d fçon qu l fonction ƒ défini sur [, ] pr ƒ() = + α soit un dnsité d proilité sur [, ]. On chrch α tl qu : ( +α)d= Lois d proilités continus Pg G. COSTANTN

2 2 +α α = = α = 2 2. Soit ƒ un fonction constnt sur un intrvll [, ] (vc < ). Qull doit êtr l vlur d l constnt ƒ pour qu'll soit un dnsité? Notons γ ctt constnt. = γdt = γ( ) = γ = 3. Soit λ un rél strictmnt positif. Démontrr qu l fonction ƒ défini sur + pr ƒ(t) = d proilité sur +. λ st un dnsité Clculons : Or, on : = λ lim ( + dt= λ λ λ ) = = λ L limit n + d ist in t on : = R +.2. Définition Loi d proilité Soit un intrvll t ƒ un dnsité d proilité sur. L'ppliction P qui, à tout sous-intrvll [, ] d ssoci l quntité st pplé loi d proilité sur. P([, ]) = En fft, ctt définition st légitim cr on : P() = Soit ( n ) n un fmill d sous-intrvlls disjoints d, lors pr linérité d l'intégrl : P n = ƒ ()d = ( n) n N n N n P n N On rtrouv in ls propriétés ds proilités. Lois d proilités continus Pg 2 G. COSTANTN

3 llustrtion : P([, ]) C ƒ Rmrqus : Puisqu [, ] st inclus dns t qu ƒ st positiv sur, on in P([, ]) [, ]. L proilité d'un singlton (ou intrvll réduit à un point) st null. En fft : P({ }) = = On dit lors qu { } st un événmnt "qusi-impossil". L définition s'étnd à ds intrvlls non ornés lorsqu l limit d l'intégrl ist. Cs prticulirs : Si ƒ st constnt sur [, ] (égl à d'près un clcul précédnt), on dit qu P st l loi uniform. Si ƒ st d l form ƒ(t) = λ sur + vc λ >, on dit qu P st l loi ponntill d prmètr λ. 2. Vrils létoirs continus. Loi uniform, loi ponntill Sont dits continus ls vrils létoirs qui prnnnt lurs vlurs dns un intrvll. 2.. Définition Loi d proilité d'un vril létoir Soit P un loi d proilité sur un intrvll d dnsité ƒ. On dit qu'un vril létoir X, à vlurs dns, suit un loi d proilité P lorsqu pour tout sousintrvll [, ] d, on : P( X ) = Empls : Cs d l loi uniform sur un intrvll [, ] : P(α X β) = β β α dt = α Ainsi, si X suit un loi uniform sur un intrvll, lors l proilité d'un sous-intrvll J st donné pr l formul : longuur d J longuur d Lois d proilités continus Pg 3 G. COSTANTN

4 Cs d'un loi ponntill d prmètr λ > sur + P( X ) = λ dt = λ Et pr complémntrité : P(X ) = P( X < ) = λ Ercics :. Dns l journé, un métro pss touts ls 6 minuts à l sttion n 4. Soit X l tmps d'ttnt d'un prsonn à ctt sttion. On suppos qu X suit l loi uniform sur [ ; 6]. Qull st l proilité qu ctt prsonn ttnd ntr 3 t 5 minuts? P(3 X 5) = 5 3 = On suppos qu l duré d vi X d'un voitur suit un loi ponntill d prmètr,.. Clculr l proilité qu'un voitur dépss ns d duré d vi : P(X > ) = P(X ) =,, t dt =. On sit qu'un voitur duré déjà ns. Qull st l proilité qu'll dépss 2 ns d duré d vi? PX ( > 2) P(X > 2 X > ) = P (X > ) (X > 2) = = PX ( > ), 2 =,2,82 c. Comprr l résultt précédnt vc l proilité qu l duré d vi d l voitur dépss du ns : P(X > 2) = P(X 2) = 2,, t dt=,2,82 On constt qu l proilité qu l voitur dur du ns d plus n dépnd ps d son âg. On dit qu X st un loi d duré d vi sns viillissmnt. Un étud plus systémtiqu d c phénomèn sr fit u prgrph suivnt Définition Fonction d réprtition Soit X un vril létoir, à vlurs dns un intrvll d l form [, ] (ou d l form [, + [), qui suit un loi d proilité P. On ppll fonction d réprtition d X, l fonction F défini pour tout rél d pr : F() = P(X ) On donc pour tout d : F() = C qui justifi l nottion puisqu'il pprît lors qu F st l primitiv d l dnsité ƒ qui s'nnul n : F' = ƒ Lois d proilités continus Pg 4 G. COSTANTN

5 D plus, on ls propriétés suivnts : F st croissnt sur [, ] (puisqu s dérivé ƒ, qui st un dnsité, st positiv sur ) F() = F() = (si = [, ]) ou P(X > ) = F() lim F() = (si = [, + [) + P(α < X β) = F(β) F(α) Empl : dns l cs d'un vril létoir qui suit un loi ponntill d prmètr λ, on : F() = λ 3. Loi d duré d vi sns viillissmnt 3.. Définition Soit T l vril létoir corrspondnt à l duré d vi d'un individu ou d'un ojt. On dit qu T suit l loi d duré d vi sns viillissmnt lorsqu l proilité qu l'individu (ou l'ojt) soit vivnt (ou fonctionn) à l'instn + h schnt qu'il st vivnt (ou qu'il fonctionn) à l'instn n dépnd ps d son âg t : P (T t) (T t + h) = P(T h) Rmrqu : l loi d duré d vi sns viillissmnt s'ppliqu-t-ll u humins? Non, c n'st ps un modèl prtinnt à long trm. En fft, un éé à l nissnc put risonnlmnt spérr vivr plusiurs dizins d'nnés lors qu'on n put n dir utnt d'un viillrd. L modèl sml plus proch d l rélité lorsqu h st ptit. Pr mpl l proilité d vivr ncor un minut sml comprl indépndmmnt d l'âg. Mis ctt loi s'ppliqu plutôt à ds composnts élctroniqus pr mpl Propriété Un vril létoir T suit l loi d duré d vi sns viillissmnt si sulmnt si ll suit un loi ponntill. Démonstrtion : Supposons qu T suiv un loi ponntill d prmètr λ + : Pr définition d'un proilité conditionnll, on : P (T t) (T t + h) = P(( Tt+ h) ( Tt)) PT ( t) Or, l'événmnt (T t + h) st inclus dns l'événmnt (T t) donc : P((T t + h) (T t)) = P(T t + h) = Pr illurs : P(T t) = λ ( t+ h) Lois d proilités continus Pg 5 G. COSTANTN

6 D'où : P (T t) (T t + h) = λ ( t+ h) = λh = P(T h) Réciproqumnt, soit T un vril létoir suivnt un loi d duré d vi sns viillissmnt. Alors pour tout rél t d + out rél h d + : P (T t) (T t + h) = P(T h) P(T t + h) = P(T h) P(T t) Soit F l fonction d réprtition d l vril létoir T. Notons ϕ l fonction défini sur + pr : Comm F st dérivl sur +, ϕ l'st ussi t on : ϕ(t) = F(t) = P(T t) = P(T > t) = P(T t) ϕ() = F() = t ϕ(t + h) = ϕ(h) ϕ(t) Autrmnt dit, ϕ vut n rnsform ls somms n produits. On n déduit (voir théorèm 3. dns l lçon sur ls équtions différntills du typ y' = ky t l fonction ponntill) qu'il ist un rél tl qu pour tout rél t d + : ϕ(t) = Mis comm ϕ st n fit un proilité, on pour tou d + : t ϕ(t) t t Posons λ = +. Si étit nul on urit, pour tout rél t d + : ϕ(t) = P(T t) = C qui signifirit qu notr individu st étrnl, hypothès qu l'on put légitimmnt rjtr. Donc on in : λ + D'où, pour tout rél t d + : ϕ(t) = F(t) = Et n dérivnt : ƒ(t) = λ ƒ(t) = λ L vril létoir T suit donc un loi ponntill d prmètr λ. Lois d proilités continus Pg 6 G. COSTANTN

7 4. Loi d désintégrtion rdioctiv Nous vons déjà vu (voir ls rcics sur ls équtions différntills) qu dns un corps rdioctif, l nomr moyn d noyu d'toms qui s désintègrnt pndnt un intrvll d tmps t st proportionnl u produit d du nomr N(t) d noyu présnts à l'instn. l ist donc un constnt λ strictmnt positiv (), indépndnt du tmps ll qu : N(t) = λ N(t) t Lorsqu'on ffir à un très grnd nomr d noyu tomiqus (c qui st l cs n prtiqu) on ssimil l fonction t N(t) à un fonction continu t dérivl. En fisnndr l'intrvll d'osrvtion t vrs, l rltion ci-dssus s'écrit : C qu, nous utrs mthémticins notons ncor : On n déduit l loi d désintégrtion rdioctiv : dn(t) = λ N(t) dt d Nt () = λ N(t) dt N'(t) = λ N(t) N(t) = N Nous proposons mintnnt d rtrouvr ctt loi pr un utr pproch. En fft, slon ls physicins l duré d vi T d'un noyu rdioctif suit un loi d duré d vi sns viillissmnt, utrmnt dit, un loi ponntill. Considérons l'périnc E : "on min un noyu à l'instn". Notons S l'événmnt "c noyu n'st ps désintégré". D'près l loi ponntill, il ist un rél λ strictmnt positif tl qu : P(S) = P(T t) = Supposons qu l'on it u déprt (t = ), dns notr corps rdioctif, N noyu. Notons X t l vril létoir égl u nomr d noyu non désintégrés à l'instn. Comm chqu noyu s désintègr indépndmmnt ds utrs, on put ffirmr qu X t suit un loi inomil d prmètrs n = N t p = P(S) = L nomr moyn N(t) d noyu présnts à l'instn st donc donné pr l'spérnc d X t : N(t) = (X t ) = np = N. 5. Espérnc d'un vril létoir continu 5.. Définition Espérnc d'un vril létoir continu Soit X un vril létoir continu prnnt ss vlurs dns un intrvll. On ppll spérnc d X l quntité : (X) = t (Sous résrv d'istnc lorsqu n'st ps orné) () L constnt λ st pplé "constnt rdioctiv du noyu" Lois d proilités continus Pg 7 G. COSTANTN

8 Empls :. Cs d'un vril létoir X suivnt un loi uniform sur = [, ] : (X) = t dt = 2 t 2 = + 2 Rin d in surprnnt dns c résultt, on otint l moynn rithmétiqu d t. 2. Cs d'un vril létoir X suivnt un loi ponntill d prmètr λ > sur +. Clculons tout d'ord l'intégrl suivnt : t tλ dt = λ t λ dt On pos : u(t) = v'(t) = Ainsi : u'(t) = t v(t) = λ Un intégrtion pr prtis donn : λ t dt = t + dt = λ λ = Puis, on étudi l limit lorsqu tnd vrs +. On sit qu : λ λ λ + λ lim + λ = (cr lim X X = t λ > ) X + Et : D'où : lim + λ = (X) = λ 6. Lins ntr l discr l continu DSCRET Univrs X(Ω) Evénmnt E : prti d X(Ω) Proilités p i ds événmnts élémntirs pi = i CONTNU ntrvll Evénmnt J : sous-intrvll d (ou prti ngndré pr ds intrvll) () Dnsité d proilité ƒ = Espérnc d'un vril létoir discrèt X Espérnc d'un vril létoir continu X (X) = p i i i (X) = t () On n put ps considérr qu chqu prti d st un événmnt cr on urit un structur in trop lourd qui nous mpêchrit d clculr ls proilités. En prtiqu, on considèr qu ls événémnts sont ls prtis d ngndrés pr ls intrvlls (triu ds Borélins) Lois d proilités continus Pg 8 G. COSTANTN

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