Monsieur l indécis a trois amis A, B et C. A chaque étape de sa marche aléatoire :

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1 Douie Termiale S Activités Chapitre 5 spé Matrices suite Ue marche aléatoire Mosieur l idécis a trois amis A, B et C. A chaque étape de sa marche aléatoire : S il est chez A, il va chez B ou C avec ue probabilité de / pour B, S il est chez B, il va chez A ou C avec ue probabilité de /4 pour A, S il est chez C, il va chez A ou B de faço équiprobable. Ue problématique Il part de chez A, B ou C et arrête sa promeade au bout de étapes. Chez qui a-t-il alors le plus de chace de se trouver? U graphe probabiliste Recopier et compléter le graphe ci-cotre par des probabilités le log des flèches. A l aide d u arbre podéré O suppose que l idécis part de A. Réaliser u arbre des probabilités pour ue marche e trois étapes. Calculer les probabilités que l idécis soit e A, e B, e C e trois étapes? Pour répodre à la problématique, il faudrait costruire à ouveau deux arbres semblables au premier, selo que l idécis part de B, ou de C Cette démarche, vite fastidieuse, trouve ici ses limites L utilisatio des matrices va ous permettre de résoudre ce problème plus rapidemet. A l aide d ue matrice O itroduit ue matrice T, à liges et coloes, appelée matrice de trasitio, formée par les probabilités de passage e ue étape de A, B ou C à A, B ou C comme idiqué ci-dessous : p A A p A B p A C T p B A p B B p B C p C A p C B p C C Ecrire la matrice T avec tous ses coefficiets. Quelle remarque peut-o faire sur la somme des coefficiets d ue lige de la matrice de trasitio? Calculer T. Quelles probabilités recoaîto das les coefficiets de la première lige de cette matrice? A quoi correspodet les coefficiets de la secode lige, de la troisième lige? Répose à la problématique A la fi d ue marche aléatoire e trois étapes, chez quel ami Mosieur l idécis aurait-il le plus de chace termier sa marche s il est parti de A? Et s il est parti de B? Et s il est parti de C? Page

2 Douie Termiale S Activités Chapitre 5 spé Matrices suite Flotte de caddies U supermarché dispose sur so parig de poits d attache des caddies : le poit (), le poit () et le poit (). O suppose qu à la fermeture du magasi chaque caddie se trouve attaché à l u des poits (), () ou ().,,,4,4,4,,5,, Pour i et j das { ; ;} o ote p ij la probabilité coditioelle qu u caddie attaché au poit (i) soit, le ledemai, attaché au poit (j). Les valeurs des p ij sot supposées coues et doées par le tableau proposé ci-dessus. Les pérégriatios d u caddie O s itéresse à u caddie doé qui, ce ludi soir, est attaché au poit (). Quelles sot les probabilités qu il soit attaché mercredi soir, à chacu des poits (), () et ()? Utilisez u arbre. Das cette questio, o suppose coues les probabilités x, x et x qu u caddie soit attaché u soir doé aux poits (), () et (). O s itéresse aux probabilités d attache, le ledemai, aux poits (), () et () que l o ote y, y et y. Motrer que y,x, 4x,5x. Doer ue formule aalogue pour y et pour y. E X x x x Y y y y détermier la matrice T telle que les trois otat et relatios précédetes se traduiset par Y X T. Que représetet les coefficiets de chaque lige de la matrice T? Que peut-o dire de leur somme? O s itéresse à ouveau au caddie qui, ce ludi soir, est attaché au poit (). Calculer la probabilité que ce caddie se retrouve à so poit d attache () le mercredi soir. Calculer T. Comparer so coefficiet première lige et première coloe avec la probabilité calculée auparavat. Commet peut-o iterpréter chaque coefficiet de la matrice T. O rappelle que la matrice X x x x doé. O cosidère la matrice Z z z z la situatio ous doe cette matrice Z z z z L état de la flotte de caddies doe l état probabiliste de la situatio u soir tel que? Z X T. Quel état probabiliste de O suppose que le supermarché dispose d ue flotte de caddies. La répartitio orgaisée le dimache soir est de caddies au poit (), 7 caddies au poit () et caddies au poit (). O souhaite coaître l état de la flotte le vedredi soir. Détermier la matrice D d d d Exprimer la matrice V v v v formule matricielle. associée à l état probabiliste du dimache soir. associé à l état probabiliste du vedredi soir à l aide d ue Avec ue calculatrice ou u logiciel, détermier l état de répartitio probabiliste des caddies le vedredi soir. Peut-o détermier le ombre de caddies e chaque poit le vedredi soir? Page

3 Douie Termiale S Activités Chapitre 5 spé Matrices suite Ue histoire de labyrithe Ue souris est lâchée das le labyrithe cicotre. Elle se déplace e chageat de compartimet et pour u déplacemet doé, o ote le ombre de frachissemets de porte qu elle a effectué depuis so poit de départ. Pour chager de compartimet, o cosidère que la souris choisit sa porte au hasard parmi celles qui lui sot accessibles, i dépedammet de so parcours atérieur. Commet prévoir les probabilités de positio après quelques chagemets de compartimet? Graphe probabiliste et matrice de trasitio O souhaite représeter la situatio par u graphe probabiliste. Pour cela vous reproduirez et compléterez le schéma proposé ci-cotre. Détermier esuite la matrice de trasitio T associée au graphe probabiliste. Puissace quatrième et iterprétatio Calculer T 4. O suppose qu au départ la souris est lâchée das le compartimet C. Quelles sot les probabilités qu à l issue des quatre étapes elle se situe das les compartimets C, C, C, C4 et C5. Même questio si la souris est lâchée au départ das le compartimet C4. Est-il possible qu elle rejoige, e exactemet 4 étapes, le compartimet 5? U exemple d état probabiliste stable La souris est maiteat lâchée au départ de faço aléatoire das u des 5 compartimets. K 4 5 P(X=),,,,, O ote X la variable aléatoire qui désige le uméro de compartimet de départ. O suppose que la loi de probabilité de X est doée par le tableau proposé ci-dessus. O ote V la matrice lige défiie par V,,,,,. Calculer le produit V T. Quelle remarque faîtes-vous? Doer la probabilité de présece de la souris das chaque compartimet après étapes. Page

4 Douie Termiale S Activités Chapitre 5 spé Matrices suite Mise e place d u mii-réseau itraet Ue etreprise expérimete la mise e place d u mii-réseau itraet pour so persoel. Pour l istat, le réseau e doe accès qu à 4 pages umérotées (), (), () et (4). Ces pages comportet u ou plusieurs lies qui poitet chacu vers l ue des autres pages. L orgaisatio de cette «toile» miiature peut être visualisée sur le schéma proposé ci-cotre. Compredre le schéma et émettre ue cojecture U employé etre sur le réseau par la page (4). Sur quelle(s) page(s) peut-il se redre e u seul clic? E exactemet deux clics? Peut-il repasser par la page (4) lors de sa avigatio sur le réseau? Das quel ordre rageriez-vous ces quatre pages, par ordre décroissat de fréquetatio? Graphe probabiliste et matrice de trasitio O suppose doréavat qu u employé «distrait» explore le réseau au hasard : ue fois qu il est etré par l ue des pages, il clique au hasard sur u des lies figurat sur cette page et il cotiue sa avigatio de la sorte sas se préoccuper de so parcours atérieur. Reproduire et compléter le graphe probabiliste proposé ci-dessus. Ecrire la matrice de trasitio T associée à ce graphe probabiliste. A l aide d ue calculatrice ou d u logiciel, calculer T, T 4, T 8. E déduire les probabilités qu u employé «distrait» se rede e cliquat au hasard : de la page () à la page () e trois clics? de la page () à la page (4) e quatre clics? de la page (4) à la page () e huit clics? Mise e place d ue variable aléatoire O ote Y la variable aléatoire qui représete la page sur laquelle l employé se trouve après clics et X la matrice lige représetat la loi de probabilité de la variable aléatoire Y, c est-àdire : X p Y p Y p Y p Y 4. Justifier que X X T. Exprimer X e foctio de X, de T et de. Justifier votre répose. Calculer X 8 lorsque X, puis lorsque X, puis lorsque X, puis lorsque X. Les probabilités d atteidre chacue des 4 pages dépedet-elles fortemet de la page par laquelle l employé est etré sur le réseau? Remise e cause de la cojecture Calculer 5 T, matrice lige T et 5 T. Qu observe-t-o? Vérifier que quelle que soit la matrice lige X, la X 4 9 X semble se stabiliser quad deviet grad autour de Quel classemet, das l ordre décroissat des idices de pertiece, obtiet-o pour ces quatre pages du mii-réseau itraet? Repredre et critiquer si écessaire la cojecture émise au départ. Page 4

5 Douie Termiale S Activités Chapitre 5 spé Matrices suite Ures d Ehrefest : cas de deux boules O dispose de deux boules (umérotées et ) et de deux ures (appelées A et B). O s itéresse à l expériece aléatoire suivate. U expérimetateur choisit au hasard u des uméros ( ou ), attrape la boule correspodate das l ure où elle se situe, et la chage d ure. O peut répéter fois cette expériece, les choix successifs des uméros s effectuat de maière idépedate. O cosidère qu à l état iitial (=) les deux boules sot das l ure A. O s itéresse à l évolutio du coteu de l ure A et au temps de retour à l état iitial. Mise e place d ue variable aléatoire Les ures sot traslucides : o peut observer l évolutio de la répartitio des ures au cours du temps, sas que l o puisse distiguer leurs uméros. La répartitio de départ est représetée cidessus. A chaque étape, la variable aléatoire X compte le ombre de boules figurat das l ure A. Quelles sot les valeurs que peut predre la variable aléatoire Passage d ue étape à l étape suivate Reproduire et compléter le schéma proposé cicotre. Ce schéma déped-il de l étape? Pour tout i et j de ;; o pose p p X j ij X i suivate : sachat que l état de l ure A est i à l étape, A soit j à l étape suivate X? la probabilité coditioelle p ij est la probabilité que l état de l ure. O ote T la matrice liges coloes défiie par T p ij R p X p X p X. R la matrice lige défiie :. A l étape o ote A l aide de la formule des probabilités totales, motrer que R R T. E déduire ue expressio de R e foctio de la matrice lige R, de la matrice de trasitio T, de l etier. Calculer «à la mai» T et et que pour tout etier pair o a R,5,5 Temps de retour à l état iitial T. E déduire que pour tout etier impair o a. Iterpréter ces deux résultats. R, O cosidère étapes et pour etier aturel o ul o ote T la variable aléatoire doat le ombre d étapes écessaires pour u premier retour à l état iitial. Motrer que l espérace de la variable T est ET.... Calculer ET 5. Iterpréter le résultat obteu. Page 5

6 Douie Termiale S Activités Chapitre 5 spé Matrices suite Mouvemets de populatio O suppose que la populatio d u pays reste costate et égale à 6 millios d habitats. Les habitats vivet soit e zoe rurale, soit e ville. Chaque aée % des ruraux émigret e ville et % des citadis émigret e zoe rurale. Au er javier, il y a millios de citadis et 4 millios de ruraux. O cherche à coaître l évolutio du système au fur et à mesure des aées. O ote pour tout etier aturel, c (respectivemet r ) le ombre de citadis (respectivemet de ruraux) exprimés e millios pour l aée. Etude avec les suites umériques c,9c, r c,7c Motrer que et e déduire que. Détermier le réel a tel r,c,8r r,7r 6 que a,7a. Motrer que la suite c a est géométrique et e déduire l expressio du terme gééral de c puis de r e foctio de. Détermier les limites des suites c et r. Iterprétatio matricielle c O ote H la matrice coloe. Motrer que le système mis e place précédemmet peut r s écrire sous la forme H A H où A est u matrice carrée d ordre que vous détermierez. E déduire que pour tout etier aturel o a H A H où H est ue matrice coloe dot vous préciserez les coefficiets. Démotrer que pour tout etier aturel différet de o a A,7,7,7,7 Détermier pour tout etier aturel différet de la matrice coloe l expressio du terme gééral de c puis de r e foctio de. Coclure. H. E déduire Page 6

7 Douie Termiale S Activités Chapitre 5 spé Matrices suite Poussis et bejamis Das u club sportif, chaque aée la moitié des bejamis part e miimes, l autre moitié reste e bejamis, la moitié des poussis part e bejamis, l autre moitié reste e poussis. Le club recrute aussi, chaque aée, 5 ouveaux adhérets e catégorie poussis et e catégorie bejamis. A sa créatio, aée otée, le club comptait 5 poussis et 6 bejamis. O souhaite prévoir l évolutio des ombres de poussis et de bejamis e supposat que les mouvemets sot les mêmes d ue aée à l autre. O ote b et o etiers). p les ombres de bejamis et de poussis l aée (o acceptera des résultats Modélisatio à l aide de matrices. Motrer que la situatio se traduit par les relatios de récurrece p p 5. b b p p. Soit U la matrice coloe pour etier aturel. Ecrire le système précédet sous c la forme U AU B où A est ue matrice carrée et B ue matrice coloe. Calcul de A puissace. Détermier la matrice T telle que A Id T, puis calculer T. 4. Calculer A e foctio de Id et T. E déduire 5. Motrer par récurrece, pour Calcul de U : première méthode, à l aide d ue suite auxiliaire A., que A Id T. E déduire A. 6. Détermier ue matrice X x y telle que X AX B. 7. E déduire que la suite V défiie par V U X vérifie, pour, V AV. 8. E déduire V e foctio de U A U X X. V puis motrer que 9. Déduire des résultats précédets les expressios de p et de b e foctio de.. E déduire l évolutio du ombre de poussis et de bejamis quad deviet grad. Page 7

8 Douie Termiale S Activités Chapitre 5 spé Matrices suite Calcul de U : deuxième méthode par sommatio. De la relatio U AU B pour tout, déduire U, puis U, puis U e foctio de A, de U et de B.. O rappelle que A Id. Démotrer par récurrece que, pour, U A U A B.. Motrer que A. 4. Idicatio. Calculer la matrice A. 5. Retrouver aisi les limites des suites b et p Exercice d applicatio directe O cosidère la suite U de matrice coloe telle que U AU B pour tout avec A, B et U. Détermier ue suite costate égale à X vérifiat la même relatio de récurrece. Soit V U X pour. Motrer que V AV. E déduire V e foctio de V. E déduire que pour tout, U A U X X. Motrer que pour tout, Exercice d applicatio directe A. E déduire U e foctio de. O cosidère les suites a, b et c défiies par a, b et c et par les relatios de a a,5c a,5 récurrece : b,5a b,5c. O pose X b, A,5,5 et B. c,5c c,5 Ecrire X e foctio de X, A et B. E déduire que pour tout X A X A B. U logiciel de calcul doe l expressio des suites a, b et c e foctio de.,5 A,5,5,5. E déduire Page 8

9 Douie Termiale S Activités Chapitre 5 spé Matrices suite Eviter les bouchos Max va tous les jours à so travail e emprutat le chemi A ou le chemi B. S il y a des ecombremets sur so trajet, il chage d itiéraire le ledemai. La probabilité d ecombremets est égale à /4 sur le trajet A et à / sur le trajet B. Peuto prévoir commet évoluera so trajet das u grad ombre de jours. U graphe probabiliste Représeter le graphe probabiliste associé à cette situatio et écrire la matrice de trasitio M associée. Soit P la matrice lige doat l état probabiliste du choix d itiéraire de Max le ième jour ( ). O a doc P p p, où p est la probabilité que Max choisisse le trajet A le ième jour. Exprimer P e foctio de P, puis P e foctio de P. Calcul de M puissace O cosidère les deux matrices coloes V et W. Motrer que MV V et MW W où et sot deux réels à préciser. Soit P la matrice carrée de première coloe V et deuxième coloe W et D. Vérifier que P est iversible et préciser P. E déduire le calcul de PDP. Que costate-t-o? E déduire le calcul de M puis de M. Démotrer par récurrece que M PD P pour tout. E déduire les coefficiets de M e foctio de. Retour au problème O suppose que le premier jour, Max choisit A ou B de maière équiprobable. Doer la matrice P et e déduire la matrice P. Motrer que P ted vers ue matrice L quad ted vers l ifii et que LM L. Ceci est-il ecore vrai si o chage l état iitial? Diagoalisatio d ue matrice O cosidère la matrice A. Soit V 4 et W. Motrer que AV V et 4 AW W où et sot deux réels à préciser. Soit P la matrice carrée de première coloe V et deuxième coloe W et D. Vérifier que P est iversible et préciser P. E déduire le calcul de PDP. Que costate-t-o? E déduire les coefficiets de M e foctio de. Page 9

10 Douie Termiale S Activités Chapitre 5 spé Matrices suite Campage de commuicatio Deux fabricats de parfum lacet simultaémet leur ouveau produit ommés respectivemet Aurore et Boréale. Pour mesurer l efficacité des campages publicitaires, o iterroge chaque semaie les mêmes persoes qui toutes se proocet e faveur de l u de ces deux produits. Au début de la campage, % des persoes iterrogées préfèret Aurore et les autres préfèret Boréale. Les argumets publicitaires fot évoluer cette répartitio : % des persoes préférat Aurore et 5% des persoes préférat Boréale chaget d avis d ue semaie sur l autre. La semaie du début de la campage est otée semaie. Pour tout etier aturel, l état probabiliste de la semaie est défii par la matrice lige P a b, où a désige la probabilité qu ue persoe iterrogée au hasard préfère Aurore la semaie et b désige la probabilité qu ue persoe iterrogée au hasard préfère Boréale la semaie. de l état probabiliste de l état probabiliste iitial. Représeter la situatio par u graphe probabiliste de sommets A et B, A pour Aurore et B pour Boréale. Ecrire la matrice de trasitio M de ce graphe e respectat l ordre alphabétique des sommets. Motrer que P,, 7. Exprimer, pour tout etier aturel, P e foctio de P et de x O cherche réel tel qu il existe ue matrice o ulle V telle que MV y V. Justifier que M Id e doit pas être iversible. E déduire les valeurs et possibles pour. Détermier deux matrices coloes V et V o proportioelles telles que MV V et MV V. E déduire ue matrice carrée P et ue matrice diagoale D telle que M PDP. Détermier la matrice lige P a b E déduire que M. Détermier la limite M.de la suite M lorsque ted vers. Détermier l état limite P, limite de P lorsque ted vers. Motrer que P M P. Le parfum Aurore fiira-t-il par être préféré au parfum Boréale? Diagoalisatio d ue matrice 5 x Soit la matrice A. O cherche réel tel qu il existe ue matrice o ulle V 4 y telle que AV V. Justifier que A Id e doit pas être iversible. E déduire les valeurs et possibles pour. Détermier deux matrices coloes V et V o proportioelles telles que AV V et AV V. E déduire ue matrice carrée P et ue matrice diagoale D telle que A PDP. E déduire l expressios des coefficiets de la matrice A e foctio de. Page