II Exemples 2 II.A Série géométrique... 2 II.B Série exponentielle... 3 II.C Série harmonique... 4 II.D Série harmonique alternée...

Transcription

1 Séries umériques I Défiitios et otatios II Exemples 2 II.A Série géométrique II.B Série expoetielle II.C Série harmoique II.D Série harmoique alterée III Quelques théorèmes 5 III.A Liéarité III.B Partie réelle et partie imagiaire d ue série complexe III.C Trocature III.DSuites et séries III.E Coditio écessaire de covergece IV Séries à termes positifs 7 IV.A Pricipe fodametal : majoratio de la suite des sommes partielles IV.B Utilisatio d ue série majorate ou miorate IV.C Séries de Riema α IV.D Utilisatio d équivaleces pour les séries à termes positifs IV.E Comparaiso d ue série à termes positifs avec ue série de Riema IV.F Comparaiso d ue série à termes positifs avec ue série géométrique. Règle de D Alembert IV.F. Le résultat pricipal IV.F.2 Majoratio du reste lorsque la covergece est établie par ce critère IV.F.3 Règle de D Alembert V Séries de réels ou de complexes absolumet covergetes VI Complémet sur les suites : suites extraites 2 VIISéries alterées 3 VII.ADéfiitio VII.BCritère spécial des séries alterées VII.CEcadremet de la somme VII.DMajoratio du reste VIIICorrectios partielles pour les exercices 5 I Défiitios et otatios Soit (u ) N ue suite réelle ou complexe. Notos : U = u 0 + u + + u = u k

2 Défiitio. Étudier la série u k, ou série de terme gééral u k, c est étudier la suite U. Si la suite (U ) N a ue limite fiie U quad +, o dit que la série u k est covergete ; U s appelle somme de la série, et o ote : U = Das le cas cotraire, o parle de série divergete. U s appelle somme partielle d idice de la série u k. u k Exercice Soit a k ue série covergete de somme A. O ote R le reste d idice : R = A A = k=+ a k. Que peut-o dire de la suite (R ) N? [s20] Exercice 2 Si a k est ue série covergete, que dire de la suite A 2 A? (voir le paragraphe VI). [s202] II II.A Exemples Série géométrique Théorème (rappel sur les suites géométriques). Soit z C. La suite z coverge vers 0 si z <, et diverge pour z >. Elle est costate pour z =. Efi, elle diverge pour z =, z. Démostratio. Les deux premiers cas sot clairs e evisageat z. Le troisième cas est évidet. Pour le derier cas, supposos que z ait ue limite fiie quad +. Alors : z + z + 0. Mais z + z = z z = z. O a doc ue suite costate qui ted vers 0, c est-à-dire ue suite costate de valeur 0 ; d où écessairemet z =, ce qui est pas. Théorème 2. La série z k coverge si et seulemet si z <. De plus si z <, : z k = z 2

3 Exercice 3 Démotrer ce théorème e remarquat que pour z, z k = z+ z (formule importate!). [s203] Exercice 4 Expliquer pourquoi le développemet décimal illimité d u ratioel est périodique (à partir d u certai rag). Ecrire sous forme d ue fractio d etiers les ombres 0, et, [s204] Exercice 5 E exploitat la formule e iθ = cos θ + i si θ, motrer que si θ / 2πZ o a : θ cos kθ = cos θ si( + ) 2 2 si θ 2 et θ si kθ = si θ si( + ) 2 2 si θ 2 (ces calculs sot importats et il faut être capable de les refaire). [s205] II.B Série expoetielle Théorème 3 (Formule de Taylor avec reste itégral). Soiet I u itervalle (o réduit à u poit) et soiet a, b I. Soit f C + (I, R). O a : f(b) = f(a) + (b a)f (a) + + (b b a) f () (a) +! a (b t) f (+) (t)dt! Remarque. Cette formule est à coaître par cœur! b (b t) k Démostratio. Posos pour k {0,..., } : I k = f (k+) (t) dt. Ue itégratio par parties motre que a k! pour k, o a : (b a)k I k I k = f (k) (a) k! O somme pour k =,..,, et o obtiet (par télescopage, voir III.D) : (b a) k I I 0 = f (k) (a) k! k= E remarquat que I 0 = f(b) f(a), o obtiet la formule souhaitée. Théorème 4 (Iégalité de Taylor-Lagrage). Les otatios sot les mêmes. Soit M u majorat sur I de f (+) (t). O a : f(b) f(a) (b a)f (b a) (a) f () (a) b a +! M ( + )! 3

4 Démostratio. Il s agit e fait de démotrer : b (b t) f (+) (t) dt b a + a! M ( + )! Supposos d abord a < b. O a : b (b t) f (+) b (t) dt a! (b t) b f (+) (b t) (b a)+ (t) dt M dt = M a! a! ( + )! Si a > b, o a : b (b t) f (+) a (t) dt a! = (b t) f (+) (t) dt b! et : a (b t) f (+) a (t) dt b! (t b) a f (+) (t b) (t) dt M dt b! b! et cette derière itégrale est égale à M (a b)+ (+)!. Théorème 5 (développemet e série etière de la foctio expoetielle). O a : x R, e x x k = k! La démostratio de ce théorème est faite das les deux exercices suivats : Exercice 6 Soit α [0, [, et soit (a ) N ue suite de R +, telle qu à partir d u certai rag, o ait : a + α a Motrer qu o a : lim a = 0. + [s206] Exercice 7 Soit x R, et soit N. O pose M = max(, e x ). Motrer qu o a : x k ex x + M k! ( + )! et e déduire la valeur de x k k!. [s207] Exercice 8 O pose pour N, u = k! et v = u +!.. Motrer que les deux suites (u ) et (v ) sot adjacetes, et que leur limite commue est e. 2. Motrer que e est irratioel. Pour cela, supposer que e s écrit sous la forme d ue fractio d etiers : e = p q ; puis tirer ue cotradictio de la double iégalité u q < e < v q. [s208] II.C Série harmoique Théorème 6. La série diverge (vers + ). k k= 4

5 Démostratio. Posos U = ; o a : U 2 U = = 2. Avec l exercice 2, o voit que la suite (U ) est divergete ; comme elle est croissate, elle ted vers +. Remarque 2. Das ce cas d ue série divergete à termes > 0, la otatio k= = + est acceptée. k Exercice 9 O pose, pour etier : a = U l, et b = U l( + ).. Motrer que : k, k + l(k + ) l k k (utiliser k+ dt k t ). 2. Motrer que les suites (a ) et (b ) sot adjacetes, et que leur limite commue est strictemet positive. [s209] Remarque 3. Cette limite commue s appelle la costate d Euler. Elle est e pricipe otée γ, et elle est à peu près égale à 0, L exercice qui précède a doc motré : = l + γ + o() où o() désige ue foctio de qui ted vers 0 quad ted vers +. C est ce qu o appelle u développemet asymptotique de Ce résultat est pas das le programme, mais il est pas iutile de le coaître car c est u "grad classique" des cocours. II.D Série harmoique alterée Exercice 0 Pour t, motrer qu o a : t + t 2 + ( ) t = + ( ) t. + t ( ) k+ Itégrer etre 0 et, et e déduire = l 2. k k= [s20] Remarque 4. Ce résultat est à coaître! III III.A Quelques théorèmes Liéarité Théorème 7. a = A, =0 b = B =0 α, β K(= R ou C) = (αa + βb ) = αa + βb =0 Démostratio. C est tout simplemet ue autre écriture du résultat cou que voici, sur les suites réelles ou complexes : ( A A et B + ) B + αa + βb αa + βb + 5

6 III.B Partie réelle et partie imagiaire d ue série complexe Théorème 8. Soit (c ) N ue suite complexe. O pose, pour tout N, c = a + ib (avec a, b R) ; alors : ( c coverge a et b coverget) et das ce cas o a : c = a + i b i.e. C = A + ib =0 =0 =0 Démostratio. L équivalece résulte sas difficulté du résultat suivat : Soit (z ) N ue suite de ombres complexes. Cette suite ted vers 0 si et seulemet si la suite (x ) N des parties réelles et la suite (y ) N des parties imagiaires tedet vers 0. Pour voir cela, il suffit d observer géométriquemet les iégalités suivates, et de les exploiter : 0 x z x + y et 0 y z x + y Quat à l égalité C = A + ib, c est maiteat u cas particulier du théorème précédet. III.C Trocature Théorème 9. u k et k=k 0 u k sot de même ature ( i.e. toutes deux covergetes, ou toutes deux divergetes). Démostratio. Soit k 0. Posos U = u k et V = d idice des deux séries. Et o a : U V = sot doc de même ature. k 0 k=k 0 u k. Il s agit respectivemet des sommes partielles u k, qui est ue costate. Les deux suites U et V III.D Suites et séries Théorème 0. La suite (u ) coverge si et seulemet si la série (u + u ) coverge. Démostratio. Si o pose : v = u + u et V = v k o vérifie immédiatemet qu o a V = u + u 0 (méthode du télescopage). La covergece de la suite (V ) N est doc équivalete à celle de la suite (u ) N Remarque 5. Ce théorème très simple est très fréquemmet utilisé. Exercice Simplifier arcta( + ) arcta, puis établir la covergece et calculer la somme de : arcta = [s2] 6

7 III.E Coditio écessaire de covergece Théorème (fodametal!). u coverge = la suite (u ) ted vers 0. Démostratio. O a : u = U U, et le résultat est immédiat car les suites (U ) N et (U ) N ot la même limite : la somme de la série! Remarque 6. O dit aussi : si ue série coverge, alors so terme gééral ted vers 0. Ue série dot le terme gééral e ted pas vers 0 est parfois appelée série "grossièremet divergete". Exercice 2 Expliquer pourquoi la réciproque est fausse. [s22] Exercice 3 Soit θ / πz. Quelle est la ature des séries cos θ et si θ? Idicatio : supposos que la suite cos θ tede vers 0 ; que dire alors de la suite cos(+)θ, puis de la suite si θ? [s23] IV IV.A Séries à termes positifs Pricipe fodametal : majoratio de la suite des sommes partielles Théorème 2. Soit a ue série à termes 0 (au mois à partir d u certai rag) : a coverge la suite (A ) est majorée Démostratio. Rappelos que A = a k. O a pour tout : A + = A + a + A. La suite (A ) est doc croissate : et o sait alors qu elle coverge si et seulemet si elle est majorée. Remarques 7.. N oubliez pas qu o veut pour la suite (A ) u majorat fixe et idépedat de. 2. Les divers critères qu o va voir sur les séries à termes positifs sot tous des coséqueces plus ou mois triviales de ce théorème. 3. Les otatios < +, pour ue série covergete, et = + pour ue série =0 a divergete, sot tolérées, mais évidemmet réservées aux séries à termes positifs. =0 a IV.B Utilisatio d ue série majorate ou miorate Théorème 3. Soiet a et b à termes 0, telles que a b à partir d u certai rag. Alors : b coverge = a coverge 7

8 Démostratio. Soit 0 tel que k 0, a k b k. Désigos par B la somme de la série majorate : B = b k, et otos K la somme 0 a k. O a : N, A K + B. E effet, si < 0, o a A K, et si 0, o a : A = K + k= 0 a k K + k= 0 b k K + b k = K + B K + B O a doc, pour la suite (A ) N, u majorat fixe, idépedat de ; cela établit d après le théorème précédet que la série a est covergete. Remarques 8.. Si o a :, a b, la démostratio précédete est u peu plus facile, et o a de plus : A B ; mais cette iégalité sur les sommes est pas forcémet vraie si l iégalité a b est valable qu à partir d u certai rag. 2. Das les coditios du théorème : a diverge = b diverge. 3. Si a = o(b ) quad +, et si b coverge, alors a coverge (même chose si a = O(b ) quad + ). Exercice 4 Nature des séries suivates :. = = 3. =2 (l ) 2 4. = 2 5. = 2 + (si ) 2 Pour le 4., o pourra remarquer que 2, 2. [s24] Exercice 5 Soit a ue série à termes 0, covergete. Motrer que = a < +. [s25] Exercice 6 Par ue mioratio, motrer que la série = l(!) diverge. [s26] IV.C Séries de Riema α Théorème 4. La série coverge pour α >, et diverge pour α. α Démostratio. pour α 0, le terme gééral e ted pas vers 0, et o coclut avec III.E. pour 0 < α, o a :, α, et est le terme gééral d ue série divergete (voir IV.B). pour α > : soit k u etier 2. Sur le segmet [k, k], o a : k α t α (faire u dessi). O itègre sur [k, k] : k k α dt k t α et o somme pour k = 2,.., : 8

9 2 α + 3 α + + α dt t α d où : A = + 2 α + 3 α + + α + dt t α = + α α + α α L iégalité A + est aisi démotrée pour tout 2, et elle est bie sûr égalemet valable pour =. α Elle est doc valable pour tout, et o a doc u majorat fixe, idépedat de, pour la suite (A ) des sommes partielles. O peut par coséquet coclure (avec IV.A) que la série k α coverge. k= Il est aisi établi que cette série coverge si et seulemet si α >. Remarque 9. Si α >, o ote : ζ(α) = k= k α (il s agit de la lettre grecque zéta). O verra que ζ(2) = π2 6, et o calculera égalemet, avec les séries de Fourier, ζ(4) et ζ(6). IV.D Utilisatio d équivaleces pour les séries à termes positifs Théorème 5. Soiet a et b deux séries à termes > 0, telles que a b, quad : ces séries sot de même ature. Démostratio. a b, et doc, si est assez grad, o a : + 2 b a 3 2 b. Si la série b coverge, l iégalité de droite motre que la série a coverge, d après IV.B. Et si la série b diverge, l iégalité de gauche motre que la série a diverge. Exercice 7 Motrer que l l(l( + )) l(l ) et e déduire : + =2 l diverge. [s27] IV.E Comparaiso d ue série à termes positifs avec ue série de Riema O utilise, si o peut, équivalece, majoratio, mioratio. Par exemple : { K si α >, la série u coverge O suppose que u : α si α, la série. u diverge O suppose qu à partir d u certai rag, o a u K α, avec α > : la série u coverge. O suppose qu à partir d u certai rag, o a u K α, avec α : la série u diverge. Exercice 8 Soit a > 0. Quelle est la ature de la série a (utiliser la deuxième remarque de II.C). [s28] Exercice 9 Soit (S ) la suite umérique défiie pour etier ( aturel o ul par : i= ) S = 2 i i= 9

10 . Trouver u équivalet de S S quad ted vers Etablir la covergece de la suite (S ) (o pourra utiliser la théorie des séries). 3. E déduire u équivalet de i= i= i quad ted vers + [s29] IV.F IV.F. Comparaiso d ue série à termes positifs avec ue série géométrique. Règle de D Alembert Le résultat pricipal Théorème 6. Soit a ue ue série à termes > 0. S il existe α [0, [ et 0 N tels que : 0, a + a α alors la série coverge. ( a0 ) Démostratio. Si 0, o a a α α, et 0 α < +. O applique alors IV.B. =0 Exercice 20 Soiet u et a deux séries à termes > 0 telles que :, u + u a + a Motrer que u = O(a ), et e déduire que la covergece de la série a etraîe celle de la série u. [s220] IV.F.2 IV.F.3 Majoratio du reste lorsque la covergece est établie par ce critère R = a p = a + + a +2 + αa + α 2 α a + = a α. p=+ Règle de D Alembert Théorème 7. Soit a ue série à termes > 0, telle que a+ a. Si l <, la série coverge. par valeurs plus grades), la série diverge (grossière Si l >, ou si l = + (i.e. a+ a met). 3. Si l =, o e peut rie dire. l + (l [0, + ]) Démostratio.. Si l [0, [, cosidéros α tel que l < α <. À partir d u certai rag, o a a + α et o applique IV.F.. a 2. Das le cas 2), o a écessairemet a + à partir d u certai rag, autremet dit la suite (a a ) N deviet croissate. Comme il s agit d ue suite de réels strictemet positifs, elle e peut tedre vers 0, et la série a e peut coverger (voir la coditio écessaire de covergece III.E). 0

11 3. Efi, pour le cas 3), o a l exemple des séries de Riema : par exemple chacue de ces deux séries doe ue limite égale à. = diverge, et = coverge, et 2 Exercice 2 Soit x > 0. Etudier la série de terme gééral u = x(x+)...(x+ ). [s22] Exercice 22 O pose u = e!. Motrer que u + = + ( u 2 + o ), et coclure quat à la ature de la série u. [s222] Exercice 23 ( + ) 3. Etablir la covergece de la série :.! =0 2. Calculer la somme de cette série e itroduisat des réels λ 3, λ 2, λ, λ 0 tels que : 3. Gééraliser à =0 (X + ) 3 = λ 3 X(X )(X 2) + λ 2 X(X ) + λ X + λ 0 P (), où P est u polyôme à coefficiets réels.! [s223] V Séries de réels ou de complexes absolumet covergetes Défiitio 2. u est dite absolumet covergete si, par défiitio, u < +. =0 Théorème 8. Toute série réelle ou complexe absolumet covergete est covergete. De plus, o a : u k u k Démostratio. (o exigible e TSI ) Soit u ue série réelle absolumet covergete. Posos, pour tout : u + = max(u, 0), u = mi(u, 0) O a : 0 u + u et 0 u u, d où : u + < + et u < + =0 =0 Comme o a u = u + u, o coclut que la série u coverge. O suppose maiteat que u C, et o pose u = a + ib, avec a, b R. O a a u, d où a < +, et de même b < +. =0 =0 Par suite, les séries a et b coverget, et u coverge.

12 Exercice 24 Démotrer l iégalité sur les sommes du théorème. [s224] Exercice 25 Motrer que la somme de deux séries absolumet covergetes est absolumet covergete. [s225] Exercice 26 Soiet u et v deux séries réelles telles que u 2 et v 2 coverget. Motrer que u v est absolumet covergete. [s226] VI Complémet sur les suites : suites extraites Défiitio 3. Soiet (u ) ue suite de R ou C, et k ϕ(k) ue applicatio strictemet croissate de N das N. La suite k u ϕ(k), otée (u ϕ(k) ) k N, s appelle suite extraite de (u ) N. Remarque 0. La otio de suite extraite est pas au programme de TSI, mais o s e sert souvet "sas le dire". Les allergiques aux "ε" peuvet admettre que si la suite (u ) ted vers ue limite fiie ou ifiie, alors les suites (u + ), (u 2 ) et (u 2+ ) tedet vers la même limite que (u ). Ils peuvet égalemet admettre le résultat de l exercice 28. Exercice 27 Motrer que k N, ϕ(k) k. [s227] Théorème 9. Soit (u ) N ue suite de R ou C, et (u ϕ(k) ) k N ue suite extraite : u l = u ϕ(k) l + k + Remarque. C est égalemet valable pour les suites réelles qui tedet vers + ou. Démostratio. Soit ε > 0. Il existe 0 N tel que : 0, u l ε. Si k 0 : d après l exercice 27, o a ϕ(k) 0 ; et doc u ϕ(k) l ε. O a aisi établi que : ( ε > 0, 0 N, k, k 0 = u ϕ(k) l ε ). Cela est rie d autre que : u ϕ(k) l k + Exercice 28 Motrer que : ( u 2k k + l et u 2k+ ) l k + = u + l [s228] Exercice 29 O suppose que (u 2k ), (u 2k+ ) et (u 3k ) coverget. Motrer que (u ) coverge. [s229] 2

13 Exercice 30 Motrer que si ue série est covergete, o peut grouper ses termes deux par deux, trois par trois, etc., pour calculer sa somme. [s230] VII VII.A Séries alterées Défiitio Défiitio 4. Ue série alterée est ue série du type ( ) a, où, a alterativemet positif et égatif. 0. Le terme gééral est doc VII.B Critère spécial des séries alterées Théorème 20. Si la suite (a ) décroît vers 0, alors la série ( ) a est covergete. Démostratio. Posos b = ( ) a, et B = b k. Il s agit de prouver que la suite (B ) coverge : B 2k+2 = B 2k a 2k+ + a 2k+2 B 2k, doc la suite (B 2k ) k N est décroissate. B 2k+3 = B 2k+ + a 2k+2 a 2k+3 B 2k+, doc la suite (B 2k+ ) k N est croissate. B 2k B 2k+ = a 2k+ 0. k Les deux suites sot doc adjacetes. Soit B leur limite commue : o a B B = ( ) a. =0 B, et doc : + Exercice 3 Quelle est la ature de la série Et de la série = ( ) 2 + l? = ( )? [s23] Exercice 32 Méthode d éclatemet ( ) Il s agit d étudier la série + ( ). =2. Expliquer pourquoi le critère spécial e s applique pas. ( ) 2. Calculer + ( ) ( ), et e déduire la ature de la série proposée. [s232] Exercice 33 Même exercice avec =2 ( ) + ( ). 3

14 [s233] Remarque 2. Les exercices 32 et 33 motret que si l hypothèse de décroissace est pas remplie, la série alterée peut coverger, ou diverger. L exercice 33 offre par ailleurs u cotre-exemple itéressat à propos des séries de termes gééraux équivalets. O a e effet : ( ) ( ) + ( ) et la série =2 ( ) diverge, tadis que la série + ( ) =2 ( ) coverge. O predra doc garde à utiliser les équivaleces que pour les séries à termes > 0 (ou à termes < 0, e ivoquat la série opposée). VII.C Ecadremet de la somme Théorème 2. La somme d ue série alterée relevat du critère spécial (i.e. dot la valeur absolue du terme gééral décroît vers 0) est ecadrée par deux sommes partielles cosécutives. Démostratio. O a, avec les otatios précédetes : B 2k+ B B 2k+2 B 2k. Remarque 3. Das le cas traité, b 0, b 2,... sot positifs, b, b 3,... sot égatifs. Si o a ue série du type a a 2 +a 3 a 4 +, alors (B 2k ) est croissate, (B 2k+ ) est décroissate, et B 2k B B 2k+. E fait, si ue somme partielle se termie par u terme égatif, elle est iférieure ou égale à la somme de la série, et si ue somme partielle se termie par u terme positif, elle est supérieure ou égale à la somme de la série. VII.D Majoratio du reste Théorème 22. Pour ue série alterée relevat du critère spécial, le premier terme égligé doe le sige du reste et le majore e valeur absolue. Exercice 34 Démotrer ce résultat. [s234] Exercice 35 O doe la série = ( ), avec α > 0. ( + si ) α. Etudier la covergece, et le sige de la somme S. N ( ) 2. Détermier N tel que ( + si ) α soit ue approximatio de S à 0 2 près, et préciser la = valeur de N lorsque α = et lorsque α = 3. [s235] 4

15 VIII Correctios partielles pour les exercices Correctio de l exercice Comme la suite (A ) des sommes partielles ted vers A, la suite des restes (R ) ted vers 0. Correctio de l exercice 2 La suite (A ) des sommes partielles a pour limite la somme A de la série ; il e est de même pour la suite extraite (A 2 ) (voir VI). Doc o a : lim + (A 2 A ) = 0 Correctio de l exercice 3 Das le cas z =, la suite géométrique z est statioaire, mais o a z k = +, doc la suite des sommes partielles de la série z k est divergete. Hors ce cas, la formule z k = z+ motre que la covergece de la suite z équivaut z à la covergece de la suite z k, c est-à-dire à la covergece de la série. Et la même formule motre que si z <, alors lim + z k = + z, ce qui est rie d autre que z k = z. Correctio de l exercice 4 Cosidéros u ratioel positif r = a b, avec a et b etiers > 0. Le développemet décimal de ce ratioel s obtiet e posat la divisio de a par b. Si la divisio doe à u certai momet u reste ul, le processus s arrête et l écriture décimale de r se termie par ue ifiité de 0. O a doc bie u développemet périodique. Si o obtiet jamais de reste ul, il faut observer que les restes successifs sot tous compris etre et b : il y a doc que b restes possibles. Et comme à partir d u certai momet, les divisios qu o effectue sot "le reste suivi d u 0 divisé par b", o retombera écessairemet sur ue divisio déjà faite, qui doera le même quotiet et la même suite d opératios. D où la périodicité. 0, = 0, 5+0, = ( ) k = = = De la même maière, o trouve bie sûr :, = 2. Correctio de l exercice 5 Si o pose C = cos kθ et S = si kθ, o a C + is = (e iθ ) k = ei(+)θ e iθ, et o termie le calcul e mettat ei(+)θ/2 e facteur, puis e remarquat que C est la partie réelle, et S la partie e iθ/2 imagiaire. Correctio de l exercice 6 Supposos que l iégalité a+ a α soit vraie pour 0. O a alors successivemet : a 0+ αa 0, a 0+2 αa 0+ α 2 a 0, et de faço géérale, pour k N : a 0+k α k a 0. Cela peut aussi se formuler de la maière suivate : pour etier 0, a α 0 a 0, et fialemet : 0, 0 a a 0 α 0 α Lorsque ted vers l ifii, la suite géométrique (α ) ted vers 0, et la suite (a ) ted doc vers 0 (théorème des gedarmes). 5

16 Correctio de l exercice 7 O applique l iégalité de Taylor-Lagrage avec a = 0, b = x et f(t) = e t. O a f (+) (t) = e t, et e t est majoré par sur le segmet [x, 0] si x < 0 et par e x sur le segmet [0, x] si x 0. M = max(, e x ) est doc bie u majorat de e t, pour t compris etre 0 et x. Si o pose a = M x + a+ a+ (+)!, o a a 0. O a doc, à partir d u certai rag, + a 2. D après l exercice précédet, la suite (a ) ted vers 0. Le théorème des gedarmes motre alors : lim + e x x k k! = 0, ou ecore lim + xk k! = e x, ce qui doe avec la otatio des séries : xk k! = e x. Correctio de l exercice 8. Il est clair que la suite (u ) est croissate, et que v u 0. Pour la décroissace de la + suite (v ) : v + v = = = ( + )! + ( + )( + )!.! ( + ) + ( + )2 ( + )( + )! ( + )( + )! Il est aisi établi que les suites (u ) et (v ) sot adjacetes. Le théorème des suites adjacetes dit qu elles ot la même limite L, et que l o a pout tout : u L v Mais l exercice précédet motre que L = e (predre x = ). 2. E fait, la double iégalité précédete est stricte. E effet, les suites (u ) et (v ) sot, respectivemet, strictemet croissate et strictemet décroissate, et o peut écrire pour tout etier : u < u + e v + < v. Si e était ratioel, il s écrirait e = p q, avec p, q etiers > 0. O aurait alors u q < e < v q, c est-à-dire : u q < e < u q + q.q! La multiplicatio des trois termes par q.q! coduit à : u q q.q! < p.q! < u q q.q! + et o voit l etier p.q! strictemet compris etre deux etiers cosécutifs, ce qui est impossible. Correctio de l exercice 9. O a : t [k, k + ], k+ t k, et o itègre par rapport à t sur le segmet [k, k + ], pour obteir : k+ l(k + ) l k k 2. a + a = + l( + ) + l 0, d après l iégalité de gauche pour k = ; la suite (a ) est doc décroissate. b + b = + l( + 2) + l( + ) 0, d après l iégalité de droite pour k = + ; la suite (b ) est doc croissate. Et o a : a b = l( + ) l, d où + a b, et a b 0. + Il est aisi prouvé que les suites (a ) et (b ) sot adjacetes. Si o ote γ leur limite commue, o a pour tout, b γ a ; e particulier b γ, et par suite γ > 0. 6

17 Correctio de l exercice 0 Pour la première égalité, il s agit d ue somme partielle de série géométrique de raiso t. ( ) k+ L itégratio sur [0, ] doe : = l 2 + a, avec a = ( ) t d t k 0 +t. k= Et il s agit de prouver que la suite (a ) ted vers 0 ; c est clair car 0 a 0 t dt = Fialemet o a :lim + k= ( ) k+ = l 2, ce qui est le résultat demadé. k +. Correctio de l exercice O voit facilemet que Arcta( + ) Arcta [ 0, π 2 [, et : Il e résulte : ta [ Arcta( + ) Arcta ] = (+) +(+) = 2 ++ Arcta( + ) Arcta = Arcta 2 ++ O a alors, par télescopage : Arcta k 2 + k + = [ ] Arcta(k + ) Arctak = Arcta( + ) Arcta = Arcta( + ) π 4 d où efi : + Arcta k 2 + k + = lim + Arcta( + ) π 4 = π 2 π 4 = π 4 Correctio de l exercice 2 Peser à la série harmoique : so terme gééral ted vers 0, et la série diverge vers + Correctio de l exercice 3 Si la suite cos θ ted vers 0, il e est de même de la suite (décalée) cos( + )θ. Or cos( + )θ = cos θ cos θ si θ si θ. Comme si θ 0, o voit que la suite si θ ted aussi vers 0. Et l égalité valable pour tout : si 2 θ + cos 2 θ = doe alors, e passat à la limite : 0 =, ce qui est absurde. O procède exactemet de la même maière pour motrer que la suite si θ e peut pas tedre vers 0. Les deux séries cos θ et si θ sot doc divergetes (grossièremet divergetes). Correctio de l exercice , et la série = coverge ; doc la série proposée coverge Pour tout, o a, et la série de terme gééral diverge. D où la divergece de la série proposée. ( 3. Quad +, = o (l ) ), et la série de terme gééral 2 diverge. D où la divergece de la série proposée. 4. La série de terme gééral coverge (télescopage), et pour 2, D où la covergece de la série 2, et bie sûr celle de 2. =2 = 2 ( ) = 5. Pour tout, o a 2 +(si ) 2, d où la covergece de la série proposée. 2 7.

18 Correctio de l exercice 5 Si a et b sot des réels, o a : ab 2 (a2 + b 2 ) (ce est rie d autre que ( a b ) 2 0). Ici, cela doe : ) a 2 (a +. Et o coclut avec la covergece des séries a 2 et. 2 Correctio de l exercice 6 O a vu das l exercice 9 que pour tout 2, l, et o a l(!) = l + l l l. Le terme gééral de la série proposée est doc, et o sait que la série diverge. Remarque : o verra das l exercice suivat que la série diverge. La mioratio de l par aurait doc été suffisate. =2 Correctio de l exercice 7 O a, pour tout 2 : [ ] l(l( + )) l(l ) = l( + ) l l [ ] = l + l( + /) l l [ ] = l + Or quad ted vers +, l(+/) l [ ted vers 0. ] Par suite : et comme l( + /) + l + l(+/) l, o coclut : l(l( + )) l(l ) l(+/) l + l( + /) l l Les deux séries à termes positifs [ l(l( + )) l(l ) ] et l sot doc de même ature. La première diverge car la suite l(l ) ted vers + (voir III.D). O coclut que la série l diverge. Correctio de l exercice 8 Das la remarque qui suit l exercice 9, o a vu que lorsque ted vers l ifii : = l + γ + o() O a doc, quad + : a = a l a γ+o() = l a a γ+o() a γ l a Or la série a γ l a coverge si et seulemet si l a >, c est-à-dire si et seulemet si a < e. O coclut que la série a coverge si et seulemet si a < e. Correctio de l exercice 9 Soit (S ) la suite umérique défiie pour etier aturel ) o ul par : S = ( i= i= i 2. S S =

19 O a doc : = = + [ ( ) /2 ] [ ( ( ))] o 2 = ( ) o 3/2 3/2 S S + 4 3/2 2. Il e résulte que la série (S S ) est covergete, et doc que la série (S S ) est aussi covergete (le recours à la série opposée permet d utiliser le théorème sur les séries de termes gééraux équivalets, valable pour les séries à termes > 0). D après le théorème III.D (télescopage), la suite (S ) est covergete. Notos L sa limite. 3. O a successivemet : ( i= i= S S 2 i ) 2 2 ( i= ) i i= 2 + L ce qui est rie d autre que : i= i= i + 2 Correctio de l exercice 20 La suite ( ) u a est décroissate, et o a doc :, u a u0 a 0, et par suite :, u u0 a 0 a La coclusio est alors immédiate. Il y a u piège das cet exercice : la série à termes positifs a est certes covergete, mais o e peut pas affirmer qu il existe α [0, [ tel que pour tout, a+ a α ( peser à la série ). Il 2 est doc pas pertiet d appliquer le résultat précédet. Correctio de l exercice 2 O a : et u + = (x + ) u ( + ) + = + x ( + + ) ( + ) ted vers e quad ted vers l ifii (predre le l). u O a doc lim + + u [0, [, et doc, par le critère de D Alembert, la série est covergete. Correctio de l exercice 22 9

20 u + u u ( + = e + ) u ) (+ = e e l ( = e e ( ) = e 2 +o = + ( ) 2 + o ( )) 2 2 +o 2 ted doc vers par valeurs plus grades, et la série proposée est grossièremet divergete. Correctio de l exercice 23. Si o pose u = (+)3!, o a u+ u = (+)3 +, qui ted vers 0 quad ted vers +. La série proposée est doc covergete d après le critère de d Alembert. = O a tout de suite : (X + ) 3 = X(X )(X 2) + 6X(X ) + 7X + (les coefficiets sot immédiats e regardat le terme de plus haut degré, puis e spécialisat e 0, puis e, puis e 2) O décompose alors la série proposée comme combiaiso liéaire de quatre séries covergetes, chacue ayat comme somme e. Par exemple : ( )( 2) ( )( 2) = =!! ( 3)! = p! = e Fialemet : =3 =3 ( + ) 3 = ( ) e = 5 e! =0 3. Si P est de degré d, o itroduit das R d [X], espace vectoriel des polyômes à coefficiets réels de degrés d, les polyômes Q 0, Q,..., Q d défiis par Q 0 (X) =, Q (X) = X, Q 2 (X) = X(X ),..., Q d (X) = X(X )(X 2)... (X d + ). Comme ces polyômes sot de degrés deux à deux différets, ils formet ue famille libre de R d [X]. Et comme leur ombre, d +, est égal à la dimesio de R d [X], ils formet ue base de R d [X]. Doc P peut s écrire de maière uique sous la forme P = λ 0 P 0 + λ P + + λ d P d. O motre alors sas difficulté que =0 P ()! = ( d ) λ k e. p=0 Correctio de l exercice 24 D après l iégalité triagulaire, valable pour u ombre fii de ombres réels ou complexes, o a pour tout N : u k u k. L iégalité reste valable par passage à la limite. Correctio de l exercice 25 O a, pour tout, u + v u + v, et la série de terme gééral u + v coverge e tat que somme de deux séries covergetes. O coclut par le théorème sur les séries majorates (page 7). Correctio de l exercice 26 Si a et b sot deux réels, o a bie sûr ( a b ) 2 0, d où a b 2 (a2 + b 2 ). O a ici, pour tout : u v 2 (u2 + v 2 ), et o utilise le théorème sur les séries majorates (page 7). 20

21 Correctio de l exercice 27 O procède par récurrece : O a bie sûr ϕ(0) 0, car ϕ(0) N. Supposos : ϕ(k) k. La croissace stricte de ϕ motre ϕ(k + ) > ϕ(k), d où ϕ(k + ) > k. Mais il s agit d etiers, doc : ϕ(k + ) k +. O coclut doc que : k N, ϕ(k) k. Correctio de l exercice 28 Soit ε > 0 : Puisque u 2k l, il existe k 0 N tel que k k 0 o ait u 2k l ε. k + Puisque u 2k+ l, il existe k N tel que k k o ait u 2k+ l ε. k + Posos 0 = max(2k 0, 2k + ). Soit N tel que 0. Ou bie est pair, et o a = 2k avec k k 0. Ou bie est impair, et o a = 2k + avec k k. Das les deux cas, o a u l ε. E résumé : ε > 0, 0 tel que, 0 = u l ε Il est aisi établi que la suite (u ) ted vers l. Correctio de l exercice 29 Soiet a, b, c les limites respectives des suites (u 2k ), (u 2k+ ) et (u 3k ). La suite (u 6k ) est extraite de (u 2k ) ; doc elle coverge vers a ; mais c est aussi ue suite extraite de (u 3k ) ; doc elle coverge vers c. Il e résulte que a = c. E evisageat maiteat la suite (u 6k+3 ), extraite de (u 2k+ ) et de (u 3k ), o voit que b = c. Par suite a = b, c est-à-dire que les suites (u 2k ) et (u 2k+ ) ot la même limite. O coclut avec l exercice précédet que la suite (u ) est covergete. Correctio de l exercice 30 Supposos a k = A. Si o pose A = a k, cela sigifie que lim + A = A. Grouper les termes deux par deux est rie d autre que défiir ue ouvelle série b k, avec b 0 = a 0 + a, b = a 2 + a 3, b 2 = a 4 + a 5 etc. La somme partielle d idice de cette ouvelle série est B = b k = A 2+. La suite (B ) apparaît comme ue suite extraite de la suite (A ), et elle a doc la même limite que cette derière : lim + B = A. E d autres termes : b k = A. O peut aussi grouper trois par trois, quatre par quatre etc., et même par paquets de ombres d élémets différets, pourvu que ces ombres d élémets restet majorés par u ombre fixe. Mais iversemet, ue sommatio par paquets e peut pas e gééral servir à établir la covergece d ue série : pour la série divergete ( ) k, u groupemet deux par deux doe la série ulle, covergete... Correctio de l exercice 3 Les deux séries relèvet du critère spécial, et sot doc covergetes. Cepedat, le critère spécial pour la deuxième série est maladroit, car cette série est absolumet covergete : so terme gééral est majoré, e valeur absolue, par 2, qui est le terme gééral d ue série à termes positifs covergete. Correctio de l exercice 32. la suite +( ) ted vers 0, mais e décroît pas : le critère spécial e s applique pas, et o e peut pour l istat rie dire quat à la ature de la série. 2

22 2. O a : ( ) +( ) = ( ) 2 +( ) ( ) la série coverge par le critère spécial des séries alterées. =2 la série 2 + ( ) est ue série à termes positifs covergete : e effet, so terme =2 gééral est équivalet, quad +, à 2. La série proposée est doc covergete, e tat que différece de deux séries covergetes. Correctio de l exercice 33 Le critère spécial e s applique pas, pour la même raiso que das l exercice précédet. Et o a : ( ) +( ) = ( ) +( ) ( ) la série coverge par le critère spécial des séries alterées. la série =2 =2 + ( ) est ue série à termes positifs divergete : e effet, so terme gééral est équivalet, quad +, à. La série proposée est doc divergete, e tat que différece d ue série covergete et d ue série divergete. Correctio de l exercice 34 Cela résulte de : B 2k+ B B 2k+2 B 2k (voir les otatios e VII.B). Si o pred B 2k+ comme valeur approchée de la somme B, le derier terme écrit est b 2k+ = a 2k+ 0, le premier terme o écrit (i.e. le premier terme égligé) est b 2k+2 = a 2k+2 0, le reste est B B 2k+, et o a : 0 B B 2k+ B 2k+2 B 2k+ = a 2k+2. Si o pred B 2k comme valeur approchée de la somme B, le derier terme écrit est b 2k = a 2k 0, le premier terme o écrit (i.e. le premier terme égligé) est b 2k+ = a 2k+ 0, le reste est B B 2k 0, et o a : B B 2k = B 2k B B 2k B 2k+ = b 2k+ = a 2k+. Correctio de l exercice 35. Quel que soit N, o a si( + ) si (iégalité des accroissemets fiis, par exemple). O a doc si( + ) si, puis + + si( + ) + si. Il e résulte immédiatemet que la suite (+si ) est décroissate. Il est évidet qu elle ted vers 0 α quad ted vers l ifii. Le critère spécial des séries alterées s applique, et o peut dire que la série ( ) = (+si ) est covergete. α La somme S d ue série alterée qui relève du critère spécial est comprise etre deux sommes partielles cosécutives. D où, ici : (+si ) S α (+si ) + α (2+si 2) α La décroissace de la suite (+si ) motre que le terme de droite de cette double iégalité α est 0. D où : S Pour ue série qui relève du critère spécial des séries alterées, le reste est majoré, e valeur absolue, par le premier terme égligé. Cela s écrit ici : S N ( ) = (+si ) α (N++si(N+)) α N ( ) Pour que ( + si ) α costitue ue approximatio de S à 0 2 près, il suffit doc qu o = ait : (N++si(N+)) 0 2 α 22

23 si(n +) état compris etre et, o a N ++si(n +) N, et doc : N. α Pour avoir l approximatio cherchée, il suffit doc qu o ait N α 00. Si α =, o pred N = 00. Si α = 3, N = 5 est suffisat. (N++si(N+)) α 23