Calcul Différentiel 1

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1 Calcul Différentiel 1 Notes de cours Licence 2 Semestre 3 Ioane Muni Toke Version 2013

2 2 Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

3 Table des matières 1 Topologie des espaces vectoriels normés Notion de norme Rudiments de topologie Parties ouvertes et fermées d un espace vectoriel normé Suites dans un espace vectoriel normé Quelques définitions pour aller plus loin Cas de la dimension finie et de R N en particulier Exercices Continuité de fonctions de R N dans R P Limite de fonctions Fonctions continues Fonctions continues sur les fermés bornés de R N Quelques mots sur les applications linéaires Exercices Différentiabilité de fonctions de R N dans R P Dérivées partielles Différentielle Matrice jacobienne Applications continûment différentiables Inégalité des accroissements finis Application linéaire tangente Exercices Différentiabilité d ordre k Fonctions de classe C k Formules de Taylor Extrema de fonctions de plusieurs variables Exercices Pour aller plus loin Difféomorphismes et inversion locale Introduction à la notion de forme différentielle

4 4 TABLE DES MATIÈRES Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

5 Chapitre 1 Rudiments de topologie des espaces vectoriels normés Dans ce chapitre, nous donnons quelques rudiments de topologie des espaces vectoriels normés. Ce cadre de travail est suffisant dans ce cours puisque l objectif des chapitres suivants est de travailler avec les fonctions de R N dans R P, espaces vectoriels normés de dimension finie. Dans tout ce chapitre, K = R ou C désigne le corps de base. désigne donc suivant le contexte la valeur absolue d un réel ou le module d un complexe. Soit E un K-espace vectoriel de dimension quelconque. Le cas particulier où E est de dimension finie sera présenté en section Notion de norme Définition 1.1 (Norme). On appelle norme sur E toute application : E R + vérifiant : (N1) x E, λ K, λx = λ x (homogénéité positive) ; (N2) x E, ( x = 0 x = 0) (séparation) ; (N3) (x, y) E 2, x + y x + y (inégalité triangulaire). Remarque 1.2. Une application vérifiant l homogénéité et l inégalité triangulaire, mais pas la séparation est appelée semi-norme. Définition 1.3 (Espace vectoriel normé). On appelle espace vectoriel normé tout couple (E, ) où E est un espace vectoriel et une norme sur E. L énoncé suivant propose quelques exemples de normes dans le cas d un espace de dimension finie (R N ). Dans les chapitres suivants, nous travaillerons avec des fonctions définies sur R N, c est donc un exemple fondamental. 5

6 6 CHAPITRE 1. TOPOLOGIE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS Proposition 1.4 (Normes sur R N ). Notons x = (x 1,..., x N ) un élément de R N. Soient les applications : (a) 1 : R N R +, x x 1 = x i ; (b) 2 : R N R +, x x 2 = (c) : R N R +, x x = N x i 2 ; max x i.,...,n 1, 2, et sont des normes sur R N. Démonstration. Les propriétés d homogénéité et de séparation sont immédiates dans les trois cas. Pour la norme 1, l inégalité triangulaire s écrit pour tout couple (x, y) (K N ) 2 : x + y 1 = x i + y i ( x i + y i ) = x 1 + y 1. (1.1) De même, dans le cas de la norme, on a pour tout couple (x, y) (K N ) 2 : x + y = max x i + y i max ( x i + y i ),...,N,...,N max x i + max y i = x + y (1.2),...,N,...,N Dans le cas de la norme 2, commençons par montrer l inégalité de Cauchy-Schwarz. Lemme 1.5 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Pour tout couple (x, y) (R N ) 2, on a : x i y i x 2 y 2. (1.3) Il y a égalité si et seulement si les vecteurs x et y sont colinéaires. Démonstration. Si y = 0, alors l inégalité est évidemment vérifiée. Supposons y non nul. Pour tout t R, on a : 0 x + ty 2 2 = (x i + ty i ) 2 = x 2 i + 2t x i y i + t 2 N yi 2. (1.4) Ainsi, le terme de droite est un polynôme de degré 2 en t admettant au plus une racine réelle, et par conséquent son discriminant est négatif : ( N ) 2 ( N ) ( N ) 0 x i y i x 2 i yi 2, (1.5) d où l inégalité du lemme. En cas d égalité, le discriminant est nul, i.e. le polynôme admet une racine double, et par conséquent il existe t 0 R tel que x t 0 y 2 = 0, i.e. x = t 0 y. Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

7 1.1. NOTION DE NORME 7 En vertu de cette inégalité, on a dans le cas de la norme 2 pour tout couple (x, y) (R N ) 2 : ce qui termine la preuve. x + y 2 2 = (x i + y i ) 2 = x 2 i + 2 x i y i + yi 2 x x 2 y 2 + y 2 2 = ( x 2 + y 2 ) 2, (1.6) Remarque 1.6. La norme 2 sur K N ainsi définie est appelée norme euclidienne 1. Donnons maintenant quelques exemples de normes sur des espaces de matrices (donc toujours de dimension finie). Les preuves sont demandées à l exercice 1.1. Exemple 1.7 (Normes sur M n,p (K)). Soit E = M n,p (K) le K-espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K. E est un espace vectoriel de dimension np. On note A = (a ij ) 1 i n un élément de E et on pose : 1 j p n (a) 1 : E R +, A A 1 = max a ij ; 1 j p p (b) : E R +, A A = max 1 i n j=1 a ij. 1 et sont deux exemples de normes sur M n,p (K). 2 Donnons enfin quelques exemples de normes dans le cas d un espace de dimension infinie. On choisit ici l exemple d un espace fonctionnel, C([0, 1]; K), qui sera étudié plus en détail dans le cours Espaces préhilbertiens du semestre 4. Exemple 1.8 (Normes sur C([0, 1];K)). Soit E = C([0, 1];K) le K-espace vectoriel des fonctions définies et continues sur [0, 1] à valeurs dans K. E est un espace vectoriel de dimension infinie. On pose : (a) 1 : E R +, f f 1 = (b) 2 : E R +, f f 2 = f(x) dx ; 0 f(x) 2 dx ; (c) : E R +, f f = sup f(x). x [0,1] 1, 2, et sont trois exemples de normes sur C([0, 1];K). Proposition 1.9 (Inégalités triangulaires). Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Les deux énoncés suivants sont vérifiés : n n (i) (u 1,..., u n ) E n, u i u i ; (ii) (u, v) E 2, u v u v. 1. Voir le cours Espaces Préhilbertiens du semestre En L3 sera vue la notion plus précise de "norme matricielle". UE Maths II.2 - Calcul Différentiel 1 Ioane Muni Toke

8 8 CHAPITRE 1. TOPOLOGIE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS Démonstration. Le première propriété est la généralisation à n variables de l inégalité triangulaire de la définition 1.1. La preuve est laissée en exercice. La seconde propriété est parfois appelée seconde inégalité triangulaire et est souvent utile. D après l inégalité triangulaire de la définition 1.1, on a { u = u v + v u v + v v = v u + u u v + u (1.7) d où le résultat. Terminons cette section avec quelques propriétés souvent utilisées de manière implicite, qui justifient que fréquemment on utilise des normes sans justifier en détail de leur existence. Proposition 1.10 (Existence d une norme en dimension finie). Tout K-espace vectoriel E de dimension finie admet une norme. Démonstration. Soit n = dim E et (e 1,..., e n ) une base de E. Alors l application E n n définie pour tout élément x = α i e i de E par x E = α i est une norme sur E. La vérification est laissée en exercice. Proposition 1.11 (Norme d un sous-espace). Si (E, ) est un espace vectoriel normé et si F est un sous-espace vectoriel de E, alors (F, ) est un espace vectoriel normé. Démonstration. Immédiat. Proposition 1.12 (Norme d un espace produit). Si (E, E ) et (F, F ) sont deux espaces vectoriels normés, alors l application F G définie par F G : E F R +, (x, y) max ( x E, y F ) (1.8) est une norme sur l espace produit E F. Démonstration. La démonstration est demandée à l exercice Rudiments de topologie Parties ouvertes et fermées d un espace vectoriel normé Définition 1.13 (Boules et sphères). Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Soit x E et r R +. On appelle : (a) boule ouverte de centre x et de rayon r l ensemble B(x, r) = {y E : x y < r} ; (b) boule fermée de centre x et de rayon r l ensemble B(x, r) = {y E : x y r} ; (c) sphère de centre x et de rayon r l ensemble S(x, r) = {y E : x y = r}. Remarque La notion de boule dépend donc de la norme utilisée. Voir par exemple l exercice 1.3. La boule fermée de centre 0 E et de rayon 1 est appelée boule unité. Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

9 1.2. RUDIMENTS DE TOPOLOGIE 9 Les notions de normes et de boules permettent de définir les notions de parties ouvertes et fermées d un espace vectoriel normé, qui généralisent les notions d ouverts et fermés de R vues en première année. Définition 1.15 (Parties ouvertes et fermées d un espace vectoriel normé). Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Une partie U de E est dite ouverte dans E si x U, r > 0 : B(x, r) U. (1.9) Une partie F de E est dite fermée dans E si son complémentaire E\F = {x E : x / F} est une partie ouverte de E. Autrement dit, une partie U de E est ouverte si pour chacun de ses points x elle contient une boule de centre x. On pourra vérifier que les boules ouvertes sont des ouverts, et que les boules fermées, les sphères et les singletons sont des fermés. Voir l exercice 1.4. On vérifiera également que les parties et E sont à la fois ouvertes et fermées 3. Proposition Soit (E, ) un espace vectoriel normé. (i) Toute union quelconque d ouverts est ouverte. (ii) Toute intersection finie d ouverts est ouverte. (iii) Toutes intersection quelconque de fermés est fermée. (iv) Toute union finie de fermés est fermés. Démonstration. (i) Soit I un ensemble quelconque (non nécessairement dénombrable). Soit (U i ) i I une famille d ouverts de E, et soit U = U i leur union. Si U est vide, i I alors U = est un ouvert. Sinon, soit x U. Par définition de U il existe i 0 I tel que x U i0. De plus, U i0 est ouvert, donc il existe r > 0 tel que B(x, r) U i0. Finalement, B(x, r) U i0 U, et U est ouvert. (ii) Soit I un ensemble fini. Soit (U i ) i I une famille finie d ouverts de E, et soit U = i I U i leur intersection. Si U est vide, alors U = est un fermé. Sinon, soit x U. Pour tout i I, il existe r i > 0 tel que B(x, r i ) U i par définition d un ouvert. Posons r = min r i (r > 0 puisque I est fini). Alors pour tout i I, B(x, r ) B(x, r i ) i I U i, et par conséquent B(x, r ) U, et U est ouvert. (iii) Soit I un ensemble quelconque (non nécessairement dénombrable). Soit (F i ) i I une famille de fermés de E, et soit F = i I F i leur intersection. Par complémentarité, ( ) E \ F = E \ F i = (E \ F i ) (1.10) i I i I donc d après ce qui précède E \ F est ouvert et F est fermé. (iv) De même, soit I un ensemble fini. Soit (F i ) i I une famille finie de fermés de E, et 3. Dans notre cas d espace vectoriel, et E sont même les seules parties qui sont à la fois ouvertes et fermées. Mais attention aux extrapolations hâtives, ceci n est pas toujours vrai dans le cas d espaces plus généraux. Voir à ce sujet le cours de Topologie de L3. UE Maths II.2 - Calcul Différentiel 1 Ioane Muni Toke

10 10 CHAPITRE 1. TOPOLOGIE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS soit F = i I F i leur union. Par complémentarité, ( ) E \ F = E \ F i = (E \ F i ) (1.11) i I i I donc d après ce qui précède E \ F est ouvert et F est fermé. Remarque Ces propriétés sont essentielles et il est important de les "visualiser" dans R ou R 2. Voir à ce sujet l exercice 1.5. On termine cette section par la définition d une partie bornée d un esapce vectoriel normé. Définition 1.18 (Partie bornée d un espace vectoriel normé). Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Une partie A de E est dite bornée si il existe M R + tel que pour tout x A, x M. On vérifiera (exercice) que toute partie bornée d un espace vectoriel normé est incluse dans une boule ouverte Suites dans un espace vectoriel normé On définit maintenant la notion de convergence d une suite d éléments d un espace vectoriel normé. Définition 1.19 (Limite dans un espace vectoriel normé). Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Soit (x n ) n N une suite d éléments de E. Soit l E. On dit que la suite (x n ) n N admet la limite l dans E si ǫ > 0, N N : n N, x n l < ǫ. (1.12) Le premier enseignement de cette définition est que dans un espace vectoriel normé, la convergence dépend du choix de la norme. Voir à ce sujet l exercice 1.6. Le second enseignement de cette définition est que la convergence de la suite (x n ) n N vers l dans un espace vectoriel normé (E, ) équivaut à la convergence vers 0 de la suite réelle ( x n l ) n N. Dès lors, on peut transposer aux espaces vectoriels normés les propriétés des suites réelles vues en première année 4 : suites convergentes, divergentes, suites de Cauchy, valeurs d adhérences, sous-suites, etc. On a par exemple les définitions suivantes. Définition 1.20 (Suite de Cauchy dans un espace vectoriel normé). Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Une suite (x n ) n N d éléments de E est dite suite de Cauchy si ǫ > 0, N N, p, q N : x p x q < ǫ. (1.13) Définition 1.21 (Valeur d adhérence dans un espace vectoriel normé). Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Soit (x n ) n N une suite d éléments de E. On dit que a E est une valeur d adhérence de la suite (x n ) n N si ǫ > 0, N N, n N : x n a < ǫ. (1.14) Les propriétés des suites de Cauchy réelles sont conservées, et les démonstrations, commes les définitions, sont similaires. 4. Voir les cours d Analyse 2 et d Outils Mathématiques 2. Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

11 1.2. RUDIMENTS DE TOPOLOGIE 11 Proposition 1.22 (Suites de Cauchy dans un espace vectoriel normé). Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Soit (x n ) n N une suite d éléments de E. Soit a E. Les implications suivantes sont vérifiées : (a) Si (x n ) n N converge vers a, alors (x n ) n N est de Cauchy ; (b) Si (x n ) n N est de Cauchy, alors (x n ) n N est bornée. Démonstration. (a) Supposons que la suite (x n ) n N converge vers a. Soit ǫ > 0. Par définition de la convergence, il existe N N tel que n N, x n a < ǫ. Ainsi, par 2 inégalité triangulaire, pour tous p, q N, x p x q x p a + a x q < ǫ, donc la suite est de Cauchy. (b) Supposons que la suite (x n ) n N est de Cauchy. Alors il existe N N tel que pour tous p, q N, x p x q 1. Par conséquent, toujours par inégalité triangulaire, ( ) n N, x n max max x i, x N + 1 = x N + 1. (1.15),...,N Remarque On rappelle que les réciproques de ces implications sont fausses (rappeler les contre-exemples vus en L1). La réciproque de l implication (a) est vraie pour les suites réelles ou complexes et reste vraie pour les K-espaces vectoriels de dimension finie, comme nous le verrons la section 1.3. Proposition 1.24 (Caractérisation séquentielle d un fermé). Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Une partie F de E est fermée si et seulement si toute suite convergente (dans E... ) d éléments de F converge dans F (i.e. F est "stable par passage à la limite"). Démonstration. On propose deux raisonnements par l absurde pour montrer l équivalence. (= ) Supposons F fermé. Soit (x n ) n N une suite d éléments de F convergeant vers a E. Supposons que a / F. Alors a E \ F, qui est ouvert, donc il existe r > 0 tel que B(a, r) E \ F. Or, la convergence vers a implique qu il existe N N tel que n N, x n a < r, i.e. x n B(a, r) E \ F, en contradiction avec le fait que x n F. ( =) Supposons maintenant que toute suite convergente (dans E) d éléments de F converge dans F. Supposons que F ne soit pas fermé, i.e. que E \ F ne soit pas ouvert. Il existe alors x E \ F tel que pour tout r > 0, B(x, r) E \ F, i.e. que B(x, r) F est non vide. Pour tout n N, on peut donc choisir x n un élément de B(x, 1 ) F. Alors la n suite (x n ) n N est une suite d éléments de F converge vers x / F, en contradiction avec l hypothèse de départ Quelques définitions pour aller plus loin Dans cette section nous étendons quelque peu notre vocabulaire topologique. Nous introduisons les notions d intérieur et d adhérence, et allons jusqu à la notion de densité, qui sera importante dans les cours à venir (notamment les cours Espaces préhilbertiens et Outils Mathématiques 4). Les notions sont introduites sans être approfondies et les résultats donnés sans démonstration, voir pour cela le cours de Topologie de L3. Définition 1.25 (Intérieur). Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie de E. Un point a est dit intérieur à A si A contient une boule de centre a. L ensemble des points intérieurs à A est appelé intérieur de A et est noté Å. UE Maths II.2 - Calcul Différentiel 1 Ioane Muni Toke

12 12 CHAPITRE 1. TOPOLOGIE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS Proposition Soit A une partie d un espace vectoriel normé (E, ). 1. Å est le plus grand ouvert contenu dans A. 2. A est ouvert si et seulement si A = Å. Démonstration. Admis. Définition 1.27 (Adhérence). Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie de E Un point a est dit adhérent à A si il est limite (dans X... ) d une suite d éléments de A. L ensemble des points adhérents à A est appelé adhérence de A et est noté A. Proposition Soit A une partie d un espace vectoriel normé (E, ). 1. A est le plus petit fermé contenant A. 2. A est fermé si et seulement si A = A. Démonstration. Admis. Définition 1.29 (Partie dense). Soit (E, ) un espace vectoriel normé et A une partie de E. A est dite dense dans E si A = E, i.e. si tout élément de E est limite d une suite d éléments de A. En d autres termes, tout élément de E peut être approché aussi près que l on veut par un élément de A. 1.3 Cas de la dimension finie et de R N en particulier Lorsque l on travaille en dimension finie, on dispose de propriétés puissantes sur les normes. On peut en particulier montrer que dans un K-espace vectoriel normé de dimension finie, la notion de limite de la définition 1.19 ne dépend pas du choix de la norme. Dans ce cours nous admettrons ce résultat et nous nous contenterons de l énoncé suivant. Proposition 1.30 (Equivalence des normes usuelles). Pour tout (x, y) (K N ) 2, (a) x x 1 N x ; (b) x x 2 N x ; Démonstration. La preuve est démandée à l exercice 1.7. Ainsi, par théorèmes d encadrement, si x tend vers 0 au sens d une des normes usuelles, alors x tend également vers 0 au sens des autres normes. En conséquence, si une suite d éléments de R N converge pour la norme 2, elle converge aussi pour les normes 1 et. Cette notion de "norme équivalente" sera vue en détail en L3. On peut aussi montrer qu un espace vectoriel normé de dimension finie est complet, i.e. que toute suite de Cauchy d éléments de cet espace est convergente (dans cet espace). Nous admettrons ce résultat dans le cas général, mais nous allons le montrer dans le cas E = R N. Dans toute la suite, nous travaillons donc sur R N munie de la norme euclidienne 2. On rappelle qu en vertu de la remarque précédente, tous les résultats restent valables pour toute autre norme sur R N. On commence par remarquer que la convergence d une suite de R N équivaut à la convergence de toutes les suites de coordonnées, puis on utilise la convergence des suites de Cauchy dans R (voir les cours de L1) pour conclure. Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

13 1.4. EXERCICES 13 Lemme Soit (x n ) n N une suite d éléments de R N. On note x n,k la k-ième coordonnée de x n. La suite (x n ) n N converge vers a R N si et seulement si pour tout k = 1,..., N, la suite réelle (x n,k ) n N converge vers a k R. Démonstration. (= ) Supposons que la suite (x n ) n N converge vers a. Soit ǫ > 0. Il existe n 0 N tel que pour tout n n 0, x n a < ǫ. On a donc pour tout k {1,..., N}, pour tout n n 0 : x n,k a k N x n,k a k 2 = x n a 2 < ǫ, (1.16) k=1 ce qui montre bien que la suite réelle (x n,k ) n N converge vers a k R. ( =) Supposons maintenant que toutes les suites coordonnées (réelles) convergent. Soit ǫ > 0. Pour tout k {1,..., K}, il existe n k N tel que pour tout n n k, x n,k a k < ǫ N. Posons n = max n k. Alors n n : k {1,...,N} x n a 2 = N x n,k a k 2 < N ǫ 2 N k=1 ce qui prouve la convergence de la suite (x n ) n N vers a. k=1 = ǫ, (1.17) On montre le lemme suivant de la même manière. Lemme Soit (x i ) i N une suite d éléments de R N. On note x i,k la k-ième coordonnée de x i. La suite (x i ) i N est une suite de Cauchy si et seulement si pour tout k = 1,..., n, la suite réelle (x i,k ) i N est une suite de Cauchy. Démonstration. La démonstration est demandée à l exercice 1.8. On peut maintenant énoncer le résultat voulu. Théorème R N est un espace vectoriel normé complet, i.e. toute suite de Cauchy de R N est convergente. Démonstration. Soit (x n ) n N une suite de Cauchy de R N. D après le lemme 1.32, pour tout k {1,..., N}, (x n,k ) n N est une suite de Cauchy réelle, donc convergente (R est complet, cours de L1), donc par le lemme 1.31 (x n ) n N est une suite convergente. 1.4 Exercices Exercice 1.1 (Normes sur des espaces de matrices). Vérifier que les applications de l exemple 1.7 sont bien des normes. Exercice 1.2 (Norme d un espace produit). Démontrer la proposition Exercice 1.3 (Boules unité de R 2 ). Dessiner les boules unités de R 2 pour les normes 1, 2 et. Exercice 1.4 (Les boules ouvertes sont des ouverts). Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Soit a E et r > 0. Montrer que : (a) {a} est un fermé de E ; UE Maths II.2 - Calcul Différentiel 1 Ioane Muni Toke

14 14 CHAPITRE 1. TOPOLOGIE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS (b) {x E : x a < r} est un ouvert de E ; (c) {x E : x a r} est un fermé de E ; (d) {x E : x a = r} est un fermé de E. Exercice 1.5 (Ouverts, fermés, bornés de R N ). Pour chacune des parties d espaces vectoriels normés suivantes, préciser si elles sont ouvertes, fermées ou bornées : (a) [ 1, 1] dans R ; (b) ], 1] dans R ; (c) ], 1] [0, 1] dans R 2 ; (d) ] 1, 1[ dans C ; (e) [ 1, 1[ 2 [0, 1] dans R 3 ; (f) {(x, y) R 2 : x < y} dans R 2 ; (g) {(x, y) R 2 : x y} dans R 2. Exercice 1.6 (Convergence et choix de la norme). Pour tout n N, on pose f n : [0, 1] R, x x n. 1. La suite (f n ) n N converge-t-elle vers 0 (fonction identiquement nulle) dans l espace vectoriel normé (C([0, 1];R), )? 2. La suite (f n ) n N converge-t-elle vers 0 (fonction identiquement nulle) dans l espace vectoriel normé (C([0, 1];R), 2 )? Exercice 1.7 (Normes équivalentes). Soit N N. Montrer qu il existe des constantes α, β, γ et δ telles que pour tout x R N : (a) α x x 1 β x ; (b) γ x x 2 δ x ; Exercice 1.8 (Suites de Cauchy et suites coordonnées). Démontrer le lemme Exercice 1.9 (Une autre norme de R 2 ). Soit N : R 2 R + l application définie par 1. Vérifier que l application N est bien définie. 2. Montrer que N est une norme sur R 2. x + ty N(x, y) = sup t R 1 + t 2. (1.18) 3. (a) Montrer que pour t, x, y réels, x + ty 1 + t 2 x 2 + y 2. (b) Montrer que pour x, y réels, max( x + y, x y ) = x + y (c) En déduire que pour tout (x, y) R 2, x 2 + y 2. (x, y) 2 2 N(x, y) (x, y) 2. (1.19) (d) Cette inégalité est-elle optimale? 4. (a) Dans cette question on suppose x 0, y 0. Montrer que pour tout ϕ [0, π[, x cos ϕ + y sin ϕ x 2 + y 2 et que cette majoration est atteinte. Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

15 1.4. EXERCICES 15 (b) Montrer que pour tous x 0, y 0, N(x, y) = x 2 + x 2 + y 2 poser t = tan θ dans la borne supérieure). (c) En déduire que pour tout (x, y) R 2, N(x, y) = (Indication : ( ) x + x 2 + y 2. (1.20) (d) Déterminer la sphère unité de R 2 pour la norme N et retrouver le résultat de la question 3. UE Maths II.2 - Calcul Différentiel 1 Ioane Muni Toke

16 16 CHAPITRE 1. TOPOLOGIE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

17 Chapitre 2 Continuité de fonctions de R N dans R P On s intéresse désormais aux fonctions f : D R P, où le domaine de définition D est une partie de R N. Si N = 1, on parle de fonction de la variable réelle (celles étudiées en analyse jusqu à présent) et si N > 1 on parle de fonction de plusieurs variables (réelles), qui constituent la nouveauté de ce cours. Si P = 1, on parle de fonction scalaire 1, et si P > 1 on parle de fonction vectorielle. Dans toute la suite, et sauf mention contraire, N et P sont deux entiers naturels non nuls quelconques. 2.1 Limite de fonctions R N et R P sont deux espaces vectoriels normés de dimension finie. On rappelle que dans ce cas la notion de convergence dans un espace vectoriel normé du chapitre précédent (définition 1.19) ne dépend pas de la norme. On notera la norme utilisée dans les deux cas, et, sauf mention contraire, est une norme quelconque). On peut donc définir proprement la notion de limite d une fonction. Définition 2.1 (Limite d une fonction). Soient D R N et une fonction f : D R P. Soient x 0 R N et y 0 R P. On dit que f admet la limite y 0 en x 0, et on note lim x x 0 f(x) = y 0, si : ǫ > 0, δ > 0, x D \ {x 0 }, ( x x 0 < δ = f(x) y 0 < ǫ). (2.1) Bien noter que la notion de limite ne dépend pas de la manière dont x se rapproche de x 0. Remarque 2.2. La définition précédente s écrit immédiatement en termes de boules : ǫ > 0, δ > 0, x D B(x 0, δ) \ {x 0 }, f(x) B(y 0, ǫ). (2.2) Nous utiliserons fréquemment cette écriture par la suite, ou des écritures mixtes. Comme dans le cas des fonctions scalaires d une variable réelle, la notion de limite ainsi définie est linéaire, et on peut lui donner une caractérisation séquentielle (i.e. en termes de convergence de suites). C est l objet des deux propositions suivantes. 1. Certains ouvrages emploient parfois la terminologie de fonction numérique ou simplement réelle. 17

18 18 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ DE FONCTIONS DE R N DANS R P Proposition 2.3 (Linéarité de la limite). Soient D R N et deux fonctions f, g : D R P. Soient λ R et x 0 R N. Si f et g admettent une limite en x 0, alors la fonction λf + g admet une limite en x 0 et lim (λf + g)(x) = λ lim f(x) + lim g(x) (2.3) x x 0 x x 0 x x 0 Démonstration. Notons y 0 = lim f(x) et z 0 = lim g(x). Soit ǫ > 0. Il existe δ f et δ g tels x x 0 x x 0 que : x D B(x 0, δ f ) \ x 0, f(x) y 0 < ǫ 2 λ, (2.4) et x D B(x 0, δ g ) \ x 0, g(x) z 0 < ǫ 2. (2.5) Posons δ = min(δ f, δ g ). On a alors pour tout x D B(x 0, δ) \ x 0 : d où le résultat. (λf + g)(x) (λy 0 + z 0 ) = λ(f(x) y 0 ) + (g(x) z 0 ) λ f(x) y 0 + g(x) z 0 < ǫ, (2.6) Proposition 2.4 (Caractérisation séquentielle de la limite). Soient D R N et une fonction f : D R P. Soient x 0 R N et y 0 R P. f admet une limite y 0 en x 0 si et seulement si, pour toute suite (u n ) n N d éléments de D \ {x 0 } convergeant vers x 0, on a lim n f(u n) = y 0. Démonstration. (= ) Supposons que f admette la limite y 0 en x 0. Soit (u n ) n N une suite d éléments de D \ {x 0 } convergeant vers x 0. Soit ǫ > 0. Par définition de la limite de f, il existe δ > 0 tel que x D B(x 0, δ)\{x 0 }, f(x) y 0 < ǫ. Ce δ étant fixé, par définition de la convergence de (u n ) n N, il existe n 0 tel que n n 0, u n D B(x 0, δ)\{x 0 }. Ainsi, n n 0, f(u n ) y 0 < ǫ, i.e. lim n f(u n) = y 0. ( =) Montrons la réciproque par la contraposée. Supposons que f ne converge pas vers y 0 en x 0. Alors il existe ǫ > 0 tel que pour tout δ > 0, il existe u D B(x 0, δ)\{x 0 } tel que f(u) y 0 ǫ. En écrivant cette propriété pour δ = 1, on construit une suite n (u n ) n N convergeant vers x 0 (puisque n N, u n x 0 < 1 n ), telle que la suite (f(u n)) n N ne converge pas vers y 0 : n N, f(u n ) y 0 ǫ. 2.2 Fonctions continues Définition 2.5 (Fonction continue). Soient D R N et une fonction f : D R P. Soit x 0 D. On dit que f est continue en x 0 si lim f(x) = f(x 0 ). On dit que f est continue x x 0 sur D si elle est continue en tout point de D. Cette définition de la continuité par la limite se décline de manière équivalente en une définition "avec les ǫ δ". Proposition 2.6 (Caractérisation "ǫ δ" de la continuité). Soient D R N et une fonction f : D R P. Soit x 0 D. f est continue en x 0 si et seulement si ǫ > 0, δ > 0, x D \ {x 0 }, ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ǫ). (2.7) Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

19 2.2. FONCTIONS CONTINUES 19 Démonstration. En combinant les définitions 2.1 et 2.5. Remarque 2.7. On vérifiera (exercice) que la norme : R N R P est une fonction continue. Remarque 2.8. Bien voir également que, comme à la remarque 2.2, la caractérisation précédente s écrit immédiatement en termes de boules. Nous proposons maintenant deux nouvelles caractérisations de la continuité, par les suites puis par les ouverts, qui sont des généralisations des caractérisations vues en L1 pour les fonctions réelles d une variable réelle. Proposition 2.9 (Caractérisation séquentielle de la continuité). Soient D R N et une fonction f : D R P. Soit x 0 D. f est continue en x 0 si et seulement si, pour toute suite (u n ) n N d éléments de D \ {x 0 } convergeant vers x 0, on a lim n f(u n) = f(x 0 ). Démonstration. En combinant la définition 2.5 et la proposition 2.4. Proposition 2.10 (Caractérisation de la continuité par les ouverts). Soient D R N et une fonction f : D R P. f est continue sur D si et seulement si pour tout ouvert V R P, il existe un ouvert U R N tel que l image réciproque 2 de V vérifie f 1 (V ) = U D. Démonstration. (= ) On suppose que f est continue sur D. Soit V R P un ouvert. Soit x 0 f 1 (V ) D. Alors f(x 0 ) V ouvert, donc il existe ǫ > 0 tel que B(f(x 0 ), ǫ) V. Maintenant, par continuité de f en x 0, il existe δ x0 > 0 tel que x D B(x 0, δ x0 ) \ {x 0 }, f(x) f(x 0 ) < ǫ, i.e. f(x) B(f(x 0, ǫ) V. Par conséquent, D B(x 0, δ x0 ) \ {x 0 } f 1 (V ). Posons alors U = B(x, δ x ). U est un ouvert (unions d ouverts, voir la x f 1 (V ) proposition 1.16), et f 1 (V ) = U D (vérifier la double inclusion). ( =) Réciproquement, supposons que pour tout ouvert V R P, il existe un ouvert U R N tel que f 1 (V ) = U D. Soit x 0 D. Soit ǫ > 0. B(f(x 0 ), ǫ) est un ouvert de R P, donc par hypothèse il existe un ouvert U R N tel que f 1 (B(f(x 0 ), ǫ)) = U D. U est ouvert et x 0 U (le vérifier), donc il existe δ > 0 tel que B(x 0, δ) U. Alors, pour tout x D B(x 0, δ) U D, f(x) B(f(x 0 ), ǫ), ce qui montre que f est continue en x 0. x 0 étant quelconque dans D, f est bien continue sur D. Corollaire 2.11 (Images réciproques de fonctions continues sur R N entier). Soit une fonction f : R N R P. Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) f est continue sur R N ; (ii) l image réciproque par f de tout ouvert de R P est un ouvert de R N ; (iii) l image réciproque par f de tout fermé de R P est un fermé de R N. Démonstration. (i) (ii) est une conséquence immédiate de la proposition 2.10 avec D = R N. L énoncé (iii) vient immédiatement en remarquant que pour toute partie V de R P, f 1 (R P \ V ) = R N \ f 1 (V ). 2. On rappelle la définition de l image réciproque d un ensemble V R P par une fonction f : D R N R P : f 1 (V ) = {x D R N : f(x) V }. (2.8) UE Maths II.2 - Calcul Différentiel 1 Ioane Muni Toke

20 20 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ DE FONCTIONS DE R N DANS R P On fait maintenant le lien entre la continuité d une fonction vectorielle et celle de ses fonctions coordonnées. Ce lien n est pas une surprise, étant donnée la correspondance établie au chapitre précédent entre la convergence d une suite de R P et celle de ses suites coordonnées. Proposition 2.12 (Continuité et coordonnées d une fonction vectorielle). Soient D R N et une fonction f = (f 1,..., f P ) : D R P. Soit x 0 D. f est continue en x 0 si et seulement si pour tout i {1,..., P} f i : D R est continue en x 0. Démonstration. Cette proposition est une conséquence directe de la proposition 2.9 et du lemme 1.31 : pour toute suite (u n ) n N d éléments de D \ {x 0 } R N, la convergence de la suite (f(u n )) n N d éléments de R P équivaut à celle des P suites réelles (f i (u n )) n N, i {1,..., P}. On donne maintenant les résultats très souvent utiles de continuité des sommes, produits et compositions de fonctions. Pour la continuité d une somme ou d une composition, les énoncés sont usuels. Pour le produit, bien noter que nous n avons pas défini de produit d éléments de R P. Il s agit donc de la continuité du produit d une fonction scalaire et d une fonction éventuellement vectorielle. Proposition 2.13 (Continuité d une somme de fonctions). Soient D R N et deux fonctions f, g : D R P. Soient λ R et x 0 D. Si f et g sont continues en x 0, alors la fonction λf + g est continue en x 0. Démonstration. Ce résultat découle de la linéarité de la limite énoncée à la proposition 2.3. Remarque Une conséquence directe de cette proposition 2.13 est que l ensemble C(D;R P ) des fonctions définies et continues sur D R N et à valeurs dans R P est un R-espace vectoriel. Proposition 2.15 (Continuité du produit par une fonction scalaire). Soient D R N. Soient une fonction scalaire f : D R et une fonction g : D R P. Soit x 0 D. Si f et g sont continues en x 0, alors la fonction fg est continue en x 0. Démonstration. On a pour tout x D : (fg)(x) (fg)(x 0 ) (2.9) = (f(x) f(x 0 ))(g(x) g(x 0 )) + f(x 0 )(g(x) g(x 0 )) + g(x 0 )(f(x) f(x 0 )) f(x) f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) + f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) + f(x) f(x 0 ) g(x 0 ). Soit ǫ > 0. Il existe δ f > 0 tel que x D B(x 0, δ f ) \ {x 0 }, f(x) f(x 0 ) < ǫ, et δ g > 0 tel que x D B(x 0, δ g )\{x 0 }, g(x) g(x 0 ) < ǫ. Posons δ = min(δ f, δ g ). Il vient pour tout x B(x 0, δ) \ {x 0 } : (fg)(x) (fg)(x 0 ) < ǫ(ǫ + f(x 0 ) + g(x 0 ) ). (2.10) Proposition 2.16 (Continuité d une composition de fonctions). Soient D f R N et D g R P. Soient une fonction g : D g R Q et une fonction f : D f R P telle que f(d f ) D g. Soit enfin x 0 D f R N. Si f est continue en x 0 et si g est continue en f(x 0 ), alors la fonction g f est continue en x 0. Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

21 2.3. FONCTIONS CONTINUES SUR LES FERMÉS BORNÉS DE R N 21 Démonstration. Soit (u n ) n N une suite d éléments de D f \ {x 0 } convergeant vers x 0. Par continuité de f, la suite (f(u n )) n N est une suite d éléments de D g convergeant vers f(x 0 ). Par continuité de g, la suite (g(f(u n ))) n N est une suite d éléments de R P convergeant vers g(f(x 0 )). Terminons cette section en généralisant la définition connue de fonction lipschitzienne. Définition 2.17 (Fonction lipschitzienne). Une fonction f : D R P est dite k- lipschitzienne 3 si il existe une constante k telle que (x, y) D, f(x) f(y) k x y. (2.11) Exemple On vérifiera (exercice) que sur R N toute norme est une application 1- lipschitzienne. Proposition 2.19 (Continuité d une fonction lipschitzienne). Soit une fonction f : D R N R P. Si f est lipschitzienne, alors f est continue sur D. Démonstration. Immédiat. 2.3 Fonctions continues sur les fermés bornés de R N Dans cette section, on généralise les propriétés de L1 énonçant que les fonctions réelles continues sur un segment (intervalle fermé borné) de R sont uniformément continues, bornées et atteignent leurs bornes. On généralise d abord la propriété de Bolzano-Weierstrass dans R N. On donne ensuite une caractérisation des fermés bornés 4 de R N utilisée pour démontrer les résultats énoncés à sa suite. Proposition 2.20 (Propriété de Bolzano-Weierstrass). Toute suite bornée de R N admet une suite extraite convergente. Démonstration. Il s agit d utiliser successivement, sur les différentes coordonnées de la suite, la propriété de Bolzano-Weierstrass pour les suites réelles 5. Soit (x n ) n N une suite d éléments de R N. On suppose la suite bornée : il existe M > 0 tel que n N, x n M. Alors la suite (x n,1 ) n N formée de la première coordonnée de chacun des termes est une suite bornée de R, puisque, en utilisant par exemple la norme euclidienne 6, on a pour tout n N, x n,1 x n M. Par la propriété de Bolzano-Weiestrass surr, il existe une suite extraite (x ϕ1 (n),1) n N convergente dansr. De même, de la suite bornée (x ϕ1 (n),2) n N formée des deuxièmes coordonnées des termes de la suite (x ϕ1 (n)) n N, on extrait une suite extraite convergente (x ϕ2 (n),2) n N. Noter que la suite (x ϕ2 (n),1) n N est convergente, puisqu elle est extraite d une suite convergente. De proche en proche, on obtient une suite extraite (x ϕn (n)) n N telle que pour tout i = 1,..., N, la suite (x ϕn (n),i) n N est convergente. Le lemme 1.31 entraîne que la suite extraite (x ϕn (n)) n N est convergente. 3. ou encore lipschitzienne de rapport k. Si la constante n est pas précisée, on parle simplement de fonction lipschitzienne. 4. Les parties fermées et bornées de R N sont les compacts de R N. La propriété 2.21 peut en fait être prise pour définition d une partie compacte dans un espace métrique. Voir le cours de Topologie de L3. 5. Savez-vous la redémontrer? 6. mais on rappelle que toute autre norme de R N convient. UE Maths II.2 - Calcul Différentiel 1 Ioane Muni Toke

22 22 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ DE FONCTIONS DE R N DANS R P Proposition 2.21 (Caractérisation des fermés borné de R N ). Une partie A R N est fermée et bornée si et seulement si toute suite d éléments de A admet une suite extraite convergente dans A. Démonstration. (= ) Supposons A fermée et bornée. Soit (x n ) n N une suite d éléments de A. (x n ) n N est bornée (A l est), donc par la proposition 2.20, il existe une suite extraite (x ϕ(n) ) n N convergeante (dans R N ). De plus A est fermée, donc par la proposition 1.24, la suite (x ϕ(n) ) n N converge dans A. ( =) Réciproquement, supposons que toute suite d éléments de A admet une suite extraite convergente dans A. Soit (x n ) n N une suite d éléments de A convergente dans R N. Par hypothèse il existe une suite extraite (x ϕ(n) ) n N convergente vers l A. Mais (x n ) n N étant convergente, l A est aussi sa limite, et par conséquent A est fermée (proposition 1.24). Montrons par l absurde que A est également bornée. Si A n est pas bornée, alors pour tout n N, il existe x n A tel que x n n. Toute suite extraite de la suite d éléments de A ainsi construite est donc non bornée, et donc ne peut pas converger dans R N, ce qui contredit l hypothèse de départ. Théorème 2.22 (Image d un fermé borné de R N par une fonction continue). Soit A une partie fermée et bornée de R N. Si une fonction f : A R P est continue, alors f(a) est une partie fermée et bornée de R P. Démonstration. Soit (y n ) n N une suite quelconque d éléments de f(a) R P. La suite des antécédents (x n ) n N = (f 1 (y n )) n N est une suite d éléments de A, partie fermée bornée de R N, donc par la proposition 2.21, elle admet une suite extraite (x ϕ(n) ) n N convergeant dans A. Soit l ϕ sa limite. La suite image (f(x ϕ(n) )) n N = (y ϕ(n) ) n N est donc une suite extraite de la suite de départ, et par continuité de f, lim y n ϕ(n) = lim f(x n ϕ(n)) = f(l ϕ ) f(a). Par la proposition 2.21, f(a) est une partie fermée bornée de R P. Corollaire 2.23 (Théorème des bornes (de Weierstrass)). Soit A une partie fermée et bornée de R N. Si une fonction scalaire f : A R est continue, alors f est bornée et atteint ses bornes. Démonstration. Par le théorème 2.22, f(a) est une partie fermée et bornée de R. En conséquence, les bornes inférieures et supérieures de f(a) sont finies et éléments de f(a), ce qui est bien le résultat cherché. Ainsi, on retrouve la notion d uniforme continuité vue en L1 pour les fonctions réelles. Définition 2.24 (Uniforme continuité). Soient D R N et une fonction f : D R P. f est dite uniformément continue sur D si ǫ > 0, δ > 0, (x, y) D 2, ( x y < δ = f(x) f(y) < ǫ) (2.12) Théorème 2.25 (Théorème de Heine). Soit A une partie fermée et bornée de R N. Si une fonction f : A R P est continue, alors f est uniformément continue. Démonstration. Supposons que f n est pas uniformément continue sur A. Alors il existe ǫ > 0, tel que pour tout δ > 0, il existe x et y dans A tels que x y < δ et f(x) f(y) ǫ. En écrivant cette propriété pour δ = 1 n, on construit deux suites (x n) n N et (y n ) n N Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

23 2.4. QUELQUES MOTS SUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES 23 d éléments de A, partie fermée bornée. Il existe donc, par la proposition 2.21, une suite extraite (x ϕ(n) ) n N convergeant vers x A. Puis, de la suite (y ϕ(n) ) n N on peut extraire une suite (y ψ(n) ) n N convergeant vers y A. Noter qu évidemment (x ψ(n) ) n N converge aussi vers x A. Deux points sont maintenant importants. D abord, les deux suites extraites convergent vers la même limite : x y x x ψ(n) + x ψ(n) y ψ(n) + y ψ(n) y n 0, (2.13) i.e. x = y et par conséquent f(x ) = f(y ). Ensuite, par continuité de f, il existe n x tel que pour tout n n x, f(x ψ(n) ) f(x ) < ǫ 2 et n y tel que pour tout n n y, f(y ψ(n) ) f(y ) < ǫ 2. On en conclut, que pour n max(n x, n y ), f(x ψ(n) ) f(y ψ(n) ) f(x ψ(n) ) f(x ) + f(y ) f(y ψ(n) ) < ǫ, (2.14) en contradiction avec le principe de construction des suites (x n ) n N et (y n ) n N. Remarque Bien noter la différence entre la définition 2.24 et la caractérisation 2.6 de la continuité. On vérifiera en exercice les implications f lipschitzienne = f uniformément continue = f continue Quelques mots sur les applications linéaires On précise pour terminer ce chapitre quelques propriétés des applications linéaires de R N dans R P en terme de continuité, de lipschitzianité. On définit, sans entrer dans les détails, la notion de norme d une application linéaire, que l on utilisera pour simplifier certains énoncés des chapitres suivants. Proposition 2.27 (Continuité d une application linéaire). Toute application linéaire de R N dans R P est continue sur R N. Démonstration. Etant donnée la proposition précédente 2.12, il suffit de montrer la continuité de toute forme linéaire u : R N R. Par linéarité de u, il existe des scalaires (α j ) j {1,...,N}, u(x) = α j x j. Soit x R N. On a, avec la norme infinie par exemple 8, j=1 pour tout ǫ > 0, pour tout y R N, tel que x y < d où le résultat. ǫ Nj=1 α j : u(x) u(y) = u(x y) = α j (x j y j ) j=1 α j x j y j α j x y < ǫ, (2.15) j=1 j=1 Remarque De façon plus générale, toute application linéaire sur un R-espace vectoriel normé de dimension finie est continue. Voir le cours de Topologie de L3. 7. Connaissez-vous des contre-exemples classiques sur R montrant que les réciproques sont fausses? 8. mais on rappelle que toute norme de R N convient. UE Maths II.2 - Calcul Différentiel 1 Ioane Muni Toke

24 24 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ DE FONCTIONS DE R N DANS R P Définition 2.29 (Norme d une application linéaire). Soit u : R N R P une application linéaire. On appelle norme (triple) de u, et on note u, le réel positif u = max u(x). (2.16) x R N x 1 Remarque Cette définition est bien posée puisqu on montre aisément l existence (et l unicité, c est une borne supérieure... ) de u. En effet, la fonction x R N u(x) est continue, comme composition (proposition 2.16) des fonctions continues u (proposition 2.27) et (remarque 2.7). De plus, la boule unité de R N est une partie fermée et bornée de R{ N. Par le théorème } des bornes (corollaire 2.23), x R N u(x) est donc bornée sur x R N : x 1 (et cette borne est atteinte). Proposition 2.31 (Caractère lipschitzien d une application linéaire). Toute application linéaire u de R N dans R P est lipschitzienne de rapport u. Démonstration. Par linéarité, montrer la lipschitzianité d une application linéaire u : R N R P revient à montrer l existence d une constante k telle que x R N, u(x) k x. Si x = 0, cette inégalité est évidemment vérifiée. Dans le cas général x 0, posons y = x. Alors u(x) = x u(y), et, puisque y = 1, il vient par la définition 2.29, x u(x) = x u(y) u x. 2.5 Exercices Exercice 2.1 (Limites de fonctions scalaires à deux variables). Etudier la continuité des fonctions scalaires à deux variables suivantes : ln(x + y) (a) f(x, y) = x 2 + y ; 2 (b) g(x, y) = ( x + y ) ln(x 2 + y 4 ) ; (c) h(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 ; (d) k(x, y) = sin(xy) x 2 + y 2 ; (e) l(x, y) = xy x2 y 2 x 2 + y 2. Exercice 2.2 (Une fonction bornée). Soit la fonction scalaire à deux variables f : R 2 R définie par f(x, y) = (x 2 y 3 )e (x2 +y 2). 1. Montrer que f est continue sur R Montrer que f tend vers 0 quand (x, y) tend vers En déduire que f est bornée sur R 2, et que ses bornes sont atteintes. Exercice 2.3 (Prolongement par continuité). Soit = {(x, y) R 2 : x = y} la droite d équation x = y. Soit f : D f = R 2 \ R la fonction définie par : f(x, y) = sin x sin y x y (2.17) Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

25 2.5. EXERCICES 25 Déterminer une fonction f : R 2 R qui soit égale à f en tout point de D f et continue sur R 2. Exercice 2.4 (Continuité du produit scalaire). Soit D R N. Soient deux fonctions f, g : D R P. On suppose que f et g sont continues sur D. Soit l application ϕ : D D R, (x, y) ϕ(x, y) = f(x), g(y) (2.18) où, est le produit scalaire canonique de R P. Montrer que ϕ est continue sur D D. UE Maths II.2 - Calcul Différentiel 1 Ioane Muni Toke

26 26 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ DE FONCTIONS DE R N DANS R P Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

27 Chapitre 3 Différentiabilité de fonctions de R N dans R P Ce chapitre généralise la notion de dérivée d une fonction scalaire de la variable réelle aux fonctions de R N dans R P. La notion de dérivée étant locale, on travaillera avec des fonctions définies sur un ouvert U R N. Ainsi, lorsqu on étudie la fonction au point a U, on sait que la fonction est bien définie autour de a, puisqu il existe une boule ouverte de centre a et de rayon δ > 0 incluse dans U. Autrement dit, si a U, on peut toujours écrire f(a + h) pour un vecteur h R N vérifiant h < δ. Pour décrire cette situation, on écrira dans ce chapitre "pour h voisin de 0". 3.1 Dérivées partielles Dans cette section, on commence par définir la notion de dérivée partielle dans le cas P = 1, i.e. on s intéresse dans un premier temps au cas de fonctions scalaires de plusieurs variables. Rappelons à toutes fins utiles la définition de la dérivée d une fonction scalaire d une variable réelle. Définition 3.1 (Dérivée d une fonction scalaire). Soit f : U R R une fonction scalaire d une variable réelle. Soit a U. On dit que f est dérivable en a si la limite f(a + h) f(a) lim h 0 h (3.1) existe et est finie. Cette limite est appelée dérivée de f en a et est notée f (a) ou f x (a). Dans le cas d une fonction scalaire à plusieurs variables f : U R N R, on dit que f est dérivable en a = (a 1,..., a N ) R N par rapport à sa i-ème variable si la fonction scalaire d une variable réelle x f(a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a N ) est dérivable en a i R. 27

28 28 CHAPITRE 3. DIFFÉRENTIABILITÉ DE FONCTIONS DE R N DANS R P Définition 3.2 (Dérivée partielle, fonction scalaire). Soit f : U R N R une fonction scalaire de plusieurs variables. Soit a = (a 1,..., a N ) U. On appelle dérivée partielle de f en a par rapport à la i-ème variable 1 la quantité, si elle existe, 1 lim h 0 h (f(a 1,..., a i 1, a i + h, a i+1,..., a N ) f(a 1,..., a N )). (3.2) Cette limite est notée f x i (a). On peut maintenant généraliser cette écriture dans le cas général d une fonction vectorielle f : U R N R P. Définition 3.3 (Dérivée partielle, cas général). Soit une fonction f = (f 1,..., f P ) : U R N R P. Soit a = (a 1,..., a N ) U. On appelle dérivée partielle de f en a par rapport à la i-ème variable le vecteur de R P, si il existe, ( 1 lim h 0 h (f(a f1 1,..., a i 1, a i + h, a i+1,..., a N ) f(a 1,..., a N )) = (a),..., f ) P (a). x i x i Cette limite est notée f x i (a). (3.3) Remarque 3.4. Noter que si {e 1,..., e N } est la base canonique de R N, on a l écriture pour une fonction f = (f 1,..., f P ) : U R N R P : f 1 (a) = lim x i h 0 h (f(a + he i) f(a)). (3.4) Autrement dit, la dérivée partielle selon x i est la dérivée de f "suivant la direction e i ". On en déduit une définition générale de dérivée partielle suivant un vecteur quelconque. Définition 3.5 (Dérivée partielle suivant un vecteur). Soit une fonction f : U R N R P. Soit a U. Soit v R N. On appelle dérivée partielle de f en a suivant v la quantité, si elle existe, 1 lim (f(a + hv) f(a)). (3.5) h 0 h 3.2 Différentielle Venons-en à la notion fondamentale du chapitre. Définition 3.6 (Différentielle). Soit une fonction f : U R N R P. Soit a U. Soit v R. On dit que f est différentiable en a si il existe une application linéaire L : R N R P telle que pour h R N voisin de 0 : f(a + h) = f(a) + L(h) + h ǫ(h), (3.6) où ǫ : R N R P est une fonction vérifiant ǫ(h) 0 quand h 0. L application linéaire L est appelée différentielle de f en a. On la notera D a f. Remarque 3.7. L équation (3.6) s écrit de façon plus concise avec les notation dites de Landau : f(a + h) = f(a) + L(h) + o( h ). (3.7) 1. ou encore dérivée partielle de f selon x i. Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

29 3.2. DIFFÉRENTIELLE 29 Remarque 3.8. On note que cette définition est bien posée en vérifiant que la différentielle D a f, si elle existe, est unique. Supposons que deux applications linéaires L 1 et L 2 conviennent. Par différence, on a L 1 (h) L 2 (h) = o( h ), d où en particulier, pour tout vecteur v R N \ {0}, 0 = lim t 0 L 1 (tv) L 2 (tv) tv = L 1(v) L 2 (v). (3.8) v Le terme de droite ne dépendant pas de t, on a nécessairement L 1 (v) = L 2 (v), d où le résultat. La définition suivante est naturelle. Définition 3.9 (Différentiabilité sur un ouvert). f : U R N R est dite différentiable sur U si elle est différentiable en tout point de U. Cette notion de différentiabilité est bien une généralisation de la notion de dérivée, comme on le vérifie dans la proposition suivante. Proposition 3.10 (Différentielle et dérivée d une fonction scalaire). Soit f : U R R une fonction scalaire d une variable réelle. Soit a U. f est différentiable en a si et seulement si f est dérivable en a, et alors D a f : R R, h D f (h) = f (a) h. (3.9) Démonstration. Par définition de la dérivée d une fonction scalaire (définition 3.1), f(a + h) = f(a) + f (a)h + o(h). (3.10) h f (a)h étant linéaire, on conclut par identification avec la définition 3.6. Donnons dès à présent les propriétés élémentaires de manipulation des différentielles, pour la plupart généralisations de propriétés connues pour les dérivées de fonctions scalaires. Proposition 3.11 (Différentiabilité et continuité). Soit une fonction f : U R N R P. Soit a U. Si f est différentiable en a, alors f est continue en a. Démonstration. Par différentiabilité de f en a, on a, pour x voisin de a, f(x) = f(a) + D a f(x a)+o( x a ), et D a f est continue en 0 (c est une application linéaire, proposition 2.27). Par conséquent lim x a f(x) = f(a). Proposition 3.12 (Différentielle d une fonction constante). Si une fonction f : U R N R P est constante, alors f est différentiable en tout point a U et sa différentielle est l application nulle. Démonstration. Soit a U. Si f est constante, alors f(a+h) = f(a)+0+0 et l application nulle étant linéaire, on identifie avec l équation (3.6). Proposition 3.13 (Différentielle d une application linéaire). Si une fonction f : U R N R P est une application linéaire, alors f est différentiable en tout point a U et sa différentielle est D a f = f. Démonstration. Soit a U. Si f est linéaire, f(a+h) = f(a) +f(h) +0 et, f étant linéaire, on identifie avec l équation (3.6). UE Maths II.2 - Calcul Différentiel 1 Ioane Muni Toke