Dépôt légal : 2013 Achevé d imprimer en 2013 (Paris)

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2 F. Maisonneuve, Mathématiques 1. Calcul différentiel, équations différentielles ordinaires et applications. Cours et exercices, Paris : Presses des MINES, Collection Les cours, ISBN : Presses des MINES - TRANSVALOR, , boulevard Saint-Michel Paris Cedex 06 - France presses@mines-paristech.fr Dépôt légal : 2013 Achevé d imprimer en 2013 (Paris) Tous droits de reproduction, de traduction, d adaptation et d exécution réservés pour tous les pays.

3 Mathématiques 1

4 COLLECTION Les Cours Dans la même collection J. Adnot, D. Marchio, Ph. Rivière Cycles de vie des systèmes énergétiques Brigitte d'andréa-novel, Benoît Fabre, Pierre Jouvelot Acoustique-Informatique-MusiquE Jean-Claude Moisdon, Michel Nakhla Recherche opérationnelle Anne-Françoise Gourgues-Lorenzen, Jean-Marc Haudin, Jacques Besson Matériaux pour l'ingénieur Renaud Gicquel Systèmes énergétiques Tome 3 Renaud Gicquel Systèmes énergétiques Tome 2 Renaud Gicquel Systèmes énergétiques Tome 1 Thierry Weil Stratégie d'entreprise François Cauneau Mécanique des fluides Pierre Chauvet Aide-mémoire de géostatistique linéaire Dominique Marchio, Paul Reboux Introduction aux transferts thermiques François Engel, Frédéric Kletz Cours de comptabilité générale Jacques Bouchard, Jean-Paul Deffain, Alain Gouchet Introduction au génie atomique Daniel Fargue Abrégé de thermodynamique : principes et applications Georges Pierron Introduction au traitement de l'énergie électrique Bernard Degrange Introduction à la physique quantique Michel Cohen de Lara, Brigitte d'andréa-novel Cours d'automatique Fixari Daniel Les Imperfections des marchés Jacques Lévy Introduction à la métallurgie générale Hugues Molet Comment maîtriser sa productivité industrielle? Margaret Armstrong, Jacques Carignan Géostatistique linéaire François Engel, Frédéric Kletz Cours de comptabilité analytique

5 Francis Maisonneuve Mathématiques 1 Calcul différentiel, équations différentielles ordinaires et applications Cours et exercices

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7 CALCUL DIFFÉRENTIEL

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9 Sommaire Préface Remerciements Introduction v vii ix 1 Applications différentiables Différentielle d une application Théorèmes des fonctions implicites et d inversion Applications géométriques Conditions nécessaires d extremum Conditions suffisantes dans le cas convexe Exercices corrigés Exercices Calcul des variations Position du problème Cadre mathématique Etude du problème standard Cas convexe Principe de moindre action de Hamilton Problèmes de type isopérimétrique Exercices corrigés Exercices Équations différentielles ordinaires Généralités sur les systèmes différentiels

10 ii SOMMAIRE 3.2 Etude du problème de Cauchy Compléments Approximation des solutions Stabilité et régularité des solutions Exercices corrigés Exercices Quelques exemples classiques Equations numériques du premier ordre A Généralités B Equations linéaires ou s y ramenant C Equations à variables séparables ou s y ramenant D La transformation de Legendre Equations numériques d ordre n A Cas d intégration à vue B Cas où f ne dépend pas explicitement de y ou de x C Cas où l équation est homogène de degré 1 en y D Division de l inconnue par une fonction ad hoc Equations linéaires d ordre n à coefficients constants Exercices corrigés Intégrales premières et edpql Notion d intégrale première Structure des intégrales premières Extension et complément Edp quasi-linéaires du premier ordre Problème de Cauchy et caractéristiques Interprétation temporelle Exercices corrigés Exercices A Compléments d algèbre 137 A.1 Opérations sur les ensembles et applications A.2 Espaces vectoriels et applications linéaires A.3 Exercices

11 SOMMAIRE iii B Espaces métriques, espaces vectoriels normés 149 B.1 Généralités B.2 Suites dans un espace métrique et compacité B.3 Applications continues et convergences B.4 Applications continues, compacité et complétude B.5 Applications linéaires continues B.6 Sous-ensembles connexes par arcs B.7 Exercices corrigés B.8 Exercices Indications bibliographiques 191 Index alphabétique 193

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13 Préface Être titulaire pendant près de quinze ans des quatre chaires d enseignement du tronc commun de mathématiques du cycle ingénieurs civils de l Ecole des Mines de Paris est une gageure que peu auraient accepté de relever. Bénéficier, dans l exercice de ce travail, du respect et du soutien constant de ses élèves, qui, s ils n ont pas tous pu, su ou voulu apprécier la richesse du problème de Cauchy, ont toujours en revanche loué la rigueur scientifique et la qualité pédagogique des cours et supports de cours de mathématiques, bénéficier de ce soutien et de ce respect donc est certainement ce qui restera quand viendra le temps de saluer ce grand professeur qu est Francis Maisonneuve. Je sais que ces ouvrages resteront longtemps une référence, et espère que les promotions futures et autres lecteurs sauront apprécier la finesse et la qualité de ce qui leur est proposé ici. Je souhaite à tous les établissements d enseignement de disposer de tels cours. Nicolas Cheimanoff Directeur de l Enseignement MINES ParisTech

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15 Remerciements Je tiens à exprimer ma reconnaissance aux jeunes et moins jeunes mathématiciens professionnels et ingénieurs de recherche qui m ont fait l honneur d animer une ou plusieurs années les séances d exercices illustrant les élements de cours, et qui m ont suggéré à cette occasion de multiples améliorations touchant au fond comme à la forme. Je tiens aussi à remercier les nombreux étudiants «utilisateurs» qui, par la qualité de leurs questions, la rigueur de leurs critiques ou la logique apparente de certaines interprétations parfois fort éloignées de celles escomptées, ont contribué à faire évoluer la rédaction des documents vers plus de clarté. De manière plus générale, je voudrais souligner la qualité des relations intellectuelles et humaines qui prévaut à tout niveau dans l établissement où j ai le plaisir d exercer mon métier d enseignant mathématicien depuis de nombreuses années, et où s expriment des talents très divers. Que tous en soient remerciés! Francis Maisonneuve

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17 Introduction La raison d être du calcul différentiel est la nécessité de s extraire du tout linéaire, bien souvent trop schématique pour décrire la réalité. On y parvient en considérant la classe beaucoup plus riche des fonctions différentiables, c està-dire qui admettent en chaque point une approximation linéaire (affine) au premier ordre ; on cherche alors à étendre dans ce cadre les théorèmes de l algèbre linéaire, en particulier la résolution des systèmes d équations pour obtenir comme pièce maîtresse le théorème des fonctions implicites. Tel est le sujet d étude du chapitre 1 de ce cours, où on donne aussi des indications sur les problèmes d optimisation. Le chapitre 2 traite du calcul des variations qui en constitue une application remarquable, de grande utilité en physique. On y précise en particulier l important cas convexe dans le contexte des problèmes standard et de type isopérimétrique. Les équations différentielles et aux dérivées partielles apparaissent dans la plupart des domaines de la science et de la technique (mathématiques, physique, chimie, biologie, ingénierie, économie,... ). Elles permettent de traduire les lois régissant les variations d une grandeur en fonction du temps, de l espace,..., et se présentent donc couramment comme l expression achevée de la modélisation d un phénomène. Sur le plan mathématique, il s agit d un sujet riche et difficile ; en l absence de méthodes générales de résolution analytique, même pour de simples équations différentielles linéaires, l étude se développe dans diverses directions : détermination de conditions supplémentaires sur les solutions, permettant de garantir leur existence et leur unicité (localement ou globalement), ainsi que leur stabilité dans le cadre d hypothèses de régularité à préciser ; élaboration de certaines méthodes opératoires de résolution (quelques

18 x INTRODUCTION méthodes analytiques spécifiques, transformation de Fourier et décompositions spectrales pour les équations aux dérivées partielles linéaires) ; définition de méthodes numériques de résolution approchée (fondées sur une discrétisation complète ou partielle du domaine), justifiées sur le plan théorique et essentielles pour l ingénieur, mais dont la validité numérique (estimation de l erreur commise) reste souvent difficile. L objectif modeste du chapitre 3 sur les équations différentielles concerne essentiellement le premier thème, des indications sommaires concernant le troisième thème étant obtenues au passage. On donne au chapitre 4 quelques méthodes de résolution d équations différentielles classiques. Enfin le chapitre 5 introduit la notion d intégrale première d un champ de vecteurs et l utilise pour l étude d une famille d équations aux dérivées partielles du premier ordre.

19 Chapitre 1 Applications différentiables Ce chapitre commence par rappeler la définition habituelle de la différentielle d une application et un énoncé précis du théorème des fonctions implicites. L étude des hypersurfaces de R n en constitue une application directe. On précise ensuite des conditions nécessaires et / ou suffisantes d extremum pour une fonction numérique différentiable ; les résultats obtenus, utiles en tant que tels dans de nombreuses circonstances en physique mathématique et en mécanique (multiplicateurs de Lagrange), seront systématiquement mis en œuvre dans le cadre du Calcul des Variations au chapitre Différentielle d une application Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur le corps R (en abrégé evn) et soit f : E! F une application définie sur un ouvert de E. Définition On dit que f est différentiable en a 2 (notation f 1(a)) s il existe une application L 2L(E,F) (linéaire et continue) telle que l on ait f(a + h) f(a) L(h) lim =0. h!0 khk h6=0 Ceci équivaut au fait de pouvoir écrire, pour h 2 E assez voisin de 0 f(a + h) =f(a)+l(h)+khk "(h) avec lim h!0 "(h) =0. autrement dit f(x) =f(a)+l(x a)+o(x a) (o notation de Landau).

20 2 chapitre 1. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES On rappelle : f différentiable en a ) f continue en a (car L continue) et L unique : L est notée df a et est appelée application linéaire tangente à f en a ou (valeur de la) différentielle de f en a. Elle est déterminée par la formule : f(a + th) 8 h 2 E, df a (h) = lim t!0 t t2r f(a) = D h f(a) 2 F, dérivée de f en a selon le vecteur h (remplacer h par th dans la définition). L application affine tangente à f en a est x 7! f(a)+df a (x a). On rappelle que l existence des dérivées directionnelles D h f(a) pour tout vecteur h 2 E ne suffit pas à assurer la différentiabilité de f en a. Remarques La définition ci-dessus fait intervenir les normes de E et F, mais il est clair qu elle n est pas affectée si on remplace ces normes par des normes équivalentes. On rappelle que si E est de dimension finie, toutes les normes de E sont équivalentes et toute application linéaire de E dans F est continue. Cette définition s étend au cas où E et F sont des espaces affines normés, avec L = df a 2 L( E, ~ F ~ ), où E ~ et F ~ désignent les espaces vectoriels associés à E et F. Dans le cas particulier où E = R, ona8 h 2 E,L(h) =hl(1), doncon déduit immédiatement de la définition : f différentiable en a, f dérivable en a, avec f(a + t) df a (1) = lim t!0 t t2r f(a) = f 0 (a) 2 F et 8 h 2 R, df a (h) =hdf a (1) = hf 0 (a) ; ces relations conduisent à identifier df a 2L(R,F) à f 0 (a) 2 F. Définition On dit que f est différentiable sur (notation f 1( )) si on a f 1(a) pour tout a 2.