Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1)

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1 Clcul différentiel et intégrl (M-.) Cdre : dns l suite on considère une fonction numérique f définie sur un intervlle I et un réel I I. Dérivée d'une fonction Définition du nomre dérivé : l fonction f est dérivle en s'il existe une nomre réel A et une fonction ε (epsilon) tels que pour tout réel h tel que +h I : f ( +h )= f ( )+Ah+h ε (h ) vec lim ε (h )= h Le nomre A est ppelé nomre dérivé de l fonction f en et noté A= f ' ( ) Exemple : soit f ( x )= x3 et = f (+h )= f ( )+ h+h ε (h) vec ε ( h)= Pour h très proche de l quntité h ε (h) est négligele fce à l'pproximtion ffine... Nottion différentielle : On considère une fonction t f (t ) dérivle en. On note Δ t =h les écrts de l vrile (souvent temporelle) Δ f = f (+Δ t ) f ( ) les écrts des imges Alors Δ f =A Δt+Δt ε (Δ t ) insi si Δt, Δ f Δt = A+ε(Δt) d f Lorsque Δt peut-être considéré comme infiniment proche de, on note : d t =A= f ' ( t ) Reltion mnipulée en sciences physique vec l nottion différentielle : d f = f ' (t ) dt Théorème du tux d ccroissement : l fonction f est dérivle en si et seulement s'il existe un nomre réel A tel que: f (+h) f ( ) lim = A h h Propriété de l tngente : si l fonction f est dérivle en lors l coure représenttive de l fonction f dmet une tngente u point d'scisse ynt pour éqution : y= f ' ( ) ( x )+ f ( ) Exemple : pour f ( x )= x3, l tngente u point d scisse pour éqution :... Définition d'une fonction dérivle sur un intervlle : une fonction f est dérivle sur un intervlle I si et seulement si pour tout réel I elle est dérivle en. Exemples : les fonctions polynomiles sont dérivles sur R Les frctions rtionnelles sont dérivles sur les intervlles constitunt leur ensemle de définition. II. Intégrles Définition d'une primitive : soient f une fonction définie sur l'intervlle I et F une fonction dérivle sur l'intervlle I. L fonction F est une primitive de l fonction f si et seulement si pour tout réel t I, F ' (t)= f (t ) Exemples : Soit f (t )=t +3t+ lors une primitive de f est définie pr F (t )= Une utre primitive de l fonction f peut-être définie pr G (t )= Remrque : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constnte. Syntxe Xcs : int(t^+3t+,t) Définition d'une intégrle : soient f une fonction continue sur un intervlle I, et deux réels I et I, lors l'intégrle de l fonction f du nomre u nomre est le nomre noté est une primitive de l fonction f. f (t ) dt =F ( ) F ( ) où l fonction F /7 BTS CRSA UF3.

2 Remrques : l intégrle insi définie ne dépend ps du choix d'une primitive de l fonction f. On note prfois f (t ) dt = [ F (t)] Sur TI :,,, Sur Csio :,,, Syntxe Xcs : int(x^,x,,) Propriété de l'ire sous l coure : soient f une fonction continue sur un intervlle I, deux réels I et I. Le pln est muni d'un repère orthonormé (O ; i ; j). Si < et t [ ; ], f (t ) lors f (t ) dt est l'ire de l surfce définie pr les points M (x ; y ) tels que { x y f ( x ) Remrque : si l fonction f est négtive, l'intégrle est l'opposée de l'ire "u dessus" de l coure. III. Propriétés de l'intégrle Propriété de l primitive s'nnulnt en : soit f une fonction continue sur un intervlle I et un réel I. x Alors l fonction définie sur I pr x f (t ) dt est l'unique primitive de l fonction f sur I s'nnulnt en. Idée de l démo. : soit F une primitive de f, lors G (x )=F ( x ) f ( ) est une primitive de f et G ( )=F () F ( )= Reltion de Chsles pour les intégrles : soit f une fonction continue sur un intervlle I et trois réel I, I et c I. c Alors : f (t ) dt = c f (t ) dt+ f (t ) dt En prticulier on : f (t ) dt= f (t ) dt Linérité de l'intégrle : Soit k R, deux fonctions f et g continues sur un intervlle I et deux réels I et I. k f (t ) dt=k Exemples : f (t ) dt (homogénéité) f (t )+g (t ) dt= sin t dt= x+ dx=... x f (t)dt+ Cs prticulier de l'ire entre deux coures : si < et si x [ ; ], g (x ) f ( x ) lors f ( x ) g (x ) dx représente l'ire de l surfce définie pr les points M ( x ; y ) tels que { x g (x ) y f ( x ) Exemple : x x d x = g (t ) dt (dditivité) Intégrtion pr prties : Soient f et g deux fonctions dérivles un intervlle I et deux réels I et I. Idée de l démonstrtion : ( f (t ) g (t ))'= Exemples : te t dt = f (t ) g' (t ) dt = [ f (t) g(t)] f ' (t ) g (t)dt /7 BTS CRSA UF3.

3 IV. Intégrles et ordre Positivité de l'intégrle : soit f une fonction continue sur un intervlle I,et deux réels I, I tels que si t [ ; ], f (t ) lors f (t ) dt Intégrtion d'une inéglité : soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I, et deux réels I, I tels que si t [ ; ], f (t ) g (t ) lors f (t ) dt g (t)dt Intégrle et vleur solue : soient f une fonction continue sur un intervlle I, et deux réels I, I tels que lors : f (t ) dt f (t ) dt Exemple : soit f (t )=t, = et =3 Le nomre f (t ) dt est ppelé vleur moyenne de l fonction f sur l'intervlle [ ; ]. Exemple : sin (t ) dt= cos (t ) dt =... Remrque : l tension efficce est l rcine crrée de l vleur moyenne du crré de l tension d'où, en cournt sinusoïdl, l reltion : U eff = U mx Inéglité de l moyenne : soient f une fonction continue sur un intervlle I, et qutre réels m, M, I, I tels que < si t [ ; ], m f (t ) M lors m ( ) f ( t )dt M ( ) c'est-à-dire : m f (t ) dt M Conséquence : s'il existe un réel k tel que t [ ; ], f (t ) k lors f ( t ) dt k ( ) Exemple : cos (t ) dt 3/7 BTS CRSA UF3.

4 Inéglité des ccroissements finis (IAF) : soient f une fonction dérivle sur un intervlle I, et deux réels I, I tels que : si t [ ; ], f ' (t ) k lors f ( ) f ( ) k ( ) Exemples d'ppliction : on peut démontrer que 3 3 en utilisnt l fonction f (t )= t sur l'intervlle [;3]... Ou encore pour tout réel >, cos ( ) cr... V. Développements limités u voisinge de Définition mthémtique du mot «négligele» : soit un réel et deux fonctions f et g définies u voisinge du f (t ) nomre. Alors f est négligele devnt g u voisinge du nomre si et seulement si lim t g (t ) = Remrque : on peut ussi noter de fçon équivlente : * il existe une fonction ε définie u voisinge du nomre telle que f (t )=g (t ) ε( t ) vec lim ε (t )= t * ou ien f (t)= o t (g (t )) (nottion de Lndu) * ou encore f (t) g(t) (nottion de Hrdy) t Une échelle de comprisons u voisinge de : les monômes. t t t 3 t 4... t t t t On peut retenir : "u voisinge de, les plus petites puissnces l'emportent" Approximtion ffine de l fonction exponentielle u voisinge de : Il existe une fonction ε définie sur R telle que : pour tout réel h, e h =+h+h ε (h) vec lim ε (h)= h de plus h [ ; ], ε ( h) e h Démo : exp est dérivle en donc... Soit f (t )=e t (+t ), on pplique l'iaf pour h> sur l'intervlle [ ; h ]... puis pour h< sur l'intervlle [h ; ].. Approximtion polynomile de degré de l fonction exponentielle u voisinge de : Il existe une fonction ε définie sur R telle que : pour tout réel h, e h =+h+ h +h ε ( h) vec lim ε (h)= h Démonstrtion : nlogue à l précédente vec f (t )=e ( t +t + t )... On démontre insi que : h [ ; ], ε ( h) e h 6 Approximtion polynomile de degré 3 de l fonction exponentielle u voisinge de : Il existe une fonction ε définie sur R telle que : pour tout réel h, e h =+h+ h + h3 6 +h3 ε (h) vec lim ε (h)= h Démonstrtion : nlogue à l précédente vec f (t )=e ( t +t + t 3 + t 3 6 )... On démontre insi que : h [ ; ] ε ( h) e h 4 4/7 BTS CRSA UF3.

5 Développement limité d'ordre n de l fonction exponentielle u voisinge de : Soit n N, il existe une fonction ε définie sur R telle que pour tout réel t, e t =+t + t tn + + n! +tn ε ( t ) vec lim ε (t )= t On rppelle que : n!= 3 n L prtie polynomile est ppelée prtie régulière du développement limité. L'ordre du développement limité est l'exposnt de l puissnce de t multipliée pr ε (t ). Pour simplifier les nottion on rège DL n pour développement limité à l'ordre n Développements limités à connître : ln (+t )=t t + t 3 3 +( )n t n n +tn ε ( t ) vec lim t ε (t )= +t = t+t +( ) n t n +t n ε (t ) vec lim ε (t )= t Remrque : ce DL n peut s'otenir en intégrnt celui de ln (+t ) (+t ) α =+αt+ α ( α ) lim ε (t )= t t α (α ) ( α n+) + + t n +t n ε (t ) vec n! cos (t )= t! + t 4 4! + +( ) p t p ( p)! +t p ε (t ) vec lim t ε (t )= Remrque : l fonction cosinus étnt pire seules les puissnces d'exposnts pirs pprissent. sin (t )=t t 3 3! + t 5 t p+ 5! + +( )p ( p+)! +t p+ ε (t ) vec lim t Remrque : ce DL n peut s'otenir en intégrnt celui de cos. ε (t )= Remrques : dns chque cs on utilise une fonction notée ε, pour représenter l prtie négligele lorsque le réel t est proche de. Cependnt, en toute rigueur, les fonctions ε utilisées précédemment ne sont ps égles. Opértions sur les développements limités en : Somme de deux développements limités en : soient f et g deux fonctions dmettnt des DL n en : f (t )=P (t )+t n ε (t ) et g (t )=Q (t )+t n ε(t) Alors l fonction f +g dmet un DL n en : ( f +g ) (t )= P (t )+Q (t )+t n ε (t) Exemple : e x +cos (x )= 5/7 BTS CRSA UF3.

6 Multipliction d'un développement limité en pr un réel : soient λ R et f une fonction dmettnt un DL n en : f (t )=P (t )+t n ε (t ) Alors l fonction λ f dmet un DL n en : λ f (t )=λ P (t )+t n ε (t ) Exemples : ( e ) x = e x cos (x)= Produit de deux développements limités en : soient f et g deux fonctions dmettnt des DL n en : f (t )=P (t )+t n ε (t ) et g (t )=Q (t )+t n ε(t) Soient R et S deux polynômes tels que pour tout t R, P (t ) Q ( t )=R (t )+t n+ (S (t )) Alors l fonction f g dmet un DL n en : ( f g ) (t )=R (t )+t n ε (t ) Remrque : le polynôme R est le produit P Q tronqué à l'ordre n Exemples : t +t = e t ( +t ) = Composition de deux développements limités en : soient f et g deux fonctions dmettnt des DL n en : f (t )=P (t )+t n ε (t ) et g (t )=Q (t )+t n ε(t) vec g ()= Soient R et S deux polynômes tels que pour tout t R, P (Q (t ))= R(t )+t n+ (S (t )) Alors l fonction f g dmet un DL n en : f ( g (t ))=R( t )+t n ε (t ) Remrque : cs prticulier f ( λt)=p (λt)+t n ε (t ) Exemple : cos ( t )= e sin (t ) = Attention, si l condition g ()= n'est ps vérifiée, on peut prfois contourner le prolème lgériquement. Exemples : e +t =e t+t +t ε( t) =e e t +t +t ε ( t) = ln ( +t ) =ln ( t+t +t ε(t ))=ln (+( t+t +t ε (t )))= Inverse d'un développement limité en : soit f une fonction dmettnt un DL n en : f (t )= + t + t + + n t n +t n ε(t) vec lors l fonction dmet un DL f n en otenu grâce u DL n en de l fonction x + x composition des DL n en. En effet : Exemple : cos (t ) = Syntxe Xcs : tylor(/cos(x),x=,4) f (t ) = +( t + t + n t n +t n ε (t )) = et l règle de Intégrtion d'un développement limité en : soit f une fonction continue dns un voisinge de et dmettnt un DL n en : f (t )= + t + t + + n t n +t n ε( t ) t Alors toute primitive F de f dmet un DL n+ en : F (t )= F ( )+ t+ + t n+ n n+ +t n+ ε (t ) Exemple : Soit f (t )=cos (t ) lors F (t )= Dérivtion d'un développement limité en : soit f une fonction dérivle dns un voisinge de, dmettnt un DL n en : f (t )= + t + t + + n t n +t n ε( t ) si de plus f ' dmet un DL n en lors : f ' (t )= + t+ +n n t n +t n ε (t ) Remrque : f dmet un DL n en est en générl insuffisnt pour ssurer que f ' dmet un DL n en 6/7 BTS CRSA UF3.

7 VI. Exemples de coures plnes prmétrées. Définition d'une coure plne prmétrée : Soient un intervlle I et deux fonctions notées f et g définies sur l intervlle I. x= f (t ) Le pln étnt muni d'un repère (O ; i ; j), l coure ynt pour représenttion prmétrique { où t I est y=g (t ) l'ensemle des points M ( f (t ) ; g (t)) où t décrit l'intervlle I. Remrques : en générl on écrit x (t ) et y (t ) puisque l'scisse et l'ordonnée du point M dépendent de l vrile t. En cinémtique, si t représente le temps et M (x (t ); y ( t )) un point moile u cours du temps (noté prfois M (t ) ), l coure prmétrée représente l trjectoire décrite pr le point M pendnt le lps de temps I. Le vecteur OM ( x (t) est ppelé vecteur position. y (t )) On peut considérer l fonction définie sur un intervlle I de R et à vleur dns R pr : t ( x (t ) y (t )) x (t )=cos (t ) Exemples : l coure prmétrée pr { où t [ : ] est le cercle de centre O et de ryon. y (t )=sin (t ) x (t )=t sin (t ) L coure prmétrée pr { y (t )= cos (t ) x (t )=cos (t )sin (3t ) L coure prmétrée pr { y ( t )=sin (t ) sin (3t ) où t [ ; 4 ] est une cycloïde où t [ ; ] est un trifolium 3 ) et M () L coure psse qutre fois pr le point O : M ( ), M ( 3 ), M ( Syntxe GeoGer : Coure[cos(t)sin(3t),sin(t)sin(3t),t,,pi] Sur TI :,,,,, Sur Csio :,,,,, Définition du vecteur dérivé : Soient un intervlle I et deux fonctions notées x et y dérivles sur l intervlle I. Soit t I, le vecteur v ( x' (t ) y' (t )) est ppelé vecteur dérivé de l fonction t ( x (t ) y (t )) en t. Remrque : en cinémtique, le vecteur v est ppelé vecteur vitesse u temps t. Si le vecteur v est non nul lors le point M (t ) est dit régulier. Si v = lors lors le point M (t ) est dit singulier. Propriété de l tngente en un point régulier : Soient C l coure prmétrée pr l fonction t ( x (t ) y (t )) pour t I telle que les fonctions x et y soient dérivles. Si le vecteur v est non nul lors l tngente à l coure l coure C u point M est dirigée pr le vecteur v. sur l'intervlle I, un réel t I, le point M ( x (t ) ; y (t )) de l coure C et le vecteur dérivé v ( x' (t ) y' (t )) Exemple : pour le trifolium, l tngente u point M ( ) dmet pour vecteur directeur... Remrque : si les fonctions x et y dmettent des DL en : x (t )= + t+tε (t ) et y ( t )= + t +tε (t ) tels que et ne soient ps tous les deux nuls, lors le point M ( ) pour coordonnées ( ; ) et l tngente à l coure C u point M est dirigée pr le vecteur v ( ). Exemple : pour le trifolium, u point M ( )... 7/7 BTS CRSA UF3.

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