Correction Brevet des Collèges Amérique du Sud - Novembre 2012

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1 Correction Brevet des Collèges Amérique du Sud - Novembre 2012 Activités numériques Exercice 1 : QCM 1/ Développons l expression donnée : Rappel: identités remarquables et leurs formes ² 2 ² : é 2 é 3 ² 2 ²: é 2 é 3 : é é ² ² Réponse 3 2/ Factorisons l expression donnée : 16² 49 Ici, il faut d abord OBSERVER et se poser les bonnes questions. Question 1 : Y-a-t-il un facteur commun? Non, il faut donc reconnaître une identité remarquable Question 2 : Quelle identité remarquable? Il y a deux termes carrés séparés par le signe " " Il s agit donc de la troisième identité remarquable : ² ² (on élimine ici la réponse 1) Donc 16² 49 Enfin, 16² 4 16². On a donc ² Réponse 2 Truc: Au brouillon, il faut vérifier le résultat en développant l expression trouvée. Si on trouve 16² 49, alors c est OK 3/ Valeur exacte de la racine carrée donnée : On a Réponse 3 Trucs : Simplifier des racines carrées Etape 1 : Connaître les 10 premiers carrés parfaits : 0² 0, 1² 1, 4, 9, 16, 25, 36, 7² 49, 64, 81,10² 100 Etape 2 : Parmi tous les diviseurs du nombre situé sous la racine, prendre LE PLUS GRAND CARRE PARFAIT Ici, les diviseurs de 48 sont, 2, 3,, 6, 8, 12,, 24 et 48. Dans cette liste, le plus grand carré parfait est 16. Etape 3 : On exprime le nombre sous la racine comme un produit entre le plus grand carré parfait et le nombre nécessaire. Ici, Etape 4 : On sépare les racines grâce aux propriétés des racines carrées : et Etape 5 : On simplifie 4/ A quelle famille de fonctions la fonction 5 4 appartient-elle? On a : , qui est de la forme avec 4 et 5. Il s agit donc d une fonction affine Réponse 2 Rappels : Une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine et dont la forme est Une fonction affine est une droite qui ne passe pas par l origine et dont la forme est Une fonction qui n est ni affine ni linéaire n a ni la forme ni la forme

2 5/ Réécrivons le nombre donné : , ,57 10 Ici, la réponse proposée est 6, , elle n est donc pas valable. On constate aussi que Réponse 2 Rappels : Ecriture scientifique Un nombre est écrit sous forme scientifique s il ressemble à la forme suivante : 10. Avec un nombre compris entre 10 et 10 et un entier relatif (c'est-à-dire positif ou négatif, sans virgule). Certains mathématiciens considèrent que l écriture scientifique s écrit sous la forme suivante : 10. Avec un nombre entier (sans virgule) et un nombre entier relatif (c'est-à-dire positif ou négatif, sans virgule). Mais je ne suis pas de cet avis! Exercice 2 : Probabilités Rappel : Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 1/ Nombre de boules rouges dans l urne : On appelle l événement «tirer une boule rouge» et le nombre de boules rouges dans l urne. Le responsable annonce qu il y a 50% de chances de tirer une boule rouge. On a donc,. Le nombre total de boules dans l une est la somme des boules rouges, vertes et blanches : La probabilité de tomber sur une boule rouge est donc de chances sur 6 5. Donc D une part 0,5 et d autre part En multipliant à gauche et à droite par 11, on obtient :. Il faut donc résoudre l équation 0,5.. 0,5 5,5 0,5 5,5 0,5 5,5 5,5 11 0,5 0,5 11 Conseil : Vérifier le résultat. Ici, s il y a 11 boules rouges, il y a boules dans l urne. Donc, ,5 OK Il y a donc 11 boules rouges d ans l urne. 2/ Probabilité de tomber sur un multiple de 3 : On appelle l événement «tomber sur une Multiple de Trois». On constate que la roue est séparée en huit secteurs identiques, numérotés de 1 à 8. Parmi ces huit secteurs, seuls deux sont des multiples de 3 : 3 6. On a donc 2 chances sur 8 de tomber sur un multiple de 3. Donc, La probabilité de tomber sur un multiple de est donc de,. NB : Pour se simplifier le travail, il est possible d appeler un événement comme on veut. Peu importe s il est composé d une, deux ou trois lettres. L idée est de prendre un nom facile à retenir pour soi.

3 3/ Probabilité de gagner le gros lot : Pour gagner le gros lot, il faut d abord tirer une boule rouge 1/2 puis tomber sur un multiple de trois est : 1/4. Puisque ce sont deux événements qui se suivent, on peut faire un arbre : Gagner le gros lot équivaut à l évènement (en rouge dans l arbre). R Donc, Exercice 3 : PGCD 1/ Les nombres 555 et 240 sont-ils premiers entre eux? Les tableaux ci-dessous proposent de calculer le de 555 et 240 par deux algorithmes différents : l algorithme d Euclide et l algorithme des différences. Je donne directement la réponse à la question posée : ;. On en déduit que les nombres et ne sont pas premiers entre eux. Rappel: PGCD Colonnes 1 et 2: Grand Nombre et Petit Nombre. Pour obtenir les colonnes 3 et 4, mieux vaut utiliser la calculatrice. Autres lignes : le Petit Nombre devient le Grand Nombre, le Reste devient le Petit Nombre Algorithme d Euclide : Dividende : Grand Nombre Diviseur : Petit Nombre Quotient Reste Rappel: Calculatrice Texas Instruments : Touche division euclidienne. Entrer « ». Vous avez «Q=2» et «R=75» (le résultat peut être sous une autre forme) Rappel: Calculatrice CASIO : Touche division euclidienne (ou ) Entrer « » (ou « »). Vous obtenez «Q=2» et «R=75». D autres calculatrices donnent le résultat sous une autre forme: Il faut donc s entraîner avec la vôtre Rappel : Probabilités d un «chemin» La probabilité de chaque «chemin» est le produit de chaque branche Rappel : Deux nombres premiers entre eux ont un PGCD égal à 1 PGCD (555;240) = 15) Algorithme des différences : Grand Nombre Petit Nombre Différence Le PGCD est le dernier nombre avant «0» dans la colonne de droite (ici, Rappel: PGCD Première ligne: A gauche on met le plus grand nombre (ici, 555). Au milieu on met le petit nombre (ici, 240). A droite, on met la différence des deux premières colonnes. Lignes suivantes : A gauche, parmi les deux colonnes de droite de la ligne précédente (240 et 315) on met le plus grand nombre (315). Au milieu, parmi les deux colonnes de droite de la ligne précédente on met le plus petit nombre (240). A droite, on calcule la différence. Et ainsi de suite Les calculatrices ont souvent une fonction PGCD qui permet de trouver le PGCD directement. Il ne faut pas l utiliser en examen car le correcteur veut être certain que vous savez calculer le PGCD.

4 Truc : Il y avait un autre moyen plus rapide pour répondre à cette question. En effet, deux nombres sont premiers entre eux s ils ont au moins un diviseur commun (autre que 1). Ici, 555 et 240 sont tous deux des multiples de 5. On en déduit que 555 et 240 ne sont pas premiers entre eux. Cependant, la question 2/ nécessite le calcul du de 555 et 240. Il fallait le calculer de toute façon. 2/ Simplifions la fraction donnée : Divisons le numérateur (240) et le dénominateur (555) par le de 240 et 555. On obtient alors : / / Activités géométriques Exercice 1 : Rappel : Pour obtenir simplifier au maximum une fraction, il suffit de diviser le numératuer ET le dénominateur par leur. Cette fraction est dite irréductible, car on ne peut plus la simplifier. Méthode : La forme du terrain peut paraître bizarre au début. Il faut penser à le décomposer en plusieurs parties bien connues. Ici, un rectangle et un triangle rectangle. 1/ Déterminons le nombre de sacs de gazon que Pierre doit acheter : Un sac de gazon est nécessaire pour couvrir 35m². Pour trouver le nombre de sacs à acheter, il faut d abord calculer la surface du terrain de Pierre. Le terrain de Pierre peut se décomposer en deux parties : le quadrilatère et le triangle Calculons l aire du quadrilatère : Le quadrilatère présente 4 angles droits, c est un rectangle. Par définition,. Ici, ² Trouvons enfin l aire du triangle : Par définition, Or, puisque ce triangle est rectangle en D, alors sa base mesure et sa hauteur mesure 40. On en déduit que ² Attention: Le triangle a l air rectangle en D. Mais avant d utiliser la formule, il faut prouver que le triangle est bien rectangle Calculons l aire du triangle : en D donc que 90 Démontrons que le triangle est rectangle en : Les points, et sont alignés, donc l angle est plat ( 180 ). De plus, 90. Enfin, les angles et sont supplémentaires. On a donc : On en déduit que triangle est rectangle en D. Attention: Informations manquantes : Il manque quelques informations faciles à trouver : - E, D et C sont alignés, donc - est un rectangle, donc L aire du terrain de Pierre est donc de ²

5 Répondons enfin à la question posée : Enfin, On sait qu un sac peut couvrir 35m². Afin de savoir combien de sacs Pierre doit acheter, il convient de réaliser le tableau ci-dessous : Nombre de sacs Surface couverte (m²) Informations données 1 35 Informations cherchées 1400 En réalisant un produit en croix, on trouve 40. Pierre doit donc acheter 40 sacs de gazon pour couvrir son terrain. 2/ Sachons si Pierre a assez de grillage pour clôturer son terrain : Le périmètre du terrain de Pierre est égal à : éè. On connaît déjà 20, 50 et 40. Il nous manque. On sait que triangle est rectangle en D. Or, d après le théorème de Pythagore, on a : ²=² ² = 40² 30² = = 2500 = 50. Donc éè = = = 150. On en déduit que Pierre ne possède pas assez de grillage pour clôturer son terrain. Il devra en racheter. Exercice 2 : Distance entre l île et chaque bateau A priori, il est difficile de trouver les longueurs et, car on n a pas beaucoup d informations. Néanmoins, il fallait voir que le triangle avait l air rectangle. Bien sûr, il fallait le démontrer : Dans le triangle, on sait que = 55 et que = 35. Or, dans un triangle, la somme des angles vaut 180. Donc = 180 = 180 = = 90. On en déduit que le triangle est rectangle en. Désormais, tout devient plus facile. Dans un triangle rectangle, si on connait la mesure des angles, il est pratique d utiliser la trigonométrie. Dans le triangle, rectangle en, on a : sin =, donc = sin = sin , au mètre près. cos =, donc = cos = cos , au mètre près. Rappel : Pythagore Il est interdit d utiliser le théorème de Pythagore si on ne dit pas que le triangle est rectangle Rappel : Trigonométrie Il est interdit d utiliser la trigonométrie si on ne dit pas que le triangle est rectangle Rappel : CAH SOH TOA Cosinus = Adjacent / Hypoténuse Sinus = Opposé / Hypoténuse Tangente = Opposé / Adjacent On en déduit que le bateau A se situe à 655 mètres de l île tandis que le bateau B est à 459 mètres de l île Il ne faut pas avoir peur de la trigonométrie La trigonométrie (étude des angles) a été créée pour simplifier les calculs. Certes, les nombres sont parfois «moches», mais il est très rapide d obtenir les résultats voulus. En effet, en 2 lignes, j ai résolu l exercice2

6 Exercice 3 : Trouvons la longueur MN Dans la figure proposée, on sait que (EF)//(MN) et que les points F, P et M d une part et que les points E, P et N d autre part sont alignés et dans cet ordre. Or, d après le théorème de Thalès, on a : (ou les trois égalités suivantes :, et ) On cherche et on connait, et, on a donc intérêt à utiliser la deuxième équation: Donc, en remplaçant, on a : D où, On en déduit que, Problème : Le lancer de poids Partie I : Le cercle de lancer 1/ Trouvons l aire du disque : On sait que le disque a un diamètre de 2,14. Son rayon est donc de, 1,07. Rappel : Thalès Il est interdit d utiliser le théorème de Thalès si on ne dit pas que les droites sont parallèles L aire du disque est donnée par la relation : ² 1,07² 3,596, ² L aire du disque est donc d environ, ².. Rappel : Ici, on utilise le «produit en croix» Attention: La figure du sujet était donnée SANS unité. La réponse à fournir n a donc pas d unité! Utilisation formule: La formule qui permet de trouver l aire d un disque fait intervenir le rayon du disque. Il fallait donc le trouver! Unités: Ici, aucun arrondi n est demandé. Dans ce cas, je recommande d arrondir 2 chiffres après la virgule 2/ Représentons le cercle et la zone de lancer à l échelle 56 Représenter une figure géométrique à l échelle 56 veut dire qu il faut diviser toutes les distances par 56. Représentation du cercle : On a vu que le cercle a un rayon de 1,07, le rayon de la figure doit donc être de, 0,019. Pour la figure, il est plus utile d exprimer le rayon en centimètres. m dm cm mm 0, Le tableau ci-dessus permet de convertir 0,019 en., 0,019 1,9. Représentation de la zone de lancer à l échelle 56 : Les angles ne sont jamais modifiés par les agrandissements ni les réduction. Seulement les distances. L angle de lancer est donc toujours le même : 40. Sur le schéma, l angle de lancer est tourné vers le haut. Chaque demi-droite est symétrique l une de l autre par un axe vertical invisible (représenté en pointillé). Chaque demi-droite a donc un angle par rapport à la verticale égal à 20 (angles non représentés).

7 Partie II : Le poids Le poids vérifie-t-il les conditions nécessaires pour être utilisé en compétition? Concernant le diamètre : Ce poids a un diamètre de 12, c'est-à-dire 120. Les poids de femme ont des diamètres allant de 95 à 110, tandis que les poids d homme ont des diamètres allant de 110 à 130. Il s agit donc d un poids d homme. m dm cm mm Concernant la masse : Pour être conforme, le poids d un homme doit avoir une masse comprise entre 7,26 et 7,285. On sait aussi que la masse volumique de ce métal est de 8/, ce qui veut dire qu un centimètre cube pèse 8. Enfin, le rayon de cette boule est de 6. Calculons le volume de ce poids, qui est une boule. On a : Enfin, calculons la masse de ce poids : Volume ( ) Masse (g) Informations données 1 8 Informations cherchées En réalisant un produit en croix, on trouve Convertissons enfin cette masse en kilogrammes : Le tableau donné permet de convertir 7240 en : ,24 7,26. Ce poids a une masse inférieure à la masse minimale autorisée en compétition. Il ne peut donc pas être utilisé pour cette compétition. kg hg dag g 7, Partie III : Les trajectoires 1/ A quelle hauteur le poids est-il lâché? Avant de lancer le poids, le poids n a parcouru aucune distance. La distance horizontale est donc de 0. La droite pointillée orange sur le graphe ci-dessous représente la distance horizontale de 0, tandis que la hauteur de lancer est représentée par un point orange. Pour une distance horizontale de on constate que la hauteur à laquelle le poids est lâché est de.

8 2/ Angle de lancer pour laquelle la distance de lancer est la plus grande + Distance de lancer : Le lancer est mesuré lorsque le poids touche le Attention: Bien comprendre l énoncé sol, c'est-à-dire que sa hauteur est égale à 0. L énoncé dit que les courbes (C1),(C2) et (C3) correspondent La hauteur égale à 0 est représentée par une à des angles de lancer respectifs de 60,40 et 10. Donc : droite pointillée verte sur le graphe ci-dessus. -(1) représente le lancer avec un angle de 60 Graphiquement, on voit que la longueur -(2) représente le lancer avec un angle de 40 maximale du jet est obtenue pour la courbe -(3) représente le lancer avec un angle de 10 en pointillés, c'est-à-dire la courbe (), qui correspond à l angle de lancer égal à 40. De plus, graphiquement, on voit que la longueur maximale du jet est d environ 19 mètres. 3/ Angle de lancer pour laquelle le poids monte le plus haut + Hauteur maximale atteinte par le poids : Graphiquement, on constate que la hauteur maximale est atteinte par la courbe (1), au niveau du point rouge. La hauteur maximale est donc atteinte pour un angle de lancer égal à. Graphiquement, on constate que la hauteur alors atteinte est d environ,. Partie IV : Les performances 1/ Donnons les trois meilleurs résultats : Avant de donner les meilleurs résultats, classons les dans l ordre croissant : 19,67 20,06 20,41 20,42 20,53 20,63 20,98 21,04 21,05 21,09 21,51 Rappelons que l objectif est de lancer son poids le plus loin possible. Il faut donc prendre les trois meilleures performances de ce tableau. L Le lanceur polonais, qui a gagné la compétition a donc lancé son poids à,. Le lanceur américain, qui a fini second, a lancé son poids à,. Le lanceur biélorusse, qui termine troisième, a lancé son poids à,. Rappel: Formule de la moyenne : 2/ Calculons la longueur moyenne des lancers :,,,,,,,,,,, La longueur moyenne des jets est d environ 20,67 mètres., 20,67 3/ Trouvons le lancer médian de cette série : Le lancer médian est celui qui sépare la série en deux parties égales en nombre, c'est-à-dire qu autant de lanceurs ont jeté au-delà qu au-deçà de cette valeur médiane. Une méthode facile est de prendre la valeur du milieu dans la liste triée dans l ordre croissant. Ici, la valeur médiane est donc de 20,63. Yurly Bilonoh a donc lancé son poids à,. 4/ Calculons le pourcentage de lanceurs qui ont attient la barre des 21 : Parmi les 11 lanceurs, seuls 4 ont réussi à lancer au-delà de 21. Unités: Ici, aucun arrondi n est demandé. Dans ce cas, je conseille d arrondir 2 chiffres après la virgule NB : Cette méthode ne marche bien que pour un petit nombre de valeurs Rappel : Le rapport est une fréquence, pas un pourcentage! Le pourcentage de lanceurs à atteindre cette barre est donc : ,36%. On en déduit que, % des lanceurs ont franchi les.