Matlab:uneintroduction

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1 Matlab:uneintroduction Cettenoteapourobjectifdedonnerlesbasesnecessaireal'utilisationdulogiciel CEPREMAPetUniversiteduMaine FrancoisLangot Matlab.Lesconventionssuivantessontadoptees: letexteencaracteretypesetdecritdescodesmatlab, un\;"alandelaligneindiqueamatlabdenepasacherlacommande 1.1ConstruireuneMatrice 1Manipulationsdevecteursetdematrices Denombreusesfonctionsetinstructionsnesontpasdetailleesdanscettenote, qu'ilexecute. IlyaplusieursmanierespourconstruireunematriceavecMatlab. maisleurscodessontdonnesenannexe. Lapremiere,etpeut^etrelaplussimple,estdedeclarerlamatricecommeon A=[123 l'ecritalamain: Uneautrepossibiliteestd'ecrire: Cecicreeunematrice(23)matrixdelaforme: 456] A=[123;456] ! Cesexemplesmontrentquedanslescrochets,unespacesertaseparerlescolonnes,alorsqu'un\;"sertaseparerleslignesdela matrice. 1

2 Finalement,ilestpossiblededeclarerunematriceelementparelement: A(1,1)=1; 1.2Lesmatricesparticulieres A(1,2)=2; Ilyadesmatricesparticulieresqu'ilesttresutiledeconna^tre: A(1,3)=3; A(2,1)=4; Lamatricezero:oncreeunematrice(rc)de0enutilisantl'instruction A(2,2)=5; A(2,3)=6; A=zeros(2,3); creelamatrice: zeros(r,c).parexemple: Lamatricedeun:onpeutcreerunematrice(rc)de1enutilisantl'instruction ones(r,c).parexemple: A=ones(2,3); A= 000! lamatriceidentiteinpeut^etrecreegr^acealacommandeeye(n),ounestla creelamatrice: dimensiondelamatrice.ainsi, A=eye(3); A= 111! unematricealeatoire:onpeutcreerunematrice(rc)d'elementsaleatoiresen creelamatrice: utilisantlacommanderand(r,c),pourdeselementsuniformementdistribues, ourandn(r,c),pourdeselementsnormalementdistribues.ildoit^etrenote querandtiredesnombresurlesupport[0;1]alorsquerandntiredesnombres danslauneloinormalen(0;1) CA

3 Lamatricevidepeut^etreutilelorsdel'initialisationd'unematrice: matrice.matlabdonneunensembled'instrumentstrespuissantspoureectuerces 1.3Manipulationsdebase Unedesoperationsdebaselespluscouranteconsisteaextrairedeselementsd'une A=[]; operations. denitacommelamatricevide. Onveutisolerlamatricecentrale: CA 1:4signielasequence1234et2:3lasequence23,detellesorteque PourobtenirB,lescommandesMatlabsont: CA Supposonsquenousvoulionsselectionnerlescolonnes1et3,maisquenous B=A(1:4,2:3)estl'instructionquivapermettrededenirBcommeuneselectiondesligne1234deAetdecolonnes2et3. voulionsgardertoutesleslignes.l'instructionestalors: Maisdesoperationspluscomplexespeuvent^etreenvisagees.Imaginonsque B=A(:,[13]); Le:signie"selectionnertout",alorsque[13]estjusteunvecteurcontenant lesnombres1et3.ainsi,tousleselementsdescolonnes1et3sontselectionne. l'onveuilleselectionnerleselementsdelamatriceasuperieurouegala3,an delesstockerdansunvecterub:3

4 Maintenant,consideronslamatrice: B=A(A>=3); SiA(i;j)>=3alorsstockerdanslevecteurB. etsupposonsquenousvoulionsenobtenirlavectorialisation,alorsilsutde donnerl'instruction: B=A(:); CA pourobtenir: SionveutobtenirlamatriceAapartirdelamatriceB,ilsutd'utiliserla commandereshape: A=reshape(B,3,2) 1 CA Sil'onveutagglomererdesmatrices,ilsutdesuivrelesinstructionssuivantes.Supposonsquenousayonslesdeuxmatricessuivantes: lamatricea. cequisigniequelevecteurbprendralaformed'unematrice(32),comme etquel'onveuillelamatricesuivante: A= 12 34!etB= ! alors,ilsutd'ecrire: CA 4

5 Letableausuivantresumelesautresmanipulationspossibles: C=[Azeros(2,3);zeros(2,2)B]; 1.4Operationsdebase LetableausuivantresumelesoperationsmatriciellesdisponiblessousMatlab: diag(a)creeouextraitladiagonaledea rot90(a)rotationdea Action triu(a)partietriangulairesup.dea tril(a)partietriangulaireinf.dea taille Transposition Addition ProduitelementparelementAijBij Division1 Division2 DivisionelementparelementAij=Bij equivalentmath. Aest(rc) A0 A+B AB [r,c]=size(a) A' A+B A*B A.*B Commentaire Puissanced'unematrice PuissanceelementparelementAnij Trace XsolutiondeAX=BAnB XsolutiondeXA=BAnB Determinant A./B ProduitdeKronecker A^n A.^n Rang Inverse tr(a) det(a) trace(a) det(a) Compatilite Noyau AB A 1 inv(a) kron(a,b) dim(a)=dim(b) Produitdescolonnes Valeurpropre Sommedescolonnes rang(a) rows(a) (AV=0) A=DP 1 Prows(A) i=1ai: prod(a) rank(a) sum(a) V=null(A) [P,D]=eig(A)Acarree Acarree Commebeaucoupd'autrelangage,Matlabpeutcontr^olerlasequencedesinstructionsd'unprogramme.Ilyatroisfaconsdefaire. 2Contr^olerlasequencedesinstructions 2.1Laboucleavecfor Matlabpeutrepeterunensembled'instructionunnombredonnedefois,enutilisant l'instructionfor.laformegeneraledelaboucleestalors: forvariable=expression; end; instruction; 5

6 Exemple1:GenererlamatriceAt.q.: Enfait,expressionestunematricecontenantdesnombres. fori=1:1:20; LescodesMatlabcorrespondantsont: Aij=i2 j3+1;pouri=1;:::;20etj=1;:::;10 resultatachaqueiteration.lescodessont: end; Exemple2:CalculerAbij,pourballantde0a1avecunpasde0.1,etacherle forj=1:1:10; end; A(i,j)=i^2-j^3+1; %ivade1a20avecunpasde1:fori=init:step:final %jvade1a10avecunpasde1:forj=init:step:final A=[12;21]; forb=0:0.1:1; end; 2.2Laboucleavecwhile Matlabpeutaussiutiliserdesbouclespourrepeterdesinstructionsjusqu'acequ'une C=A.^b; disp(c) %ivade0a1avecunpasde0.1 lasuivante: conditionterminalesoitsatisfaite.lasyntaxegeneraledesbouclesavecwhileest %afficherc analytique): whilecondition; end;tantqueconditionestsatisfait,lesinstructionsserontexecutees. Exemple1:trouverunpointxedelarelationdynamiquesuivante(pasdesolution instructions; Lescodessont: tol=1e-6; ferenceenvaleurabsolueentredeuxiterationsestinferieuraunseuildetolerance. Toutcequel'onpeutfaire,c'estiterersurcetterelationetstopperquandladif- crit=1; x0=1; %criteredetolerance %initialisationducritere xt+1=1+x0:2 whilecrit>tol; %valeurinitialedext end; x=1+x0^0.2; crit=abs(x-x0); x0=x; %relationdynamique %valeurabsolueentre2iterationsconsecutives %lanouvellevaleurdex(t) 6

7 ifcondition Lasyntaxegeneraleest: else 2.3Laboucleavecif end L'instructionifexecuteunensembledecommandesiuneconditionestsatisfaite. Exemple1:savoirsiunentierestimpairounon.Lescodessontalorslessuivants: commandes1 x=input('entrerunentier:');%demandeal'utilisateurd'entrerunentier ifrem(x,2)==0; commandes2 else; end; disp('xestpair'); %etlestockdanslevecteurx %silerestedeladivisionpar2estnul,alors disp('xestimpair'); Cescommandespeuvent^etreenrichiesdelafaconsuivante: %afficherlemessage:xestpair %sinon %afficherlemessage:xestimpair elseifcondition commandes1 %findutest end Exemple2:Constructiond'unefonctiondedemandedelaforme: commandes2 commandes3 P=input('entrerunprix:');ifP<=2; elseif(p>2)&(p<=3); D=0; Lescodessontlessuivant: D(P)=8><>:0 1 0:5Psi2<p3 2P 2 sinon sip2 else; end; disp(d); D=1-0.5P; D=2*P^(-2); 7

8 etif,enutilisantl'instructionbreakquipermetdesortird'uneboucleavantlan decelle-ci. Exemple3:Construirelasequencesuivante: L'exemple3donneuneillustrationdelacombinaisonentrelesinstructionsfor Cesinstructionspeuventevidement^etrecombineeslesunesaveclesautres. veraunevaleurcomplexe!lescodessuivantpermettentdegenerercettesequence etnousfontsortirdelaboucledesqueleresultatd'uneiterationestnegatif: x(1)=2; fori=2:1:100; pourt=1;:::;100.ondoits'assurerquexrestepositifautrementmatlabtrou- xt=x0:4 t 1 x0:2 y=x(i-1)^0.4-x(i-1)^0.2; end;aveccetteensembledetroisinstructions,ilestnormalementpossiblederesoudre tousvosproblemesnumeriquesal'aidedematlab.toutefois,uneautrecapacitede x(i)=y; ify<0; break; disp('leresultatnepeutpasetrenegatif'); Matlabestdevouspermettredeconstruiredesnouvellesfonctions. 3Denitionetutilisationdesvospropresfonctions parametresaentrerpourlaresolutiondelafonction. codesusuels.lasyntaxegeneralepourdenirunefonctionest: function[output]=nom_de_la_fonction(input); Lesfonctionssontdessous-programmesannexesqu'ilestpossibled'appeleravecdes lem^emenomquelafonction. etl'ecart-typed'unvecteur.ondoitalorscreer,al'aidedevotreediteurfavori,un Cettefonctiondoit^etresauveedansunchiertexte("scriptle")portant ououtputdesignelevecteurdesresultats,etinputdesignelevecteurdes Parexemple,construisonsunefonction,appeleestat,quinousdonnelamoyenne instructions; m=sum(x)/lx; st=sqrt(sum(x-mx)^2)/lx; function[m,st]=stat(x); lx=length(x); chiernommestat.m,contenantletextesuivant: 8

9 x=[1;2;3;4;5;6]; Soitlevecteur: desplusimportanteneconomieestlecalculdel'etatstationnaired'unmodele. Celui-cipeut^etreresoluenutilisantlaroutinefsolvequiresoutlessystemesnonlineaires. etsx= Parexemple,danslecasdumodeleneo-classiquedecroissance,ondoitresoudre Lesfonctionssonttresimportantespourletraitementdecertainprobleme.Un Enappelant[mx,sx]=stat(x)dansunautreprogramme,vousobtiendrezmx= lesuivantsuivant1: functionz=steady(x); dansunchierappelesteady.m: Ilfautalorscreerunefonctionadeuxvariables,appeleeparexemplesteady, k=ak c 1=(Ak 1+1 ) alpha=0.35; beta=0.99; delta=0.025; A=1; k=x(1); c=x(2); z=zeros(2,1); z(1)=1-beta*(alpha*a*k^(alpha-1)+1-\delta);%remarque:lafonctionest z(2)=delta*k-(a*k^alpha-c); k0=10; %Initialisationdez. c0=1; resolutionnumeriquedecesysteme: et,dansunautrechier,donnerlesconditionsinitialesandepermettrela %Pasnecessaire,maisrecommande x0=[k0;c0]; sol=fsolve('steady',x0); %ecritef(x)=0 quevouspouvezutiliserquandvousenavezbesoinpourdiversesproblemes. 1Remarque:cetexemplepeut^etreresolualamain,maisilaetechoisipoursasimplicite. Unautreavantagedesfonctionsestqu'ellespermettentdevouscreerunelibrairie 9

10 Lapremierecommandeestcellepermettantd'acherunecommande:disp.Elle LesinstructionsInput{Outputsontimportantescarellespermettentd'acher,de sauveretd'utiliservosresultatsdansd'autrescodesqueceuxutilisesparmatlab. 4.1TextesInput{Output 4OutilsInput{Output vouspermetd'acherunmessage,unevaleuroucequevousvoulezcommetexte. Ainsi alors: disp('ceciestunbeaumessage') disp(a) achera\ceciestunbeaumessage"al'ecran. SoitunematriceAdelaforme:A= acheraal'ecran: 12 34! 12 34Sivousdesirezstockervosresultatsdansunchier,ilfautouvrirunchier diaryresult.out lacommandediarynameoffile.nepasoublierdefermervotrechieravecla commandediaryoff.parexemple: disp('salut') diaryoff etfaireachervosresultatssouslaformequevousvoulez.pourcela,utiliser nom.ilestdoncnecessaire,dansunpremiertemps,d'eacerle(s)vieu(x)chier(s) enutilisantdeletenameoffile,sivousnevoulezpasajouterdenouvellesinformationsdanslechierexistant,maisseulementavoirunchierdonnantlesnouveaux resultats. Attention:l'instructiondiaryn'ecrasepasle(s)chier(s)existantsouslem^eme creeunchierappeleresult.outcontenant\salut". utiliserl'instructioninput. n=input('donnerunnombre'); Siondesirequel'utilisateurduprogrammeentreuneinformationavecleclavier, 10

11 contenantcesdonnees.parexemplesupposonsquelechierdedonneesdat.txt estdelaforme: achelemessage\donnerunnombre"al'ecranenattendantunereponse.la reponseestenregistreedanslavariablen. Siondesirechargerdesdonnees,vousavezsimplementacreerunchierASCII 12 manipulercommetouteslesmatrices. Donnerjustel'instruction: loaddat.txt-ascii; etvosdonneessontstockeesdansunematrice,appeleedat,quevouspouvez Graphiques plot(x,y,s) abordes(sesontlespluscommun)2. l'ecran. Lapremiereinstructionimportanteestclg:ellepermetd'eacerlegraphiquea ouxetysontdesmatricesetsestunecha^nedecaracteres1,2ou3denissant Ilyaessentiellementuneinstruction:plot.Lasyntaxegeneraledeplotest: Danscettenoted'introductionaMatlab,seulslesgraphiquesen2-dseront Lacha^neSestuneoptionetpeutprendrelesvaleurssuivantes: l'aspectdugraphique.l'instructionci-dessusdessineycommeunefonctiondex. mmagentao yjaune. ccyanxx-marque rrouge+ cercle point Ainsiplot(X,Y,'b*')dessineuneetoilebleueenchaquepointdel'echantillon. wblanc:pointille bbleu* gvert-traitplein knoir-.tirets-point {traitsespaces plus instructionssuivantes: 2Pourlegraphiquesen3-d,voirlemanuel"MatlabGraphics". Ilestpossibled'ajouterdestitres,deslegendespourlesaxes,enutilisantles 11

12 title(string)% xlabel(string)%titredel'axedesx y1=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi); x=[-3:.01:3]; ylabel(string)%titredel'axedesy y2=exp(-0.25*x.^2)/sqrt(2*pi); clg; (A).Legraphique(1)estdeniparlescodessuivants: Ilestegalementpossiblederajouterunegrillesurvotregraphique,enutilisant plot(x,y1,'w',x,y2,'w--'); l'instructiongrid. title('unbelexemple?'); Lesgraphiques,creesapartirdesinstructionssuivantessontreportesenannexe estdeniparlescodes: numerodelaligne,delacolonneetdugraphique.ainsi,legraphique(4)del'annexe Pourcela,utiliserlacommandesubplot(rcn)our,c,nsontrespectivementle xlabel('les valeurs'); grid; ylabel('lesfonctions'); x=[-3:.01:3]; y1=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi); y2=sin(x); y3=cos(x); Ilestegalementpossibled'avoirsimultanementplusieursgraphiquesal'ecran. y4=abs(sqrt(x)); clg; subplot(221);plot(x,y1);ylabel('y1');xlabel('x');title('gauss'); subplot(222);plot(x,y2);ylabel('y2');xlabel('x');title('sin(x)'); subplot(223);plot(x,y3);ylabel('y3');xlabel('x');title('cos(x)'); subplot(224);plot(x,y4);ylabel('y4');xlabel('x');title('abs(sqrt(x))'); 5Applicationseconomiques:lemodeledecyclesreels print-optionsnom_du_fichier Lasyntaxegeneraleest: D'autresdetailssontdonnesenannexe(C). Poursauverungraphiquedansunchier,ilsutd'utiliserl'instructionprint. stochastique.cemodeleestlecadredereferencedesmodelesrbc. L'objectifdecettesectionestdemontrercommentresoudrenumeriquement,al'aide dematlab,lemodeled'equilibregeneralahorizondevieinni,dansuncadre dansunchierrbc.res.ainsi,audebutduprogrammeonalescodessuivants: Leprogrammeestecritdansunchierrbc.m,etlesresultatsdeceprogramme (RBC) 12

13 clear deleterbc.res diaryrbc.res 5.1Lemodeleeconomique 1.9uncontinuumd'agentsidentiques,indicespari2[0;1]. souslasequencedecontraintessuivante: L'agentimaximiselafonctiond'utilitesuivante: 2.Ceux-cisontalafoisproducteuretconsommateur, ci;s;li;s;ki;s+11xs=tets t"log(ci;s) l1+ 1+# pi;tprixdelaproductiondel'agentirelativementauxprixdesbiensconsommes, ci;t+ki;t+1(1 )ki;t+pi;tyi;t8t=1;;1 ki;t,li;t,ci;tetyi;trepresententrespectivementlestockdecapital,lenombre lesparametres2[0;1),2[0;1)et2[0;1)represententrespectivement d'heuredetravail,laconsommationetlaproductiondel'agenti, yi;t: tauxdecroissancedup.t.incorporeautravail, Chaqueagentaaccesaunetechnologiedeproductionluipermettantdeproduire letauxdedepreciation,lefacteurd'escomptepsychologiqueetl'inversede stchocdeprogrestechnique,incertitudeintrinseque, l'elasticitedel'oredetravail fonctiondeproductiondel'agenti:rendementsconstants, lemarcheconcurrentiel,pi;t=pj;t=18i;j(lebiennalestlenumeraire). yi;t=stkmi;t(tli;t)1 m suivante: (i.e.l'agentutilisecesrevenus),leproblemedel'agentipeutsereecriredelafacon Ensupposantquelacontraintebudgetairedel'agentestsatureeachaqueperiode avecci;s= ki;s+1+(1 )ki;s+sskmi;s(tli;s)1 m ks+1;li;s1xs=tets t"log(ci;s+1) l1+ max 13 1+#

14 Lesconditionsd'optimalitedeceproblemesont: 1 ci;t+et"1 ci;t i,lesconditionsd'optimalitesontidentiques: 5.2Conditionsd'equilibre (1 )ki;s+sskmi;s(tli;s)1 m ci;s=ki;s+1 li;t=0 Lestrajectoiresd'equilibreverientegalement: lt=1ct(1 m)yt ct+11 +myt+1 ltkt+1 ou2(0;1)representelapersistanceduchoctechnologiqueetvtestuneinnovation iid.remarque: kt+1=(1 )kt+yt ct yt=stkmt(tlt)1 m parl'expressionsuivantelt=(1 m)stkmt Ilestpossibledereduireladimensionduproblemesubstituantl'oredetravail st=st 1vt oultestunefonctiondect,ktetst. 5.3Sentierdecroissancedeterministe hypothesessurlesfonctionsdeproductionetd'utilite=)existenced'unsentierdecroissanceequilibree, denissantl'equilibrepart ct1 (+m) tendance=)progrestechniqueincorporeautravail(fonctionde), exprimerlemodeleenvariablesintensives=)deaterl'ensembledesequations 14

15 (1 )yt kt+1 t+1=(1 )kt yt t=stkt t=ct tl+1 tml1 m tt+yt tt ct t Ondenitalorslesvariablesstationnarisees: ct!=et" ~ct=ct=t;~k=kt=t;~yt=yt=t t+1 ct+1!(1 +myt+1 t+1 t+1 kt+1!)# 5.4Dynamiqueautourdusentierdecroissanceetetatstationnaire Lesequationsdenissantl'equilibresereecrivent: ~kt+1=(1 )~kt+~yt ~ct lt=1~ct(1 m)~yt 1~ct=Et"1 ~ct+1 lt 1 +m~yt+1 ~kt+1!# equilibree. Cesequationsdeterminentladynamiqued'equilibreautourdusentierdecroissance systeme: L'etatstationnaireestdeniparlequadrupletfc;k;y;lguniquesolutiondu ~yt=st~kmtl1 m k=y+(1 )k c t (1 m)yl=cl y=skml1 m 1=1 +myk 15

16 Ensubstituantltparsonexpressionenkt,ctetst,onreduitladimensiondusysteme 5.5Resolutiondumodele:l'approximationlog-lineaire dynamique.celui-ciestalorsdedim=33: oul'onnote: ~kt+1= 1~ct=Et1t+(1 )~kt ~ct sb5 t~kb2 t~cb3 log(st+1)=log(st)+t+1 b2 ~ct+11 + b3 b4sb5 t+1~kb4 t+1~cb3 b5 t+1 parametresdesfonctionsdecomportementsetduprocessusdevariablesexogene. DanslechierMatlab,cecisefaitdelafaconsuivante: beta=.99; Laresolutionnumeriquedeceproblemenecessitedoncdedonnerunevaleuraux 1=(+m)m(+1)b1 (1 m)b1b2 1(+1)b1(1 m) b3 delta=.025; chi=0; gamma=1.004; rhos=.95; epsilon=.0072; m=.36; mu=m; nu=1-m; phi=gamma^(nu/(1-mu)); faconsuivante: b1=1/(chi-nu+1); b2=mu*(chi+1)*b1; b3=-nu*b1; b4=b2-1; b5=(chi+1)*b1; Lescoecientsbialorspeuvent^etredenisdansleprogrammeMatlabdela celledonneedansl'exemple"steady". psi=(1-m)^(-b3); decescoecients.lescodessontlessuivants3: 3Laresolutiondecetetatstationnairepeut^etreeectueendenissantunefonctiontelleque L'etatstationnairepeutalors^etrecalculeparMatlab,etantdonneladenition 16

17 k=(-(bb^(1/b3))/aa)^(1/(1+(b4/b3))); y=((phi/beta)-1+delta)*(k/m); l=(y/(k^mu))^(1/nu); BB=((phi/beta)-1+delta)*(1/(m*psi)); AA=(phi+delta-1)-(1/(beta*m))*(phi-beta*(1-delta)); c=y-(delta+phi-1)*k; I=y-c; uc=1/c; deriveesdesutilitesmarginales.lescodesontlessuivants: util=log(c)-(1/(1+chi))*(l^(1+chi));%utilited'etatstationnaire Ilestalorspossibledecalculerl'utilite,lesutilitemarginales,ainsiqueles ul=-l^chi; xll=ull*l/ul; ull=-chi*(l^(chi-1)); xcc=ucc*c/uc; ucc=-1/(c^2); %margdutrav %desutilitemargdutrav; %elasticitedeladesutilite %derivesecondeparrapportautrav %\`alaconso %elasticitedel'utilitemargdelaconso %utilitemargdelaconso suivante: LedeveloppementdeTaylorjusqu'aupremierordrepermetd'approximer,autour defk;c;sg,touteslesconditionsd'equilibrecommesuit,lesderiveesdesfonctions fetgetantevalueesaupoint(k;c;s): Touteslesequationsdenissantladynamiqued'equilibreontlaformegenerique f(~kt;~ct;st)=et[g(~kt+1;~ct+1;st+1)] c+f;s(st s)= Et"g;k(~kt+1 k) k+g;c(~ct+1 c) 17c+g;s(st+1 s) s= s#

18 oui;j,pouri=f;getj=k;c;s,sontleselasticitesdesfonctionsfetgparrapport f(k;c;s). Ethg;kbkt+1+g;cbct+1+g;sbst+1i ()f;kbkt+f;cbct+f;sbst= stationnaires=1):bkt+1=c1bkt+c2bct+c3bst oulescoecientscisontcombinaisonsnon-lineairesdesparametresstructurelsdu modele(coecientsinvariants,cfcritiquedelucas): bst+1=bst+vt+1 bct=ethc4bkt+1+c5bct+1+c6bst+1i ( b2kb2cb3+(1 )k)=(k) c1 c4 ( b3kb2cb3 c)=(k) c2 c5 ( b5kb2cb3)=(k) c3 ante: c1=(psi*b2*(k^b2)*(c^b3)+(1-delta)*k)/(phi*k); Cescoecientspeuvent^etredenisdansleprogrammeMatlabdelafaconsuiv- m b4kb4cb3 h1 +(1 b3)m kb4cb3im b5kb4cb3 c6 c2=(psi*b3*(k^b2)*(c^b3)-c)/(phi*k); c3=(psi*b5*(k^b2)*(c^b3))/(phi*k); c5=-(beta/phi)*(1-delta+(1-b3)*m*psi*(k^b4)*(c^b3)); c7=-c5; c4=(beta/phi)*m*psi*b4*(k^b4)*(c^b3); c6=(beta/phi)*m*psi*b5*(k^b4)*(c^b3); 18

19 5.6Ecriturematricielle 264c1c2c bkt bct bst375= c4c5c bkt vt+1 0c4c5c6 bct+1 bst+1375bwkt+1 M2=[100;c4c5c6;001]; oubwxt+1=et[xt+1] xt+1,pourx=k;c;s. M1=[c1c2c3;0-10;00rho]; CodesMatlabcorrespondant: bwct+1 bwst+1375 M3=[0000;0c4c5c6;-1000]; onobtient Enpre-multipliantlesystemepar 264bkt bst375=j264bkt+1 bct264c1c2c oudim(j)=33etdim(r)=34. bct+1 bst+1375+r264vt+1 J=M1\M2;R=M1\M3; CodesMatlabcorrespondant: bwkt+1 bwct+1 bwst+1375 Eneet,l'approximationlog-lineairedelafonctiondeproductionetdelacondition d'equilibresurlemarchedutravail,donnentbytetbltcommedesfonctiondebkt,bctet bst: Laresolutiondusystemeci-dessussutadeterminerladynamiqued'equilibre. "byt blt#=m264bkt bct bst375oudim(m)=23 19

20 5.7Unicitedelasolution:determinationdelatrajectoireselle 1.Probleme:systemed'equationsrecurrentesnon-independantes=)pourleresoudre,projectiondansunebaseoulesequationssontindependantesmentdebase,etdesvaleurspropres,donnantl'evolutiondynamiquedansla nouvellebase. 2.Methode:determinationdesvecteurspropres,formantlamatricedechange- Etape1:Determinationdesvaleurspropres i,i2[1;3]val.propressisolutionsde: Danscesysteme,ilexisteuneequationindependante:celleduchoctechnologique st.unedesvaleurspropresestdoncdonneepar1=>1,carceprocessusest stationnaire. det(j I3)=0=)= estdetermine:ilyauneuniquetrajectoirequiconvergeversl'etatstationnaire,la Commedanslemodeledecroissanceoptimale,ona1<1et2>1.L'equilibre pouri=1;2;3.onnoteztlevecteurdenitpar: trajectoireselle. SoitlamatriceQ,quiverieQ 1JQ=ouQ=[q1;q2;q3]avecdim(qi)=31, Etape2:vecteurspropresetchangementdebase Cechangementdebasepermetd'obtenirlestroisequationsindependantessuivantes: 264z1t zt=q 1264bkt bct bst375ett=q 1R264vt z2t z3t375= z1t+1 z3t t+1 z2t+1 bwkt bwst375 bwct [P,MU]=eig(J);%matricesdesvectpropresPetdesvalpropres PI=inv(P); CodesMatlabcorrespondantacesdeuxoperations %inv.p 2t+1 3t+1375 [llambda,kk]=sort(diag(mu));%classementdesvalpropresparordrecrois. P1=P(:,kk); P1I=inv(P1);%invdeP1 %classementdesvectproprecorrespondant 20

21 L'anticipationrationnelledecetteequationdonne: lorsquel'onitereverslefutur.cesiterationsverslefuturdeterminentlarestriction entrebct,bktetbst,denissantlatrajectoireselle: Determinationdelatrajectoireselle Lapremiereequationauneracineinferieureal'unite:cetteequationconverge Commez1t<1etlimT!1T1=0,ona: z1t=1ethz1t+1i=)z1t=t1ethz1t+ti z1t=1z1t+1+t+1 Latrajectoireselledeterminelaconsommationoptimale,bct,achaquedatecomme unefonctionlineairedebktetbst. Apressubstitutions,onobtient: "bkt+1 bst+1#=a"bkt z1t=0()q 1 bst#+bvt+1witha="a11a12 1;kbkt+q 1 1;cbct+q 1 1;sbst=0 A(1,2)=c3+c2*(-P1I(1,3)/P1I(1,2)); A(1,1)=c1+c2*(-P1I(1,1)/P1I(1,2)); LescodesMatlabcorrespondantacesoperationssont: 0# A(2,2)=rho; Lesdynamiquesdesautresvariablessontobtenuesenutilisant: LescodesMatlabcorrespondantacesoperationsont: 264bct dy=lt bit byt blt 3 75="bkt bst# %consommation Pi(1,1)=-P1I(1,1)/P1I(1,2); Pi(1,2)=-P1I(1,3)/P1I(1,2); %produit Pi(2,1)=b2+b3*(-P1I(1,1)/P1I(1,2)); Pi(2,2)=(chi+1)*b1+b3*(-P1I(1,3)/P1I(1,2)); 21

22 %heures Pi(4,1)=(mu*b1)-b1*(-P1I(1,1)/P1I(1,2)); Pi(4,2)=b1-b1*(-P1I(1,3)/P1I(1,2)); Pi(3,2)=(y/I)*Pi(2,2)-(c/I)*Pi(1,2); %investissement %productivite Pi(3,1)=(y/I)*Pi(2,1)-(c/I)*Pi(1,1); Pi(5,1)=Pi(2,1)-Pi(4,1);Pi(5,2)=Pi(2,2)-Pi(4,2); (l'exogenedumodele). Ilestpossibledecalculerlesfonctionsdereponsesaunchoctechnologique.Ils'agit d'evaluerladynamiqued'ajustementdesvariablesmacroeconomiquessionperturbe l'etatstationnaireparunedeviationtemporairede1%d'unchoctechnologique 5.8Simulationdesfonctionsdereponses disp('nrep') disp(nrep) CHOC=[0;1];%vecteurdeschocssurlesvariablesd'\'etat nrep=60; LescodesMatlabcorrespondantacesoperationssont: %horizondesimulation %lepremier\'el\'ementestl'\'ecartducapital %lesecond\'el\'ementestl'\'ecartdelatechnologie %parrapport\`asonniveaud'\'etatstationnaire: end; %calculdelatrajectoireducapitalsurl'horizondesimulation forj=1:nrep; DT=(A^(j-1))*CHOC; DTK(j)=DT(1); %ici,l'\'ecartestde1%. %calculdelatrajectoiredesautresvariablessurl'horizondesimulation forj=1:nrep; DT=(Pi*A^(j-1))*CHOC; DTC(j)=DT(1); DTY(j)=DT(2); 22

23 end; subplot(221),plot(dty(1:nrep)) title('produit') DTI(j)=DT(3); DTL(j)=DT(4); DTYL(j)=DT(5); subplot(222),plot(dtc(1:nrep)) subplot(223),plot(dti(1:nrep)) title('consommation') subplot(224),plot(dtk(1:nrep)) title('investissement') printrbc1.eps title('capital') xlabel('trimestres') ylabel('%dev.') pause clg subplot(222),plot(dtyl(1:nrep)) subplot(221),plot(dtl(1:nrep)) title('heures') xlabel('trimestres') ylabel('%dev.') printrbc2.eps title('productivit\'e') xlabel('trimestres') ylabel('%dev.') pause clg 23

24 AGraphiques Figure1:Exemple1 0.4 Un bel exemple? 0.35 Les fonctions Figure2:Exemple Les valeurs 0.4 Gauss 1 Sin(X) Y1 0.2 Y X 1 Cos(X) X 0.5 Y X 24 2 Abs(Sqrt(X)) 1.5 Y X

25 2 Figure3:Rbc:fonctiondereponse Produit 1 Consommation % Dev. % Dev Figure4:Rbc:fonctiondereponse Investissement Capital Trimestres Trimestres Trimestres % Dev. % Dev Trimestres Heures 1 Productivit % Dev. 0.5 % Dev Trimestres Trimestres 25

26 BListedesfonctionelementaires CestableauxsontdirectementissusduGuided'UtilisationdeMatlab(MATLAB ReferenceGuide). -*.* +.^ ^kronoperationetcaracteresspeciaux plus / moins./ n multiplicationelementparelement puissanceelementparelement produitdekronecker % divisionagauche '... : divisionadroite divisionelementparelement == ; = semi-colonne commentaire transposeetguillemets <><=>=operateurs egalite allocation pointdesdecimales & continuite ~ xor ANDlogique NOTlogique EXCLUSIVEORlogique 26

27 anglephaseangle ataninversetangent acosinversecosine acoshinversehyperboliccosine asininversesine asinhinversehyperbolicsine abselementarymathfunctions atan2fourquadrantinversetangent Absolutevalue atanhinversehyperbolictangent ceilroundtowardsplusinnity coshhyperboliccosine exp fix floorroundtowardsminusinnity conjcomplexconjugate log10commonlogarithm imagcompleximaginarypart Cosine realcomplexrealpart rem Exponential roundroundtowardnearestinteger Roundtowardszero signsignumfunction sinhhyperbolicsine Naturallogarithm sqrtsquareroot tanhhyperbolictangent Remainderafterdivision Sine Tangent 27

28 Syntaxe:print[-ddevice][-options]filename Clacommandeprint AvailableWindowsDeviceOptions -dps2 -dwinc -dmeta Sendguretocurrentlyinstalledprinterinmonochrome -dpsc2 -dbitmap Sendguretocurrentlyinstalledprinterincolor Level2PostScriptforblackandwhiteprinters SendguretoclipboardinMetaleformat Level2PostScriptforcolorprinters EncapsulatedPostScript(EPSF) Sendguretoclipboardinbitmapformat -deps2 EncapsulatedColorPostScript(EPSF) EncapsulatedLevel2PostScript(EPSF) AvailablePostscriptDevices -depsc2 -dlaserjethplaserjet -dljetplushplaserjet+ -dljet2p EncapsulatedLevel2ColorPostScript(EPSF) -dpaintjethppaintjetcolorprinter -ddeskjethpdeskjetanddeskjetplus -dcdjmonohpdeskjet500cprintingblackonly -dcdjcolorhpdeskjet500cwith24bit/pixelcolor -dljet3 -dcdeskjethpdeskjet500cwith1bit/pixelcolor HPLaserJetIIP -dbj10e -dpjetxl HPPaintJetXLcolorprinter CanonBubbleJetBJ10e HPLaserJetIII -dln03 -dpcx16 -dgif8 -dpcx256 -PprinterSpecifytheprintertouse -fhandle -append DECLN03printer 8-bitcolorGIFleformat OldercolorPCXleformat(EGA/VGA,16-color) NewercolorPCXleformat(256-color) HandleGraphicshandleofguretoprint Appendthegraphtole,ratherthanoverwriting OtherOptions 28

29 diaryrbcs.res clear deleterbcs.res ttt=clock; DProgrammedesimulation nsimul=100; disp('nsimul') disp(nsimul) %initialisationdelalongueurdesseries %initialisationdunombredesimulations nlong=4*40; %Parametres %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beta=.99; delta=.025; chi=0; gamma=1.004; rho=.95; sdepsilona=.0072; mu=.36; nu=.64; m=.36; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% phi=gamma^(nu/(1-mu)); b1=1/(chi-nu+1); b2=mu*(chi+1)*b1; b3=-nu*b1; b4=b2-1; b5=(chi+1)*b1; psi=(1-m)^(-b3); 29

30 k=(-(bb^(1/b3))/aa)^(1/(1+(b4/b3))); %Etatstationnaire y=((phi/beta)-1+delta)*(k/m); BB=((phi/beta)-1+delta)*(1/(m*psi)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% l=(y/(k^mu))^(1/nu); AA=(phi+delta-1)-(1/(beta*m))*(phi-beta*(1-delta)); c=y-(delta+phi-1)*k; I=y-c; c5=-(beta/phi)*(1-delta+(1-b3)*m*psi*(k^b4)*(c^b3)); %Dynamique c6=(beta/phi)*m*psi*b5*(k^b4)*(c^b3); c3=(psi*b5*(k^b2)*(c^b3))/(phi*k); c4=(beta/phi)*m*psi*b4*(k^b4)*(c^b3); c2=(psi*b3*(k^b2)*(c^b3)-c)/(phi*k); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M1=[c1c2c3;0-10;00rho]; c1=(psi*b2*(k^b2)*(c^b3)+(1-delta)*k)/(phi*k); M3=[0;0;1]; M2=[100;c4c5c6;001]; J=M1\M2; R=M1\M3; [P,MU]=eig(J); PI=inv(P); %pause [llambda,kk]=sort(diag(mu)); P1=P(:,kk); 30

31 %Dynamiquedekets %Systemeresolu %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P1I=inv(P1); A(1,1)=c1+c2*(-P1I(1,1)/P1I(1,2)); A(1,2)=c3+c2*(-P1I(1,3)/P1I(1,2)); %conso Pi(1,1)=-P1I(1,1)/P1I(1,2); Pi(1,2)=-P1I(1,3)/P1I(1,2); A(2,2)=rho; %produit Pi(2,1)=b2+b3*(-P1I(1,1)/P1I(1,2)); %c,y,i,l,y/lenfonctiondekets %investissement Pi(3,1)=(y/I)*Pi(2,1)-(c/I)*Pi(1,1); Pi(3,2)=(y/I)*Pi(2,2)-(c/I)*Pi(1,2); %heures Pi(4,1)=(mu*b1)-b1*(-P1I(1,1)/P1I(1,2)); Pi(2,2)=(chi+1)*b1+b3*(-P1I(1,3)/P1I(1,2)); Pi(4,2)=b1-b1*(-P1I(1,3)/P1I(1,2)); %productivite Pi(5,1)=Pi(2,1)-Pi(4,1); Pi(5,2)=Pi(2,2)-Pi(4,2); APi %generationdespartiescycliqueshpfiltrees %************************************************************** 31

32 HT(1)=l; KT(1)=k; YT(1)=y; CT(1)=c; %valeursinitialesdesscalculees %************************************************************** IT(1)=I; PMT(1)=YT(1)/HT(1); %partietendantielle fori=2:nlong; KT(i)=(gamma)*KT(i-1); CT(i)=(gamma)*CT(i-1); HT(i)=HT(i-1); YT(i)=(gamma)*YT(i-1); IT(i)=(gamma)*IT(i-1); PMT(i)=(gamma)*PMT(i-1); forj=1:nsimul; %Simulations %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% end; disp('simulation') rand('normal'); aleaa(1:nlong,j)=rand(nlong,1); disp(j) %tiragedesinnovations %simulationdesji\`emespartiescycliques fori=1:nlong; epsa(j,i)=aleaa(i,j)*(sdepsilona); 32

33 %constructiondeschocscht CHT(j,1)=0; end; KC(j,1)=0; %initialisationdelapartiecycliqueducapital end; fori=2:nlong; CHT(j,i)=rho*CHT(j,i-1)+epsa(j,i); %partiescycliques end; fori=1:nlong; KC(j,i+1)=A(1,1)*KC(j,i)+A(1,2)*CHT(j,i); CC(j,i)=Pi(1,1)*KC(j,i)+Pi(1,2)*CHT(j,i); %constructiondesseriesbrutes YC(j,i)=Pi(2,1)*KC(j,i)+Pi(2,2)*CHT(j,i); IC(j,i)=Pi(3,1)*KC(j,i)+Pi(3,2)*CHT(j,i); fori=1:nlong; end; HC(j,i)=Pi(4,1)*KC(j,i)+Pi(4,2)*CHT(j,i); KB(j,i)=log(KT(i)*(1+KC(j,i))); PMC(j,i)=Pi(5,1)*KC(j,i)+Pi(5,2)*CHT(j,i); CB(j,i)=log(CT(i)*(1+CC(j,i))); end; end; HB(j,i)=log(HT(i)*(1+HC(j,i))); YB(j,i)=log(YT(i)*(1+YC(j,i))); IB(j,i)=log(IT(i)*(1+IC(j,i))); PMB(j,i)=log(PMT(i)*(1+PMC(j,i))); 33

34 disp('filtre') disp(j) forj=1:nsimul; PMTHP(j,1:nlong)=hpfilter(PMB(j,1:nlong),1,nlong); ITHP(j,1:nlong)=hpfilter(IB(j,1:nlong),1,nlong); YTHP(j,1:nlong)=hpfilter(YB(j,1:nlong),1,nlong); HTHP(j,1:nlong)=hpfilter(HB(j,1:nlong),1,nlong); CTHP(j,1:nlong)=hpfilter(CB(j,1:nlong),1,nlong); KTHP(j,1:nlong)=hpfilter(KB(j,1:nlong),1,nlong); %calculdespartiescycliquesparfiltragehp ETYCHP(j)=std(YCHP(j,1:nlong)); PMCHP(j,1:nlong)=PMB(j,1:nlong)-PMTHP(j,1:nlong); ICHP(j,1:nlong)=IB(j,1:nlong)-ITHP(j,1:nlong); YCHP(j,1:nlong)=YB(j,1:nlong)-YTHP(j,1:nlong); HCHP(j,1:nlong)=HB(j,1:nlong)-HTHP(j,1:nlong); CCHP(j,1:nlong)=CB(j,1:nlong)-CTHP(j,1:nlong); KCHP(j,1:nlong)=KB(j,1:nlong)-KTHP(j,1:nlong); forj=1:nsimul; %calculdesmomentsentrepartiescycliques disp(etychp(j)) disp('moments') end; disp(j) %ecart-types ETCCHP(j)=std(CCHP(j,80:nlong)); ETHCHP(j)=std(HCHP(j,80:nlong));34 ETKCHP(j)=std(KCHP(j,80:nlong));

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