MATHÉMATIQUES MATURITÉ MSOP

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1 MATHÉMATIQUES MATURITÉ MSOP Veillez à utiliser le vocabulaire adéquat, à détailler et justifier vos développements et raisonnements. Thèmes 1. Factorisation 2. Fraction littérale 3. Equation rationnelle à 1 inconnue 4. Equation produit à 1 inconnue 5. Inéquations-produit 6. Inéquations-quotient 7. Système d inéquations 8. Système 2x2 9. Système 3x3 10. Fonction du 1 er degré Zéro Pente Intersection avec l axe des ordonnées Graphique 11. Fonction du 2 e degré Zéro Intersection avec l axe des ordonnées Concavité Extremum Graphique 12. Factorisation du trinôme par deux méthodes (somme-produit / formule générale) 13. Equation/Inéquation logarithmique 14. Trigonométrie 15. Triangles semblables Théorème de Thalès 16. Limite d une expression rationnelle vers x 0 ou vers 17. Dérivée 18. Probabilité Définition et propriétés (à démontrer graphiquement) 19. Probabilité Equiprobabilité 20. Probabilité Probabilité conditionnelle 21. Probabilité Epreuves successives 22. Probabilité Différents diagrammes 23. Problème d optimisation 24. Etude de fonction Domaine de définition 25. Etude de fonction Parité 26. Etude de fonction Asymptote verticale 27. Etude de fonction Asymptote oblique 28. Etude de fonction Etude de croissance 29. Etude de fonction Etude de concavité 30. Etude de fonction Représentation graphique 31. Géométrie vectorielle Représentation graphique 32. Géométrie vectorielle Changement de base 33. Géométrie vectorielle Droite 34. Géométrie vectorielle Cercle 35. Géométrie vectorielle Intersections de droites ou de cercles ou d une droite et d un cercle

2 Questions 1. Factorisez l expression : x 3 + 7x 2 65x 231 Quel(s) exercice(s) pourrait-on résoudre à l aide de celui-ci? Factorisez l expression : x 3 x 2 89x 231 Quel(s) exercice(s) pourrait-on résoudre à l aide de celui-ci? 2. Effectuez et simplifiez de sorte à obtenir une fraction irréductible : 7x + 5 x 5 32x + 8 4x 2 19x 5 Quel(s) exercice(s) pourrait-on résoudre à l aide de celui-ci? Effectuez et simplifiez de sorte à obtenir une fraction irréductible : 25x x x 5 4x 2 19x x 4x + 1 Quel(s) exercice(s) pourrait-on résoudre à l aide de celui-ci? 3. Résolvez cette équation : 2x + 3 x x (x 5)(4x + 1) = 20x 1 4x + 1 Résolvez cette équation : 6x + 9 x x (x 3)(4x 1) = 7 12x 4x 1 4. Résolvez cette équation : (7x + 18) (8x + 10) = x 2 6x 2 (x + 3) Résolvez cette équation : (11x + 10) (15x + 11) = 2x 2 3x 2 (2x + 1) 5. Résolvez cette inéquation : 6x x 2 7 6x Résolvez cette inéquation : 12x 3 + 8x 83x Résolvez cette inéquation : 2x 5 3x Résolvez cette inéquation : 5 8x 4x Résolvez ce système d inéquations : 7 3x { (x 1) 12 (2x 1) 0 3 x 3 < 0 x < 4 Résolvez ce système d inéquations : 5 2x { (x + 3) 9 (1 3x) x > 0 4 < x 8. Résolvez ce système d équations : 2xy 3y 2 = 8 { x 3y + 5 8x 4y = 0 Résolvez ce système d équations : xy 4y 2 = 21 { x + 6y 13 2x 3y 1 = 0

3 9. Résolvez ce système d équations : 7x + 3y 5z = 85 { 3x + 2y z = 14 4x + 11y + 3z = 53 Résolvez ce système d équations : 3x 4y + 7z = 50 { 8x + y 3z = 30 7x + 3y 4z = Etudiez la fonction f(x) = 3x+4 : Zéro Pente Intersection avec l axe des ordonnées Graphique 5 Etudiez la fonction f(x) = x+5 : Zéro Pente Intersection avec l axe des ordonnées Graphique Etudiez la fonction f(x) = 2x 2 + 5x + 1 : Zéro Intersection avec l axe des ordonnées Concavité Extremum Graphique Etude de signes Etudiez la fonction f(x) = 3x 2 5x 1 : Zéro Intersection avec l axe des ordonnées Concavité Extremum Graphique Etude de signes 12. Factorisation du trinôme 14x x 15 par la méthode «somme-produit» et à l aide du discriminant Factorisation du trinôme 12x x 15 par la méthode «somme-produit» et à l aide du discriminant 13. Résolvez ce système d équations : log(x) + log(y) = 2 { x + 5y = Résolvez ce système d équations : log(x) log(y) = 3 { x y2 595y 49 = Soit un segment AB, soit un point C tel que AC AB et AC = 10 cm, soit un point D tel que BD AB et BD = 80 cm, soit un point O AB tel que DOB = 30, soit demi-droite Od telle que Od AB et COd = 20. Calculez la longueur du segment AB? Soit le triangle ABC rectangle en B tel que BAC = 30, soit le point A tel que AA = 1cm, BA C = 20 et A d, d étant la demi-droite BA d origine B. Calculez la longueur du segment AB? 15. Soit d 1, d 2 et d 3 des droites parallèles, soit e 1 et e 2 des droites sécantes à d 1, d 2 et d 3, telles que : e 1 d 1 = {A}, e 1 d 2 = {B}, e 1 d 3 = {C}, e 2 d 1 = {D}, e 2 d 2 = {E}, e 2 d 3 = {F}, AB = 8, AD = 7, BE = 6, CF = 4 et EF = 15. A, B et C sont alignés dans cet ordre. Calculez BC, puis DE. Soit d 1, d 2 et d 3 des droites parallèles, soit e 1 et e 2 des droites sécantes à d 1, d 2 et d 3, telles que : e 1 d 1 = {A}, e 1 d 2 = {B}, e 1 d 3 = {C}, e 2 d 1 = {D}, e 2 d 2 = {E}, e 2 d 3 = {F}, BC = 7, AD = 7, BE = 6, CF = 4 et ED = 4. A, B et C sont alignés dans cet ordre. Calculez AB, puis DF. 16. Calculez les ites suivantes : 3x + 2 et 6x 2 + x 2 x ± x 2 3 3x 2 4x x 2 Calculez les ites suivantes : 3x + 2 4x + 5 et 6x 2 + x 2 x ± 4x 2 1 x Dérivez les fonctions f(x) = (9x 3 5x 7)(5x 2 9x + 7), g(x) = 5x2 7x+4 8x 3 3x 2 +5, h(x) = Dérivez les fonctions f(x) = ( 7x 3 + 5x 2 7)(x 2 + 5x 7), g(x) = 3x2 7x 5 3x 3 +5x+5, h(x) = x2 (9 x 2 ) 2 x2 (x 2 4) 2

4 18. Probabilité Définition et propriétés (à démontrer graphiquement) Donnez les définitions suivantes et illustrez-les avec un exemple de votre choix : univers, événement A, événement A et B, événements incompatibles. Démontrez graphiquement la propriété suivante : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Donnez les définitions suivantes et illustrez-les avec un exemple de votre choix : univers, événement A, événement A ou B, événements non-a. Démontrez graphiquement la propriété suivante : P(A B ) = 1 P(A B) 19. Donnez les définitions suivantes et illustrez-les avec un exemple de votre choix : événement élémentaire, situation équiprobable. On considère la population valaisanne. L épreuve aléatoire consiste à demander l âge d une personne choisie au hasard. Etablissez un univers plausible pour cette épreuve et précisez si cette situation est équiprobable, justifiez votre réponse. Donnez les définitions suivantes et illustrez-les avec un exemple de votre choix : événement élémentaire, situation équiprobable. On considère la population valaisanne qui possède une voiture. L épreuve aléatoire consiste à demander la marque de la voiture d une personne choisie au hasard. Etablissez un univers plausible pour cette épreuve et précisez si cette situation est équiprobable, justifiez votre réponse. 20. On admet que 15% des hommes et 10% des femmes sont gauchers et on suppose que la population est composée de 52% de femmes. Une personne est tirée au sort. 1. Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme gaucher? Parmi les gauchers, on choisit une personne au hasard. 2. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme? Une enquête a montré à propos d un examen de mathématiques que : - 75 % des candidats l ont travaillé sérieusement; - lorsqu'un candidat l a travaillé sérieusement, il le réussit dans 80 % des cas ; - lorsqu'un candidat l a peu travaillé, il ne le réussit que dans 20 % des cas. On choisit au hasard un candidat qui vient de passer l'examen de mathématiques. 1. Quelle est la probabilité qu'il ait peu travaillé mais réussi son examen? 2. Ce candidat ayant échoué, quelle est la probabilité qu'il ait travaillé sérieusement? 21. Dix boules indiscernables au toucher sont placées dans une urne. Il y en a huit noires et deux blanches. On tire au sort une boule ; si elle est blanche, on la retire de l urne, par contre si elle est noire, la boule est replacée dans l urne. On procède à trois tirages selon ce procédé. 1. Etablissez un arbre de la situation. 2. Quelle est la probabilité qu une boule au moins soit noire. 3. Quelle est la probabilité qu une boule blanche ait été tirée, sachant qu au troisième tirage la boule sortie était noire. Un sac contient trois boules blanches et trois boules noires. On tire au hasard des boules du sac selon le principe suivant : a. une première boule est tirée et mise de côté ; b. une deuxième boule est également tirée. Si sa couleur diffère de celle de la première, on la réintroduit dans le sac, et dans le cas contraire, on la met de côté. c. une dernière boule est tirée. A nouveau, si sa couleur diffère de celle de la première, on la réintroduit dans le sac, et dans le cas contraire, on la met de côté. A partir de cette situation, répondez aux questions suivantes : 1. Etablissez un arbre de la situation. 2. Quelle est la probabilité que quatre boules au moins restent dans le sac après le 3 e tirage. 3. Quelle est la probabilité qu une seule boule blanche ait été tirée, sachant qu après le troisième tirage, il reste exactement quatre boules dans le sac. 22. Déterminez P(A B ), connaissant : 1. P(A) = 0,75 2. P(B) = P(A B) = Connaissant (B) = 0,72, P(A ) = 0,64 et P(A B ) = 0,12, déterminez : 1. P(A B) 2. P(B A )

5 23. Problème d optimisation Afin de faire un écoulement, on creuse dans un sol une tranchée en forme de parallélépipède rectangle dont la longueur mesure 5m. Pour étanchéifier la canalisation, on dispose d une plaque de cuivre de 60cm de largeur que l on va plier et coller sur la tranchée. Quelles dimensions pour la tranchée, largeur et profondeur, doit-on choisir si l on veut optimiser l écoulement? On désire fabriquer une volière de 12 cages identiques (parallélépipèdes rectangles) selon le schéma ci-contre. Pour ce faire on dispose de 765 mètres de tube métallique pour former les arêtes de toutes les cages sur lesquelles on fixera portes et grillage. (Certaines arêtes sont impliquées dans plusieurs cages ; il ne faut pas les compter à double ou quadruple) Quelles dimensions doit-on donner à chaque cage pour que son volume soit maximal. Quel est ce volume? 24. Déterminez le domaine de définition de f(x) = 5x + 1 x log ( 1 x + 6 ) Déterminez le domaine de définition de f(x) = log ( 1 x + 6 ) 25. Autour de la parité des fonctions : a. Complétez le graphique de sorte à ce que f soit paire 5x + 1 x y x x b. D après son graphique, déterminez la parité de f c. Déterminez la parité de f(x) = 3x4 et démontrez-la x 5 +x 3 x

6 Autour de la parité des fonctions : a. Complétez le graphique de sorte à ce que f soit impaire b. D après son graphique, déterminez la parité de f c. Déterminez la parité de f(x) = 3x3 et démontrez-la x 4 +x Déterminez les asymptotes verticales ou les coordonnées des trous de la fonction : f(x) = 7x x 21 4x x 21 Déterminez les asymptotes verticales ou les coordonnées des trous de la fonction : f(x) = 8x 2 26x 7 2x 2 + 3x x Etudiez les asymptotes oblique ou horizontale de f(x) = 3 +4x 2 1 et la position de f par rapport à l asymptote. 2x 2 +5 Etudiez les asymptotes oblique ou horizontale de f(x) = 9x3 +6x 5 et la position de f par rapport à l asymptote. 3x 2 +x 28. Etudiez la croissance de f(x) = 3x(x 2 5x + 6) 3 Etudiez la croissance de f(x) = 3x (x 2 5x + 6) Etudiez la concavité de f(x) = 3x 2 (x 1) 2 Etudiez la concavité de f(x) = 3x x 3 15x 2 21x 30. Soit une fonction f, dont on connaît : 1. D f = R { ; 0; 4; 6} 2. f est paire 3. x 0 + x 4 x 6 f(x) = 5 ; x 0 + f (x) = 2 f(x) = ± f(x) = 2 4. f(x) = x 6 + δ(x) ; x + δ(x) = 0 ; δ(x) 0, x R + 5. f (x) 0, x R + 6. f(2) = 2 ; f (2) = 0 ; f(6,5) = 0 D après les informations données ci-dessus : a. Esquissez le graphique de la fonction sur R en veillant à mettre en évidence ses caractéristiques, b. Etablissez le tableau de signes des dérivées première et seconde sur R + c. Etablissez le tableau de signes de la fonction δ sur R +

7 Soit une fonction f, dont on connaît : 1. D f = R { ; 0; 4; 6} 2. f est impaire 3. x 0 + x 4 x 6 f(x) = 5 ; x 0 + f (x) = 2 f(x) = ± f(x) = 2 ; x 6 f (x) = 0 4. f(x) = x δ(x) ; x + δ(x) = 0 ; δ(x) 0, x R + 5. f (x) 0, x R + 6. f(2) = 2 ; f (2) = 0 ; f(5) = 0 ; f(8) = 0 D après les informations données ci-dessus : a. Esquissez le graphique de la fonction sur R en veillant à mettre en évidence ses caractéristiques, b. Etablissez le tableau de signes des dérivées première et seconde sur R + c. Etablissez le tableau de signes de la fonction δ sur R On considère un repère R = (O, E 1, E 2 ), et B la base vectorielle associée au repère R. Dans le repère R, on donne les points A( 5 ; 3), B(4 ; 2) et C(2 ; 6). 1. Démontre graphiquement que B = (CA ; CB ) est une base vectorielle. On considère le vecteur v = ( 1 2 ) B 2. Détermine graphiquement les coordonnées du point D, tel que DC = 1 BA + v. 2 Pour la représentation graphique dans le repère R, on choisira 1 unité = 1 carreau On considère un repère R = (O, E 1, E 2 ), et B la base vectorielle associée au repère R. Dans le repère R, on donne les points A( 3 ; 2), B(4 ; 3) et le vecteur v = ( 3 4 ) B 1. Démontre graphiquement que B = (AO ; BA ) est une base vectorielle. 2. Détermine graphiquement les coordonnées du point C tel que CO = BA + 3v. Pour la représentation graphique dans le repère R, on choisira 1 unité = 2 carreau 32. On considère un repère R = (O, E 1, E 2 ), et B la base vectorielle associée au repère R. Dans le repère R, on donne les points A( 5 ; 3), B(4 ; 2) et C(2 ; 6). 1. Démontre algébriquement que B = (CA ; CB ) est une base vectorielle. 2. Détermine algébriquement les composantes de OC dans la base B. On considère un repère R = (O, E 1, E 2 ), et B la base vectorielle associée au repère R. Dans le repère R, on donne les points A( 3 ; 2), B(4 ; 3) et le le vecteur v = ( 3 4 ) B 1. Démontre algébriquement que B = (AO ; BA ) est une base vectorielle. 2. Détermine algébriquement les composantes de v dans B 33. Soit un triangle ABC avec A( 4; 7), B(5; 3) et C( 1; 5) 1. Donnez un système d équations paramétriques pour la droite passant par le côté AB. 2. Donnez une équation cartésienne de la droite passant par M milieu du segment AC et G centre de gravité du triangle ABC. x = 7k + 3 On donne les droites d 1 : 5x 3y + 7 = 0 et d 2 : { y = 5k 7 1. Démontrez vectoriellement que les droites d 1 et d 2 sont sécantes. 2. Calculez les coordonnées du point d intersection de d 1 et d 2.

8 34. Déterminez le centre et le rayon du cercle d équation c: 225x y 2 300x + 360y 156 = 0, ainsi que les coordonnées de ses intersections avec l axe des abscisses. Déterminez le centre et le rayon du cercle d équation c: 90x y x 240y + 70 = 0, ainsi que les coordonnées de ses intersections avec l axe des ordonnées. 35. Soit le cercle c de centre A(2; 3) et de rayon 4 et la droite d de vecteur directeur d = ( 4 1 ) passant par le points B(2; 1). Calculez les coordonnées des points d intersection du cercle c et de la droite d. Soit le cercle c de centre A(3; 2) et de rayon 6 et la droite d de vecteur directeur d = ( 1 5 ) passant par le points B( 1; 2). Calculez les coordonnées des points d intersection du cercle c et de la droite d. Théorie 1. Probabilité : Univers événements événement A ou/et B, événement non A 2. Probabilité : Similitudes et différences des diagrammes «à double entrée» et «en arbre» 3. Probabilité : Probabilité conditionnelle 4. Probabilité : Epreuve successive 5. Problème d optimisation : Méthode de résolution liens et différences avec les études de fonctions 6. Etude de fonction : Domaine de définition liens avec la représentation graphique 7. Etude de fonction : Parité des fonctions liens avec la représentation graphique 8. Etude de fonction : Asymptote verticale liens avec la représentation graphique 9. Etude de fonction : Asymptote horizontale/oblique liens avec la représentation graphique 10. Etude de fonction : Croissance et concavité liens avec la représentation graphique 11. Géométrie vectorielle : Base vectorielle combinaison linéaire 12. Géométrie vectorielle : Base vectorielle composantes d un vecteur par voie graphique 13. Géométrie vectorielle : Base vectorielle composantes d un vecteur par voie algébrique 14. Géométrie vectorielle : Equations vectorielle et paramétriques de la droite 15. Géométrie vectorielle : Equation cartésienne de la droite 16. Géométrie vectorielle : Situation de deux droites 17. Géométrie vectorielle : Equations du cercle