Ex-M8.4 Manège d enfants Un manège d enfants tourne à une vitesse angulaire constante ω > 0. Le propriétaire parcourt

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1 PTSI Eercices - écanique Chanement de référentiels : aspect cinématique E-8.1 Aller-retour sur un fleuve Deu bouées B 1 et B, distantes de l, sont situées sur un canal, dont le courant a pour vitesse uniforme u par rapport au beres et s écoule de B 1 vers B. Ces bouées sont fies par rapport au beres. Un rameur, assimilé à un point matériel, effectue un aller-retour entre les deu bouées, sa vitesse par rapport au courant (à l eau) ardant toujours la même norme éale à v telle que v > u. 1) Eprimer les vitesses v + et v du rameur par rapport au beres, respectivement au cours des trajets B 1 vers B et B vers B 1. ) En déduire la durée τ de l aller-retour du rameur entre les bouées. 3) Quelle est la durée τ mise par un personne marchant sur les beres avec la même vitesse v que celle du rameur par rapport au courant, et qui effectue le même aller-retour entre les bouées? Comparer les durées τ et τ (on pourra faire le rapport). Rép : 1) v + = (u + v) e ; v = (u v) e ) τ = lv ; 3) τ = l v u v < τ E-8. Traversée d une rivière Un naeur dont la vitesse par rapport à l eau est v 1 traverse une rivière de lareur l en suivant une trajectoire perpendiculaire au beres. Sachant que le courant a une vitesse v 0 uniforme, calculer le temps de la traversée. Rép : Avant tout calcul, un schéma et la bonne compréhension des référentiels mis en jeu sont l ici obliatoires. τ = v 1 v0 E-8.3 ouvement radial sur un plateau tournant Soit le plateau horiontal d un four micro-onde avec une vitesse anulaire ω autour d un ae vertical fie. R 1 est le référentiel terrestre et R est lié au plateau. Supposons qu une fourmi, éarée (... ), survive suffisamment pour décrire à vitesse constante v /R l ae ( ) lié à R. R 1 w R 1 1 Eprimer v /R1 et a /R1 dans la base ( e, e ). Rép : v /R1 = v e + ω e ; a /R1 = ω e + (ωv + ω) E-8.4 anèe d enfants Un manèe d enfants tourne à une vitesse anulaire constante ω > 0. Le propriétaire parcourt la plate-forme (référentiel R de repère cartésien ( e, e, e )) pour ramasser les tickets. Partant du centre au temps t = 0 sans vitesse, il suit un raon de la plate-forme (qui porte le vecteur e ) avec un mouvement uniformément accéléré. 1) Établir les équations paramétriques de la trajectoire de l homme : 1.a) Dans le référentiel R lié au manèe ( = f (t)). 1.b) Dans le référentiel R lié au sol en utilisant les coordonnées polaire (r =... et θ =...), en supposant θ(t = 0) = 0. ) Déterminer la vitesse absolue du mouvement de l homme dans une base judicieusement choisie de R :.a) en utilisant les lois de composition des mouvements..b) à partir de l équation paramétrique de la trajectoire. 60 http ://atelierprepa.over-blo.com/ jpqadri@mail.com e

2 Eercices - écanique PTSI 3) Reprendre la question ) pour l accélération absolue. Rép : 1.a) ( = 1 at e ; 1.b) r = 1 at ; θ = ωt ; ) v a a 1 aω t ) e + aωt e = at e + 1 aωt e ; 3) a a = E-8.5 Vitesse en coordonnées clindriques 1) Quelle est la vitesse d un point eprimée dans la base locale des coordonnées sphériques? ) Quel est le vecteur rotation du repère (, e r, e θ, e φ ) par rapport au repère (, e, e, e )? En déduire une autre méthode de calcul de la vitesse précédente en utilisant les chanements de référentiels. Rép : Cf Cours 8.II..c), p. 4. Dnamique en référentiel non aliléen E-9.1 Anneau coulissant sur un cercle en rotation (*, à voir!) Une circonférence de centre et de raon R située dans un plan vertical tourne autour d un de ses diamètres d un mouvement uniforme défini par sa vitesse anulaire ω. w Un anneau de masse m assimilable à un point matériel est mobile sans frottement sur cette circonférence. n désine par θ l anle que fait avec la verticale ascendante. I - Trouver l équation du mouvement de dans R référentiel tournant lié à la circonférence : 1) à partir de la relation fondamentale de la dnamique ; q ) à partir du théorème du moment cinétique ; 3) à partir de la puissance cinétique ; 4) à partir de la conservation de l énerie mécanique (qui sera justifiée). Vérifier qu on obtient la même équation du mouvement avec les différentes méthodes. e e 1 9 II - n veut étudier l équilibre relatif de. 1) Écrire la relation f(θ) = 0 donnant les positions d équilibre dans R. ) Déterminer les positions d équilibre. 3) Étudier la stabilité des différentes positions. III - n veut que l équilibre stable corresponde à 30. Quelle devra être la vitesse anulaire si R = 0, m et = 10 m.s? Calculer la période des petits mouvements autour de cette position. IV - Tracer l allure du profil d énerie potentielle (dans Rréférentiel lié à la circonférence). En déduire la nature du mouvement possible (oscillations ou révolutions) suivant la valeur de l énerie mécanique du point matériel. Rép : I) θ ω sin θ cos θ + sin θ = 0 R II.1) Il s ait, bien entendu, de la condition d équilibre pour ce sstème conservatif : ( ) dep (θ eq ) = dθ 0 sin θ( ω R cos θ) = 0 puisque E p = E p, + E p,ie = mr cos θ 1 mω R sin θ ; II.) θ eq1 = 0, θ eq = π et deu autres possibilités, dans le seul cas où ω > R : θ eq3 = arccos Rω et θ eq4 = θ eq3 ; II.3) Déterminer le sine de stable de chaque position d équilibre. ( d E p dθ ) (θ eq ). En déduire le caractère instable ou jpqadri@mail.com http ://atelierprepa.over-blo.com/ 61

3 PTSI Eercices - écanique III) ω = R 3 7, 6 rad.s 1. Puisqu on se place dans la situation où θ eq = θ eq3 est un équilibre stable, un petit écart φ depuis cette position d équilibre va être réi par une équation de la forme φ + ω0 φ = 0 avec ω 0 = ω = π R 3, d où T 0 = π 1, 65s. T 0 E-9. Une tie horiontale AB de lonueur l est solidaire d un ae vertical (Δ) qui tourne avec la vitesse anulaire ω constante. Un petit anneau de masse m considéré comme ponctuel peut lisser sans frottements sur la tie AB. Il est libéré sans vitesse initiale par rapport à la tie (à une date prise comme oriine des temps) en I milieu de AB. 1) Étudier le mouvement de dans le référentiel du sstème tournant. ) À quelle date et avec quelle vitesse arrive-t-il à l etrémité de la tie? 3) Donner l epression de la réaction de la tie sur l anneau au point B juste avant la chute. Rép : 1) en appelant ( ) la direction de la tie : = = l ch ωt ; ) t 1 = 1 ω arcch ; v B = lω 3 ; 3) R(=B) = m + 3l ω 4. E-9.3 ouvement d un point matériel dans un véhicule accéléré (*) Un véhicule a un mouvement de translation uniforme de vitesse v sur une route curviline d équation cartésienne = f(). n lui associe un référentiel R 1 ( 1, t) en translation par rapport au référentiel terrestre R(, t). Un point matériel A, de masse m, lié à l oriine 1 par un ressort de raideur k, de lonueur naturelle l 0, évolue le lon de l ae ( 1 ). l R S h 1 1) ontrer que la composante cartésienne, suivant la verticale ascendante (), de l accélération v f de 1 dans R s écrit (f + 1), f et f désinant les dérivées première et seconde de f par rapport à. ) Écrire l équation différentielle à laquelle satisfait le mouvement de A dans R 1. 3) Calculer la tension T du ressort dans le cas où, râce à une force supplémentaire de frottement visqueu, A acquiert rapidement une position d équilibre dans R 1. Comparer alors T au poids, dans les cas où la route forme une bosse ou un creu. Conclure, en utilisant la notion de poids apparent. 4) Le profil de la route forme une bosse assimilable à un arc de parabole, 1 S, dont les caractéristique sont données sur la fiure ci-jointe. Pour quelle valeur de la vitesse -a-t-il impesanteur pour A en S? Rép : 1) v 1 /R T = + avec = d dt = df d d dt = f... = m a A/R1 = Félas + m m a e () ; 3) T = m + mv f ; 4) v = l (1+f ) h. 1 A k R 1 v f (1 + f ) ; ) E-9.4 Pendule simple Un pendule simple est constitué d un point matériel de masse m, placé à l etrémité d un fil inetensible, de lonueur l (et de masse nélieable). L autre etérmité du fil est fiée en. oscille sinusoïdalement suivant la verticale, avec une amplitude D m et une pulsation ω : = D m cos ωt e n désine par θ l anle que fait le pendule avec la verticale descendante (), de vecteur unitaire e. n suppose qu il n a pas de frottements. n note R(, e, e, e ) le repère associé au référentiel terrestre supposé aliléen et R (, e, e, e ), le repère lié au support du pendule. 1) R est-il aliléen? ) Écrire l epression du théorème du moment cinétique en. 6 http ://atelierprepa.over-blo.com/ jpqadri@mail.com

4 Eercices - écanique PTSI 3) En déduire que l équation différentielle du mouvement de dans R s écrit sous la forme : θ + ω0 (1 + h(t)) sin θ = 0 où h(t) est une fonction du temps à préciser. Rép : 3) θ ( ) + l 1 + D mω cos ωt sin θ = 0 θ + ω0 (1 + h(t)) sin θ. E-9.5 Anneau sur une tie en rotation autour d un ae fie Une tie P de lonueur l est fiée au point à un ae vertical (Δ) avec lequel elle fait un anle α constant. Un petit anneau de masse m considéré comme ponctuel peut se déplacer sans frottement sur la tie P. Soit sa position définie par =. L ensemble est en rotation uniforme autour de l ae (Δ) à la vitesse anulaire ω. 1) ontrer qu il ne peut eister une position d équilibre e de l anneau sur la tie P que si la vitesse anulaire de rotation est supérieure à une valeur limite ω 0 que l on déterminera. ) Préciser la position de l anneau pour une vitesse ω 1 ω 0. 3) Si l on écarte léèrement l anneau de cette position lorsqu elle eiste, que se passe-t-il? Étudier la stabilité de l équilibre. cos α Rép : 1) ω 0 = l sin α ; ) cos α 1 = ω1 sin α ; 3) P.F.D. dans le référentiel R lié à la tie en projection selon : ω1 sin α = cos α, de solution (t) = P + G = 1 + A ep( λt) + B ep(λt) avec λ = ω sin α. Comme (t) lorsque t, l équilibre est instable. E-9.6 Une remorque sur une route bosselée n suppose le référentiel lié au sol terrestre aliléen. n étudie un objet de masse m posé sur le plateau d une remorque. La remorque se déplace à une vitesse horiontale v = cste sur une route de profil sinusoïdal. n suppose les amortisseurs et les pneus de la remorques infiniment riides. Déterminer la vitesse v à partir de laquelle l objet ne reste plus tout le temps en contact avec le plateau de la remorque. e (D) (m) a e 3 e w éthode et indications pour e I L=1, m e=50 mm résoudre ce problème : - faire l inventaire des forces qui s eercent sur S = {, m} dans le référentiel R 1 lié à la remorque - en particulier, montrer que F ie () = m I e, avec I, l altitude de I, point éométrique lié à R 1 qui coïncide avec le point de la remorque en contact avec le sol ( ) πv - eprimer I (t) en fonction de e, et L ; en déduire que I = I (t) L - eprimer le P.F.D. pour dans R 1 et en déduire l epression de la réaction de la remorque sur en fonction de m, et I - quelle est la condition sur R qui traduit le contact de avec la remorque? - en déduire qu il a décollement dès que I,min < ; en déduire v. v e 1 P Rép : v = e. L π jpqadri@mail.com http ://atelierprepa.over-blo.com/ 63

5 PTSI Eercices - écanique DL n o 1 ouvement d un anneau sur un cerceau d après CCP TSI 001 (*) Un cerceau est assimilable à un cercle de centre et de raon a. Situé dans un plan vertical ( ), il tourne autour d une de ses tanentes verticales () à la vitesse anulaire constante. Un anneau assimilé à un point matériel de masse m est mobile sans frottement sur ce cerceau. n note θ l anle que fait avec la verticale descendante passant par et compté positivement dans le sens trionométrique. a ' ' n note R le référentiel aliléen () et R le référentiel θ lié au cerceau. I - Utilisation du principe fondamental de la dnamique : 1) Écrire le principe fondamental de la dnamique dans R. n notera F ie, F C et R respectivement les forces d inertie d entraînement, de Coriolis et la réaction du cerceau sur. ) Établir l epression de F ie et montrer que cette force est colinéaire à e. 3) Établir l epression de F C et montrer que cette force est colinéaire à e. 4) En déduire que l équation dun mouvement peut s écrire sous la forme : a θ = f(θ). 5) Donner l epression des composantes de la réaction du cerceau dans la base ( e r, e, e θ ). II - Utilisation du théorème du moment cinétique : 1) Définir le moment cinétique du point en dans le référentiel R et donner son epression. ) Eprimer le théorème du moment cinétique dans le référentiel R. 3) En déduire l équation du mouvement. 4) Peut-on obtenir par ce théorème les epressions des composantes de la réaction du cerceau? Si oui, donner les epressions correspondantes. III - Utilisation de l énerie mécanique 1) ontrer que la force d inertie d entraînement dérive d une énerie potentielle E pie dont on donnera l epression. ) Eprimer l énerie potentielle E p dont dérive le poids. 3) Les autres forces dérivent-elles d une énerie potentielle? Justifier la réponse. En déduire l epression de l énerie potentielle E p (θ) du point en prenant E p (θ = 0) 0. 4) Justifier le fait qu on puisse appliqer la conservation de l énerie mécanique. 5) Retrouver l équation du mouvement par la conservation de l énerie mécanique. IV - Étude de l équilibre relatif 1) Établir que l équation donnant les positions d équilibre est : a (1 + sin θ) = tan θ ) ontrer par un raisonnement raphique que cette équation admet deu solutions. n précisera l intervalle auquel elles appartiennent. 3) n désire qu une position d équlibre eiste pour θ = π. Calculer la valeur de la vitesse 6 anulaire de rotation correspondante. 4) Cette position d équilibre est-elle stable? 64 http ://atelierprepa.over-blo.com/ jpqadri@mail.com

6 Eercices - écanique PTSI DL n o 13 Bille dans un tube [d après ESTP 1990 (**)] n veut étudier le mouvement d une bille de masse m dans un tube riide de lonueur l dans lequel la bille peut se déplacer sans frottements le lon de l ae du tube à l eclusion de tout autre mouvement. Le tube tourne autour d un ae passant par son centre à une vitesse anulaire constante. n s intéresse à l étude de plusieurs positions possibles pour l ae de rotation. L ensemble est placé dans le champ de pesanteur terrestre dont le module sera pris éal à 9, 81 m.s. I - n suppose dans cette partie que le tube tourne dans le plan horiontal autour de l ae () vertical. 1) Faire le bilan des forces s eerçant sur la bille en précisant le référentiel dans lequel on se place. Établir l équation du mouvement de la bille par rapport au tube. ) Décrire qualitativement le mouvement de la bille en analsant sans aucun calcul l équation du mouvement. 3) n suppose qu initialement la bille est à une distance 0 de et que sa vitesse est v 0. Epliciter l équation horaire du mouvement. 4) Dans le cas où v 0 = 0, donner l epression du temps nécessaire pour que la bille quitte le tube. 5) Application numérique : = rad.s 1, l = 10 m et 0 = 4 m. Calculer la durée pendant laquelle la bille reste dans le tube. θ=.t II - n suppose dans cette partie que le tube tourne dans le plan vertical autour de l ae () horiontal. 1) Établir l équation du mouvement de la bille par rapport au tube. ' ) n suppose qu initialement la bille est à une distance 0 de et que sa vitesse est v 0. Epliciter l équation horaire du mouvement. 3) Eiste-t-il des positions d équilibre? Si oui, les θ=.t préciser. 4) Quelle(s) est (sont) la (les) condition(s) pour que le mouvement de la bille dans le tube soit sinusoïdal? 5) Lorsque la vitesse initiale vérifie : v 0 = 0, donner l epression de l équation horaire du mouvement. 6) n représente à l aide d un loiciel de calcul formel l évolution temporelle de ce mouvement dans le tube pour v 0 = 0, 0 = l et = rad.s, pour (a) l = 10 m, (b) l = 1 m et (c) l = 0, 1 m. Les fiures suivantes fournissent les résultats : Analser phsiquement les observations. jpqadri@mail.com http ://atelierprepa.over-blo.com/ 65

7 PTSI Eercices - écanique ) Dans quel plan se trouve la réaction du tube? Eprimer le module de celle-ci. III - n suppose dans cette partie que le tube tourne dans un plan vertical autour de l ae () vertical. De plus le tube fait un anle φ constant avec le plan horiontal. 1) Établir l équation du mouvement de la bille par rapport au tube. ) n suppose qu initialement la bille est à une distance ϕ ' 0 de et que sa vitesse est v 0. Epliciter l équation horaire du mouvement. 3) Eiste-t-il des positions d équilibre? 4) Que se passet-il si on écarte la bille de sa position θ=.t d équilibre? 5) Donner l epression du temps nécessaire pour que la bille quitte le tube en supposant qu on abandonne la bille sans vitesse en 0. 6) Calculer sa valeur numérique avec les mêmes données que dans la première partie et φ = 45. Comparer le résultat à celui trouvé dans la première partie. 7) Déterminer la réaction du tube. 66 http ://atelierprepa.over-blo.com/ jpqadri@mail.com