11 Fonctions numériques - continuité

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1 11 Fonctions numériques - continuité 11.1 Ensemble des fonctions à vleurs réelles Fonctions numériques Soit E un ensemble non vide. On note E l ensemble des pplictions de E dns. On définit les opértions d ddition, de multipliction des fonctions et de multipliction pr un réel. Exemples : Fonctions constntes, ffines, polynômes, rtionnelles. Théorème 1 : ( E, +, ) est un nneu ; ( E, +,.) est un -espce vectoriel. Les fonctions polynomiles, les fonctions rtionnelles définies sur E sont des sous-nneux et sous-espces vectoriels de E Fonctions mjorées, minorées, bornées Définition 1 : Soit f une fonction de E dns. On dit que f est mjorée (resp. minorée, resp. bornée) si l ensemble f(e) est mjoré (resp. minoré, resp. borné). On ppelle borne supérieure (resp. borne inférieure) de f l borne supérieure (resp. borne inférieure) de f(e). Théorème 2 : L ensemble des fonctions bornées de E dns est une sous-nneu et un sousespce vectoriel de E. Définition 2 : ) On dit que f dmet un mximum (resp. un minimum) si l ensemble f(e) dmet un mximum (resp. un minimum). b) On dit que f dmet un mximum (resp. un minimum) locl en s il existe un réel α > 0 tel que l restriction de f à l intervlle [ - α, + α] E dmet un mximum (resp. un minimum) Reltion d ordre Définition 3 : f et g sont deux fonctions. f g signifie que : x E, f(x) g(x). 1) C est une reltion d ordre (générlement non totl) sur E. 2) f g signifie que g f est positive. Définition 4 : Pour toute fonction f, on définit les fonctions : 1) f : x E, f (x) = f(x). 2) f + : x E, f + (x) = f(x) si f(x) 0, f + (x) = 0 si f(x) 0. 3) f - : x E, f - (x) = - f(x) si f(x) 0, f - (x) = 0 si f(x) 0. 4) f = f + - f -. 5) f = f + + f -. 6) 0 f + f et 0 f - f.

2 Prité Définition 5 : Soit f une fonction définie sur E. On dit que f est pire (resp. impire) lorsque : x E, (-x) E et f(-x) = f(x) (resp. f(-x) = -f(x)). Théorème 3 : ) Soit f une fonction de E dns, où E est symétrique pr rpport à 0. Il existe un unique couple (g, h) de fonctions de E dns telles que : g est pire ; h est impire ; f = g + h. g s ppelle l prtie pire, h l prtie impire de f. b) L ensemble des fonctions pires, l ensemble des fonctions impires sur sont des sous-espces vectoriels de Périodicité Définition 6 : Une fonction f de E dns est périodique de période T (T > 0) si : x E, x + T E, x T E et f(x + T) = f(x). Théorème 4 : L ensemble des fonctions périodiques définies sur, de période T, est un sousnneu et un sous-espce vectoriel de. Théorème 5 : Si f est de période T, et 0, lors l fonction x f ( x + b) est de période T Fonctions Lipschitziennes Définition 7 : Une fonction f définie sur un intervlle I est lipschitzienne sur I s il existe k > 0 tel que, pour tous x et y dns I, f(y) f(x) k x y. Théorème 6 : Si f est lipschitzienne sur [, b] et sur [b, c], lors f est lipschitzienne sur [, c] Monotonie Définition 8 : ) Une fonction f définie sur un intervlle I est croissnte (resp. décroissnte) sur I si, pour tous x et y dns I, x y f(x) f(y) (resp. f(x) f(y)). Une fonction f est monotone sur I si elle est croissnte ou décroissnte. b) Une fonction f définie sur un intervlle I est strictement croissnte (resp. strictement décroissnte) sur I si, pour tous x et y dns I, x < y f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)). Une fonction f est strictement monotone sur I si elle est strictement croissnte ou strictement décroissnte. Théorème 7 : Soient I un intervlle. Soit f une fonction monotone sur I, g une fonction monotone sur un intervlle J contennt f(i). L composée gof est monotone sur I. Elle est croissnte si f et g ont même sens de vrition, décroissnte sinon.

3 11.2 Limites Limite d une fonction en un point Définition 9 : Soit I un intervlle contennt u moins deux points, et I. f désigne une fonction définie sur I suf éventuellement en. On dit que f une limite finie en s il existe un réel l tel que : ε > 0, α > 0, x D f I, x α f(x) l ε. on note lim f = l ou encore lim f ( x) = l. x Remrques : Il revient u même de dire que, pour toute suite U qui converge vers, l suite f(u) converge vers l. limf ( x) = l lim ( f ( x) l) = 0 x x limf ( x) = l lim f ( + h) = l x h 0 Définition 10 : Soit I un intervlle contennt u moins deux points, et I. f désigne une fonction définie sur I suf éventuellement en. On dit que f une limite finie à droite (resp. à guche) en s il existe un réel l tel que : ε > 0, α > 0, x ], + [ I, (resp. ]-, [ I ), x α f(x) l ε. on note lim f = l ou encore lim f ( x) = l. x Théorème 8 : Toute fonction dmettnt une limite finie en est bornée u voisinge de Extension à R Définition 11 : Soit I un intervlle contennt u moins deux points, et I. f désigne une fonction définie sur I suf éventuellement en. On dit que f pour limite + (resp.- ) en si : Α > 0, α > 0, x I, x α f(x) A (resp. f(x) -A). On définit de même les notions de limite à droite, limite à guche. Théorème 9 : soit f une fonction croissnte sur l intervlle [, b[. lim f x = sup f x Ou bien f est bornée sur [, b[ et ( ) [ b[ x b x, ( ) Ou bien f n est ps bornée sur [, b[ et f ( x) = + lim ; x b Opértions sur les limites finies Théorème 10 : Le produit d une fonction dmettnt pour limite 0 en et d une fonction bornée dmet pour limite 0 en. Théorème 11 : Si f et g dmettent des limites finies en, lors : 1) f + g dmet une limite finie en, et lim( f g ) lim( f ) lim( g ) + = + ; 2) fg dmet une limite finie en et lim( fg ) = lim( f ) lim( g )

4 f lim( f ) 3) Si l limite de g est non nulle, lors f/g dmet une limite finie en, et lim = g lim( g ) Avec des limites infinies lim f l lim g l l minorée l mjorée ( f + g) lim l + l indéterminé On considère mintennt des fonctions positives lim f l lim g l l > 0 Minornt > ( fg) lim l + l + + indéterminé + lim f l l > 0 minornt > mjorée lim g l > minornt > 0 0 l mjorée + + lim f g l l ' indéterminé Limites et inéglités Théorème 12 : Soit f et g deux fonctions dmettnt une limite (finie ou non) en (fini ou non). Si, u voisinge de, f(x) g(x), lors : lim f ( x) lim g ( x) x x Si lim ( ) = +, lors lim ( ) f x x x g x = + Si lim g ( x ) =, lors lim f ( x ) =. x x Théorème 13 : soient f, g et h trois fonctions telles qu u voisinge de, f(x) g(x) h(x). Si f et h dmettent une même limite finie l en, lors g dmet ussi pour limite l en limite d une fonction composée Théorème 14 : Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur les intervlles I (suf peutêtre en ) et J (suf peut-être en b) tels que f(i) J. Si lim ( ) = et lim ( ) =, lors lim ( o )( ) f x b x g x c x b x g f x = c.

5 11.3 Fonctions continues Continuité en un point Définition 12 : Soit I un intervlle contennt u moins deux points, I, et f une fonction définie sur I. On dit que f est continue en si : ε > 0, α > 0, x I, x < α f(x) f() < ε. Théorème 15 : 1) Une fonction définie sur un intervlle I contennt est continue en si et seulement si elle dmet une limite en. Cette limite est lors égle à f() 2) Une fonction continue en est bornée u voisinge de. 3) Si f est continue en, et si l suite u converge vers, lors l suite f(u) converge vers f(). 4) Une fonction lipschitzienne sur I est continue en tout point de I. Théorème 16 : Si f est continue en, et si g est continue en b = f(), lors gof est continue en. Remrque : 1) Une fonction f est continue à droite (resp. à guche) en si l restriction de f à [, + [ (resp. à ]-, ]) est continue en. 2) Une fonction est continue en si et seulement si elle est continue à droite et à guche en Fonctions continues sur un intervlle Définition 13 : 1) Une fonction f définie sur D est continue sur l intervlle ], b[ D si elle est continue en tout point de ],b[. 2) f est continue sur l intervlle [, b] D si elle est continue en tout point de ],b[, continue à droite en, et continue à guche en b. Théorème 17 : l ensemble des fonctions continues sur l intervlle I est une sous-lgèbre de ( I, +,, ). Exemples : Fonctions polynômes, fonctions rtionnelles. Théorème 18 : Soit f une fonction continue en, vec f() 0. Alors : 1) Pour tout réel k, 0 < k < f(), Il existe un voisinge V de tel que : x V, f(x) > k. 2) L fonction f 1 est continue en. Exemples : Fonctions rtionnelles Imge d un intervlle Théorème 19 (des vleurs intermédiires) : Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Si f prend sur I les deux vleurs α et β, lors elle prend sur I toute vleur comprise entre α et β. Corollire : L imge d un intervlle pr une fonction continue est un intervlle. Théorème 20 : L imge d un segment pr une fonction continue est un segment. Autrement dit : Une fonction continue sur un segment est bornée et tteint ses bornes Fonctions continues strictement monotones Théorème 21 : Soit f une fonction continue strictement monotone sur l intervlle I. 1) f(i) est un intervlle dont les bornes sont les limites de f ux bornes de I.

6 2) f est une bijection de I sur f(i). 3) L bijection réciproque de f est continue strictement monotone sur I, de même sens de vrition que f. Exemple : Fonctions puissnces, fonction log et exp Comprison locle des fonctions domintion Définition 14 : soit I un intervlle et un élément ou un extrémité de I (éventuellement + ou - ). Soit f et g deux fonctions définies sur I. On dit que g est dominée pr f si g est le produit de f pr une fonction bornée u voisinge de. Nottion : On écrit g O( f ) =. ( ) Fonction négligeble Définition 15 : soit I un intervlle et un élément ou un extrémité de I (éventuellement + ou - ). Soit f et g deux fonctions définies sur I. On dit que g est négligeble devnt f si g est le produit de f pr une fonction qui tend vers 0 en. Nottion : On écrit g o( f ) g = o f et g =. ( ) ( ) = o( f ) g + g o( f ) = () () () ( f1 ) et g2 = o( f2) g1 g2 ( f1 f2) g = 1 = o o () () () h= o () ( g) et g = o( f ) h= o( f ) () Fonctions équivlentes () Définition 16 : soit I un intervlle et un élément ou un extrémité de I (éventuellement + ou - ). Soit f et g deux fonctions définies sur I. On dit que g est équivlente à f si g est le produit de f pr une fonction qui tend vers 1 en. Nottion : On écrit 1) ( ) f g ( ) f. g f ( x) g( x) ( g( x) ) = o ( ) 2) l équivlence est comptible vec l multipliction, mis ps vec l ddition.