Injectivité, surjectivité, bijectivité des applications. Calculs de dérivées. Études de fonctions

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1 MPSI du lcée Rabelais semaine du 4 septembre 05 FONCTIONS NUMÉRIQUES : GÉNÉRALITÉS Injectivité, surjectivité, bijectivité des applications Exercice : Soit f : R R la fonction définie pour tout nombre réel x par : f(x) = x +x.. En discutant suivant la valeur de, résoudre dans R l équation : () f(x) =. L application f est-elle injective, surjective, bijective? Que vaut f(r)?. Montrez que f réalise une application -notée f - de [,] dans lui-même. f est-elle bijective? Exercice : Soit f :],[ R définie pour tout nombre réel x par : f(x) = x x Montrez que f est bijective et déterminez son application réciproque. Exercice : Soit f : [ /,+ [ R la fonction définie par f(x) =. Montrez que f réalise une bijection sur un intervalle J à préciser.. Explicitez l application réciproque de f. x +x+. Exercice 4 : On s intéresse aux parties paires et impaires de la fonction exponentielle :. On définit la fonction sinus hperbolique sh : R R par sh(x) = ex e x Démontrez que la fonction sh est une bijection de R sur lui-même et déterminez son application réciproque.. On définit la fonction cosinus hperbolique ch : R R par : ch(x) = ex +e x. Pourquoi la fonction ch : R R n est-elle pas injective? Montrez que sa restriction à R + induit une bijection de R + sur un intervalle à préciser et déterminez son application réciproque. Calculs de dérivées Exercice 5 : Déterminez les domaines de définition, de continuité, et de dérivabilité des fonctions suivantes. Calculez leurs dérivées.. x cosx + x x. x exp ( xsinx ) 5. x +sinx. x cos ( ln(+ x) ) 6. x ln ( ) +x 4. x ( 7. x ln ( x+ +x ) +x 4 ) x 8. x ln ( x +4e x) Études de fonctions Exercice 6 : On note f(x) = x +x x. Déterminez les ensembles de définition, continuité et dérivabilité de f.. Étudiez les variations de f.. Précisez les ites aux bornes du domaine de définition de f. 4. Représentez la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. Exercice 7 : Soit f : [0,] R la fonction définie par pour tout x [0,] par f(x) = x x+.. Étudiez les variations de f.. Démontrez que pour tout x [0,], f f(x) = x. Que pouvez-vous en déduire pour la courbe Γ représentative de f dans un repère orthonormé.. Représentez Γ f. Exercice 8 : Soit f : R + R la fonction définie pour tout x R + par f(x) = x +lnx. Montrez que f induit une bijection de R + sur R.

2 . Soit g : R R l application réciproque de f. Montrez que g est dérivable dans R et que pour tout x R g (x) = [ ] g(x) +g(x). Exercice 9 : Étudiez la fonction numérique définie par f(x) = x +x 4. Exercice 0 : ln(x). Étudiez la fonction numérique définie par f(x) = x.. En déduire les couples d entiers (a,b) tels que a < b et a b = b a.. Comparez e π et π e. Exercice : Étudiez la fonction f définie par f(x) = x x x+. Exercice : Inégalités. Démontrez que pour tout réel x 0, x x ln(+x) x.. En déduire la valeur de n n k= ( + k n ). c. admet un seul extremum? Résolution d équations Exercice 5 : Résoudre dans R + l équation x 6 +x 4 = 80 Exercice 6 : Montrez que l équation x 5 = x + admet au moins une solution positive. Exercice 7 : Discutez, suivant la valeur du paramètre λ R l existence et le nombre de solutions de l équation x λ (x ) = 0 Exercice 8 : Discutez, suivant la valeur du paramètre λ R l existence et le nombre de solutions de l équation ln(x) λ(x+) = 0 Exercice : Inégalités classiques. Établissez les inégalités suivantes :. Pour tout x R +, x x ln(+x) x.. Pour tout x R, cos(x) x.. Pour tout x R, sin(x) x. 4. Pour tout x R, e x +x. Exercice 4 : Pour m R, on définit la fonction f m par x 4(m )x+m+ 4x.. Déterminez le domaine de définition et de dérivabilité de f m. Explicitez f m.. Déterminez les valeurs de m pour lesquelles f m a. n admet pas d extremum? b. admet un maximum et un minimum?

3 MPSI du lcée Rabelais semaine du 4 septembre 05 CORRECTION DES EXERCICES Exercice.. Soit R () f(x) = = x +x On en déduit la discussion suivante : x x+ = 0 si = 0 alors () admet 0 comme unique solution si 0, () est une équation du deuxième degré. Son discriminant est = 4( ). D où la discussion suivante : si >, () n a pas de solution. si =, () admet une seule solution, x = =. Remarque : on peut prouver, mais ce n est pas demandé, qu il s agit de x. En effet, + = + + >. Par conséquent x >. Ainsi, pour tout [, ], l équation () admet exactement une solution dans [, ]. D après la caractérisation des bijections (point de vue équation), cela signifie que f : [,] [,] est bijective. Exercice. Pour prouver que f est bijective et déterminer son application réciproque, j adopte le point de vue équations. Résolvons, en discutant suivant la valeur de, l équation () = f(x) si <, () admet deux solutions distinctes : x = x = +. f n est pas surjective car n a pas d antécédents. f n est pas injective car a deux antécédents distincts f n est pas bijective car n a pas d antécédents. Notons f(r) l ensemble f(r) = {f(x); x R} f(r) est l ensmble des images par f des éléments de R. C est aussi l ensemùble des réels qui ont au moins un antécédent dans R. D après la discussion cidessus, f(r) = [,].. Comme l ensemble de toutes les images par f est [,], f induit une fonction de [,] dans lui-même. Notons-la f : [,] [,]. Montrons que f est bijective. Soit {,0,}. Alors l équation () admet une unique solution dans [,]. Soit tel que 0 < <. En ce cas, l équation () admet deux solutions réelles, notées x et x. Il s agit de prouver qu une exactement de ces deux solutions appartient à [,]. On observe alors que x.x = (produit des racines d un polnôme de degré ), de sorte que x et x sont inverse l une de l autre. Par conséquent, l une exactement appartient à [, ]. Soit donc R. () x +x = 0 si = 0, l équation () admet pour unique solution x = 0. si 0. Il s agit d une équation polnomiale du deuxième degré, de disciminant = 4(+ ) > 0. Elle admet donc deux racines réelles distinctes x = + + x = + Pour conclure, il s agit de prouver que de ces deux racines réelles, une exactement appartient à l intervalle ], [. Pour ce faire, observons tout d abord que x x = (pdt des racines ou babies identité géométrique ). De plus, x = + + > =. Ainsi, x >, ce qui garantit en outre que x <. Finalement, pour tout R, l équation () admet exactement une solution dans ],[. D après la caractérisation des bijections, cela signifie que f :],[ R est bijective. f admet donc une application réciproque, f : R ],[, qui est définie pour

4 tout R par f () est l unique antécédent de par f. Vu l étude précédente, il en résulte que Exercice. pour tout R, f () = + + et f (0) = 0. Adoptons le point de vue équations, et résolvons, en discutant suivant la valeur de, l équation () = f(x) Soient x et R. () = x +x+ { > 0 = x +x+ { > 0 x + x+ = 0 si 0 l équation() n a pas de solution. si > 0, () est une equation polnomialoe de degré. Son discriminant est = 4 4 ( ) = (4 ). D où la discussion suivante : si >, l équation () n a pas de solution. si =, () possède une unique solution x =. si 0 < <, () possède deux solutions réelles distinctes x = + 4 = 4 + x = 4 Visiblement, x tandis que x <. Par conséquent, x est la seule solution de () dans [ /,+ [. Ainsi, l équation () n admet de solution que pour ]0, ], et dans ce cas, elle admet exactement une solution dans [ /, + [. Par conséquent, f induit une bijection, notée f de [ /,+ [ dans ]0, ].. D après la question précédente, f : [ /,+ [ ]0, ] est bijective. Elle admet donc une application réciproque f :]0, ] [ /,+ [. Elle est définie par Exercice 4. pour tout ]0, ], f () = pour prouver que sh réalise une bijection de R sur lui-même et déterminer son application réciproque, j adopte le point de vue équation. Soit R. (4) = sh(x) = ex e x { e x = X;X > 0 X X = 0 { e x = X;X > 0 X = + + ou X = + On peut observer que + + > 0 et + < 0 par conséquent, (4) e x = + + x = ln ( + + ) Ainsi, pour tout R, l équation (4) admet une solution unique : x = ln ( + + ). D après le point de vue équation de la bijectivité c est dire que sh : R R est bijective et que son application réciproque est l application, notée Argsh : R R définie pour tout réel R par Argsh() = ln ( + + ). la fonction ch étant paire, elle ne peut être injective puisque les antécédents par ch sont deux à deux opposés. Par conséquent, on s intéresse à la bijectivité de 4

5 son application restreinte à R +. Soit donc x R + et R. On a : (5) = ch(x) = ex +e x > 0 = ex +e x > 0 e x = X;X > 0 X X + = 0 En ce cas, le discriminant de cette équation du deuxième degré d inconnue X est = 4( ). D où la discussion suivante : si 0, (5) n a pas de solution. si 0 < <, < 0 et (5) n a pas de solution. si. l équation du deuxième degré admet deux racines positives inverses l une de l autre (leur produit est égal à, leur somme est égale à > 0) : Bilan : Ainsi, si, nous avons X = + et X = (5) x = ln( + ) ou x = ln( + ) De ces deux solutions réelles, une seule est positive, à savoir ln ( + ). si <, l équation (5) n admet pas de solution dans R +. si, l équation (5) admet une solution unique dans R +, = ln ( + ) Du point de vue équation, cela se traduit par le fait que ch induit une application ch : [0,+ [ [,+ [ qui réalise une bijection. De plus, sa bijection réciproque est la fonction, notée Argch : [;+ [ [0;+ [ définie pour tout par Argch() = ln ( +, ) Exercice 5. les fonctions sont baptisées f,...,f 8.. f est définie sur R + et dérivable par OPA sur R +. De plus pr tout x > 0 f (x) = sinx + x cosx x(+ x) f(x) f(0) Remarque : on peut prouver que = +. donc f n est pas x 0 + x dérivable en 0, le graphe présente une demi-tangente verticale.. f est définie et dérivable sur R comme composée de fonctions. De plus, pour tout x R, f (x) = ( sinx xcosx)e xsinx. f est définie sur R + et dérivable par composée sur R +. de plus, pour tout x > 0, one has : f (x) = sin( ln(+ x) ) x+x Remarque : on peut montrer, mais c est un peu compliqué pour l instant, que f est dérivable en 0 et que f (0) =. 4. VERY IMPORTANT :la fonction f 4 est de la forme f 4 (x) = ( u(x) ) v(x). Dans ce cas, vous passez, même pour étudier l ensemble de définition, sous la forme exponentielle : f 4 (x) = exp [ v(x)ln ( u(x) )] = exp [ ( x)ln(+x 4 ) ] Sous cette forme, il apparait clairement que f 4 est définie et dérivable sur R, comme composée de telles fonctions. De plus, pour tout x R, la règle de dérivation en chaine ields to : ] f 4(x) = [ ln(+x 4 )+ 4( x)x +x 4 exp [ ( x)ln(+x 4 ) ] 5. f 5 est définie sur [,+ [ et dérivable sur l ouvert ],+ [ comme composée. De plus, pour tout x >, on a f 5(x) = +sinx (x )cos( x ) x (+sinx) Remarque : f 5 n estpasdérivableen.ilaenfaitunedemi-tangenteverticale. 6. f 6 est définie et dérivable sur R par composition. De plus, pour tout x R, on a : f 6(x) = x +x 7. f 7 est bien définie et dérivable sur R par composition. De plus, pour tout x R, f 7(x) = x + 5

6 Remarque : Vous l avez certainement reconnue, f 7 = Argsh. 8. f 8 est définie et dérivable sur R par composition. De plus, pour tout x R, Exercice 6. f 8(x) = ln(x +4e x ) 4x+4ex x +4e x. la fonction f est définie et dérivable sur R.. Soit x [0,] on remarque que f(x) = ( x). Ainsi, f f(x) = = ( ( f(x)) = ( ) x) ( ( x)) = x Ainsi, pour tout (x,) [0,] [0,], on a (x,) Γ f = f(x) f() = f f(x) x = f() (,x) Γ f. De plus, pour tout x R, f(x) = x + x, d où je tire f (x) = x + x. Ainsi pour tout x R, f (x) > 0 x + > 0 (x+)(x x+) > 0 x >. Au voisinage de ±, on a par OPA x ± f(x) = +. Au voisinage de 0±, on a par OPA 4. x 0 f(x) = + x 0 +f(x) = Le tableau suivant résume les variations de f : Exercice 7. x 0 + f (x) f(x) ց ր ր 4. f est défini sur [0,], dérivable par OPA sur ]0,]. De plus, pour tout x ]0,], f (x) = x. Par conséquent, pour tout x ]0,], f (x) < 0. f est donc strictement décroissante sur [0, ]. Au voisinage de 0:f n est pas dérivable en 0car f(x) = x +. x x 0 +. Autrement dit, le graphe Γ f de f est smétrique par rapport à la première bissectrice. Exercice 8.. f est définie et continue sur R +. De plus, f est strictement croissante sur R + comme somme de telles fonctions. De plus, par OPA sur des fionctions possédant des ites, on obtient aisément que x 0 +f(x) = f(x) = + x + Ainsi, d après le Théorème de la bijection f réalise une bijection de R + sur f(]0,+ [) =] 0 + f; + f[=] ;+ [= R.. Notons g : R R + son application réciproque. Montrons que g est dérivable sur R. En effet, f est dérivable sur R + et pour tout x > 0, f (x) = x+ x En particulier, f ne s annule pas sur R +. D après le théorème de dérivabilité d une application réciproque d une bijection, g est dérivable sur R et pour tout x R, on a : [ ] g (x) = f g(x) = g(x) +g(x) Exercice. Pour démontrer ces inégalités, vous étudiez (le signe de) la fonction différence. 6

7 . ϕ(x) = x ln( + x) est croissante sur R +. Par conséquent, la relation x 0 entraine ϕ(x) ϕ(0). En clair, ϕ est positive sur R +. ψ(x) = ln(+x) (x x ) est croissante sur R+. Comme ψ(0) = 0, il s ensuit que ψ is also non negative on R +. NdT : pour les anglo-saxons l adjectif positive (resp. negative) signifie strictement positif (resp. strictement négatif) à la différence de la convention française. Ainsi, pour dire qu une fonction est positive ou nulle, un anglais dira qu elle est non negative.. Soit ϕ(x) = cos(x) ( x ). ϕ (x) = sinx + x et ϕ (x) = cosx 0. Il s ensuit que ϕ est une fonction croissante. Comme elle s annule en 0, il en résulte que ϕ (x) 0 x 0. Ainsi, ϕ admet un minimum en 0. Comme ϕ(0) = 0, j en déduis finalement que pour tout x R, ϕ(x) ϕ(0) = 0. Il suffit de prouver que pour tout x R +, sinx x, ce qui revient à établir l encadrement x R +, x sinx x Soit ϕ(x) = sinx+x. ϕ est croissante et ϕ(0) = 0. Par suite ϕ est positive sur R +. Soit ψ(x) = sinx x. ψ est décroissante sur R + et ψ(0) = 0. Par suite, ψ est négative sur R +. Ainsi, pour tout x R +, on a x sinx x, i.e. sinx x. si x R, en ce cas, x R +, et d après l étude précédente, sin( x) x. Comme x sinx est paire, ceci prouve que sinx x. 7