Problème d'examen (Représentation triangulaire, ACP et élections)

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1 ISFA 2 année 2-21 Problème d'examen (Représenaion riangulaire, ACP e élecions) D. Chessel Les exercices (17-2) son indépendans du problème (1-16). 1. Quesions On considère la marice A à n = 14 lignes e p = 6 colonnes : > A [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] Paris [2,] Lyon [3,] Marseille [4,] Lille [5,] Bordeaux [6,] Toulouse [7,] Srasbourg [8,] Nanes [9,] Nice [1,] Monpellier [11,] Rennes [12,] Toulon [13,] Sain-Éienne [14,] Le Havre Les 14 lignes (individus) son 14 grandes villes. Les colonnes (variables) concernen le premier our des élecions présidenielles de Les colonnes concernen le premier our des élecions présidenielles de Les valeurs son les pourcenages de voix obenues calculés sur le oal des voix obenues par les quare premiers candidas (valeurs arrondies au cenième le plus proche). Le code des variables es : 1 - J. Chirac + V. Giscard d'esaing (1981) 2 - F. Mierand (1981) 3 - G. Marchais (1981) 4 - J. Chirac + R. Barre (1988) 5 - F. Mierand (1988) 6 - J.M. Le Pen (1988) Les rois premières colonnes de A formen la marice B à 14 lignes e 3 colonnes. Les rois dernières colonnes de A formen la marice C à 14 lignes e 3 colonnes. Les moyennes des variables de A son : xxxxxx 1.1. Donner la valeur manquane. Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 1

2 Figure Placer sur la figure 1 le cenre de gravié du nuage de poins en indiquan vore méhode Donner la base orhonormale de représenaions riangulaires. 3 R (pour la mérique canonique) qui perme de consruire les Figure Compléer à vore convenance la figure 2 e rédiger un commenaire pour le résula Expliquer en quoi on peu considérer que les deux paries de la figure 1 son des cares facorielles d'acp cenrée. Pour coordonner ces deux représenaions on fai les calculs qui suiven. Les variances des variables de A son : Le ableau cenré A associé à A es : [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 2

3 [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] [8,] [9,] [1,] [11,] [12,] [13,] [14,] La marice W= AA vau : n [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] xxxxxxx [2,] -.52 xxxxxxx [3,] xxxxxxx [4,] xxxxxxx [5,] xxxxxxx -.27 [6,] xxxxxxx 1.6. Donner les élémens de la diagonale principale Donner le rang e une base orhonormée du noyau de W. Les deux premières valeurs propres de W son : 1.1e e-3 Les deux veceurs propres associés en colonnes formen la marice U. U vau : [,1] [,2] [1,] [2,] [3,] xxxxxx.2266 [4,] [5,] [6,].5389 xxxxxx 1.8. Donner les valeurs manquanes Vrai ou faux? La marice UU es la marice d'un projeceur orhogonal. En uilisan les composanes des veceurs propres, on obien la figure 3. Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 3

4 Figure 3 Figure La figure 3 es-elle une projecion euclidienne? Les coordonnées facorielles des lignes de l'acp cenrée de A son : [,1] [,2] [1,] [2,] [3,] [4,].2.72 [5,] [6,] [7,] [8,] [9,] [1,] [11,] [12,] [13,] [14,] Commen ces valeurs son-elles calculées? En uilisan les coordonnées facorielles on obien la figure Es-il légiime de superposer les figures 3 e 4? La marice A es décomposée en deux blocs ( B e C ) e on consrui à l'aide de deux B marices nulles une nouvelle marice Z = C. [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] Paris_1 [2,] Lyon_1 [3,] Marseille_1 [12,] Toulon_1 [13,] Sain_Eienne_1 [14,] Le_Havre_1 Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 4

5 [15,] Paris_2 [16,] Lyon_2 [17,] Marseille_2 [26,] Toulon_2 [27,] Sain_Eienne_2 [28,] Le_Havre_2 On calcule ZU (projecion en individu supplémenaire) qui perme de racer la figure Caracériser la relaion qui exise enre les figures 4 e Vrai ou faux? Les ableaux A e Z on même marice de covariance Vrai ou faux? Le rang de la marice Z vau Oui ou Non? Les figures obenues représenen 9% de la variabilié conenue dans le ableau de données. Exercices On considère les 8 poins régulièremen réparis sur le cercle unié représenés sur la figure 6. On uilise la mérique canonique e la pondéraion uniforme. Quelle es l'inerie de ce nuage de poins (auour de l'origine)? Vrai ou faux? L'inerie de ce nuage de 8 poins projeé sur une droie passan par l'origine ne dépend pas de la droie Vrai ou faux? L inerie projeée sur le premier axe principal d une ACP normée sur p variables vau au moins Vrai ou faux? Dans une marice de corrélaion héorique sur p variables dans laquelle ous les coefficiens non diagonaux son égaux à α l'inerie projeée sur une des composanes 1+ p 1 α. principales vau ( ) Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 5

6 Figure 5 Figure 6 2. Soluions Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 6

7 1. C'es la moyenne de la dernière variable, soi Le cenre de gravié du nuage de poins a pour coordonnées dans la base canonique la moyenne des variables. Ces coordonnées formen une disribuion de fréquences (somme =1). Le poin moyen es posiionné comme une observaion. 3. La base orhonormale de R 3 (pour la mérique canonique) qui perme de racer les représenaions riangulaires es du ype (Chapire 1 du cours) : u v w e1 cos acosb sin a cos asin b H = = sin acosb cos a sin asin b e 2 e 3 sin b cosb On cherche u pour qu'il soi perpendiculaire au plan x + y+ z = 1, soi 2 1 cosb= sin b= H = π a = e b donné par : 4 Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 7

8 4. Figure 2 Figure 1 : double représenaion riangulaire de résulas élecoraux simplifiés. Les échelles ne son pas direcemen comparables mais la figure condui à comparer deux ypologies de villes suivan leurs résulas élecoraux. Lyon e Paris resen des villes de droie, Rennes, Nanes, Toulouse resen des villes de gauche, Monpellier rese proche de la moyenne. Une ville a largemen modifié sa posiion relaive dans l'ensemble (Le Havre). Cee figure peu conduire à des conclusions erronées car la roisième variable a une significaion insable. Pour informaion : à gauche, la double représenaion superposée qui donne une informaion rès différene e, à droie, la représenaion des axes dans le plan (voir 5) qui es une quesion difficile à laquelle vous avez échappé. On peu aussi discuer des bornes des deux riangles, des noions de permanence de srucure, de glissemen du nuage, de déplacemens des poins, Le ou es de donner un sens concre à la figure. 5. Les deux paries de la figure 1 son des cares facorielles d'acp cenrée. En effe, le nuage des 3 14 poins de R es dans le plan affine x + y+ z = 1. Le cenre de gravié es dans ce plan e le nuage cenré es dans le plan x+ y+ z =. Les axes principaux son donc dans ce plan e le plan du riangle es le plan des axes principaux. A une roaion près, la représenaion riangulaire es exacemen celle de l'analyse en composanes principales cenrée. Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 8

9 6. Les élémens de la diagonale principale son ou simplemen les variances, soien.35,.19,, La marice s'écri : Les veceurs : 1 1 AA AB n n W = 1 1 BA BB n n a b = = [ ] [ 1 1 1] son dans le noyau e en forme une base orhogonale. Les aures veceurs propres son orhogonaux e ne peuven annuler la marice ( A e B son de rang 2). Le rang de W es Par orhogonalié aux veceurs du noyau les composanes son de somme nulle par blocs de x = donne x = x = donne x = Vrai ou faux? La marice es la marice d'un projeceur orhogonal. C'es vrai : u1 x UU x = U = u1 x u1+ u2 x u2 = Psev( u )( x) 1, u2 u2 x 1. La figure 3 es-elle une projecion euclidienne? Oui car u1 u2 e1 U= Uij = ei u j e6 La base canonique e la famille u1, u 2 son orhonormales. En uilisan les composanes des u dans la base canonique, on projee la base canonique sur le plan u1, u 2 (principe du biplo). 11. Commen ces valeurs son-elles calculées? L= XU par exemple.814* * Illusrer par un exemple numérique. 12. Es-il légiime de superposer les figures 3 e 4? 6 Oui, car ce son des projecions sur un plan de R, d'une par d'un nuage de poins de ce espace, d'aure par de la base canonique du même espace. 13. Caracériser la relaion qui exise enre les figures 4 e 5. U 1 BU = = 1+ 2 = 2 + CU XU B C BU CU U Donc la figure 4, à la consane 2 près, représene les milieux des flèches de la figure Vrai ou faux? Les ableaux A e Z on même marice de covariance. NON Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 9

10 C'es manifesemen faux, car : AA n AA AB n n BB BA BB n n n 15. Vrai ou faux? Le rang de la marice Z es 4. OUI, les veceurs ( ) e ( 1 1 1). Le rang ne peur dépasser 4. Il es égal à 4 à cause des sous-marices de rang Oui ou Non? Les figures obenues représenen 9% de la variabilié OUI car la somme des variances donne l'inerie oale (2 e-4) e la somme des deux premières valeurs propres donnen l'inerie projeée (184 e -4). Le rappor dépasse Quelle es l'inerie de ce nuage de poins? Par définiion Vrai ou faux? L'inerie de ce nuage de 8 poins projeé OUI car l'inerie projeée ne peu dépasser la première valeur propre de XX e doi dépasser la seconde. Comme la marice XX es proporionnelle à l'idenié (le résula es le même pour la pondéraion uniforme ou la pondéraion uniaire) l'inerie projeée es consane. 19. Vrai ou faux? L inerie projeée sur le premier axe principal d une ACP... OUI, car : λ1+ λ λp = p λ1 1 λ1 λ2... λp 2. Vrai ou faux? Dans une marice de corrélaion héorique OUI, car : 1 α α 1 1 α 1 α 1 1 = ( 1+ ( p 1) α ) α α α Donc 1 p es axe principal e il exise une composane principale sur laquelle l'inerie projeée p vau la valeur propre 1 ( p 1) + α. Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 1

11 Pour refaire les calculs JC&VGE FM GM JC&RB FM JMLP Paris Lyon Marseille Lille Bordeaux Toulouse Srasbourg Nanes Nice Monpellier Rennes Toulon Sain_Eienne Le_Havre Biosaisique / Fiche exob.doc / Page 11

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