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1 Un enfant (obèe) de 60 kg court à 4 m/ ver une plaque circulaire qui tourne initialement dan la direction indiquée ur la figure. Quelle et la vitee de rotation quand l enfant et ur la plaque? uer.phyic.unc.edu/~rowan/p4ite/p4unit/unit11/wchap11-7.html Découvrez la répone à cette quetion dan ce chapitre.

2 Nou allon maintenant ajouter la rotation. Il pourra alor avoir deux mouvement pour un objet : un mouvement en ligne droite (qu on appellera tranlation) et un mouvement de rotation. Ce pourrait être, par exemple, avoir une balle qui roule le long d un plan incliné. Dan ce chapitre, nou allon preque uniquement parler de rotation autour d un axe fixe, c et-à-dire qui ne change pa d orientation. Cela exclut donc la decription du mouvement d une toupie, qui tourne ur elle-même en même temp que l axe de rotation change d orientation. Poition, vitee et accélération angulaire Pour être en meure de décrire le mouvement de rotation, on doit connaitre l orientation de l objet. Pour ce faire, on peut utilier un angle. Suppoon qu il y a une marque ur l objet (X ur la figure). On peut décrire l orientation en pécifiant l angle que fait cette marque par rapport à une référence = 0. On travaillera ici avec de angle en radian. Nou auron le choix de décider dan quelle direction on aura un angle poitif et dan quelle direction on aura un angle négatif. Le déplacement angulaire correpond au changement d orientation de l objet. Déplacement angulaire 1 On peut enuite utilier la vitee angulaire pour déterminer i un objet tourne plu ou moin rapidement ur lui-même. Si l objet tourne vite, l angle change rapidement et i l objet tourne lentement, l angle change lentement. Cela nou laie pener que la vitee angulaire correpond au taux de variation de l angle Vitee angulaire moyenne () Vitee angulaire intantanée () t d dt Ce vitee ont en rad/. Verion 016b 1 - La rotation

3 Dan ce chapitre, nou décriron uniquement la rotation de corp rigide, donc qui ne e déforment pa et qui ont la même vitee angulaire partout. Par exemple, i on fait tourner un pot de ju, on pourrait faire tourner le pot, mai pa le ju. La vitee angulaire du ju n et donc pa la même que celle du pot et il ne agit pa d un corp rigide. La vitee angulaire et reliée à la période dan le ca où la vitee angulaire et contante. On e rappelle que la période (T) et le temp que prend un objet pour faire un tour dan un mouvement circulaire. Aini, on tourne d un tour ( rad) pendant la période de la rotation (T) et on obtient le lien uivant entre la période et la vitee angulaire. Lien entre la période et la vitee angulaire (quand et contante) T Toutefoi, la vitee de rotation peut changer. Si une roue qui tourne ralentit, alor a vitee angulaire diminue. On peut décrire ce changement de vitee en donnant le rythme auquel la vitee angulaire change. Ce taux et l accélération angulaire. Accélération angulaire moyenne () t Accélération angulaire intantanée () d dt Ce accélération ont en rad/² Dan un contexte plu général, la vitee angulaire et l accélération angulaire ont de vecteur. Avec un axe fixe, il n et vraiment pa néceaire de le conidérer comme de vecteur. Seul le igne (elon notre en poitif choii) era néceaire. Équation de la cinématique de rotation i l accélération angulaire et contante Si l accélération angulaire et une contante, on peut intégrer le définition précédente pour obtenir le équation de la cinématique de rotation. On a alor d 0 t dt Verion 016b 1 - La rotation 3

4 et d 1 0 0t t dt Ça et fait peut-être un peu vite, mai dite-vou que c et exactement identique à ce qu on a fait au premier chapitre pour obtenir le équation de la cinématique de tranlation. Comme on a fait au chapitre 1, on peut également combiner ce deux équation pour former deux autre équation. On obtient alor le quatre équation uivante. Équation de la cinématique de rotation avec accélération angulaire contante t o 1 0 ot t t Comme dan le ca de la cinématique de tranlation, il y a preque toujour une de ce quatre formule qui va réoudre directement votre problème. Exemple La poulie de cette figure, initialement au repo, commencera à tourner dan la direction poitive avec une accélération angulaire contante de 3 rad/². a) Quelle et la vitee angulaire econde plu tard? La vitee angulaire et o t rad 03 ² 6 rad b) Quel et le nombre de tour fait par la poulie en 10 econde? Verion 016b 1 - La rotation 4

5 Pour trouver le nombre de tour, on va premièrement trouver le déplacement angulaire. Si on poe que la poition initiale et notre origine ( = 0), l angle final et notre déplacement angulaire. 1 0 ot t 1 rad 00 3 ² rad La poulie a donc tourné de 150 rad. Comme on fait un tour chaque rad, le nombre de tour et N 150 rad 3,87 rad La ditance parcourue, la vitee et l accélération à un certain endroit ur l objet en rotation Si on et ur une plaque en rotation à une certaine ditance de l axe, on parcourt une certaine ditance à meure que l objet tourne. Il exite bien ûr un lien entre la ditance parcourue () et le déplacement angulaire de l objet (). Ce lien vient en fait de la définition d un radian. La définition de l angle en radian et cnx.org/content/m4180/latet/?collection=col11406/latet r On a donc Ditance parcourue () à une ditance r de l axe pour déplacement angulaire de r On peut également trouver la vitee de déplacement d un objet qui rete continuellement à la ditance r de l axe. Pour y arriver, nou n avon qu à dériver l équation précédente pour obtenir Verion 016b 1 - La rotation 5

6 r d dr dt dt d d r dt dt On a pu ortir le r de la dérivée parce qu on veut avoir la vitee d un objet toujour à la même ditance de l axe, ce qui ignifie que r et donc une contante. On arrive donc à Grandeur de la vitee (v) à une ditance r de l axe v r Aini, plu on éloigne de l axe de rotation, plu la vitee era grande. C et ce qu on peut voir dan ce vidéo. Laiez faire le commentaire gra de Maurice et concentrez-vou ur le patineue. Vou voyez que le patineue doivent patiner plu vite, plu elle ont loin de l axe de rotation. Il en et aini parce que la vitee (v) augmente à meure qu on éloigne de l axe de rotation i la vitee angulaire () et contante. La vitee angulaire et contante puique toute le patineue doivent tourner du même angle durant le même temp pour que la ligne de patineue rete bien droite. On peut finalement trouver l accélération à une certaine ditance de l axe. Dérivon notre équation de la vitee. On a alor v r dv dr dt dt dv d r dt dt a r Puique la vitee et la vitee tangentielle (puique l objet et toujour à la même ditance r de l axe), on obtient en fait l accélération tangentielle (a T ). Sur la figure, elle et dan le même en que la rotation, ce qui ferait augmenter la vitee. Elle pourrait aui être orientée dan la direction oppoée à la rotation. Dan ce ca, la vitee diminuerait. en.wikipedia.org/wiki/centripetal_force Mai attention : il ne faut pa oublier que dan un mouvement circulaire, il y a aui l accélération centripète (a c ). On a donc Verion 016b 1 - La rotation 6

7 Grandeur de l accélération (a) à une ditance r de l axe Accélération tangentielle Accélération centripète Accélération at a c r v r r a a a T c Exemple 1.1. Une betiole et à 30 cm de l axe de rotation d une plaque tournante de 50 cm de diamètre. La vitee angulaire initiale et de 5 rad/ et elle augmente au rythme de 1 rad/². a) Quelle et la grandeur de la vitee de la betiole à ce moment? La vitee et v r rad 0,3m 5 1,5 b) Quelle et la grandeur de l accélération à ce moment? La grandeur de l accélération et m a a a T c On doit donc trouver en premier lieu le accélération tangentielle et centripète. L accélération tangentielle et Verion 016b 1 - La rotation 7

8 a T r 0,3m 1 3,6 rad m L accélération centripète et a c r rad 0,3m 5 7,5 m ² La grandeur de l accélération et donc a a a 8,3 T c m m 3,6 7,5 m ² ² ² Le condition de roulement an gliement Si une phère ou un cylindre roule an qu il y ait de gliement entre l objet et le ol, la rotation doit e faire à un rythme trè préci. Il y a bien ûr un lien entre la vitee du centre de mae et la vitee angulaire parce que i la vitee augmente, l objet doit tourner plu vite. Cela et bien évident : i vou augmentez la vitee de votre voiture, le roue tourneront plu vite. Pour trouver, le lien entre le deux, imaginon que la roue fae un tour durant le temp T. Dan ce ca, elle aura avancé d une ditance égale à la circonférence de la roue. La vitee et donc v cm R T Puiqu elle a fait un tour, la vitee angulaire et hyperphyic.phy-atr.gu.edu/hbae/rotwe.html T En comparant ce deux équation, on trouve facilement le lien entre la vitee et la vitee angulaire. Lien entre la vitee et la vitee angulaire il y a roulement an gliement vcm R Verion 016b 1 - La rotation 8

9 En dérivant par rapport au temp, on trouve également le lien entre l accélération et l accélération angulaire. Lien entre l accélération et l accélération angulaire il y a roulement an gliement acm R Exemple Une roue ayant un rayon de 0 cm roule an glier à une vitee de 5 m/. Quelle et a vitee angulaire? Sa vitee angulaire et m v 5 15 R 0, m cm rad Cherchon maintenant la vitee de quelque point de la roue. La vitee d un morceau de la roue et le réultat de deux vitee : la vitee de tranlation, qui et la même partout, et la vitee de rotation qui augmente à meure qu on éloigne de l axe. Sur le bord de la roue, la vitee de rotation et égale à la vitee du centre de mae il n y a pa de gliement, car v R cm v r R vcm On doit donc combiner le vitee indiquée ur la figure Verion 016b 1 - La rotation 9

10 Ce qui nou donne le réultat ur la figure de droite. On remarque que le haut de la roue va à v cm et que le ba de la roue à une vitee nulle. C et normal que le ba de la roue ait une vitee nulle parce qu elle ne glie pa. Si le ol et arrêté, il faut que le ba de la roue ait la même vitee pour que la roue ne glie pa. Cela ignifie que i vou allez en voiture à 100 km/h, le haut de vo roue e déplace à 00 km/h. Cela veut dire aui que i on poue un gro bloc de pierre qui roule ur de billot, le bloc, en contact avec le deu de billot, ira deux foi plu vite que le billot comme illutré ur la figure. quizlet.com/ /force-and-motion-eoct-review-flah-card/ Le condition pour une corde ur une poulie Quand une corde pae dan une poulie et qu elle ne glie pa, la vitee de la corde doit être la même que la vitee de la poulie à l endroit où pae la corde. Cela ignifie que i la corde pae dan la poulie à une ditance r de l axe de rotation, la vitee de la poulie à cette ditance de l axe doit être égale à la vitee de la corde. On doit donc avoir v corde v corde v poulie r De plu, i, on dérive pour obtenir le accélération, on arrive à Verion 016b 1 - La rotation 10

11 acorde r Le condition ont donc le uivante. Lien entre le vitee et le accélération pour une corde paant dan une poulie quand la corde ne glie pa ur la poulie v a corde corde r r où r et la ditance entre la corde et l axe de rotation Exemple Dan la ituation montrée ur la figure, quelle et la vitee du bloc B i le corde ne glient pa ur la poulie? La corde de droite a la même vitee que le bloc A. Comme cette corde pae dan la poulie à 100 mm de l axe, la vitee de la poulie à 100 mm de l axe doit être de 6 m/. La vitee angulaire de la poulie et donc v corde1 m r 6 0,1m 60 rad 3kg-radiu-gyration-kg-45mm-dete-q La corde de gauche a la même vitee que le bloc B. Comme cette corde pae dan la poulie à 30 mm de l axe, la vitee de la poulie à 30 mm de l axe doit être égale à la vitee du bloc B. Cette vitee et v B v corde rad 60 0,03m v B r 1,8 m Verion 016b 1 - La rotation 11

12 La tranmiion du mouvement de rotation Si deux roue ont en contact et qu il n y a pa de gliement entre le deux, il exite un lien entre le vitee angulaire de roue. Comme il n y a pa de gliement, la vitee de roue doit être la même au point de contact. On a donc v v 1 Ce qui nou donne La tranmiion du mouvement de rotation. R R 1 1 Cette relation rete valide même i le roue ne ont pa en contact, mai ont plutôt reliée par une courroie ou une chaine. Dan ce ca, R repréente la ditance entre l axe de rotation et l endroit où la courroie ou la chaine et en contact avec la roue. Exemple La poulie A ayant un rayon de 15 cm tourne avec une vitee angulaire de 10 rad/. La poulie B a un rayon de 10 cm, la poulie B, qui et oudée à la poulie B, a un rayon de 5 cm et la poule C à un rayon de 5 cm. Quelle et la vitee angulaire de la poulie C? Commençon par trouver la vitee angulaire de la poulie B. On a rad-pulley-b-radiu-1-q11465 ARA BRB rad 10 0,15m B 0,1m rad 15 B Verion 016b 1 - La rotation 1

13 La poulie B tourne avec la même vitee angulaire puiqu elle et oudée à la poulie B. On trouve donc la vitee angulaire de la poulie C avec B' RB' CRC rad 15 0,05m C 0,5m rad 3 C Objet qui tourne autour d un centre de mae immobile Si un objet tourne autour d un centre de mae immobile, on a, i on reprend la formule de l énergie cinétique obtenue au chapitre précédent, E k 1 mvcm 1 mv i i rel 1 mv i i rel La vitee de petite mae (v i ) et implement la vitee due à la rotation. Comme le centre de mae et au repo, cette vitee et la vitee par rapport au centre de mae (v rel ). La vitee et donc vrel r On obtient alor E 1 mv 1 miri K i i rel La vitee angulaire étant la même pour toute le petite mae, c et une contante qu on peut ortie de la omme. On a aini 1 Ek miri 1 mr i i Verion 016b 1 - La rotation 13

14 La quantité entre parenthèe et une quantité qui revient ouvent en rotation. Elle porte le nom de moment d inertie. Le moment d inertie d un objet (I) I mr i i où r et la ditance entre l atome et l axe de rotation (qui, ici, et au centre de mae). Cette quantité et en kg m². On verra plu loin que le moment d inertie nou indique i l objet et difficile à mettre en rotation. Plu un objet aura un moment d inertie élevée, plu il era difficile à mettre en rotation. C et l équivalent, pour le mouvement de rotation, de la mae, qui meure l inertie pour le mouvement de tranlation. Cependant, en rotation, l inertie ne dépend pa uniquement de la mae, elle dépend aui de la forme de l objet. Le terme «moment» vou intrigue peut-être. Il n et pa utilié ici dan le en d «intant», mai plutôt dan on en mathématique. Un moment et une quantité multipliée par une ditance avec une certaine puiance. Si la puiance et deux, comme c et le ca ici avec r², c et un moment d ordre. Remarquez que quand on calculait le centre de mae d un objet, on calculait un moment d ordre 1. Cette terminologie era préente partout dan ce chapitre. Dan le calcul de moment d inertie, il y a la ditance entre le petite mae et l axe de rotation. Ici, comme l axe et au centre de mae, on calcule le moment d inertie en utiliant le ditance entre chaque mae et le centre de mae. Pour indiquer qu on a calculé le moment d inertie avec le ditance du centre de mae, on note le moment d inertie I cm. En utiliant le moment d inertie, l énergie cinétique et donc Énergie cinétique d un corp qui tourne autour d un axe immobile qui pae par le centre de mae 1 Ek Icm Verion 016b 1 - La rotation 14

15 Exemple 1..1 L objet repréenté ur la figure tourne en faiant 1 tour par econde. Quelle et on énergie cinétique? (On néglige la mae de la tige et on conidère que le deux mae de 0 kg ont ponctuelle.) Pour calculer l énergie cinétique, on doit avoir le moment d inertie de l objet. I cm mr mr i i mr 11 0kg 0,5m 0kg 0,5m 10 kg m² web.njit.edu/~gary/78/lecture.html L énergie cinétique de rotation et donc E k 1 I 1 10 kg m 197,4J rad Si on avait trouvé la vitee de chacune de mae et enuite fait la omme de ½mv², nou aurion trouvé la même valeur. Notez qu un objet qui tourne ur lui-même dan le air ou dan l epace tourne néceairement autour de on centre de mae. Objet qui tourne autour d un axe immobile qui n et pa au centre de mae de l objet La formule de l énergie cinétique Calculon l énergie cinétique totale en ommant l énergie cinétique de chaque atome compoant l objet. On a alor 1 E mv k i i Verion 016b 1 - La rotation 15

16 Comme la vitee à une ditance r de l axe de rotation et v 1 Ek miri 1 mr i i r, on a On retrouve donc cette fameue omme de mae et de ditance au carré. Cette omme et le moment d inertie I mr i i et l énergie et donc Énergie cinétique d un corp qui tourne autour d un axe qui ne pae pa par le centre de mae Ek 1 I Le moment d inertie avec un axe ne paant pa au centre de mae Dan le calcul du moment d inertie, le ditance ne ont pa meurée par rapport à un axe itué au centre de mae, comme c était le ca avec I cm, mai par rapport à un axe itué à un autre endroit. Cela change toute le ditance et change complètement le réultat de la omme. La valeur de I d un objet dépend donc de la poition de l axe de rotation. Heureuement, il et poible de connaitre la valeur du moment d inertie avec n importe quel axe à partir de I cm. Puique la poition de la mae et aui On a alor r r r I m r r i cm i rel i i rel cm miri rel rirel rcm rcm mr i i rel mi ri rel rcm mr i cm ' mr i ' i mr i irel rcm mrcm mr mr r m r i i i irel cm i cm Verion 016b 1 - La rotation 16

17 Le deuxième terme et nul puique 1 mr m i irel r cmrel et le calcul de la poition du centre de mae en prenant le centre de mae comme origine. Il et évident que i le centre de mae et à l origine, on a r cm rel = 0. Il rete donc I mr mr i irel cm Le premier terme et le calcul du moment d inertie quand l axe et au centre de mae (I cm puique toute le ditance r rel ont meurée à partir du centre de mae. Dan le deuxième terme, on retrouve r cm qui et la ditance entre l axe et le centre de mae, qu on va appeler h. On a donc I à partir de I cm (théorème de axe parallèle) I I mh cm où h et la ditance entre le centre de mae de l objet et l axe de rotation. Notez que le deux axe en quetion (celui paant par le centre de mae et celui ne paant pa par le centre de mae) doivent être parallèle pour qu on puie appliquer cette formule. Exemple 1.. L objet repréenté ur la figure tourne en faiant 1 tour par econde. Quelle et on énergie cinétique? (On néglige la mae de la tige et on conidère que le deux mae de 0 kg ont ponctuelle.) web.njit.edu/~gary/78/lecture.html Pour calculer l énergie cinétique, on doit avoir le moment d inertie de l objet. On peut le calculer de deux façon. On peut faire I mr mr i i mr 11 0kg 0m 0kg 1m 0 kg m² On peut aui le trouver avec Verion 016b 1 - La rotation 17

18 I Icm mh 10 kg m² 40kg 0,5m 0 kg m² On a utilié la valeur de I cm trouvé à l exemple Comme le centre de mae de cet objet étant itué exactement à mi-chemin entre le deux boule, la ditance entre le centre de mae et l axe et h = 0,5 m. L énergie cinétique et donc E k 1 I 1 0 kg m ² 394,8J rad Objet qui e déplace et qui tourne autour d un centre de mae Il arrive qu un objet puie faire un mouvement de tranlation en même temp qu il tourne ur lui-même autour de on centre de mae. On peut pener aux roue d une voiture qui avance ou à un projectile qui tourne ur lui-même pendant on vol. Dan ce ca, on trouve l énergie cinétique avec 1 1 E mv m v k cm i irel La vitee v rel et l écart de vitee avec le centre de mae. v v v rel Puiqu on outrait la vitee du centre de mae, l effet de la tranlation et éliminé. Cela ignifie qu on doit uniquement conidérer la rotation dan le calcul de v rel. On a donc v rel, ce qui nou donne cm 1 1 Ek mvcm mv i i rel 1 1 mv m r 1 1 mv m r cm i i rel cm i i rel Verion 016b 1 - La rotation 18

19 Puique le terme entre parenthèe et le moment d inertie (calculé à partir du centre de mae puiqu on conidère le objet qui tournent autour de leur centre de mae), on a Énergie cinétique d un corp qui fait une tranlation et une rotation 1 1 Ek mvcm Icm Ekde tranlation Ekde rotation C et donc une imple omme de énergie cinétique de tranlation et de rotation. Exemple 1..3 Quelle et l énergie cinétique de cet objet e déplaçant à 5 m/ et tournant ur lui-même avec 1 tour/? L énergie cinétique et 1 1 Ek mvcm Icm Puiqu on ait déjà que le moment d inertie de cet objet et de 10 kgm² (exemple 1..1), on a web.njit.edu/~gary/78/lecture.html 1 1 Ek mvcm Icm kg 5 10 ² 500J 197,4J 697,4J m rad kgm On ait que le moment d inertie de corp et I mr i i Quand il n y a que quelque mae qui compoent le ytème, comme dan le exemple précédent où il n y avait que deux mae, ce n et pa trè long à calculer. Cependant, ça Verion 016b 1 - La rotation 19

20 peut devenir compliqué i on veut calculer le moment d inertie d une phère. Il faudrait alor faire la omme ur tou le atome formant la phère. Ça rique d être long. Heureuement, on aui peut faire le calcul du moment d inertie en utiliant le calcul intégral. On épare l objet en petite mae infinitéimale et on fait la omme avec l intégrale uivante. lim rm i i m0 r dm Généralement, le calcul du moment d inertie avec cette intégrale et aez complexe. Pour un objet en deux dimenion, il faut faire deux intégrale double et pour un objet en troi dimenion, il faut faire troi intégrale triple. Comme vou n avez jamai fait d intégrale double ou triple de ce genre, on ne demandera pa ce type de calcul. Vou pouvez cependant faire le calcul pour un objet en une dimenion, c et-à-dire pour une tige. Pour calculer le moment d inertie, on va éparer la tige en petit morceaux de longueur infinitéimale. Le moment d inertie et alor Icm x dm Chaque morceau a donc une longueur dx et une mae dm et et à une ditance x de l origine de l axe. La mae linéique de ce morceau et La mae du morceau et donc mae dm longueur dx dm dx Pour connaitre le moment d inertie, on doit donc réoudre Moment d inertie d une tige I x dx On va maintenant calculer le moment d inertie d une tige uniforme ( = contante) quand l axe pae par le centre de la tige. On a alor la ituation uivante. Verion 016b 1 - La rotation 0

21 Le moment d inertie et L Icm x dx L L 3 x 3 L 3 3 L L L 1 Puique la mae de la tige et m L on a comme réultat final Icm 1 ml 1 En procédant de façon un peu imilaire, mai en troi dimenion, on peut trouver le moment d inertie de pluieur objet. Voici le réultat pour 4 forme importante. Verion 016b 1 - La rotation 1

22 Moment d inertie de 4 objet de denité uniforme Bien d autre moment d inertie ont été calculé. Vou pouvez voir une lite plu complète ur ce ite. Verion 016b 1 - La rotation

23 Exemple Quel et le moment d inertie de cette phère? pixgood.com/moment-of-inertia-phere.html Avec une phère et un axe de rotation paant par le centre de mae, le moment d inertie et Icm 5 MR 5 5kg 0,m 0,08kgm Exemple 1.3. Quel et le moment d inertie de cette phère? pixgood.com/moment-of-inertia-phere.html Cette foi, l axe ne pae pa par le centre de mae de la phère. Le moment d inertie et donc I I mh cm Le premier terme ( ) et le moment d inertie d une phère quand l axe pae par le centre de mae. Ce moment d inertie et Icm 5 MR Dan le deuxième terme, h et la ditance entre l axe de rotation et le centre de mae de la phère. Ici, cette ditance et de 0 cm. On a donc I MR mh 5 5 5kg 0,m 5kg 0,m 0,8kgm Verion 016b 1 - La rotation 3

24 Nou allon maintenant appliquer le principe de conervation de l énergie mécanique avec de la rotation. Il faudra bien faire attention lor du calcul de l énergie cinétique. Il faut prendre la formule qui applique à la ituation. Exemple On tient dan une poition horizontale une tige de m et de 6 kg fixée par un bout à un pivot. Quelle era la vitee de l autre bout quand elle era en poition verticale i on laie tomber la tige? Comme il n y a qu un eul objet, l énergie mécanique et E E mgy mec k Avec la rotation, l énergie cinétique n et pa implement ½mv². Nou avon ici le ca d une tige tournant autour d un axe immobile ne paant pa par le centre de mae. L énergie cinétique et donc Ek 1 I Le moment d inertie et celui d une tige fixée par le bout. On peut trouver ce moment avec le théorème de axe parallèle. Verion 016b 1 - La rotation 4

25 I I mh cm 1 ml 1 mh ² kg m kg m kgm 1 h et égal à 1 m puique le centre de mae et au milieu de la tige et l axe de rotation et au bout de la tige. La ditance entre le deux et donc égale à la moitié de la longueur de la tige. (Notez qu on aurait pu aui calculer I aini 1 L ml ml ml ml kg m 8 kgm ² ) 3 I ml m Calculon maintenant le énergie mécanique aux intant 1 et. On va utilier un y = 0 itué à la hauteur de l axe de rotation. À l intant 1, la vitee angulaire de la tige et nulle et le centre de mae de la tige et à y = 0. On a donc 1 0 E I mgy À l intant, le centre de mae de la tige et à y = -1 m. On a donc E I mgy I mg m Appliquon maintenant le principe de la conervation de l énergie mécanique. En égalant le énergie aux intant 1 et, on a Verion 016b 1 - La rotation 5

26 E E 1 0 I mg1m 1 kgm kg m 3,83 N 0 8 ² 6 9,8 kg 1 On peut maintenant trouver la vitee du bout de la tige à partir de la vitee angulaire. rad v r rad v3,83 m v 7,66 m Exemple 1.4. Une boule initialement au repo roule an glier le long d une pente de h = 5 m de haut. La boule a une mae de 10 kg et un rayon de 0 cm. Quelle et la vitee de la boule au ba de la pente? Comme il n y a qu un eul objet, l énergie mécanique et E E mgy mec k Nou avon affaire ici à un objet qui e déplace et qui tourne ur lui-même. L énergie cinétique et donc et on a alor 1 1 Ek mvcm Icm Verion 016b 1 - La rotation 6

27 1 1 Emec mvcm Icm mgy À l intant 1, la vitee et la vitee angulaire ont nulle. Le centre de mae de la boule et à h + R = 5 m + 0, m = 5, m au-deu du ol. En plaçant notre y = 0 au ol, on a 1 1 E mvcm Icm mgy N 0010kg 9,8 kg 5,m 509,6J À l intant, la balle a une vitee, mai on centre de mae et à y = 0, m. On a donc 1 1 E mv cm Icm mgy 1 1 N mv cm Icm 10kg 9,8 kg 0, m Pour calculer cette énergie, il faut trouver le moment d inertie de la phère. Ce moment et I ² 10 0, cm mr kg m 0,16 kgm² 5 5 Il y a aui un lien entre la vitee angulaire et la vitee du centre de mae puique la phère roule an glier. Ce lien et L énergie mécanique à l intant et donc v R 0, m cm 1 1 N E mv cm Icm 10kg9,8 kg 0, m 1 1 v cm N 10kg v cm 0,16 kgm² 10kg 9,8 kg 0, m 0,m kg v kg v J 5 cm cm 19,6 7kg v cm 19,6J Selon la conervation de l énergie mécanique, on doit avoir que Verion 016b 1 - La rotation 7

28 509,6 7 cm 19,6 v 8,367 cm E E J kgv J m Grandeur du moment de force Nou allon maintenant examiner le effet d une force ur la rotation d un corp. Suppoon qu on a un objet pouvant tourner autour d un axe de rotation. Si on applique une force ur cet objet initialement au repo, l objet commence à tourner. La force entraine donc une accélération angulaire. Cependant, il n y a pa que la grandeur de la force qui compte, le point d application de la force et également trè important. Illutron ceci par un exemple. Suppoon que deux peronne, un gro et un maigre, aoient ur une balançoire. Si le deux peronne ont aie à la même ditance de l axe de rotation, on ait qu il ne peut y avoir d équilibre. La peronne la plu maigre e retrouve perchée dan le air. francai.itockphoto.com/photo balancoire-bacule-enfant-obeecartoon-petit-garcon.php Par contre, il et poible d obtenir un équilibre même i le force de chaque côté ont inégale. En variant le point d application d une de force, on peut rétablir l équilibre. Dan le ca de la balançoire, il faut changer l endroit où une de peronne et aie. On a alor la ituation uivante. wh.wd.wednet.edu/faculty/bue/mathhomepage/bueclae/apphyic/tudyguide/chapter8/rotationalequilibrium.html Verion 016b 1 - La rotation 8

29 On voit que la force plu importante à gauche et compenée par une ditance de l axe plu courte. Ceci montre bien qu il n y a pa que la force qui importe, la ditance à laquelle et appliquée cette force et tout aui importante. La condition d équilibre dan cette ituation et connue depui bien longtemp. Déjà Archimède la connaiait en 50 av. J.-C. On doit avoir, en e fiant aux variable ur la dernière figure. Pr Pr 11 Aini, i le papa a un poid deux foi plu grand que celui de a fille, il devra aoir deux foi plu prè de l axe de rotation i on veut avoir l équilibre. Avec peu de force, on pourrait donc oulever de objet trè lourd à l aide d un tel levier. Un enfant pourrait oulever un éléphant i la ditance entre l axe et le point d application de la force et uffiamment grande du côté de l enfant. C et ce qui avait fait dire à Archimède que i on lui donnait un point d appui et un levier aez long, il pourrait oulever le monde. pero.bbc.ca/login/jp/mecanique/machimp.html C et donc la force multipliée par la ditance qui détermine donc l effet d une force ur la rotation. On appellera cette quantité le moment de force. Il et noté avec le ymbole. Fr Le moment de force et en N m. (Même i le N m ont équivalent à de joule, on n utilie jamai le joule pour le moment de force.) On parle encore de moment puiqu il agit d une quantité multipliée par une ditance. Cette première formule du moment de force n et pa notre formule la plu générale puiqu elle e limite au ca où la force et perpendiculaire à une ligne allant du point d application de la force à l axe de rotation. Déjà, Archimède avait généralié ce concept en étudiant l équilibre de levier incliné ou même plié comme celui illutré ur la figure. Héron d Alexandrie (1er iècle apr. J.-C.) et Jordanu de Nemore (13 e iècle) obtinrent également une olution correcte pour l équilibre d objet de la orte. catalogue.mueogalileo.it/object/firtorderleverwithbentbeam.html Verion 016b 1 - La rotation 9

30 Examinon donc le ca où la force n et pa perpendiculaire à la ligne allant de l axe au point d application de la force. On a alor la ituation illutrée ur la figure uivante. Pour déterminer comment cette force influence la rotation, on la épare en compoante. Une compoante et perpendiculaire à la ligne r et l autre et parallèle à la ligne r. Évidemment, la compoante parallèle ne fait pa tourner l objet, eule la compoante perpendiculaire fait tourner l objet. La grandeur du moment de force quand la force et perpendiculaire et Fr On peut enuite déterminer la valeur de la force perpendiculaire à partir de F et de l angle. On a F F Fin 180 Fin puique in(180 -) = in. Aini, notre formule plu générale du moment de force et Moment de force () (torque en anglai) Fr in ou Fr Verion 016b 1 - La rotation 30

31 Il exite une autre formule équivalente pour le calcul du moment de force. Pour la trouver, on doit faire une droite qui prolonge le vecteur force. On prend enuite la ditance la plu courte entre cette droite et l axe de rotation ( ur la figure). Selon la figure, on a devient donc Autre formule pour le moment de force () r in 180 r r rin 180 r rin Cette ditance porte le nom de bra de levier. Le moment de force Fr Fr in On aurait pu e paer de cette formule, mai elle et parfoi utile, elon le donnée qu on a initialement, pour calculer plu rapidement le moment de force. Ce troi formule permettant de calculer le moment de force montrent clairement que la ditance a autant d importance que la grandeur de la force. Si on tente de fermer une porte en exerçant une force ur le penture, la porte ne bouge même pa, car on applique alor la force directement ur l axe de rotation et le moment de force et nul puique r = 0. Si on applique la force ur la porte, mai prè de penture, on pourra alor fermer la porte, mai la force qu on devra appliquer devra être trè grande. Cette grande force compene la petite ditance entre le point d application de la force et l axe de rotation. Si on applique la force à l autre bout de la porte (du côté de la poignée), on peut alor fermer la porte avec une force aez faible parce que la ditance et plu grande. Le outil Le moment de force et un concept trè important pour comprendre le fonctionnement de pluieur outil. Pour illutrer le tout, regardon ce qui e pae i vou tentez de dévier un boulon de cm de diamètre trè difficile à dévier. Dion qu il faut 10 Nm pour réuir à le dévier. Vou tentez premièrement de dévier le boulon avec vo main. Vou appliquez une force directement ur le bord du boulon, mai cela ne fait pa un moment de force trè important, car la ditance entre le point d application de la force et l axe de rotation et trè petite. Même avec une force de 100 N, vou ne pouvez pa dévier le Verion 016b 1 - La rotation 31

32 boulon puique l application d une force de 100 N à 1 cm de l axe de rotation donne un moment de force de 1 Nm. (100 N multiplié par 0,01 m). Vou devriez appliquer une force de 1000 N pour pouvoir dévier le boulon avec vo main. Si on prend maintenant une clé, on pourra atteindre le 10 Nm beaucoup plu facilement. Si la clé à 10 cm de long, il faudra une force de 100 N et i la clé a 5 cm de long, il faudra eulement 40 N. C et beaucoup moin que le 1000 N néceaire an outil! Signe du moment de force On doit aui déterminer le igne du moment de force. On commence par déterminer noumême quel era le en poitif pour la rotation. Enuite, on part de l axe, on va ver le point d application de la force et on tourne en direction de la force. Si on tourne dan le même en que notre poitif, le moment de force et poitif, i on tourne dan le en contraire de notre poitif, le moment de force et négatif. Moment de force net S il y a pluieur force qui agient ur un objet, le moment de force net ou réultant et implement la omme de tou le moment de force agiant ur l objet. Moment de force net ou moment de force réultant net Verion 016b 1 - La rotation 3

33 Exemple Quel et le moment de force net ur cette roue? Calculon le moment de force fait par chacune de force. La force de 13 N fait un moment de force de 1 Fr in 13N 0,min 90,6Nm Ce moment de force et négatif, car il fait tourner dan le en négatif puique la courbe qui part de l axe, va ver le point d application de la force et tourne dan la direction de la force va dan la direction contraire au en poitif. La force de 15 N fait un moment de force de Fr in 15N 0,min 90 3Nm Ce moment de force et négatif, car il fait tourner dan le en négatif puique la courbe qui part de l axe, va ver le point d application de la force et tourne dan la direction de la force va dan la direction contraire au en poitif. Verion 016b 1 - La rotation 33

34 La force de 5 N fait un moment de force de 3 Fr in 5N 0,1min130 1, 915Nm Ce moment de force et poitif, car il fait tourner dan le en poitif puique la courbe qui part de l axe, va ver le point d application de la force et tourne dan la direction de la force va dan la même direction que le en poitif. Le moment de force net et donc net,6nm3nm1,915nm 3, 685Nm Le moment de force fait par la force de gravitation La force de gravitation exerce ur chaque atome de l objet. On a donc toute une érie de moment de force qui exerce. On ne va tout de même pa ommer toute ce force chaque foi. Tenton d obtenir un réultat plu imple. Le moment de force fait par un atome et mgr i mgx i i i Si on omme tou le moment de force, on a Verion 016b 1 - La rotation 34

35 mgx i mx i i i g Or, puique x mx i i m mx mx cm i i cm on arrive à mxcmg Ce qui revient à mr mgr cm cm g in Cette équation ignifie qu on calcule le moment de force fait par la gravitation comme i la force au complet appliquait au centre de mae. En fait, ceci et notre preuve qu on doit mettre le point d application de la force gravitationnelle et au centre de mae. Exemple 1.5. Une tige de 10 kg et fixée à un pivot tel qu illutré ur la figure. Quel et le moment de force fait par la force de gravitation agiant ur la tige? Pour calculer le moment de force fait par la gravitation, on fait comme i toute la force de gravitation agiait au centre de mae. On a donc la ituation montrée ur la figure de gauche. Le moment de force et donc mgrcm in N 10kg 9,8 kg 0,5m in160 16,76Nm Verion 016b 1 - La rotation 35

36 Exemple Une plaque métallique de 100 kg et fixée à un pivot par un coin tel qu illutré ur la figure. Quel et le moment de force fait par la force de gravitation agiant ur la plaque? Encore une foi, on fait comme i toute la force de gravitation appliquait au centre de mae, comme on l a montré ur la figure. Pour calculer le moment de force, on devrait calculer la ditance entre le centre de mae et l axe aini que l angle entre la force et la ligne reliant l axe et le centre de mae. Quand cela arrive, il y a de bonne chance que la formule Fr permette de calculer plu implement le moment de force. Dan cette ituation, le bra de levier ( ) et de 5 m elon ce qu on peut voir ur la figure uivante. Le moment de force fait par la force de gravitation et donc Verion 016b 1 - La rotation 36

37 Fr mg r N 100kg 9,8 5m 4900Nm kg Lien entre et Suppoon qu une petite mae compoant un objet ubie une force (cette force et la force nette ur la mae). On a alor F i ma Comme il y a un axe de rotation fixe, l objet ne peut que tourner et l accélération doit donc être perpendiculaire à r. On va donc uniquement e concentrer ur cette compoante de la force perpendiculaire à r. Cette compoante donne une accélération tangentielle à la petite mae. i F ma T On peut enuite faire le manipulation uivante pour arriver à F ma T Frmar at mr r mr Si on omme enuite ur toute le mae compoant l objet, on a T mr i i mr i i I Verion 016b 1 - La rotation 37

38 La omme de moment de force compte tou le moment de force ur chaque mae compoant l objet, incluant ceux fait par de force interne et externe. int ext I Toutefoi, le moment de force fait par le force interne annulent tou. En effet, i deux petite mae compoant l objet attirent mutuellement, le deux force ont de même grandeur et exactement dirigée l une ver l autre. La ligne qui prolonge le force et donc exactement la même, ce qui veut dire que le bra de levier ( ) et le même. Le deux force font donc le même moment de force, mai de igne oppoé. Le deux moment de force interne annulent donc et on a Deuxième loi de Newton pour la rotation ext I On voit bien ici avec cette équation qu un objet ayant un moment d inertie plu élevée era plu difficile à accélérer. Prenon un exemple pour illutrer cela : nou allon faire tourner avec un même moment de force deux objet ayant de moment d inertie différent. Nou avon ici une phère et un cylindre de même mae (dion 10 kg) et de même rayon (dion 0 cm). Il ubient chacun deux force qui le font tourner. Toute le force ont de même grandeur (uppoon 50 N). Le moment de force ur chaque objet et donc hyperphyic.phy-atr.gu.edu/hbae/mi.html le même, car le force ont identique et elle appliquent à la même ditance de l axe de rotation. Avec le valeur uppoée, le moment de force ur chaque objet et de 0 Nm. Même i le moment de force ont identique, l effet et différent, car le moment d inertie ont différent. Le moment d inertie de la phère (0,16 kg m²) et plu petit que le moment d inertie du cylindre (0, kg m²). L accélération de la phère (15 rad/²) et donc plu grande que celle du cylindre (100 rad/²) même i le moment de force et la mae ont identique. La différence vient de la ditribution de la mae dan l objet. Plu la mae et prè de l axe de rotation, plu l objet era facile à faire tourner. Ce n et pa tellement urprenant, car plu on et prè de l axe de rotation, plu la vitee et petite pour une même vitee Verion 016b 1 - La rotation 38

39 angulaire. Comme il et plu facile de donner une petite vitee, il et plu facile de mettre en rotation l objet dont la mae et prè de l axe. La mae d une phère étant plu concentrée prè de l axe que la mae d un cylindre, le moment d inertie de la phère et plu petit et elle et plu facile à mettre en rotation. Voici une autre démontration de l effet de la ditribution de mae pour la valeur du moment d inertie. Le deux bâton dan ce vidéo ont la même mae et la même longueur, mai un et beaucoup plu facile à accélérer que l autre parce que la mae et plu prè de l axe. Dan le vidéo uivant, on laie tomber deux règle à partir d une poition verticale. Le deux règle ont de mae et de moment d inertie trè différent. Comme on a vu que la mae n a aucune influence ur la chute libre, on pourrait pener que le deux tige vont tomber en même temp. Cependant, une de tige a un moment d inertie beaucoup plu grand, elle et beaucoup plu difficile à tourner et elle tombe avec une accélération angulaire plu petite que l autre. On pourrait argumenter que la mae accrochée ur la règle augmente aui le moment de force ur la règle et qu elle devrait tomber plu vite. C et poible que, dan certaine ituation, l augmentation de l accélération angulaire cauée par l augmentation du moment de force domine la diminution de l accélération angulaire cauée par l augmentation du moment d inertie. Toutefoi, dan le ca de deux tige qui tombent, c et l augmentation du moment d inertie qui domine. Moment d inertie et évolution Un animal era fortement avantagé i le moment d inertie de e membre et petit, car le membre era plu facile à tourner. Si cela e produit pour de patte ou de jambe, cela veut dire que l animal pourra courir plu vite, ce qui et un avantage il eaye d attraper un autre animal ou il tente de e auver d un prédateur. Pour diminuer le moment d inertie, il faut concentrer la matière le plu prè de l axe de rotation. On y arrive en plaçant le mucle prè de articulation. On peut facilement voir ur cette image de cheval que le mucle de la jambe arrière e concentrent prè de l articulation alor que le bout de la jambe et trè peu plu.google.com/ /pot maif. Cette concentration de la mae diminue énormément le moment d inertie ce qui permet de mouvement beaucoup plu Verion 016b 1 - La rotation 39

40 rapide par rapport à ce qu on aurait i le même mucle étaient réparti plu uniformément dan la patte. Popeye et donc un véritable retardé de l évolution en ayant la mae de on bra concentré au bout du bra plutôt que prè de l épaule. Cette concentration de mucle prè de l articulation et tellement avantageue que parfoi le mucle ont aez loin de ce qu il contrôlent. Le mucle qui contrôlent le doigt ont, en grande partie, itué dan la moitié de l avant-bra le plu prè du coude. Il contrôlent le articulation de la main avec de grand tendon allant juqu aux doigt. fr.wikipedia.org/wiki/mucle_exteneur_de_doigt Verion 016b 1 - La rotation 40

41 Exemple d application de la deuxième loi de Newton pour la rotation Exemple L objet de la figure et initialement au repo. Quel et le nombre de tour qu il fera en 10 econde? Conidérez que le mae de 0 kg ont ponctuelle et négligez la mae de la tige. web.njit.edu/~gary/78/lecture.html On trouvera le nombre de tour à partir de l accélération en utiliant le loi de la cinématique. On trouvera cette accélération à partir du moment d inertie et du moment de force net qui agit ur l objet. Le moment d inertie de l objet et i i Le moment de force net et I mr 0kg 0,5m 0kg 0,5m 10 kgm² L accélération angulaire et net Fr in 10N 0,5m 10N 0,5m 10N m net 10Nm 1 I 10kgm rad La poition angulaire de l objet au bout de 10 econde et donc 1 0 0t t 1 rad 00 1 ² 10 50rad Ce qui nou donne le nombre de tour uivant 50rad N 7,96 Verion 016b 1 - La rotation 41

42 Exemple 1.6. Quelle et l accélération du bout de cette tige de 3 m qu on laie tomber? Il n y a pa de friction. On trouve l accélération du bout de la tige à partie de l accélération angulaire avec a r Nou allon trouver l accélération angulaire avec la deuxième loi de Newton pour la rotation. net I Pour la trouver il nou faut donc le moment de force net et le moment d inertie. Commençon par le moment de force net. Il y a deux force ur la tige : le poid et la normale. La omme de moment de force et donc FN 0mP 1,5m in90 P 1, 5m La ditance et nulle pour le moment de force fait par la normale, car elle applique directement ur l axe de rotation. Trouvon enuite le moment d inertie. Il agit du moment d inertie d une tige avec l axe de rotation au bout. On a déjà fait ce calcul dan un exemple précédent. 1 L 1 1 ml 3 I ml m Notre deuxième loi de Newton devient donc Verion 016b 1 - La rotation 4

43 L accélération du bout de la tige et donc P 1, 5m I 1 mg 1,5m ml 3 1 g1,5m 3m 3 4,9 rad ² ar 4,9 3m 14, 7 rad ² m Si on place un objet au bout de cette tige, elle ne pourra pa uivre le mouvement de la tige quand elle va commencer à decendre. Le bout accélère ver le ba avec 14,7 m/² alor que le objet en chute libre ont une accélération de 9,8 m/². C et ce qu on peut voir dan ce film. On a placé de pièce de monnaie un peu partout ur la tige. On voit qu à partir d une certaine ditance, l accélération de la tige et plu grande que g et le pièce ne peuvent uivre le mouvement de la tige. Elle quittent donc la tige et tombe en chute libre toute au même rythme. On peut montrer aez facilement que l accélération dépae g à partir de /3 de la longueur. Dan certain problème, il y a de objet qui font de mouvement de tranlation et d autre objet qui font un mouvement de rotation. Quand cela arrive, il faut faire la omme de force pour le objet qui font de tranlation et la omme de moment de force pour le objet qui font de la rotation. Exemple Quelle ont l accélération de bloc et la tenion de corde dan la ituation repréentée ur la figure? Il n y a pa de friction (auf entre la corde et la poulie, de orte que la corde ne glie pa ur la poulie.) On doit donc faire la omme de force ur le bloc puiqu il ont un mouvement de tranlation. On doit faire la omme de moment de force ur la poulie puiqu elle a un mouvement de rotation. Avec le équation obtenue, on pourra trouver l accélération et le tenion. wh.wd.wednet.edu/faculty/bue/mathhomepage/buecla e/apphyic/tudyguide/chapter4/tudyguide006part.html Verion 016b 1 - La rotation 43

44 Remarque importante ici : la tenion change quand la corde pae par la poulie. Dan le chapitre précédent, elle ne changeait pa, car on négligeait la mae de la poulie. Quand on tient compte de la mae de la poulie, une partie de la force ert à accélérer la poulie et la tenion change. C et pourquoi et ont utilié pour la tenion. Le force ur le bloc et la poulie ont donc Obervez bien comment ont été choii le poitif. On choiit arbitrairement de mettre l axe de x poitif ver le haut pour le bloc de 3 kg. Si le bloc de 3 kg va ver le poitif, le bloc de 4 kg va decendre. On doit donc mettre le poitif ver le ba pour le bloc de 4 kg. Aui, i le bloc de 3 kg va ver le x poitif, la poulie va tourner dan le en de aiguille d une montre. On doit donc mettre le en poitif dan le en de aiguille d une montre pour la rotation de la poulie. L équation de force pour le bloc de 3 kg et F mgt ma L équation de force pour le bloc de 4 kg et y y F m gt m a La omme de moment de force ur la poulie et TR 1 in 90TR in 90 I TRTR I 1 Nou avon 3 équation, mai quatre inconnue (le deux tenion, l accélération et l accélération angulaire). On pourra réoudre en trouvant un lien entre le deux accélération. La corde étant fixée aux bloc, elle a la même accélération que le bloc. Comme elle ne glie pa ur la poulie, cela veut dire que acorde R a R Verion 016b 1 - La rotation 44

45 Notre équation de moment de force devient donc a TR 1 TR I R Rete finalement à mettre le moment d inertie de la poulie, qui et un cylindre. On a donc No troi équation à réoudre ont donc 1 1 T1T Ma a TR 1 TR MR R mg 1 T1 ma 1 mgt ma 1 T1T Ma On peut réoudre en iolant le tenion dan le deux première équation et en ubtituant dan la troiième équation. On peut également additionner le troi équation pour obtenir 1 mg 1 T1 mg T T1T ma 1 ma Ma 1 mg 1 mg m1m Ma Avec le valeur de mae, on obtient N N 1 3kg 9,8 kg 4kg 9,8 kg 3kg 4kg 1kg a 9,8N 7,5kga a 1, 307 m ² On trouve la première tenion avec l équation de force ur le bloc de 3 kg. mgt ma N 3kg 9,8 T 3kg 1,307 kg 1 m 1 ² T 33,3N Verion 016b 1 - La rotation 45

46 On trouve la deuxième tenion avec l équation de force ur le bloc de 4 kg. mgt ma N 4kg 9,8 T 4kg 1,307 kg T m ² 33,97N Voici quelque remarque ur cet exemple. Si on avait négligé la mae de la poulie, on aurait obtenu une accélération de 1,4 m/². Avec une poulie de 1 kg, on et decendu à 1,307 m/². C et normal que ça baie puiqu on doit maintenant accélérer la poulie. S il y a plu de mae à accélérer avec le même force, l accélération et plu petite. On remarque qu il y a bien une diminution de la tenion dan la corde quand elle pae dan la poulie. Comme une partie de la force ert à accélérer la poulie, il rete moin de tenion dan la corde de l autre côté de la poulie. La tenion qui fait le moment de force qui a le même igne que l accélération era toujour plu grande que l autre tenion. Le deux tenion ne ont pa le deux eule force ur la poulie. Il y a aui le poid de la poulie et la normale (contact entre la poulie et l axe de rotation). Le poid et la normale n ont pa la même grandeur, car la normale doit annuler le poid et le deux tenion. On ne le a pa conidérée, car ce force ne font pa de moment de force. En effet, ce deux force appliquent au milieu de la poulie, donc ur l axe de rotation. Elle donnent donc un moment de force nulle puique la ditance r (ditance entre le point d application de la force et l axe de rotation) et nulle. Dan d autre problème, il y a de objet qui font, en même temp, de mouvement de tranlation et un mouvement de rotation. Quand cela arrive, il faut faire la omme de force et la omme de moment de force pour ce objet. Verion 016b 1 - La rotation 46

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