Exercice 1-5 points - Pour tous les élèves Une nouvelle attraction est ouverte dans un grand parc. Pour tout entier non nul n, on note p

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1 ermiale S - Bac blac de mathématiques Mars 6 Les calculatrices sot autorisées mais celles-ci e doivet être i échagées i prêtées durat l épreuve. Les quatre exercices serot rédigés sur ue feuille double séparée sur laquelle o oubliera pas de faire figurer ses om, préom et classe. Exercice - 5 poits - Pour tous les élèves Ue ouvelle attractio est ouverte das u grad parc. Pour tout etier o ul, o ote p = P( ) la probabilité de l'évéemet : «u problème techique se produit le jour sur cette attractio». O suppose qu aucu problème techique e se produit lors de la mise e service correspodat au premier jour. D après des études sur les attractios existates, il est supposé que: Si u problème techique se produit le jour, alors la probabilité qu u problème techique se produise le jour suivat est 3 5 Si l attractio a subi aucu problème techique le jour, la probabilité qu u problème techique surviee le jour suivat est 7 ) a) Préciser la probabilité, otée p, qu u problème techique surviee le premier jour. b) Justifier que p = 7 ) Calculer la probabilité que l attractio e subisse aucu problème techique la première semaie. 3) a) Reproduire sur la copie et compléter l arbre suivat: b) Motrer, e utilisat l arbre, que, pour tout etier o ul, o a: p + = p ) O défiit la suite ( u ) pour tout etier aturel o ul par: u = p 5 a) Démotrer que la suite ( u ) est géométrique. Préciser sa raiso et so premier terme. b) E déduire p e foctio de. c) Calculer la limite quad ted vers l ifii de la suite ( p ). Iterpréter ce résultat. + Page sur 6

2 Exercice - 5 poits Uiquemet pour les élèves 'ayat pas suivi la spécialité mathématiques O se place das le pla complexe mui d'u repère orthoormal (O ; u ; v ). O appelle A le poit d'affixe. O cosidère la trasformatio du pla f qui, à tout poit M d'affixe z associe le poit M' d'affixe z' défiie par z' = z + ) Détermier les atécédets du poit O. ) Existe-t-il des poits ivariats par f? Si oui, préciser leurs affixes respectives. ( O rappelle qu'u poit ivariat est u poit cofodu avec so image) 3) Motrer que deux poits symétriques par rapport à O ot la même image. Que peut-o dire des images de deux poits symétriques par rapport à l'axe des abscisses? 4) Soit B le poit d'affixe z B = ( + i ). a) Ecrire z B sous forme expoetielle. b) E déduire que B appartiet au cercle de cetre O et de rayo. c) Détermier l'affixe du poit B' image de B par f d) Motrer que B' appartiet au cercle de cetre A et de rayo. e) Motrer que les poits O, B et B' sot aligés. i 5) Soit θ u ombre réel apparteat à l'itervalle [; π[ et M le poit d'affixe e θ. a) Motrer que M appartiet au cercle de cetre O et de rayo. b) Lorsque θ varie, motrer que M', image du poit M par f, reste sur u cercle dot o précisera le cetre et le rayo. c) Vérifier que OM' = cos(θ) OM. Que peut-o e déduire quat aux poits O, M et M'? d) Expliquer la costructio du poit M'. Exercice - 5 poits Uiquemet pour les élèves ayat suivi la spécialité mathématiques Das cet exercice, o appelle uméro du jour de aissace le rag de ce jour das le mois et uméro du mois de aissace, le rag du mois das l aée. Par exemple, pour ue persoe ée le 4 mai, le uméro du jour de aissace est 4 et le uméro du mois de aissace est 5. Partie A : Lors d ue représetatio, u magicie demade aux spectateurs d effectuer le produit de calcul (A) suivat : «Preez le uméro de votre jour de aissace et multipliez-le par. Preez le uméro de votre mois de aissace et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux ombres obteus. Je pourrai alors vous doer la date de votre aiversaire». U spectateur aoce 38 et e quelques secodes, le magicie déclare : «votre aiversaire tombe le er août!». ) Vérifier que pour ue persoe ée le er août, le programme de calcul (A) doe effectivemet le ombre 38. ) a) Pour u spectateur doé, o ote j le uméro de so jour de aissace, m celui de so mois de aissace et z le résultat obteu e appliquat le programme de calcul (A). Exprimer z e foctio de j et de m et démotrer que z et m sot cogrus modulo. b) Retrouver alors la date de l aiversaire d u spectateur ayat obteu le ombre de 474 e appliquat le programme de calcul (A). Page sur 6

3 Partie B : Lors d ue autre représetatio, le magicie décide de chager so programme de calcul, oté programme de calcul (B). Pour u spectateur dot le jour de aissace est j et le uméro du mois de aissace est m, le magicie demade de calculer le ombre z défii par z = j + 3m. Das les questios suivates, o étudie différetes méthodes permettat de retrouver la date d aiversaire du spectateur. ) Première méthode : O cosidère l algorithme suivat : Variables : j et m sot des etiers aturels raitemet : Pour m allat de à faire : Pour j allat de à 3 faire z pred la valeur j + 3m Afficher z Fi Pour Fi Pour Modifier cet algorithme pour qu il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que j + 3m = 53 ) Deuxième méthode : a) Démotrer que 7 m et z ot le même reste das la divisio euclidiee par. b) Pour m variat de à, doer le reste de la divisio euclidiee de 7 m par. c) E déduire la date de l aiversaire d u spectateur ayat obteu le ombre 53 avec la programme de calcul (B). 3) roisième méthode : a) Démotrer que le couple ( ;7) b) E déduire que si u couple d etiers relatifs ( ; ) ( x ) ( y) + = 3 7. est solutio de l équatio x + 3y = 53. x y est solutio de l équatio x + 3y = 53, alors c) Détermier l esemble de tous les couples d etiers relatifs ( x; y ), solutios de l équatio x + 3y = 53. d) Démotrer qu il existe u uique couple d etiers relatifs ( ; ) x y tel que : y. E déduire la date d aiversaire d u spectateur ayat obteu le ombre 53 avec le programme de calcul (B). Exercice 3-5 poits - Pour tous les élèves Partie A O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l itervalle [ ; + [ par f(x) = x e x ) Détermier la limite de la foctio f e +. ) Détermier la dérivée f de la foctio f sur [ ; + [ et e déduire le tableau de variatio de f sur [ ; + [ 3) Justifier que si x [ ; ] alors f(x) [ ; ] O doe e aexe la courbe c représetative de la foctio f das u repère du pla. La droite Δ d équatio y = x a aussi été tracée. Partie B Soit la suite ( u ) défiie par u = et, pour tout etier aturel, u + = f ( u ) ) Placer sur le graphique doé e aexe, e utilisat la courbe c et la droite Δ, les poits A, A et A d ordoées ulles et d abscisses respectives u, u et u. Laisser les tracés explicatifs apparets. Page 3 sur 6

4 ) Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, u 3) Motrer que la suite ( u ) est décroissate. 4) a) Motrer que la suite ( u ) est covergete. x b) O admet que la limite de la suite ( u ) est solutio de l équatio x e = x. Résoudre cette équatio pour détermier la valeur de cette limite. Partie C O cosidère la suite ( S ) défiie pour tout etier aturel par S = k = u k = u + u u k= Compléter l algorithme doé e aexe afi qu il calcule S Exercice 4-5 poits - Pour tous les élèves O cosidère les foctios f et g défiies pour tout réel x par : x f(x) = e et g(x) = Les courbes représetatives de ces foctios das u repère orthogoal du pla, otées respectivemet c f et c g, sot fouries e aexe 3. Partie A Ces courbes semblet admettre deux tagetes commues. racer au mieux ces tagetes sur la figure de l aexe 3. Partie B Das cette partie, o admet l existece de ces tagetes commues. O ote d l ue d etre elles. Cette droite est tagete à la courbe c f au poit A d abscisse a et tagete à la courbe c g au poit B d abscisse b. ) a) Exprimer e foctio de a le coefficiet directeur de la tagete à la courbe c f au poit A. b) Exprimer e foctio de b le coefficiet directeur de la tagete à la courbe c g au poit B. c) E déduire que b = a ) Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. Démotrer que le réel a est solutio de l équatio (x ) e x + = Partie C O cosidère la foctio φ défiie sur Y par φ(x) = (x ) e x + ) a) Calculer les limites de la foctio φ e et + b) Calculer la dérivée de la foctio φ, puis étudier so sige. c) Dresser le tableau de variatio de la foctio φ sur Y. Préciser la valeur de φ(). ) a) Démotrer que l équatio φ(x) = admet exactemet deux solutios das Y. b) O ote α la solutio égative de l équatio φ(x) = et β la solutio positive de cette équatio. A l aide d ue calculatrice, doer les valeurs de α et β arrodies au cetième. 3) Motrer que e α = α e α e x Page 4 sur 6

5 Partie D Das cette partie, o démotre l existece de ces tagetes commues, que l o a admise das la partie B. Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. O ote E le poit de la courbe c f d abscisse α et F le poit de la courbe c g d abscisse α (α est le réel défii das la partie C). ) Démotrer que la droite (EF) est tagete à la courbe c f au poit E (o pourra utiliser la répose à la questio 3) de la partie C) ) Démotrer que (EF) est tagete à c g au poit F. Aexe Δ c Aexe Déclaratio des variables : S et u sot des ombres réels k est u ombre etier Iitialisatio : u pred la valeur... S pred la valeur... raitemet : Pour k variat de à... u pred la valeur u S pred la valeur... Fi Pour Afficher... Page 5 sur 6 e u

6 Aexe 3 c f c g Page 6 sur 6

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