Algorithmes gloutons

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1 Algorithms gloutons L prinip l lgorithm glouton : ir toujours un hoix lolmnt optiml ns l spoir qu hoix mènr à un solution glolmnt optiml. Égypt On ppll rtion égyptinn un rtion l orm n v n N.. Soint t ux ntirs (prmirs ntr ux) tls qu <. Donnr l xprssion l rtion égyptinn l plus grn prmi ls rtions égyptinns stritmnt plus ptits qu t l xprssion lur iérn.. On onsièr l lgorithm suivnt : Xs gypt (, ) : = { lol, ; := ; :=numr( /) ; :=nom( /) ; s i == lors rturn ; sinon := irm (, ) ; := iquo (, ) +; rturn (, gypt (, *) ) ; s i ; } : ; ns lqul l ntré (;) st un oupl ntirs v <. Érir un vrsion itértiv l lgorithm.. Qull st l sorti l lgorithm v l ntré (,) = (,n + ) où n st un ntir nturl non nul?. Qul st l rôl t lgorithm? Démontrr.. L lgorithm glouton proposé onn-t-il un éomposition n somm rtions égyptinns v l minimum trms possils? Un résolution. = irm(, ) + ) + ( + Il n y ps ntir n tl qu > n > + puisqu l s érit ussi < n < +.

2 . Un vrsion itértiv :. Xs gypt (, ) : = { lol k, tmp ; // k i n i t i l i s é à squn vi : k := sq [ ] ; // on réuit l r t i o n / : tmp: =numr( /) ; :=nom( /) ; :=tmp ; // oul prinipl : tntqu <> ir // jout un élémnt à l séqun k : k := k, ( iquo (, ) +) ; // r t i o n rstnt t s i m p l i i t i o n tt r t i o n : tmp:= irm (, ) ; := * ( iquo (, ) +) ; :=numr(tmp/) ; : =nom(tmp/) ; tntqu ; // jout u rnir énomintur à l séqun : k := k, ( ) ; rturn k ; } : ; n + = n + + (n + )(n + ). L lgorithm érit l quotint sous l orm un somm rtions égyptinns à énominturs stritmnt roissnts. () L lgorithm s trmin., ésignnt i-ssous l numértur t l énomintur près réution l rtion. A hqu étp, i. Soit = ( st à ir irm(, ) = 0) t l lgorithm s trmin. ii. Soit. Dns s, on irm(, ) 0 (puisqu, l rtion étnt irréutil, on non multipl ). On on 0 < irm(, ) < t 0 < irm(, ) <. Ls rtions irm(,) ) sussivs ont (près réution) s numérturs stritmnt éroissnts ( + ompris ntr t : l lgorithm s trmin. () L list s énominturs rnvoyé pr l lgorithm st stritmnt roissnt. On > pour puisqu st réuit t + puisqu. On on > + lorsqu (t ussi, çon lir, lorsqu = puisqu > à tout étp). On on : + < +

3 En utrs trms, l rtion irm(,) ) st stritmnt plus ptit qu l rtion égyptinn préént. Ls rtions égyptinns otnus ns l suit l éomposition ( + sront on stritmnt plus ptits qu l rtion égyptinn t on à énominturs stritmnt plus + grns.. L nomr trms n st ps miniml. L lgorithm rnvoi pr xmpl l éomposition suivnt : lors qu l on : Ou nor : 0 = = = = lors qu : = + + Ls épruvs ns l gymns Dns un gymns oivnt s éroulr un séri épruvs. Ls épruvs n sont ps sulmnt rtérisés pr lurs urés : hqu épruv st rtérisé pr un t éut i t un t in i. On souhit "sr" l plus possil épruvs, ux épruvs n pouvnt voir liu n mêm tmps (lurs intrvlls tmps oivnt êtr isjoints). Glouton Glouton Glouton Glouton On tri ls épruvs pr uré roissnt, on hoisit l plus ourt, puis l plus ourt prmi lls qui lui sont omptils, puis...c hoix mèn-t-il u éroulmnt un nomr épruvs mximl? On tri ls événmnts pr ts ommnmnt roissnts t on gloutonn : on hoisit l événmnt ommnçnt l plus tôt, puis l plus tôt prmi ls événmnts omptils...mêm qustion. On tri tt ois ls événmnts pr nomr intrstions roissnt : on hoisit or lui qui intrst l moins événmnts, puis...mêm qustion. On tri ls événmnts pr ts in roissnts t on gloutonn : on hoisit l épruv s trminnt u plus tôt, puis l épruv s trminnt u plus tôt prmi lls qui sont omptils à l prmièr...mêm qustion.

4 Un résolution Glouton Non optiml. Contr-xmpl : l k i L lgorithm hoisit i : un épruv lors qu ux sont possils. Glouton Non optiml. Contr-xmpl : L lgorithm hoisit un épruv u liu plusiurs. Glouton Non optiml. Contr-xmpl : Glouton L lgorithm hoisit t trois événmnts sront hoisis u totl. Alors qu l on put lirmnt n hoisir. Optiml. On not l t in l plus ptit. Soit Γ = {,,..., k } un nsml ts in épruvs éinissnt un solution optiml v < < < k. Si, on rmpl un épruv orrsponnt à pr un épruv orrsponnt à, l st possil puisqu < <... L nsml Γ = {,,..., k } st on églmnt optiml (mêm nomr épruvs). On not nsuit l t in l plus ptit prmi ls ts in épruvs omptils v ( st à ir ls épruvs t éut > ). Si, on rmpl un épruv orrsponnt à pr un épruv orrsponnt à, l st possil puisqu omptil v t <... L nsml Γ = {,,..., k } st on églmnt optiml (mêm nomr épruvs).... Monni. On ispos piès monni (sns limit tis) hlouis, hlouis t hloui. On hrh l çon pyr n hlouis (n ntir nturl) n utilisnt l moins possils piès. On gloutonn insi : on utilis s piès hlouis tnt qu on put, puis s piès tnt qu on put, puis s piès. Ctt gloutonnri onnr-t-ll un répons optiml?. L mêm gloutonnri onuit-ll à un nomr miniml piès lorsqu ls piès sont s piès 0,, t?

5 . Soit p N, p. L mêm gloutonnri onuit-ll à un nomr miniml piès lorsqu ls piès sont s piès, p, p, p,..., p k? Un résolution. L xistn piès hloui ssur qu l lgorithm onn un çon pyr. Mis l lgorithm n rnvoi ps un solution optiml. Av Xs : Xs monni(n,,, ) : = { lol n, n, n ; n:= iquo (n, ) ; n:= irm (n, ) ; n:= iquo (n, ) ; n : irm (n, ) ; n := iquo (n, ) ; n:= irm (n, ) ; rturn ( n, n, n, n) ; } : ; monni(,,,) rnvoi (,0,,0). L rnir 0 signii qu tout st pyé : v piè hlouis t hloui. Alors qu on put pyr v piès sulmnt ( piès ).. Av xs : Xs monni(n,,,, ) : = { lol n, n, n, n ; n:= iquo (n, ) ; n:= irm (n, ) ; n:= iquo (n, ) ; n : irm (n, ) ; n := iquo (n, ) ; n:= irm (n, ) ; n:= iquo (n, ) ; n:= irm (n, ) ; rturn ( n, n, n, n, n) ; } : ; L répons l lgorithm st optiml ns s. Un solution optiml : () utilis u plus un piè (sinon on rmpl piès pr un piè 0), () u plus piès (sinon on rmpl piès pr un + un ). () u plus piè (sinon on rmpl piès pr un piè ). L somm pyé v ls piès,, st on u plus + + = 0. Ell n vut ps 0 (sinon on rmpl pr un piè 0). Ell vut on u plus. L nomr piès 0 utilisés st on égl à n, st à ir l nomr lulé pr l lgorithm glouton. 0 Pour pyr l rst, st à ir n := mo(n,0), un solution optiml pyr n piès t u plus + = hlouis. Ctt somm st n it < (sinon...) t l nomr piès utilisés st on n. D mêm pour l nomr piès.

6 . L lgorithm st optiml ns s églmnt. Xs mony(n, p, k ) : = { lol j, l i s t ; l i s t := sq [ ] ; pour j k jusqu 0 ps ir l i s t := l i s t, ( iquo (n, p^ j ) ) ; n:= irm (n, p^ j ) ; pour ; rturn l i s t ; } : ; Un solution optiml utilis : () u plus p piès vlnt p k (sinon on n rmpl p pr un piè p k ). () u plus p piès vlnt p k (sinon on n rmpl p pr un piè p k ). ()... L somm pyé v ls piès, p,..., p k st on u plus : (p )( + p + p + + p k ) = (p ) pk p = pk l nomr piès p k hlouis utilisés ns un solution optiml pour pyr n hlouis st on n p k, st à ir l nomr étrminé pr l lgorithm...t insi suit (lin v lgorithm s ivisions n s pour l éritur un nomr n s p). Dux lgorithms sur s grphs. Couplg Soit G un grph, on ppll ouplg tout nsml rêts tl qu ux rêts qulonqus t nsml n sont jmis inints à un sommt ommun. Ls rêts u grph i-ssous sont ponérés. On imrit étrminr un ouplg pois mximl. Appliqur l prinip glouton ( st à ir : hoisir l rêt pois mximl, puis l rêt pois mximl prmi ls rêts qu l on put nor hoisir...). Aoutit-on à un ouplg pois mximl?

7 Un résolution L hoix glouton mèn à hoisir or l rêt pois : puis l rêt pois : C ouplg un pois + = t n st ps mximl :. Arr pois mximl Algorithm Kruskl. Un rr ns un grph G st un sous-grph qui n possè uun yl. Ls rêts l rr issous sont ponérés. L hoix glouton (on hoisit l rêt pois mximl, puis l rêt pois mximl prmi lls qui puvnt nor êtr hoisis...) mèn-t-il à un rr pois mximl? On mttr : «Tous ls rrs ouvrnts un grph onnx G ont l mêm nomr rêts (à svoir n où n st l nomr sommts).»

8 Un résolution On hoisit l rêt pois mximl, puis l rêt pois mximl prmi lls qui puvnt nor êtr hoisis... : l prinip st l mêm qu pour l ouplg mis l ontrint n st plus l mêm... L hoix glouton mèn à hoisir or l rêt pois : puis l rêt pois : puis l rêt pois : l rêt pois :

9 t nin l rêt pois : Ct lgorithm port l nom lgorithm Kruskl. Il mèn toujours à un rr ouvrnt pois mximl ( prgrph suivnt). Ii l rtèr mximl st évint puisqu ls pois s rêts non hoisis sont tous stritmnt inériurs u min s pois s rêts hoisis, tout éhng iminurit on l pois totl. On pourrit voir un sitution priori plus miguë v pr xmpl (l uxièm n st ps hoisi pr l lgorithm r il rmrit un yl) :. Mtroï. Ls ouplgs un grph onstitunt un mill nsmls «héréitir» : si un nsml H rêts st un ouplg u grph G lors tout nsml H rêts ontnu ns H st ussi un ouplg u grph G.

10 Ls nsmls rêts un grph G ngnrnt un grph sns yl vériint églmnt tt propriété héréité : si un nsml H rêts ngnr un grph sns yl lors tout nsml H rêts ontnu ns H ngnr ussi un grph sns yl.. Formultion l lgorithm glouton pour un oupl (E,I ) où E st un nsml ini élémnts (pr xmpl : l nsml s rêts un grph) t I un mill prtis E héréitir (pr xmpl, l mill s ouplgs ou l mill s grphs sns yls un grph). Ls élémnts I sront nommés prtis inépnnts. Entré l oupl (E, I ) t un ontion pois w (à vlurs positivs) éini sur E. Tritmnt J :=, A := E TntQu A := élémnt A pois mximl A := A Si J + st un prti inépnnt lors J := J + FinTntQu Sorti J L lgorithm s trmin toujours (puisqu E st ini). Sous rtins onitions (voir i-ssous), il onnr un prti inépnnt pois mximl.. L mill s nsmls rêts un grph ngnrnt un grph sns yl vérii l propriété éhng (on n l émontrr ps ii) : «si H t H sont s nsmls rêts u grph G ngnrnt un grph sns yl t si H < H lors il xist un élémnt H tl qu H + ngnr un grph sns yl.» D çon plus générl, un systèm (E,I ) héréitir sr pplé mtroï s il vérii l propriété éhng : «si H t H sont s prtis inépnnts t si H < H lors il xist un élémnt H tl qu H + st un prti inépnnt.» () Vériir qu l mill s ouplgs un grph n possè ps l propriété éhng. () Vériir qu pour un systèm héréitir qui n st ps un mtroï l lgorithm glouton énoné i-ssus put n ps mnr à un prti inépnnt pois mximl. () Vériir qu, pour un mtroï, l lgorithm glouton i-ssus mèn à un prti inépnnt pois mximl (t n prtiulir, l lgorithm Kruskl onn un rr ouvrnt pois mximl). Un résolution L ouplg suivnt 0

11 n put ps êtr «omplété» n un ouplg pr un rêt u ouplg : On vu un xmpl plus hut v ls ouplgs. D çon plus générl : Soit (E,I ) un systèm héréitir n vériint ps l propriété éhng. Soint I t J ux prtis inépnnts v I < J tlls qu pour tout J I, I + n st ps un prti inépnnt. Notons p = I. Soit w éini sur E pr : p + pour I w() := p + pour J I 0 sinon L lgorithm v or épuisr ls élémnts I, tout rêt évntullmnt jouté nsuit sr pois nul. L lgorithm onstruit on un prti pois p(p + ) = p + p, qui n st ps mximl puisqu J pès u moins (p + ) = p + p +. Soit I = { ; ;...; n } un prti inépnnt otnu pr l pplition l lgorithm (ls élémnts i étnt numérotés ns l orr lur hoix ns l pplition l lgorithm, on n prtiulir : w( ) w( ) w( n )). Soit J = { ; ;...; l } un prti inépnnt qulonqu (on put supposr w( ) w( ) w( l )). On l n sinon on put joutr un j à I t l lgorithm n s srit ps rrêté sur l nsml I otnu. On w( ) w( ) puisqu l lgorithm éuté n hoisissnt un rêt pois mximl ( { } t { } sont s prtis inépnnts pr héréité). Supposons qu w( )+w( )+ +w( k ) w( )+w( )+ +w( k ). Il xist v { ; ;...; k ; k+ } { ; ;...; k } tl qu { ; ;...; k } {v} st un prti inépnnt. On w( k+ ) w(v) puisqu l lgorithm hoisit k+ t w(v) w( k+ ). On on w( ) + w( ) + + w( k ) + w( k+ ) w( ) + w( ) + + w( k ) + w( k+ ). On on w(i ) w(j). L s à os. L s à os u mriolur. Un volur évlisnt un mgsin trouv n ojts. L ojt numéro i vut v i uros t pès w i kg. L volur vut qu son utin it l plus grn vlur (n uros) possil mis n put ps mportr

12 plus W kg ns son s à os. Glouton L résultt st-il optiml n hoisissnt l ojt l plus hr prmi ux qui puvnt tnir ns l s, puis l plus hr prmi ux qui puvnt nor tnir... Glouton L résultt st-il optiml n hoisissnt or ls ojts plus grn prix u kg?. Ls ojts sont mintnnt s quntités rtionnls (pr xmpl 0 kg un rtin pour). L lgorithm glouton onsistnt à hrgr ns l s à os l plus grn quntité u prouit l plus hr u kg, puis l plus grn quntité u prouit l plus hr u kg prmi ux qui rstnt...onn-t-il un solution optiml? Un résolution. Glouton Pr xmpl, W = kg. Av ojts, un pois t prix 00. Dux utrs pois t t prix 0 t 0, on voit qu tt prmièr strtégi n ontionn ps. Glouton L strtégi n st ps non plus néssirmnt optiml. Av W = : Ojt prix n uro mss n kg prix pr kg L lgorithm glouton mèn à hoisir ojt t ojt : vlur uros tnis qu l hoix ojt t ojt onn l vlur uros.. L lgorithm onn un solution optiml (l omplxité l lgorithm st on nviron ll un tri ). pour n o... n quntité n kg ns un solution optiml Q Q Q... Q n quntité n kg hoisi pr l lgorithm q q q... q n L hoix it ns l lgorithm prmt irmr q Q. Si q > Q, on rmpl ns l solution supposé optiml, un pois q Q pris ns ls pours,,..., n pr l pois q Q pour ( st possil puisqu l pois q pour étit possil) t on otint un vlur totl stritmnt plus grn. Contrition. Don q = Q. Il nous rst à rmplir W q kg v ls pours,,..., n. On proè pr réurrn v ls mêms rgumnts.. L s à os l spion L présnttion u s à os ns tt stion été utilisé ns un lgorithm hirmnt (Mrkl- Hllmn) pour lqul on pourr trouvr l prinip étillé ii : On ispos un suit ini ntirs s, s,..., s k supr-roissnt, st à ir tll qu s j > j l= s l ( j k). On s onn un ntir C > 0 t on hrh si l somm rtins élémnts s j st égl à C, st à ir si l on put trouvr (ε,ε,...,ε k ) {0;} k tl qu k j = ε j s j = C. Montrr qu l lgorithm glouton i-ssous résout l prolèm :

13 Xs sos ( l i s t,c) : = { // l i s t : séqun supr roissnt n t i r s // C : somm à ttinr lol j, longuur_list, solu, s ; longuur_list := s i z ( l i s t ) ; solu := sq [ ] ; pour j longuur_ list jusqu 0 ps i r s := l i s t [ j ] ; s i s<=c lors solu := solu, s ; C:=C s ; s i ; pour ; s i C==0 lors rturn solu ; sinon rturn " ps solution " ; s i ; } : ; sos([,,,,0],) rnvoi pr xmpl,,. Un résolution. Uniité l solution lorsqu ll xist. Soit (x, x,..., x k ) un solution u p s à os, st à ir un élémnt {0;} k tl qu x s + x s + + x k s k = C. Supposons qu l on ispos un utr solution (y, y,..., y k ). On x s + x s + + x k s k = y s + y s + + y k s k () Supposons qu x k = t y k = 0. Comm s st suprroissnt, on urit lors x s +x s + +x k s k s k > s +s + +s k y s +y s + +y k s k = y s +y s + +y k s k où un ontrition. On étlit mêm qu x k = 0 t y k = st impossil. On on x k = y k. () On on l églité suivnt : ()... x s + x s + + x k s k = y s + y s + + y k s k L mêm risonnmnt montr qu l on x k = y k. L solution st on uniqu.. Dns l s où l s à os proposé n ps solution, l lgorithm rnvrr "ps solution". Dns l s où l s à os proposé un solution (néssirmnt uniqu puisqu l séqun st suprroissnt), il s git étlir qu l lgorithm onnr toujours tt solution. Notons (x, x,..., x k ) {0;} k tt solution. On pos pour l pruv ε i = 0 lorsqu s i n st ps ns l list solu onstruit pr l lgorithm t ε i = lorsqu s i st ns l list solu onstruit pr l lgorithm. () L lgorithm ommn pr omprr s k t C. Si s k > C, l lgorithm rnvoi ε k = 0 ( st à ir n jout ps l élémnt s k ns l list solu) t il st lir qu l on églmnt x k = 0 (sinon l somm j x j s j st stritmnt plus grn qu C ).

14 Si s k C, l lgorithm rnvoi ε k = ( st à ir jout l élémnt s k à l list solu). Et on églmnt x k =, sinon v l suprroissn : k j = Dns tous ls s, nous voyons qu ε k = x k. k x j s j = x j s j < s k C. j = () L lgorithm trnsorm C n C ε k s k t v on mintnnt résour l prolèm u s à os v l séqun suprroissnt (x, x,..., x k ) t l somm C ε k s k. (x, x,..., x k ) st évimmnt l uniqu solution s à os. Et l mêm risonnmnt qu à l étp préént montr qu ε k = x k. ()... Ainsi l lgorithm trouv l uniqu solution lorsqu il y n un. Colortion s sommts un grph On hrh à otnir un olortion s sommts un grph qui stisss à l ontrint suivnt : ux sommts voisins n ont jmis l mêm oulur. Un qustion s pos : qul st l plus ptit nomr oulurs prmttnt olorir ls sommts un grph sous tt ontrint? ( plus ptit nomr st pplé nomr hromtiqu u grph). On onsièr l lgorithm suivnt : Donné un grph G t s oulurs,,,...ls sommts G sont numérotés à n (s,s,...,s n ). Prossus pour i llnt à n, tr u sommt s i l plus ptit oulur non éjà té à ss voisins éjà oloriés ( st-à-ir l plus ptit oulur non éjà té à ux s sommts s,s,...,s i qui lui sont jnts). En utrs trms, on gloutonn : on prn lolmnt l plus ptit nomr possil. Sorti Un olortion vli u grph G. Mis l nomr oulurs utilisés st-il miniml?. L lgorithm n ournit ps néssirmnt un olortion optiml. Appliqur t lgorithm u grph i-ssous v ls ux numérottions s sommts proposés : () (). Ct lgorithm onn-t-il l nomr hromtiqu u grph? Un résolution. ()

15 (). L lgorithm n onn on ps toujours l nomr hromtiqu, mis on put émontrr qu il xist toujours un numérottion s sommts tll qu l olortion onné pr l lgorithm soit optiml t onn on l nomr hromtiqu (voir plus loin).. Nomr mximl oulurs utilisés pr l lgorithm Montrr qu t lgorithm onnr toujours un olortion utilisnt u plus (G) + oulurs (où ésign l gré mximl s sommts). Un résolution Lorsqu on olori ls sommts suivnt t lgorithm, l numéro l oulur ttriué u sommt s i st u plus + {s, s,..., s i } Voising(s i ) t + {s, s,..., s i } Voising(s i ) +. L lgorithm put onnr un olortion optiml. Montrr qu l olortion u grph i-ssous st optiml mis qu ll n put ps êtr otnu pr l lgorithm.. Étlir qu il xist toujours un numérottion initil G tll qu l pplition l lgorithm onn un olortion optiml ( st à ir v χ(g) oulurs). Un résolution. L présn un tringl ssur qu χ t l olortion proposé utilisnt oulurs, ll st optiml. Mis tt olortion n put êtr otnu pr l lgorithm érit i-ssus, r ns tout pplition t lgorithm ls sommts t ont l mêm oulur. En t si l un s ux st oloré vnt lors il prn l oulur numéro t l utr qu il soit oloré vnt ou près l prnr ussi ( prnnt néssirmnt un utr oulur puisqu jnt à un sommt éjà oloré n oulur ). Si st oloré vnt ls sommts t, soit l oulur numéro t lors t prnnnt l oulur numéro, soit n ps l oulur numéro t lors t l prnront. g i h

16 . Supposons isposr un olortion optiml G pr ls oulurs,,..., χ(g). On numérot or ls sommts oulur, puis ls sommts oulur,...l pplition l lgorithm ur lors pour t olorir l oulur ls sommts qui étint oulur, l oulur ou l oulur ls sommts qui étint oulur, l oulur ou ou ux qui étint oulur...on utilisr on u plus χ(g) oulurs. Ctt rmrqu n rn ps plus opértionnl l lgorithm présnté : il y n t n! numérottions initils s sommts t ls ssyr touts onnnt rpimnt s tmps lul uoup trop longs.. Un très muvis olortion? L lgorithm présnté n onn ps néssirmnt un olortion optiml. Mis un très muvis olortion (u point vu u nomr oulurs utilisés) st-ll possil? Soit k un ntir. Construir un grph G nomr hromtiqu t un numérottion s sommts grph G tll qu l pplition l lgorithm préént onn un olortion v k oulurs. Un résolution Av l grph suivnt : onn l olortion suivnt n trois oulurs : lors qu ux oulurs suisnt t puvnt s otnir v l mêm lgorithm n numérotnt insi : Sur l mêm moèl, un numérottion "lign pr lign" u grph suivnt :

17 onnr un olortion v oulurs tnis qu un numérottion pr olonn onnr un olortion optiml n ux oulurs. L ltur générlisr isémnt.. Grph intrvlls On rprn l prolèm u gymns. On hrh mintnnt l nomr miniml gymnss prmttnt l éroulmnt tous ls événmnts. Glouton Ls ts in u plus tôt ynt prmis l éroulmnt un nomr optiml épruvs v un sul gymns, on ssi "rmplir" l gymns u mximum v prinip, puis on pss à un gymns, puis...l résultt sr-t-il optiml? Glouton On rprésnt pr xmpl ls intrvlls tmps : pr l grph : g g Montrr qu un olortion u grph pr l lgorithm glouton érit plus hut utilis un nomr oulurs égl u nomr hromtiqu v un numérottion s sommts orrsponnt à l orr s xtrémités guh s intrvlls. Un résolution. L résultt n st ps optiml. Contr-xmpl : h L gymns vrr s éroulr ls épruvs : h,,, l gymns :, l gymns :, g l gymns :. g

18 Alors qu gymnss suisnt : h,, ;,, ;, g. Ctt uxièm réprtition st ll qu l on otint v l glouton : g h. Sur l xmpl, hoix onn l olortion : Lorsqu un sommt v rçoit un oulur k, st qu l xtrémité guh l intrvll v pprtint à k intrvlls (sinon on pourrit hoisir un oulur k pour v). Tous s intrvlls s intrstnt on (l xtrémité guh v st ommun à tous) t l grph présnt on un liqu orr k, on l nomr hromtiqu st u moins k. Lors u éroulmnt s JO, rmplir u miux l gymns "prinipl" n st on ps omptil priori v l utilistion un nomr miniml gymnss.. Algorithm Brlz On éinit, à tout étp l lgorithm, l gré-oulur un sommt omm l nomr oulurs éjà utilisés pour ss voisins. Donné un grph G t s oulurs,,,...(ls grés-oulur sont initilisés à 0). Prossus Prnr prmi ls sommts gré-oulur mximl un sommt gré mximl, lui ttriur l plus ptit oulur possil. Mttr à jour ls grés-oulur. Sorti Un olortion vli u grph G. Mis l nomr oulurs utilisés st-il miniml? Exri. Appliqur l lgorithm u grph i-ssous :

19 g. Montrr qu l olortion otnu n st ps néssirmnt optiml ( st à ir : put mnr un nomr oulurs stritmnt supériur u nomr hromtiqu).. Montrr qu l lgorithm Brlz olor ls grphs iprtis n ux oulurs. Un résolution. On onsièr l grph i-ssous. A hqu étp, on iniqu l triplt gré-oulur, gré, oulur : 0,,/ 0,,/ 0,,/ 0,,/ 0,,/ 0,,/ 0,,/ On hoisit un sommt gré mximl, pr xmpl :

20 ,,/ 0,,,,/,,/ 0,,/,,/ 0,,/ On oit hoisir nsuit :,,/,,,,,,/,,/,,/,,/ On oit nsuit hoisir g :,,,,,,,,/,,/,,/,,/ 0

21 On put hoisir l suivnt u hsr prmi ls qutr non olorés, pr xmpl :,,,,,,,,/,,/,,/,, On oit nsuit hoisir :,,,,,,,,/,,,,/,, puis :

22 ,,,,,,,,,,,,/,, puis :,,,,,,,,,,,,,, L olortion st évimmnt optiml (présn un tringl).. On onsièr l grph i-ssous :

23 h g Choisissons n prmir :,,/,,/ 0,,/ 0,,,,/ 0,,/ 0,,/ 0,,/ Puis :,,/,,/ 0,,/,,,,,,/ 0,,/,,/ puis :

24 ,,/,,/,,/,,,,,,,,/,,/ Puis h :,,,,/,,/,,,,,,,,/,,/ puis :,,,,,,/,,,,,,,,/,,/

25 puis g :,,,,,,,,,,,,,,/,,/ On on utilisé oulurs, lors qu suisnt :. Soit G un grph iprti (onnx, sinon on risonn omposnt pr omposnt). On olori, n oulur, un sommt gré mximl (prti A). Puis on olori néssirmnt un sommt voisin (gré-oulur ), u prti B, n un oulur. A un étp k, supposons qu tous ls sommts oloriés A sont n oulur t tous ls sommts oloriés B sont n oulur. Ls grés-oulur sont on tous. Prmi ls sommts non oloriés, rtins sont voisins un sommt olorié (onnxité) t sont gré-oulur. L lgorithm hoisit un non olorié gré-oulur, il sr olorié n oulur s il st ns A (r il st voisin sommts B mis ps A) t n oulur s il st ns B (r il st voisin sommts A mis ps B).