Modèles simples de la Variabilité Climatique. Cours 4: Oscillations de basse fréquence dans la troposphère aux latitudes tempérées

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1 Modèles simples de la Variabilité Climatique François Lott Cours 4: scillations de basse fréquence dans la troposphère aux latitudes tempérées 1 bservations 2 Le modèle simple de Charney et DeVore (1977) 3 Résolution numérique 1

2 Trajectoire caractéristique d une dépression sur l Atlantique Nord 2

3 Exemple de la modification de la Trajectoire des dépressions sur l Atlantique Nord 3

4 Exemple de la modification de la Trajectoire des dépressions sur l Atlantique Nord 4

5 Statistiques de l évolution du Géopotentiel à 700hPa Mois d hiver, , données NCEP Moyenne Déviation standard Déviation standard basse fréquence Déviation standard haute fréquence 5

6 Analyse Spectrale des variations du Géopotentiel à 700hPa Données NCEP sans cycle annuel, Evidence d oscillations? Z700 sur le Pacifique Nord-Est (NCEP Data): 4383 pts, lissage a 36 pts w*s(w) 40 jours jours jours Spectre Median 95% Filtre jours 0,01 0,1 Frequence w (Cycles/jour) Cycle du moment Angulaire Torques (N) and Angular Momenta (Nd) M and T cycle during days Pacific oscillations 73 cases, NCEP T M T B M Integral of T M Lag (days) 6

7 Composites du géopotentiel à 700hPa sur les oscillatons du Pacifique Nord-Est à jours -9 jours -6 jours -3 jours 0 jours 3 jours 6 jours 9 jours 12 jours 7

8 Approximation du plan β X 3 Ω y x z λ φ X 2 Dérivée particulaire: X 1 D Dt = t + u λ a cos φ λ + u φ a φ + w r t + u x + v y + w z Avec: x = a cos φ 0 (λ λ 0 ), y = a (φ φ 0 ), et z = r a. Terme de Coriolis: 2Ω sinφ 2Ω sinφ 0 + 2Ω cosφ 0 (φ φ 0 ) f 0 + βy Continuité: (div u = 0) u x + v y + w z = 0 Equations de la quantité de mouvement horizontale: Du Dt (f 0 + βy) v = 1 ρ r p x + F u Dv Dt + (f 0 + βy) u = 1 p ρ r y + F v Les termes de sphéricité tan φ uv a et tan φu2 a sont aussi négligés. 8

9 z Modèle de Saint Venant P o η(x,y,t) H u(x,y,t) h(x,y) x Equilibre Hydrostatique: p = P 0 + ρ r g (η z) Conditions aux limites cinématiques: w = Dη Dt en z = H + η ; w = Dh Dt en z = h Dérivée particulaire: D Dt = t + u x + v y Continuité: H+ u η h x + v y + w dz = (H + η h) z u x + v + D y Dt (H + η h) = 0 Continuité: (H + η h) Récapitulatif: u x + v + D (H + η h) = 0 y Dt Quantité de mouvement: Du Dt (f 0 + βy) v = g η x + F u Dv Dt + (f 0 + βy) u = g η y + F v 9

10 Approximation Quasi-Géostrophique: HP BP Equilibre géostrophique: f 0 u g η y = f 0u g ; f 0 v g η y = f 0v g la vitesse géostrophique (u g,v g ) est non divergente Equations quasi-géostrophique: D g u g f 0 v βyv g = g η x + F u D g v g + f 0 u + βyu g = g η y + F v u (H + η h) x + v + D g (H + η h) = 0 y Avec: D g = t + u g x + v g y Vorticité Potentielle: ψ + f D g H + h η = xf v y F u H + h η ψ = g f 0 η est le fonction de courrant de la vitesse géostrophique; f = f 0 + βy Vorticité Potentielle Quasi-Géostrophique: D g Linéarisation pour η et h petits: ψ + f f2 0 gh ψ + f 0 H h } {{ } V PQG = x F v y F u 10

11 y ndes de Rossby: ψ<0 f=f o+ β y v g v g δξ C δξ C δξ x v g v g ψ>0 ψ>0 Sans forçage (h = F u = F v = 0) dans un écoulement moyen au repos et pour de petites perturbations, la conservation de la VPQG devient: ψ f2 0 t gh ψ + ψ x β = 0 Ce qui donne, pour une onde monochromatique, ψ(x, y, t) = R ( ˆψe i(ωt kx) ), la relation de dispersion des ondes de Rossby: Vitesse de phase vers l uest: ω = βk k 2 + f2 0 gh C = ω k = β k 2 + f2 0 gh 11

12 Modèle de Charney et DeVore (1979) y π L h (n=2) u* 0 0 2π L x Canal périodique de longueur 2πa cos φ 0 = 2πL et de largeur πl Rappel de l écoulement vers une climatologie : F u = γ (u g u ) ; F v = γv g Vorticité Potentielle quasi géostrophique: D g Conditions aux limites: ψ + f f2 0 gh ψ + f 0 H h } {{ } V PQG = γ (ψ ψ ) v g = ψ x = 0 en y = 0, πl Il s agit d un modèle forcé et dissipatif 12

13 Ecriture sous forme non-dimensionnelle: t = f 0 t, x, y = x, y L, ψ = Vorticité Potentielle quasi géostrophique: D g ψ + βy ψ λ 2 + h ψ, β = βl, γ = γ, h = h L 2 f 0 f 0 f 0 H = γ ( ψ ψ ) Rayon de déformation de Rossby normalisé: λ 2 = gh f 2 0 L2. n omet les ( ) par la suite. ψ ψ t λ 2 = J ψ, ψ ψ λ + h + βy 2 γ (ψ ψ ) Décomposition en série de six fonctions propres de l opérateur : F i = a 2 if i, 2π 0 π 0 F if j dydx = 2π 2 δ i,j, F i x = 0 en y = 0, π ψ = ψ A (t)f A + ψ K (t)f K + ψ L (t)f L + ψ C (t)f C + ψ M (t)f M + ψ N (t)f N π F A = 2 cos y F K = 2 siny cos nx F L = 2 siny sinnx * (u ) π F K (h) π F L u A F A F C = 2 cos 2y F M = 2 sin 2y cos nx F N = 2 sin 2y sinnx 2π 2π π π F M π F N F C u C 2π 2π 13

14 Modèle de Charney et DeVore (1979) de l instabilité topographique Forçage: Topography: h = h o F K. Climatology: ψ = ψ AF A. n se limite dans un premier temps à 3 degrés de liberté Evol. Rappel Rossby-Advection Forçages Montagnes A = k 01 (ψ A ψa) K = k n1 ψ K + (β n1 α n1 ψ A ) ψ L +h 01 ψ L L = k n1 ψ L (β n1 α n1 ψ A ) ψ K h n1 ψ A ndes de Rossby, libres: h 0 = 0, et k 01 = k n1 = 0 A = 0 K = (β n1 α n1 ψ A ) ψ L L = (β n1 α n1 ψ A ) ψ K Solution pour un vent sous-critique: ω = β n1 α n1 ψ A > 0. ψ K = ψ K0 cos ωt, ψ L = ψ K0 sinωt Propagation vers l uest Solution pour un vent sur-critique: ω = α n1 ψ A β n1 > 0. ψ K = ψ K0 cos ωt, ψ L = ψ K0 sinωt Propagation vers l Est (l advection l emporte) Remarque: le système peut répondre de façon raisonnante au forçage des montagnes lorsque β n1 α n1 ψ A 0 14

15 Solutions stationnaires A = ψ K = ψ L = 0 ψ A = ψ A + h 01ψ L k 01 h n1 k n1 ψ L = (β n1 α n1 ψ A ) 2 + kn1 2 ψ A ψ K = h n1 (β n1 α n1 ψ A ) (β n1 α n1 ψ A ) 2 ψ + kn1 2 A Résolution graphique: Y = h 01ψ L k 01 = ψ A ψ A, X = α n1ψ A β n1 Y = h 01ψ L k 01 = h 01 k 01 h n1 k n1 (β n1 α n1 ψ A ) 2 + k 2 n1 ψ A Y = h 01ψ K k 01 0,4 0,3 0,2 0,1 Y 0-0,1-0,2 Sous-Critique Sur-Critique X 15

16 Solutions stationnaires 5 4 Y PSI A PSI L PSI K * X (PSI A ) Fonctions de courrant pour ψ A = 0.45 Zonal Stable Bloqué Instable Fourche Bloqué Instable Hopf 16

17 Anomalies du Géopotentiel à 700hPa Données NCEP , durant les mois d hiver Moyenne et composites suivant la hauteur du Géopotentiel sur l Atlantique Nord-Est Localisation: 15 o W, 58 o N (Voir Cours 2 pour plus de détails) Moyenne d hiver Anomalie Positive Situations de blocage Anomalie négative Situations zonales 17

18 Calcul de la stabilité des solutions stationnaires ψ S A, ψ S L, ψ S K on note les perturbations: ψ A = ψ A ψ S A, ψ L = ψ L ψ S L, et ψ K = ψ K ψ S K ψ A = k 01 ψ A +h 01 ψ L ψ K = k n1 ψ K + ( β n1 α n1 ψa) S ψ L α n1 ψlψ S A ψ L = k n1 ψ L ( β n1 α n1 ψa) S ψ K +α n1 ψkψ S A h n1 ψ A Notation synthétique: ψ = L( ψ S ) ψ En fonction des valeurs propres λ i de L( ψ S ) on distingue trois cas: 1. Stable: Pour tous les λ i, R (λ i ) < 0 2. Instable fourche Pour certains λ i, R (λ i ) > 0 mais I (λ i ) = 0 3. Instable Hopf Pour certains λ i, R (λ i ) > 0 et I (λ i ) 0 18

19 L instabilité topographique Dans le modèle de Charney et de Vore limité à 3 degrés de liberté seules 1 et 2 se produisent: la branche sous critique et la branche sur-critique pour laquelle ψ A ψ A sont stables. L autre branche sur critique est instable (fourche). Dans le modèle de Charney et de Vore à 6 degrés de liberté La branche souscritique devient aussi instable (Hopf puis fourche) au dela de la première bifurcation: 5 4 Y (PSI A ) Stable Fourche Hopf * X (PSI A ) 19

20 Exemples d évolution Modèle complet: Evol. Rappel Rossby-Advection Forçages ndes-ondes Montagnes A = k 01 (ψ A ψa) +h 01 ψ L K = k n1 ψ K + (β n1 α n1 ψ A ) ψ L δ n1 ψ C ψ N L = k n1 ψ L (β n1 α n1 ψ A ) ψ K h n1 ψ A +δ n1 ψ C ψ M C = k 02 ψ C +h 02 ψ N +ǫ n (ψ K ψ N ψ L ψ M ) M = k n2 ψ M + (β n2 α n2 ψ A ) ψ N δ n2 ψ C ψ L N = k n2 ψ N (β n2 α n2 ψ A ) ψ M h n2 ψ C +δ n2 ψ C ψ K Paramètres et constantes: γ n1 5 = γ n2 4 = γ n3 8 = π n, α nm = n2 + m 2 1 n 2 + m 2 + λ 2γ nm, δ nm = n2 m n 2 + m 2 + λ 2γ n3, ǫ n = 3γ n3 4 + λ 2, k nm = h n1 = n 2 + m 2 n 2 + m 2 + λ 2γ, β nm = h 01 = n n 2 + m 2 + λ 2 L a cot φ 0, γ n1 1 + λ 2 h 0 2H, h 02 = γ n3 4 + λ 2 h 0 2H, γ n1 n λ 2 h 0 2H, h n2 = γ n3 n λ 2 h 0 2H. 20

21 Evolutions dans le diagramme des phases ψ A, ψ L 1 PSI A * =0.3 0,5 PSI L 0-0,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 PSI A 0,2 PSI A * =0.45, conv. Vers un point fixe 0,1 PSI L 0-0,1-0,2-0,3 2 2,5 3 3,5 4 PSI A 0,5 PSI A * =0.45, conv. Vers un cycle limite 0 PSI L -0,5-1 -1,5-0,5 0 0,5 1 1,5 PSI A 21

22 Fonction de courrant tous les jours 22

23 Fonction de courrant tous les jours, modes ψ C ψ M ψ N seulement 23