Annexe : programme du master de mathématiques : Spécialité Mathématiques fondamentales et appliquées. Programme de cours de première année

Transcription

1 Annexe : programme du master de mathématiques : Spécialité Mathématiques fondamentales et appliquées Programme de cours de première année Module M1 : Analyse fonctionnelle (9 ECTS, UEF, 1er semestre, Cours 36h, TD 48h (XUE PING WANG)) 1. Espaces de Banach Espaces vectoriels normés. Espace de Banach. Applications linéaires continues. 2. Prolongement de formes linéaires continues, théorèmes de Hahn Banach. 3. Étude de compacité : théorème de Riesz, théorème d'ascoli. 4. Espaces de Hilbert Projection sur un convexe fermé, projection orthogonale. 5. Représentation de Riesz. Lemme de Lax Milgram. 6. Convergence faible et l'adjoint d'un opérateur dans les espaces de Hilbert. 7. Bases hilbertiennes. Série de Fourier dans L² 8. Lemme de Baire et applications Lemme de Baire. 9. Théorèmes de Banach Steinhaus, de l'application ouverte et du graphe fermé. 10. Opérateurs linéaires continus Spectre d'un opérateur linéaire continu. 11.Opérateurs compacts. Théorème de Fredholm. 12. Décomposition spectrale des opérateurs compacts auto adjoints. Module M2 : Algèbre (9 ECTS, UEF, 1er semestre, cours 36h, TD 48h (VINCENT FRANJOU)) 1. Modules de type fini sur un anneau principal Module; modules noethériens 2. Suites exactes de modules 3. Structure des modules de type fini sur un anneau principal 4. Cas des Z modules et des K[X] modules. 5. Invariants de similitude, matrices réduites de Jordan 6. Extension de corps et théorie de Galois Racines de l'unité, polynômes cyclotomiques

2 7. Corps de rupture, corps de décomposition. Clôture algébrique 8. Extension galoisienne 9. Groupe de Galois. Application de Galois 10. Théorème de Galois. 11.Corps finis. 12. Résolution par radicaux. Module M3 : Analyse numérique (4 ECTS, UEF, Cours 16h, TD 16h, TP 10h (RODOLPHE TURPAULT)) 1. Approximation des fonctions numériques. Meilleure approximation au sens L² et L Bases de polynômes orthogonaux. 2. Intégration numérique avancée. Noyau de Peano. Formules de Gauss. 3. Approximation des équations aux dérivées partielles linéaires (EDP). Nature d'une EDP, exemples. Méthode des différences finies, consistance et stabilité. Application à l'équation de la chaleur et à l'équation des ondes. Module M4 : Calcul formel (4 ECTS, UEF, 1er semestre, Cours 18h, TD 8h, TP 16h (JEAN POL GUILLEMENT) ) Histoire du calcul. Présentation d'unix et des shells. Présentation de Maple et du calcul formel. Algorithmique: parcours arborescents, traitements par séries génératrices, Algorithmique rapide: tris, multiplication polynomiale, transformation de Fourier rapide. Projets divers et variés. Module M5 : Histoire des Mathématiques (3 ECTS, UED, 1er semestre, Cours 10h, TD 13h (EVELYNE BARBIN)) le modèle axiomatico déductif : axiomatique euclidienne, construction des géométries noneuclidiennes, axiomatique hilbertienne, fondement ensembliste, théorème de Gödel la notion de méthode dans l'histoire de la géométrie : méthode cartésienne, méthodes infinitésimales, méthode projective, méthodes de transformations et géométries de Klein le rôle des problèmes dans la construction des connaissances : problèmes arithmétiques et théorie des congruences de Gauss, problèmes analytiques et théorie des fonctions elliptiques la rectification des concepts : historique du concept de nombre jusqu'aux constructions des nombres réels (Dedekind et Cantor) et des nombres entiers (Peano) l'approche structurelle des mathématiques : structures algébriques (Dyck, Steinitz, Cartan) et topologiques (Fréchet, Hausdorff) calculabilité et théorie des graphes : fonctions récursives de Gödel et de Church, machine de Turing et automate de Kleene

3 Module M6 : Géométrie différentielle (courbes et surfaces) (9 ECTS, UEF, 2nd semestre, Cours 36h, TD 48h, (LAURENT GUILLOPÉ) ) 1. Changement de variables Inversion locale, fonctions implicites. 2. Courbes et surfaces, paramétrages vs équations, coordonnées 3. Vecteurs tangents, droite et plan tangents. 4. Changement de variables en intégration. 5. Longueur d'une courbe, aire d'une surface. 6. Équations différentielles Champ de vecteurs et équation différentielle, trajectoires. 7. Dépendance C1 par rapport aux conditions initiales et aux paramètres. 8. Champ complet, flot, compatibilité avec les changements de coordonnées. 9. Intégrale première. 10. Intégration d'un champ de vecteurs plan et sur une surface, études qualitatives. 11.Étude locale des courbes planes et gauches. Courbure, torsion, repère de Frenet Serret, 12. Le théorème fondamental. 13. Développée et développante. 14.Enveloppe de droites. 15. Calcul des variations Extrema liés. 16.Équation d'euler Lagrange. 17.Géodésiques sur une surface. 18.Étude locale des surfaces Première et seconde formes fondamentales, calculs. 19. Signification géométrique : position par rapport au plan tangent. 20. Opérateur de forme, ombillics. 21.Repère de Darboux le long d'une courbe, courbures et torsions. 22. Courbes remarquables : ligne asymptotique, ligne de courbure, géodésique. 23. Surface de révolution, surface réglée, surface développable. Module M7 : Distributions et équations aux dérivées partielles (8 ECTS, UEC, 2nd semestre, Cours 36h, TD 48h, (GEORGI POPOV) ) 1. Espaces des fonctions régulières : rappels et compléments d'intégration, notamment sur les convolutions et les partitions de l'unité dans IRn. 2. Distributions dans un ouvert de IRn. Définition et propriétés élémentaires.

4 3. Opérations sur les distributions. Distributions à support compact. Distributions de simple couche et théorème de sauts. Théorème de la divergence et formule de Green. 4. Produit tensoriel de distributions et convolution. Solutions fondamentales. 5. L'espace de Schwartz et transformation de Fourier. 6. Distributions tempérées et transformation de Fourier. Espaces de Sobolev construits sur : L²,théorèmes de densité, d'injection et de compacité. 7. Applications à l'équation de Schrödinger, au problème de Cauchy pour l'équation des ondes et à l'équation de la chaleur. Le problème de Dirichlet pour l'opérateur de Laplace. Module M8 : Analyse complexe (8 ECTS, UEC, 2nd semestre, Cours 36h, TD 48h, (DIDIER ROBERT) ) 1. Révisions sur la théorie de Cauchy et le théorème des résidus. 2. Principe du maximum. Principe de Phragmen Lindelöf. 3. Etude des zéros des fonctions holomorphes. Produits infinis. Théorème de Weierstrass. Formule de Jensen. Produits de Blaschke. 4. Transformations conformes. Théorème de Riemann. Transformations de Schwarz Christoffel. 5. Equations différentielles linéaires dans le domaine complexe. Points singuliers. Théorème de Fuchs. Exemples : équations de Bessel et de Legendre. 6. Problèmes d'approximation et développements asymptotiques. Méthode de Laplace, phase stationnaire, méthode du col. Etude de séries : nombres et polynômes de Bernoulli. La formule d'euler Mac Laurin. Module M9 : Topologie algébrique (8 ECTS, UEC, 2nd semestre, Cours 36h, TD 48h, (ANDREI PAJITNOV)) 1. Notions de base. Exemples des espaces topologiques: sphères, espaces euclidiens, tores, surfaces. Topologie quotient, homéomorphisme, homotopie. 2. Groupe fondamental. Théorème de Van Kampen. Calculs des groupes fondamentaux: cercle, tores, bouquets de cercles, sphères. 3. Revêtements. Relations entre les groupes fondamentaux de l'espace total et de la base d'un revêtement. Revêtements galoisiens. Revêtement universel d'un espace topologique. 4. Surfaces. Pavages du plan. Module M10 : Géométrie algébrique (8 ECTS, UEC, 2nd semestre, cours 36h, TD 48h, (CHRISTOPH SORGER)) 1. Géométrie projective Espace projectif, repère projectif. Morphismes de l'espace projectif. Homographie. Étude de la droite projective : Birapport, division harmonique. Faisceau d'hyperplans projectifs.

5 Plan projectif : dualité. Coniques projectives, birapport de quatre points d'une conique, homographies d'une conique. Classifications. Dualité par rapport à une conique non dégénérée : pôles et polaires, théorèmes de Pascal et de Brianchon. Classification des quadriques projectives et affines en dimension Méthodes algébriques Théorèmes des zéros de Hilbert 3. Lieu des zéros de polynômes, correspondance entre algèbres et ensembles algébriques. 4. Morphismes rationnels. 5. Théorème de Bézout. Module M11 : Optimisation (8 ECTS, UEC, 2nd semestre, Cours 32h, TD 20h, TP 24h (JEAN POL GUILLEMENT)) Ce module est en commun avec le Master première année de Mathématiques et Applications, spécialité : ingénierie mathématique. 1. (Rappels de calcul différentiel) Calcul des extrema, extrema liés, multiplicateurs de Lagrange 2. Programmation linéaire, méthode du Simplexe, dualité. 3. Optimisation en dimension un. 4. Généralités sur l'optimisation des fonctionnelles convexes. Cas des fonctionnelles quadratiques. Moindres carrés linéaires. 5. Optimisation sans contrainte, algorithmes: Relaxation, Plus Profonde Descente, Newton, Métrique variable, Gradient Conjugué. 6. Optimisation avec contraintes, Kuhn Tucker, points selles, lagrangien, dualité. Algorithmes: Relaxation, Pénalisation, Uzawa. Module M12 : Probabilités (8 ECTS, UEC, 2nd semestre, Cours 36h, TD 48h, (PHILIPPE CARMONA)) 1. Compléments d'intégration Théorème des classes monotones 2. Théorème de Radon Nikodym 3. Uniforme Intégrabilité 4. Lois de Variables Aléatoires Théorème du transport 5. Inégalités classiques 6. Fonctions caractéristiques 7. Fonctions de répartition 8. Transformée de Laplace

6 9. Le problème des moments 10. Matrice de covariance 11.Lois marginales 12. Indépendance 13. Convergence Modes de convergence 14.Lemme de Borel Cantelli 15. Métrisabilité de la convergence en probabilité 16.Complétude des Lp 17.Convergence en loi : Théorème de Paul Lévy, Théorèmes de Prokhorov et Skorokhod, critères de tension 18.Loi des grands nombres 19. Théorème central limite 20. Conditionnement Conditionnement Discret 21.Conditionnement Général : Définition,Lemme de Doob, caractérisation dans L² 22. Lois conditionnelles 23. Le cas des vecteurs gaussiens : représentation, indépendance et conditionnement 24. Martingales discrètes Filtrations et temps d'arrêt 25. Théorèmes d'arrêt 26. Inégalités maximales 27.Théorèmes de convergence des sous martingales, des martingales, des martingales inverses 28. Les martingales dans L². 29. Applications : théorèmes des trois séries, loi des grands nombres, théorème de dichotomie de Kakutani Module M0 : Travail d'étude et de recherche (TER) (6 ECTS, UEO, 2nd semestre, TP 40h) ) Le TER est un stage d'initiation à la recherche encadré par un enseignant chercheur. Il consiste en la lecture de textes mathématiques, complétée par une recherche bibliographique, qui conduit à la rédaction d'un mémoire et à un exposé oral. Le programme de la seconde année du master «mathématiques fondamentales et appliquées «des trois dernières années était le suivant :

7 2004/2005 Géométrie des applications différentiables et holomorphes : Géométrie différentielle (M. Granger ) Introduction à la topologie algébrique (C. Blanchet ) Fonctions de Morse (A. Pajitnov ) Linéarisation (J.J. Loeb ) Théorie spectrales et EDP: Théorie spectrale et théorie des perturbations (X.P. Wang ) Introduction à l'analyse microlocale des EDP (A. Boulkhemair) Pseudo spectre (D. Robert ) Théorie de perturbation des EDP hamiltoniennes (B. Grébert et E. Paturel) Cours de second niveau : Diffusion inverse et analyse complexe (par R.Novikov ) Cohomologies des faisceaux (par A. Parusinski ) 2005/2006 Probabilité : Mouvement brownien et calcul stochastique (par L. Vostrikova ) Processus de branchement en milieu aléatoire (par Q. Liu ) Analyse des matrices aléatoires (par P. Grazyck ) Polymères dirigés en milieu aléatoire (par P. Carmona) Théorie ergodique et action de groupes: Géométrie différentielle (par L. Guillopé ) Groupes de Lie (par J.L. Milhorat et F. Wagemann) Théorie Ergodique (par G. Popov) Représentations des groupes algébriques et cohomologie (par V. Franjou) Cours de second niveau : K théorie (par J C. Thomas) Topologie de basse dimension (par V. Colin)

8 2006/2007 Analyse des Equations aux Dérivées Partielles : Introduction à la méthode des éléments finis (par F. Foucher et R. Turpault ) Introduction aux équations aux dérivées partielles (par E. Paturel et X.Saint Raymond) Analyse et approximation de problèmes paraboliques non linéaires (par C. Bolley et Y. Coudière) Temps d'existence pour des problèmes d'évolution hyperboliques non linéaires (par N. Depauw et B. Grébert) Géométries Géométrie différentielle (par V. Roubtsov ) Géométrie algébrique complexe (par C. Sorger) Feuilletages, laminations, mesures (par G. Meigniez) Courbes algébriques (par L. Evain ) Cours de second niveau : Introduction aux processus auto similaires. (par L. Chaumont) Cycles algébriques et variétés abeliennes. (par B. Fu) PROGRAMME DES ENSEIGNEMENTS Master Professionnel Ingénierie Mathématique 1 ère année (MPIM1) 484h (566h ETD) Tronc commun MI1 Analyse fonctionnelle: (64 H ; C : 32 H, TD : 32 H) (ECTS : 8) Eléments d'analyse fonctionnelle Analyse hilbertienne, Transformation de Fourier (Plancherel, Parseval, formules d'inversion) et de Laplace. Distributions et Espaces de Sobolev MI2 Analyse numérique et Algorithmique : (76 H ; C : 32 H, TD : 20 H, TP : 24 H) (ECTS : 8) Complément sur la résolution des systèmes linéaires. Méthodes directes pour la résolution des grands systèmes creux Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires : méthodes de Krylov, méthode de bi orthogonalisation. Techniques de préconditionnement : méthodes itératives de décomposition, Accélération de la convergence Résolution numérique des systèmes non linéaires Integration numérique Compléments sur la Résolution numérique des équations différentielles Programmation : Structure de données matricielles, stockage de matrices creuses. Programmation de méthodes numériques en Fortran. MI3 Probabilités : (64 H ; C : 32 H, TD : 32 H) (ECTS : 8) Fondements et rappels : espace probabilisé, variable aléatoire,indépendance Conditionnement : lois conditionnelles, espérance conditionnelle

9 Vecteurs aléatoires, vecteurs gaussiens, formes quadratiques définies sur un vecteur gaussien et lois dérivées. Convergence des suites de variables aléatoires, théorèmes limites : différents types de convergence, loi faible et loi forte des grands nombres, Théorème central limite. Séries de variables aléatoires indépendantes : inégalité maximale de Kolmogorov, théorème de convergence de Kolmogorov, loi forte des grands nombres. Chaînes de Markov. Introduction aux processus stochastiques. MI4 Outil pour le calcul scientifique et les statistiques(32 H ; C: 16 H, TP: 16 H) (ECTS: 4) - Système d'exploitation, Architecture des ordinateurs, Représentation en mémoire des données scalaires, Données structurées, Variables dynamiques, Quelques algorithmes fondamentaux, Initiation au Fortran 90 MI5 Optimisation : (76 H ; C : 32 H, TD : 20 H, TP : 24 H) (ECTS :8) Rappels sur le calcul des extrema, extrema liés Programmation linéaire, méthode du simplexe, dualité. Généralités sur l'optimisation de fonctionnelles convexes. Optimisation sans contrainte. Optimisation avec contraintes, points selles, lagrangien, dualité. MI6 Analyse numérique des EDP : (76 H ; C : 32 H, TD : 20 H, TP : 24 H) (ECTS : 8) - Théorème de Lax-Milgram(, et compléments d'analyse fonctionnelle) - Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques, régularité. 13.Approximation par la méthode des éléments finis. Approximation variationnelle, Elements finis P1 P2 Q1, Intégration numérique, Estimations d'erreurs, - Stockage bande des matrices creuses, Résolution numérique. - Introduction à l'analyse numérique de problèmes d'évolution. - Avec des TP à réaliser en Fortran 90 en utilisant les librairies BLAS et LAPACK. MI7 Statistiques : (64 H ; C : 32 H, TD : 32 H ) (ECTS : 8) Modèle statistique, distributions d'échantillonnage ; Estimation ponctuelle : Borne de Cramer Rao, Théorème de Rao Blackwell, Maximum de vraisemblance, région de confiance, propriétés asymptotiques. Estimation fonctionnelle : fonction de répartition empirique, estimateur de la densité à noyau; Tests paramétriques : tests de Neymann Pearson, Tests pour des échantillons gaussiens (moyenne/variance) Tests non paramètrique : test de Kolmogorov Smirnov et test du Chi Deux Régression linéaire MI10 Travail d'étude et de recherche (T.E.R.) : (TP : 50 H) (ECTS : 4) Le T.E.R. est un projet complet, mettant un oeuvre les connaissances théoriques acquises en mathématiques appliquées sur un problème concret en calcul scientifique ou en probabilités et statistique. Les étudiants choisissent un sujet dans une liste proposée par les enseignants de la maîtrise. Ces sujets sont généralement pris dans des projets industriels déjà réalisés ou dans des demandes en cours des partenaires socio économiques. Ils peuvent correspondre à des pré études (faisabilité, ) débouchant sur un stage d'été. Il comporte pour : l option Calcul scientifique : de la programmation, projet d'analyse numérique et de calcul scientifique, analyse mathématique et mise en oeuvre numérique d'un modèle représentant un problème physique. Apprentissage d'utilisation de codes de calcul scientifique (CAST3M, NAG,...). l option Statistique et Probabilités : la lecture d'un article ou de chapitres de livre introduisant des notions statistiques ou probabilistes non développées en cours, l'application à des données réelles de ces notions en utilisant le logiciel de traitement statistique R. A partir de la problématique posée par l'étude, l'étudiant devra, sous la conduite de l'enseignant, choisir les méthodes appropriées et les mettre en oeuvre, interpréter les résultats obtenus. L'étudiant réalise le projet sous la direction d'un enseignant responsable du sujet au cours du second semestre. Il produit un rapport écrit. Une soutenance orale publique (de l'ordre de 30 minutes) est organisée devant le jury du Master Professionnel 1 ère année et les invités industriels. Modules optionnels

10 Les étudiants choisissent une option parmi les deux suivantes : Option Calcul scientifique MI8 Analyse de problèmes modèles : (32 H ; C: 16 H, TD: 16 H) (ECTS: 4) Equations de la mécanique des milieux continus. Caractérisation des EDP. Quelques formulations mathématiques de problèmes en élasticité, en mécanique des fluides et en cinétique chimique. Elasticité linéaire, Fluides newtoniens Option Statistique Probabilités MI9 Analyse de données : (32 H ; C : 16H, TD: 16 H) (ECTS : 4) Généralités : centre de gravité et inertie d'un nuage d'individus. Propriétés de l'inertie. Techniques d'analyses factorielles : Analyse en composantes principales, Analyse d'après un tableau de distances, Analyses des correspondances simples et multiples. Classification Automatique. Analyse discriminante : critères de décision, règle de décision ou d'affectation associée à un critère de décision, analyses discriminantes linéaire et quadratique. Tests statistiques utilisés en Analyse Discriminante. TP sur logiciel R Master Professionnel Ingénierie Mathématique 2 ème année (MPIM2) 434h (566h ETD) Tronc commun MP1 : Informatique générale (60 h ; C : 24h, TD : 20h, TP :16h) (ECTS 6) Unix, langage C, C++. MP2 : Unité d ouverture : (50 h ; C : 30h, TD : 20h ) (ECTS 5) Techniques de communication (25 h ; C : 15h, TD : 10h) : Recherche 1er emploi, Réalisation de CV, simulation d'entretien d'embauche, analyse d'offres d'emplois Langue (Anglais) (25 h ; C : 15h, TD : 10h) : Axé sur la rédaction et la lecture de textes scientifiques. MP3 : Conférences et Journée formation (24 h ; C : 24h) Conférences portant sur la connaissance de l'entreprise. Conférences permettant l approfondissement de certains modules. Journée formation à certains logicile (Mathlab, R, Splus, SAS,...) MP4 : Projet tutoré (30 h ; TD : 30h) (ECTS 2) Préparation du stage en entreprise. MP5 : Stage (6 h ; TD : 6h) (ECTS 20) Stage de 5 à 6 mois en entreprise ou en laboratoire de recherche. Coût 1h par mois par étudiant. Modules optionnels Les étudiants choisissent les options parmi les deux suivantes : Option Calcul scientifique Les cours des modules CS1 et CS2 donnent une introduction aux principales méthodes de base de l'analyse numérique et illustrent leur application à quelques problèmes issus des sciences de l'ingénieur, notamment de la mécanique des milieux continus. Etude de certains aspects liés à la modélisation mathématique et la simulation numérique d'écoulements fluides. CS1 : Analyse numérique et algorithmique 1 : (60 h ; C : 24h, TD : 20h, TP : 16h) (ECTS 6) Introduction à l'analyse théorique : lois de conservation et équations aux dérivées partielles du 1er ordre, exemples et motivation physique, hyperbolicité des systèmes, explosion en temps fini des solutions régulières, notion de solutions

11 faibles, condition de saut de Rankine Hugoniot, chocs et détentes, condition d'entropie. * Schémas conservatifs, théorème de Lax Wendroff * Schémas numériques pour les équations scalaires : méthode de Godunov en 1 D, schémas monotones et entropiques, schémas TVD d'ordre 2, méthode de Van Leer * Schémas numériques 1 D pour les systèmes : schémas centrés, décomposition de flux, de type Godunov avec solveur exact ou approché du problème de Riemann, schéma de Roe, ordre 2 et méthode de Van Leer CS2 : Analyse numérique et algorithmique 2 : (60 h ; C : 24h, TD : 20h, TP : 16h) (ECTS 6) * Introduction aux méthodes pour la résolution numérique des équations aux dérivées partielles (éléments finis, éléments frontières, volumes finis, méthodes spectrales) * Volumes finis multi dimensionnels : définition et implémentation numérique, traitement des termes sources, implicitation en temps, termes diffusifs, conditions aux limites * Méthodes de résolution de grands systèmes linéaires, méthode du gradient conjugué, méthodes de bi gradient, GMRES, etc. * Maillage adaptatif CS3 : Mécanique : (50 h ; C : 30h, TD : 20h) (ECTS 5) Mécanique des fluides et turbulence : (25 h ; C : 15h, TD : 10h) Objectif de ce cours : initier aux écoulements turbulents et aux problèmes de la modélisation de la turbulence. Le contenu de ce module est le suivant : * Caractéristique des écoulements turbulents * Description statistique, corrélations, analyse spectrale * Turbulence homogène isotrope * Turbulence des écoulements cisaillés libres * Turbulence des écoulements de paroi * Modélisation ; principes, modèles de fermeture au premier, au second ordre * Simulation des grandes échelle *Fermeture à faible nombre de Reynolds Mécanique des solides : (25 h ; C : 15h, TD : 10h) Objectif du cours : on utilise la théorie des espaces vectoriels en dualité pour résumer les méthodes des éléments finis de type déplacement, force et mixte. La structure algébrique des problèmes de mécanique des solides déformables, les notions d orthogonalité de certains sous espaces vectoriels seront constamment utilisées pour cette présentation synthétique des méthodes variationnelles. Le plan de ce module est le suivant : * Opérations algébriques en mécanique des structures * Formulation globale d un problème de mécanique des structures * Méthodes variationnelles * Eléments finis de type déplacement, force et éléments finis mixtes CS4 : Traitement du signal : (40 h ; C : 20h, TD : 20h) (ECTS 4) Le but de ce cours est de donner les techniques de base utilisées en traitement du signal et leurs applications. Le contenu est le suivant : * Analyse de Fourier * Filtrage * Analyse multi résolution * Analyse temps fréquence et temps échelles * Exemples concrets en traitement d'images et de signaux CS5 : Calcul parallèle et apprentissage de codes industriels : (60 h ; C 30h, TP : 30h) (ECTS 6) L objectif de ce cours est l introduction au calcul parallèle et l apprentissage de codes industriels. Le contenu est le suivant : * Etudier les implémentations parallèles des algorithmes numériques classiques. Utilisation des architectures modernes (SMP, SP) * Programmation par échanges de messages (Message Passing Interface : MPI) * Programmation par directives * Apprentissage des codes PDEtools, Cast3m,

12 Option Statistique Probabilités SP1 : Régression (60 h ; C : 24h, TD : 36h ) (ECTS 6) Le but de ce cours est non seulement de préciser le champ d'applications du modèle peut être le plus répandu en statistique, mais aussi de pratiquer les outils informatiques de modélisation existants. Le contenu est le suivant : 1. Modèle linéaire : Régression linéaire, Analyse de la variance, 2. Modèle linéaire généralisé, régression logistique 3. Sélection et validation de modèles. SP2 : Statistique bayésienne et simulation (60 h ; C : 24h, TD : 36h ) (ECTS 6) Le but de ce cours est d'initier aux idées et aux techniques de la modélisation et du calcul bayésien. Le programme de ce cours est le suivant : 1. Comment poser un problème dans le contexte bayésien? Estimateurs de Bayes, Optimalité, Construction des lois a priori. 2. Outils de Simulation et d'optimisation en environnement bayésien: Algorithmes MCMC, EM et filtrage particulaire. Approximation des estimateurs de Bayes. Accélérations et réduction de variance 3. Applications Les mélanges : modélisation de populations non homogènes. Régression logistique, Poissonnienne : Comment inclure un effet individu? La sélection de modèles : des critères classiques (AIC, BIC) à l'approche bayésienne. SP3 : Data-Mining et Statistique financière (40 h ; C : 20h, TD : 20h) (ECTS 4) Ce module développe d'une part l'aspect moderne de l'analyse des données et d'autre part l'étude statistique de séries financières. 1. Les méthodes descriptives multidimensionnelles : ACP, AFC ACM etc, classification, analyse discriminante. 2. Modélisation de séries financières : Modèles GARCH et à volatilité stochastique. 3. Développement d'outils statistiques pour des séries non gaussiennes. Application à l'étude des séries de prix. SP4 : Séries temporelles et prévision (60 h ; C : 24h, TD : 36h) (ECTS 6) Prévoir est devenu indispensable dans des domaines aussi divers que l'industrie, la gestion, le marketing et l'économie. Cet enseignement est une initiation aux principales méthodes probabilistes de modélisation et prévision. Le programme de ce cours est le suivant : 1. Analyse descriptive des séries temporelles 2. Généralités sur les processus. Processus stationnaires du second ordre. Autocorrélation et autocorrélation partielle. Estimation de ces caractéristiques. 3. Modèles ARMA, SARIMA. Identification. Prévision 4. Deux approches non paramétriques de prévision.: les lissages exponentiels, les méthodes de noyaux. SP5 : Sensométrie Chimiométrie (50h ; C : 30h, TD : 20h) (ECTS 5) Sensométrie : (25 h ; C : 15h, TD : 10h) C est un domaine d application de la statistique qui est en plein essor. Il concerne l analyse et le traitement de données d analyse sensorielle et de préférence. Le programme de ce module est le suivant : * Planification d expériences et tests d hypothèses usuels en analyse sensorielle * Analyse d un ensemble de tableaux de données * Analyse de données de préférence * Données de comparaison par paires Chimiométrie : (25h ; C : 15h, TD : 10h) L intérêt de cette discipline ne cesse de grandir du fait du développement des systèmes rapides d acquisition de l information dans l objectif de caractériser des produits ou contrôler des systèmes (analyse d images, spectrométrie, résonance magnétique, ). Le programme de ce module est le suivant : * Domaine d application de la chimiométrie * Méthodes de prédiction

13 * Régression biaisée * Régression PLS * Mise en relation de tableaux de données