Exercices : 12 - Conduction - Convection - Rayonnement
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- Marc-Antoine Beaudin
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1 1 Exrcics : 1 - Conduction - Convction - Rayonnmnt Scincs Physiqus MP Exrcics : 1 - Conduction - Convction - Rayonnmnt A. Régim stationnair 1. Tmpératur d intrfac t régim stationnair On mt n contact, suivant lur surfac commun, d air S, dux conducturs thrmiqus limités par ds plans parallèls. En régim stationnair, l nsmbl ds dux conducturs, d mêm épaissur, s comport comm un systèm dont l état n dépnd qu d la sul coordonné spatial z l long d l ax prpndiculair à lur plan. En outr, ls tmpératurs ds facs ds dux conducturs qui n sont pas n contact sont maintnus aux valurs T 1 = 93K t T = 373K rspctivmnt. On désign par λ 1 t λ ls conductivités thrmiqus ds dux corps. 1. Qull st l xprssion d la résistanc thrmiqu d chaqu conductur n fonction d, S t d sa conductivité thrmiqu? En déduir la résistanc thrmiqu R th d l nsmbl ds dux conducturs placés n séri.. En s appuyant sur l analogi avc la loi d Ohm, montrr qu la tmpératur T i à l intrfac st tll qu : T i T 1 = α(t T 1 ) où α st un quantité qu l on xprimra n fonction ds résistancs thrmiqus R th1 t R th ds dux conducturs. En déduir T i n fonction d T 1, T, λ 1 t λ. 3. Application : Calculr T i pour un conductur organiqu comm l corps humain, (λ 1 = 0,5W m 1 K 1 ) n contact avc du bois (λ = 0,W m 1 K 1 ) puis n contact avc du cuivr (λ = 390W m 1 K 1 ). Réponss : R 1 = 1 λ 1 S, R = 1 λ S, R tot = ( 1 T i 100 C. λ λ ) S, T T i = R R 1+R (T T 1 ), T i = λ1t1+λt λ 1+λ, T i = 43 C,. Résistanc thrmiqu cylindriqu, sphériqu Onconsidèrunmanchoncylindriqudconductivitéλ,dhauturH,drayonintériurr 1 tdrayonxtériur r. La paroi intériur st porté à la tmpératur T 1 t la paroi xtériur à T > T 1. L régim prmannt indépndant du tmps st établi. 1. Rprésntr ls ligns d dnsité d courant d transfrt thrmiqu. Réfléchir aux invariancs t aux symétris.. En déduir la form d dépndanc n fonction d r du vctur dnsité d courant d transfrt thrmiqu t d la tmpératur T(r). 3. Calculr la résistanc thrmiqu équivalnt d c manchon. 4. Rprndr la mêm étud pour un coquill sphériqu. Réponss : T(r) = (T T 1 ) lnr/r1 lnr /r 1 +T 1, j cond = λ r j cond = λ r 1r r r r 1 (T T 1 ) r, R = r r1 4πλr 1r. T T 1 lnr /r 1 r, R = lnr/r1 λπh, T(r) = r1r r r 1 [ 1 r 1 1 r ](T T 1 )+T 1, 3. Ailtts d rfroidissmnt Pour évitr l échauffmnt d un apparil dû à l fft Joul, on munit son boîtir d ailtts d rfroidissmnt métalliqus. Chaqu ailtt st parallélépipédiqu, d dimnsions a =, 0 mm (épaissur), b = 10 cm (largur) t c = 0cm (longuur). On pourra admttr qu a st négligabl dvant b. En fonctionnmnt, l boîtir d l apparil M sra maintnu à la tmpératur T M = 60 C. L air xtériur, qui circul, st d tmpératur constant t uniform T A = 0 C, sauf au voisinag immédiat d l ailtt, ntouré d un couch limit d air thrmiqumnt pu conductric dont la tmpératur rst localmnt voisin d cll d la surfac d l ailtt. Dans l ailtt, on admttra qu l transfrt thrmiqu, d typ conductif, st monodimnsionnl dans la dirction d l ax Ox. Il obéit à la loi d Fourir, la conductivité thrmiqu étant λ = 16W m 1 K 1. On not T(x) la tmpératur d l ailtt à l absciss x. Il xist aussi un transfrt thrmiqu d l ailtt vrs l air ambiant, à travrs la couch limit. L flux thrmiqu au nivau d un surfac ds d l élémnt d l ailtt d longuur dx st d la form : dp = h(t(x) T A )ds où h = 150SI st un cofficint uniform t constant. 1. Expliqur la loi d Fourir t donnr l unité du cofficint h dans l systèm intrnational.. Écrir l bilan ds transfrts d énrgi pour la tranch d ailtt compris ntr ls abscisss x t x + dx, λa n régim prmannt. On posra : L = t on donnra la valur numériqu d L ainsi qu son unité. h En déduir l équation différntill dont T(x) st la solution. 3. Résoudr ctt équation différntill pour détrminr l xprssion d T(x). On vérifira qu L c t on pourra considérr c comm infini pour simplifir.
2 Scincs Physiqus MP Exrcics : 1 - Conduction - Convction - Rayonnmnt 4. Donnr l xprssion d la puissanc thrmiqu dp sortant d la surfac latéral ds d la tranch d ailtt compris ntr ls abscisss x t x+dx. En déduir l xprssion d la puissanc thrmiqu total P évacué par l ailtt, fair l application numériqu. 5. Exprimr t calculr la puissanc thrmiqu transmis du boîtir d l apparil M à l ailtt n x = 0. Conclur. 6. Combin faudrait-il fixr d ailtts sur l boîtir pour évacur un flux thrmiqu total d 0,9kW? La taill d chaqu ailtt put-ll êtr réduit sans changr notablmnt l nsmbl ds résultats précédnts? Si oui, xpliqur commnt t pourquoi. 4. Géothrmi La croût continntal trrstr a un épaissur l d nviron 35 km; ll st équivalnt à un couch homogèn d conductivité λ = 3W m 1 K 1. Au nivau du sol, la tmpératur st T = 73K, t à la profondur l, ll vaut T 1 = 873K. 1. Calculr la puissanc géothrmiqu par unité d surfac J th issu d la croût continntal.. Ls élémnts radioactifsd la croût dissipnt un puissancvolumiqu σ u = W m 3. Détrminr l équation différntill satisfait par la tmpératur d la croût. 3. En déduir la puissanc géothrmiqu par unité d surfac, J th, au nivau du sol, quand on tint compt ds élémnts radioactifs. Conclur. 5. Homéothrmi Un sphèr d rayon a st maintnu n prmannc à la tmpératur T 1, dans un miliu fluid qui, à grand distanc d la sphèr, st à la tmpératur T 0 < T 1. La conductivité thrmiqu du fluid st noté λ. On néglig tout discontinuité d tmpératur (transfrt pariétal parfait) à la surfac d la sphèr. L problèm st étudié n régim prmannt. 1. Explicitr la puissanc P thrmiqu produit par la sphèr.. On donn T 1 = 310K, T 0 = 80K t a = 5cm (modélisation d un animal homéothrm avc un rapport surfac/volumcomparablàclui d un êtrhumain). CalculrP si l fluid st d l air(λ =,6 10 W m 1 K 1 ). 3. L homéothrmi st-ll plus aisé pour un ptit animal ou pour un gros? Réponss : div j = 1 r = 0, j = α r, T = β r +γ, T(r) = (T 1 T 0 ) a r +T 0, P = j(r = a)4πa = λ(t 1 T 0 )4πa, P =,45W; plus a grand, plus P st grand, plus facil pour un ptit animal. r (r j) 6. D la souris à l éléphant... On dit qu un fonction y(x) vérifi un loi d échll d xposant α si y st proportionnl à x α. D nombrux paramètrs physiologiqus concrnant ls spècs animals d un mêm group zoologiqu obéissnt à d tlls lois. Ainsi, ls mammifèrs trrstrs ayant un tmpératur corporll proch d 37 C vérifint assz bin la rlation : Q O = 0,68Mc 3/4 où M c désign la mass corporll n kilogramm t Q O, la consommation n dioxygèn n litr par hur au rpos, dans ds conditions xpérimntals préciss. Ctt loi, découvrt n 193 par M. Klibr, put êtr mis n rapport avc la puissanc thrmiqu dégagé par l métabolism d l animal. 1. Ls morphologis ds animaux d un mêm group étant voisins, l volum d dioxygèn transporté par l sang à chaqu battmnt d cœur st à pu près proportionnl à la mass corporll M c. Sachant qu pour un homm d 70 kg, la fréqunc cardiaqu st d nviron 70 battmnts par minut, détrminr la loi d échll xprimant la fréqunc cardiaqu f c d un animal n battmnts par minut n fonction d sa mass corporll M c n kilogramm.. Étudir la validité d la loi précédnt pour la souris, l lapin t l éléphant à l aid du tablau ci-dssous : souris lapin rnard éléphant M c (kg) 0,015,0 3, f c n batt/min τ vi (annés) 3, L tablau précédnt donn égalmnt la duré d vi moynn τ vi d qulqus mammifèrs trrstrs. À l aid d cs valurs numériqus, détrminr l xposant d la loi d échll τ vi (M c ). Proposr un intrprétation d ctt loi. L cas d l homm vérifi-t-il ctt loi? Commntr. 4. Sachant qu n moynn, on stim qu un litr d dioxygèn consommé par un animal corrspond à un dégagmnt d énrgi d nviron 0 kj, donnr la rlation numériqu qui xprim la puissanc thrmiqu P n watt dégagé par l animal n fonction d sa mass M c n kilogramm. Donnr la valur numériqu d P pour un homm d 70kg. Commntr.
3 3 Exrcics : 1 - Conduction - Convction - Rayonnmnt Scincs Physiqus MP L plus ptit mammifèr trrstr vivant n miliu tmpéré st la musaraign pachyur étrusqu t n pès qu dux gramms. À l aid d la loi P(M c), on s propos d rtrouvr l ordr d grandur d ctt mass. Pour cla, on modélis l corps d l animal par un sphèr homogèn d rayon R a t d mass volumiqu µ 1g cm 3, d tmpératur T i = 37 C. Autour d ctt sphèr, on considèr qu l animal possèd un fourrur d épaissur, d mass négligabl, d conductivité thrmiqu proch d cll d l air λ 10 W m 1 K 1. On prndra pour la tmpératur xtériur T = 0 C. On étudi l régim stationnair. (a) Établir la loi d tmpératur dans la fourrur T(r) n fonction d T, T i, r, t R a. (b) Exprimr la puissanc thrmiqu P dégagé par l animal n fonction d λ, T, T i, R a, (on n fra pas l approximation R a ). (c) Montrr qu l rapport /R a st un fonction décroissant d R a. (d) Pour ds raisons d mobilité, on considèr qu la plus grand valur du rapport /R a st d l ordr d 1. En déduir l ordr d grandur d la mass du plus ptit animal. C résultat st-il convnabl? Réponss : V O = AM c Q O = A60f c M c 0,68Mc 3/4 = A60f c M c d où f c = BMc 1/4 t f c = 0,5Mc 1/4, souris 580 battmnts par minut, lapin 170 t éléphant 7 c st corrct, τ vi = CMc β d où lnτ vi = lnc + βlnm c β 1 4 d où τ vi = CMc 1/4 τ vi f c Ct l nombr total d battmnts d cœur st fixé, homm à 75 ans pour 70kg, β 1 l homm st s aid d machins pour obtnir d l énrgi, P ,68M 3/4 c 3600 = 3,8Mc 3/4 [ P = 9W ordr d grandur convnabl, div j cond = 0, j cond r = Ct, T(r) = T + (T i T ) Ra Ra+ r 1 ], P = 4πλ(T i T ) Ra(Ra+), P = 3,8 ( µ 4 3 πr3 a ) 3/4 donc R a d R a, R a st un fonction décroissant d R a, R a l bon ordr d grandur. B. Régim dépndant du tmps = 3,8(µ4 3 π)3/4 R 5/4 a 4πλ(T [ ] i T ) 4/5 ( 8πλ(Ti T ) 3 3,8 1 Ra st un fonction croissant 4πµ) 3/5, Ra 6,7mm, m 1,3g, c st 7. Mis n équilibr thrmiqu, analogi On considèr la conduction thrmiqu ntr dux sphèrs d rayons rspctifs R 1 t R avc R 1 < R. Entr cs sphèrs l spac st occupé par un matériau homogèn t isotrop d conductivité thrmiqu λ supposé constant. Ls sphèrs sont portés rspctivmnt aux tmpératurs T 1 t T < T 1. L régim st supposé stationnair. 1. Calculr n fonction d R 1, R t λ la résistanc thrmiqu R th ntr ls dux sphèrs. Ls dux sphèrs ont un mêm capacité calorifiqu C t ont un grand conductivité thrmiqu d sort qu à chaqu instant on put considérr ls tmpératurs T 1 t T comm uniforms. On désignra par T 01 t T 0 ls tmpératurs initials ds sphèrs. On définira un constant d tmps τ qui fix l évolution ds tmpératurs. On supposra qu l nsmbl st isolé thrmiqumnt avc l miliu xtériur.. Détrminr ls équations qui détrminnt ls évolutions tmporlls ds tmpératurs T 1 t T. 3. Qulls analogis put-on fair? Réponss : div j = 0 conduit à r dt dr = α, T = α R1R r + β, condition aux limits α = R R 1 (T T 1 ), j cond = 4πλ R1R R R 1 (T 1 T ) t R th = 1 R R 1 λ 4πR 1R, R th C dt1 dt +T 1 = T t R th C dt dt +T = T 1, τ = R th C, T 1 = T01+T0 + T 01+T 0 xp t τ t T = T01+T0 T01+T0 xp t τ, élctricité circuit RC avc τ = RC. 8. Explosion dans un réactur chimiqu Un réactur chimiqu st assimilé à un cylindr d ax Ox, d sction S t d longuur L contnant ds réactifs. La surfac latéral t ls surfacs xtrêms sont calorifugés. Si la tmpératur T(x,t) dépass l suil T 0, un réaction chimiqu xothrmiqu s produit. On trait l réactur comm un miliu homogèn d composition constant, décrit par sa conductivité thrmiqu λ, sa mass volumiqu µ t sa capacité thrmiqu massiqu c. On trait la réaction chimiqu comm un sourc d chalur : dans un élémnt d volum dτ, la réaction xothrmiqu apport au miliu un chalur δ Q = A(T T 0 )dτdt. On néglig la convction. 1. En faisant un bilan d énrgi pour un tranch d réactur compris ntr x t x+dx, établir l équation dont st solution T(x,t).. On chrch ds solutions non xplosivs d la form : Détrminr τ n fonction d k, A, µ, λ t c. T(x,t) = T 0 +T 1 cos(kx ϕ)xp t τ
4 Scincs Physiqus MP Exrcics : 1 - Conduction - Convction - Rayonnmnt 4 3. Exprimr ls conditions aux limits du réactur. En déduir ϕ t ls valurs possibls d k n faisant apparaîtr un ntir n. 4. En déduir la valur minimal L c d la longuur L du réactur prmttant un xplosion. 9. Régim transitoir t séri d Fourir Un solid (C) la form d un cylindr droit à bas circulaird hautur L, d rayonr st constitué d un matériau homogèn t isotrop d mass volumiqu µ, d capacité thrmiqu massiqu c t d conductivité thrmiqu λ supposés constants. T désign la tmpératur du cylindr. On appll x la dirction parallèl à l ax du cylindr t on suppos qu T n dépnd qu d x t d t. On plac ls dux facs xtrêms d (C) (n x = 0 t x = L) n contact avc dux sourcs d chalur (S ) t (S ) d tmpératur rspctivs T t T t on mpêch tout transfrt thrmiqu par la fac latéral. On posra a = λ µc. Pour t < 0 on a T = T = T 1. A t = 0 on chang ls sourcs (S ) t (S ) t pour t > 0 on a T = T = T Établir l équation d diffusion thrmiqu dans l cylindr.. Donnr n l justifiant la fonction T(x,t) just avant t = 0. On s intérss désormais à la fonction T(x,t) pour t > 0 t on pos θ = T T Qulls sont ls conditions aux limits pour θ n x = 0 t x = L? Qulls sont ls conditions initials à t = 0 (n fonction d x)? 4. On chrch θ(x,t) sous la form θ = f(t)g(x). Montrr qu g(x) st solution d l équation différntill d g = αg où a st un constant indétrminé dx à c stad ds calculs. À l aid ds conditions aux limits, montrr qu α st positiv (on posra α = k ) t n put prndr qu crtains valurs dépndant d un ntir n. À qull équation différntill obéit f(t)? Montrr qu la solution la plus général qu l on put obtnir par ctt méthod st : θ(x,t) = n=1 B n xp t τ n sink n x n donnant ls xprssions d τ n t k n n fonction d n, L t a. 5. Àl aidds conditionsinitials montrrqul calculdscofficintsb n s ramènau calculdscofficints d Fourird un fonction g (x) dont on précisrala parité t la périod. Calculr B n t donnr l xprssion θ(x,t). 6. Calculr l rapport r n ntr l amplitud d un trm qulconqu du dévloppmnt d θ t l amplitud du prmir trm t montrr qu à partir d un instant t 1 dont on donnra un ordr d grandur on put gardr uniqumnt l prmir trm. Donnr l allur d θ(x,t) pour t t 1, pour t > t 1 puis pour t. À partir d qul instant t a-t-on : T(x,t) T 0 T 0 < 10 Donnés numériqus : L = 1m; R = cm; µ = 9000kg m 3 ; c = 400J kg 1 K 1 ; λ = 400W m 1 K 1 ; T 1 = 370K t T 0 = 300K. C. Diffusion d matièr 10. Diffusion d nutrons dans un tig On étudi la diffusion ds nutrons dans un matériau homogèn qui vérifi la loi d Fick : j = D gradn où j st l vctur dnsité d flux d nutrons n s 1 m, n l nombr d nutrons par unité d volum t D un constant positiv. La diffusion s fait parallèlmnt à l ax Ox. Ls grandurs n t j n dépndnt qu d x t du tmps t. 1. Indiqur ls unités d n t d D. Intrprétr l sign dans la loi d Fick.. On suppos dans un prmir tmps qu l matériau st un tig d sction constant S, d longuur L, dans laqull il n s produit aucun absorption ou création d nutrons. Fair un bilan ds particuls ntr x t x+dx t établir l équation différntill vérifié par n.
5 5 Exrcics : 1 - Conduction - Convction - Rayonnmnt Scincs Physiqus MP En régim prmannt, n notant n 0 t n L ls valurs d n n x = 0 t x = L, xprimr n t j n fonction d x. On considèr maintnant qu l matériau qui constitu la tig put absorbr ds nutrons t n produir par ds réactions d fissions. L nombr δ N a d nutrons absorbés dans un volum dv pndant un intrvall d tmps dt st donné par : δ N a = n τ dvdt où τ st un constant positiv. L nombr δ N p d nutrons produits dans l mêm volum élémntair dv pndant dt st donné par δ N p = kδ N a où k st un constant positiv. 4. En faisant un bilan d particuls dans un volum d sction S compris ntr x t x+dx, montrr qu n vérifi l équation différntill suivant : n t = n D +(k 1)n τ 5. Qull équation différntill vérifi la dnsité d nutrons n n régim prmannt? On suppos ctt condition réalisé dans tout la suit. 6. On suppos dans un prmir tmps qu il n s produit pas d réactions d fission dans l matériau. D plus, on suppos qu la tig a un longuur suffisammnt important pour la considérr comm infini. Un flux d nutrons st imposé n x = 0, d dnsité j = j 0 x avc j 0 > 0. À l xtrémité d la tig, on supposra qu la dnsité d nutrons st null. Établir l xprssion d n. Détrminr la distanc δ à partir d laqull la dnsité d nutrons st égal à 1% d sa valur n x = 0. Évalur ctt distanc pour d l au ( Dτ = 3 10 SI t du carbon ( Dτ = 0,8SI). Qul st l matériau l plus fficac pour absorbr ls nutrons? 7. On suppos maintnant qu l matériau produit ds nutrons par fissions t qu la quantité d nutrons produits st supériuràcll ds nutrons absorbés.la tig a un longuurfini L. Ladnsité d nutrons st supposé null aux dux xtrémités d la tig t uniqumnt n cs dux positions. On not n 0 la valur maximal d la dnsité d nutrons à l intériur d la tig. Exprimr n n fonction d n 0, k, D, τ t x t montrr qu ctt solution n st nvisagabl qu si la longuur d la tig prnd un valur L C qu on xprimra n fonction d k, D t τ. Réponss : n n m 3 t D n m s 1, car diffusion ds zons ls plus concntrés vrs ls moins concntrés, j(x,t)s j(x +dx,t)s = n t Sdx, n = 1 n D t, n(x) = n 0 + nl n0 L x, j = D n0 nl L, j(x,t)s j(x+dx,t)s + kn τ Sdx n n n τsdx = tsdx d où t = D n + (k 1) n τ, d n dx + k 1 Dτ n = 0, k = 0, n(x) = j τ 0 D xp x Dτ, δ = k 1 Dτ ln10, δ au = 0,80m t δ carbon = 4,1m l au st plus fficac, k > 1 d où n(x) = n 0 sin Dτ x, L = pπ Dτ k 1 avc n N, L c = π Dτ k Coloni d bactéris On s intérss à la croissanc d un coloni d bactéris par division t diffusion. La dnsité (nombr d bactéris par unité d longuur) n(x,t) n dépnd qu d un coordonné x t du tmps t. 1. On suppos qu la loi d évolution ds bactéris pour la diffusion st idntiqu à la loi d diffusion thrmiqu unidimnsionnll. Rapplr l xprssion d ctt loi, on notra D l cofficint d diffusion ncor applé diffusivité. Sachant qu chaqu bactéri chang aléatoirmnt d sns tous ls T = 1 s, donnr un stimation d D lorsqu la vitss ds bactéris st v = 10µm s 1. À l aid d un raisonnmnt dimnsionnl, trouvr l tmps au bout duqul un ptit coloni rmplit un récipint d longuur L = 10cm, commntr brièvmnt l résultat obtnu.. Un bactéri s divis n dux n moynn tous ls τ = 100s. Fair un bilan d nombr d bactéris sur un tranchcomprisntrxt x+dx t un intrvalldtmps comprisntrtt t+dt. Trouvrl équation d diffusion modifié à laqull satisfait la dnsité d bactéri. Qulls sont ls solutions stationnairs d l équation obtnu? Ont-lls un sns physiqu? Détrminr l évolution d un profil d dnsité indépndant d x t valant n(x,t = 0) = n 0 initialmnt. 3. Tous ls τ = 100 s n moynn, un bactéri murt avc un probabilité proportionnll au nombr moyn d ss voisins dans un intrvall d longuur a. Modifir l bilan d particuls établi à la qustion précédnt n tnant compt d la mort ds bactéris t montrr qu : n t = D n +d 1n d n où d 1 t d sont ds cofficints dont on précisra ls xprssions, ls dimnsions t ls valurs numériqus (on prnd a = 10µm). Qulls sont ls solutions stationnairs t uniforms d l équation précédnt? À quoi corrspondnt-lls physiqumnt? On ls nots n 1 t n avc n 1 < n.
6 Scincs Physiqus MP Exrcics : 1 - Conduction - Convction - Rayonnmnt 6 4. On s intérss au bord d la coloni t on chrch ds solutions d l équation différntill d la qustion 3 sous la form n(x,t) = f(x ct), tll qu : lim x f(x) = n lim x + f(x) = n 1 Qu signifi c choix? Montrr qu l équation différntill qui détrmin f s mt sous la form : 1 f = f + 3 f + 4 f où ls i sont ds cofficints dont on donnra l xprssion. Rconnaîtr dans ctt équation l mouvmnt d un particul d mass D soumis à un forc d frottmnt visquux t à un potntil à précisr. Fair un bilan ds travaux ds forcs ntr ls positions n t n 1 t n déduir un xprssion d c n fonction d f (u)du. Dans qul sns la coloni s déplac-t-ll? Un récipint s rmplirait-il plus vit ou moins vit qu dans la qustion 1? Réponss : n = 1 n D t, D n m s 1, D v T = m s 1, t = L D = 108 s donc trois ans, n c st trop long, la diffusion n st pas l sul mécanism, t = D n + n τ, solutions sinusoïdals, solutions stationnairs sans sns physiqu car la division ntraîn forcémnt un augmntation du nombr d particuls, solutions indépndants d x n(t) = n 0 xp t τ divrg cohérnt avc l obsrvation précédnt, N moy na, probabilité n na τ, n t = n D + n τ a τ n, d 1 = 1 τ = 8, s 1, d = a τ = 8, m s 1, solutions stationnairs t uniforms n 1 = 0 aucun bactéri, n = 1 a la mortalité st xactmnt compnsé par la division, sourc d bactéri n qui murnt touts avant d arrivr n +, ξ = x ct, f = df dξ t f = d f dξ, D d f dξ = 1 df c dξ 1 τ f + a τ f, E pot = 1 τ f a 3τ f3, E c + E pot = W frott avc E c = 1 D(f n f n 1 ) = 0 d où c = 6τa f (ξ)dξ, plus vit car avc la solution f(x ct) la propagation s ffctu dans l sns x croissant avc ds durés proportionnlls aux distancs. D. Solil - Trr 1. Bilan radiatif d la Trr On donn : R solil = m; distanc moynn Trr-Solild = 1, m; rayon d la trr R T = 6400km t tmpératur moynn du sol : T 0 = 87K. La constant solair E 0 st par définition la puissanc rçu du solil par unité d surfac normal aux rayons solairs au sommt d l atmosphèr trrstr. On admt qu on put assimilr l émission solair à cll d un corps noir d tmpératur T S. 1. Calculr E 0 n fonction d d, R S, T S t σ (constant d Stfan). Calculr égalmnt la puissanc solair u rçu n moynn par unité d surfac d la sphèr d rayon R T. On trouv xpérimntalmnt E 0 = 1,35kW m. En déduir un valur numériqu d T S.. L maximum d l émission solair n fonction d la longuur d ond st obtnu pour λ max = 0,474µm. Ctt valur st-ll cohérnt avc la valur d T S qu l on vint d calculr pour pouvoir assimilr l émission à cll du corps noir? 3. L albédo d un surfac st l rapport du flux qu ll diffus sans l absorbr au flux qu ll rçoit. L albédo A d l nsmbl Trr-Atmosphèr pour l rayonnmnt solair st évalué à 0, 34. On considérra qu l atmosphèr trrstr st pratiqumnt transparnt au rayonnmnt solair. Calculr l flux surfaciqu moyn ϕ du rayonnmnt émis par l sol n supposant l équilibr radiatif au sol. On négligra dans ctt qustion tout absorption par l atmosphèr du rayonnmnt émis par l sol d mêm qu tout rayonnmnt propr d l atmosphèr. On xprimra ϕ n fonction d u. On assimil l rayonnmnt du sol à clui d un corps noir d tmpératur T P. Calculr T P. Comparr à T 0. Commntr. 4. On tint compt maintnant du rayonnmnt d l atmosphèr. On admt qu sulmnt un fraction α du rayonnmnt IR émis par l sol (d tmpératur T 0 ) put travrsr la totalité d l atmosphèr. En outr, l atmosphèr rayonn un flux surfaciqu moyn ϕ 1 au nivau du sol t dirigé vrs l sol. Enfin, ls couchs atmosphériqus ls plus élvés ont un rayonnmnt propr vrs l xtériur du systèm Trr-Atmosphèr corrspondant à un flux surfaciqu moyn ϕ r ϕ 1. On donn α = 0,5. Rprésntr sur un schéma, ls flux évoqués. Calculr ϕ, ϕ r t ϕ 1 n fonction d u. 5. En fait l bilan purmnt radiatif précédnt n tint pas compt d divrs phénomèns qui participnt au bilan thrmiqu d l atmosphèr. Ainsi, l au s évapor à la surfac du sol t s rcondns dans l atmosphèr. La hautur moynn ds précipitations annulls st d l ordr d mètrs d au. Évalur l ordr d grandur d la puissanc surfaciqu moynn P S transféré d ctt façon d la Trr à l Atmosphèr. Conclur. On donn l nthalpi massiqu d vaporisation d l au : H vap = 50kJ kg 1.
7 7 Exrcics : 1 - Conduction - Convction - Rayonnmnt Scincs Physiqus MP ( Réponss : E 0 = σts 4 RS ), πr D TS = 5730K, u = E T 0 = E0 4πR 4 = 338W m, λ m T = 895µm K d où T T = 6110K écart d 7%, sans fft d srr (1 A)u = σtp 4 t T P = 50K, fft d srr avc équilibr sommt atmosphèru = Au+ϕ r +αϕ t équilibrau sol (1 A)u+ϕ 1 = ϕ, ϕ = u(1 A)( T0 T P ) 4 = 1,15u,ϕr = 0,37u, ϕ 1 = 0,49u, E au = m H vap, P S = Eau t = 137W m, P S = 0,4u. E. Objts trrstrs n régim indépndant du tmps 13. Utilisation thrmiqu d l énrgi solair Un surfac noir absorb totalmnt l rayonnmnt solair auqul ll st xposé t l réémt suivant un loi d corps noir dont la tmpératur T 0 st cll d la surfac. 1. Fair l bilan thrmiqu d la surfac n négligant ls prts par conduction t convction t trouvr l xprssion d la tmpératur T 0 n fonction d J, puissanc solair rçu par unité d surfac. Calculr T 0 pour un valur d J égal à 800W m. En déduir l domain spctral du rayonnmnt émis.. On intrpos un vitr ntr la surfac noir t l rayonnmnt solair. Sachant qu l vrr absorb totalmnt l infraroug d longuur d ond supériur à 1 µm t qu l rayonnmnt solair n n contint prsqu pas au nivau du sol, fair l nouvau bilan énrgétiqu au nivau d la surfac ainsi qu clui d la vitr. En déduir la nouvll tmpératur T 1 d la surfac. 3. On fait circulr d l au au contact d la surfac noir. L au pass n dssous d la surfac noir, la vitr proposé à la qustion précédnt st toujours présnt ntr la surfac noir t l rayonnmnt solair. L au arriv à la tmpératur t 3 = 10 C t maintint la surfac à la tmpératur t = 60 C. Qull air d captur faut-il utilisr pour produir 0 litrs d au chaud à 60 C par hur? Qull fraction d énrgi incidnt st capté (rndmnt)? On donn la capacité thrmiqu massiqu d l au c au = 4, J kg 1 K 1. Réponss : J = σt 4 0, T 0 = 71 C, λ m = 9,4µm dans l IR, J = σt 4 1, T 1 = 136 C, J + j = j conv + j 1 t j = j 1, d plus j 1 = σt 4 p avc T p = 333K, D m c au (t t 3 ) = j conv S, S =,6m, η = jconv J = 56%.
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