Récursivité et Récurrence

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1 Université Joseph Fourier UFR IMAG Département Licence Sciences et Technologie LICENCE SCIENCES & TECHNOLOGIES 1 re année INF121 ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION FONCTIONNELLE Récursivité et Récurrence Fonctions récursives Types récursifs Ensembles dénis récursivement Principe de récurrence

2 Table des matières 5 Fonctions récursives sur les entiers Dénition, exécution et terminaison de fonctions récursives Équations récursives et appels récursifs Terminaison du calcul et fonction de Mesure Rédaction d'une preuve de terminaison Implantation en caml Exemple de fonction récursive non calculable Analyse et critique de cette réalisation Fonctions récursives qui retournent plusieurs résultats Fonctions récursives dont la terminaison dépend de plusieurs arguments L'algorithme du pgcd rapide Exemple d'exécution, mesure et preuve de terminaison

3 Chapitre 5 Fonctions récursives sur les entiers 5.1 Dénition, exécution et terminaison de fonctions récursives La dénition d'une fonction récursive se fait en 4 étapes : 1. spécification mathématique : comme au chapître précédent avec la particularité qu'une fonction récursive f est dénie par une suite récurrente. 2. réalisation informatique : a) L'algorithme est donné sous la forme d'un système d'équations dont certaines sont récursives, c'est-à-dire que la valeur de f est dénie en faisant appel à f. b) preuve de terminaison du calcul à l'aide d'une fonction de Mesure, c) implantation en caml Prenons un exemple. SPÉCIFICATION MATHÉMATIQUE Prol puis : Z N Z Sémantique : puis (x, n) est la nème puissance de x. Les puissances de x sont les termes de la suite récurrente (x i ) i N dénie par x 0 = 1 x i = x x i 1 quand i > 0 Exemple puis (3, 2) = 9 Propriétés 1. x Z, puis (x, 0) = 1 2. x Z, n N, puis (x, 2n) = puis (x x, n) 3. x Z, n N, puis (x, 2n + 1) = x puis (x x, n) RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : La fonction puis est facile à dénir : il sut de traduire les équations de la suite récurrente. Dénition récursive de la fonction par des équations (1) puis (x, 0) = 1 (2) puis (x, i) = x puis (x, i 1) quand i > 0 1

4 5.1.1 Équations récursives et appels récursifs Vous remarquerez que l'équation (2) dénit puis en faisant appel à puis, on dit qu'elle est récursive ou qu'elle fait des appels récursifs. Cela signie que le calcul de puis (x, i) va demander le calcul puis (x, i 1) qui demandera le calcul de puis (x, i 2) et ainsi de suite. Une telle équation a un sens si on peut montrer que cette suite de calcul en cascade va prendre n. appel appelle appelle puis (x, 3) puis (x, 2) puis (x, 1) puis (x, 0) récursif = = = = x puis (x, 2) x puis (x, 1) x puis (x, 0) 1 = x x x 1 }{{} = retour x x 1 retour x = 1 retour n des appels récursifs résulat du calcul Terminaison du calcul et fonction de Mesure Pour montrer la terminaison des calculs en cascade, on donne une fonction mathématique, appelée Mesure, qui estime la distance qui nous sépare de la n du calcul. Cette distance n'est mesurée ni en centimètres, ni en secondes mais en nombre d'appels récursifs. C'est un entier naturel qui indique le nombre maximal 1 d'appels qui restent avant d'atteindre l'appel qui mettra n au calcul. Pour montrer la terminaison du calcul, la fonction Mesure doit prendre exactement les mêmes arguments que puis et doit retourner un entier naturel. Pour montrer la terminaison de puis on doit donc dénir la Mesure en fonction de x et n de sorte qu'elle retourne un entier et qu'elle indique le nombre d'appels restants. SPÉCIFICATION MATHÉMATIQUE Prol Mesure : Z N N Sémantique : Mesure (x, n) est le nombre maximal d'appels récursifs avant la n calcul de puis (x, n). On choisit : Mesure (x, n) def = en prenant soin que le résulat de la mesure appartienne à N. Reprenons les appels récursifs en cascade déclenchés par puis (x, n) et regardons ce que donne la Mesure que nous avons choisie. appel appelle appelle puis (x, 3) puis (x, 2) puis (x, 1) récursif puis (x, 0) Mesure (x, 3) Mesure (x, 2) Mesure (x, 1) Mesure (x, 0) =.. > =.. > =.. > = 0 On constate qu'elle décroît strictement à chaque appel récursif et comme la Mesure donne une valeur dans N, elle ne peut pas décroître indéniment ; elle atteindra forcément 0 et le calcul s'arrêtera Rédaction d'une preuve de terminaison Pour montrer qu'un calcul termine il n'est pas nécessaire de donner une fonction Mesure qui atteint exactement 0 quand le calcul s'arrête. Il sut de trouver une Mesure qui prend des valeurs dans N et qui décroît strictement à chaque appel récursif. La terminaison est garantie puisqu'il est impossible de constuire une suite d'entiers qui soit innie et strictement décroissante. Par ailleurs, il n'est pas nécessaire d'examiner les exécutions de la fonction, il sut de considérer la ou les équations qui sont récursives l'équation (2) dans le cas de puis et de montrer, sur l'équation, que 1 En général il est dicile de donner le nombre exact d'appels récursifs ; par contre il est aisé de déterminer le nombre maximal d'appels. 2

5 chaque appel récursif fait décroître strictement la mesure. Voici comment on rédige une telle preuve de terminaison : TERMINAISON On dénit Mesure (x, n) def =.. Preuve de terminaison : (i) Les arguments de la fonction sont la fonction (ii) Justions que la mesure choisie retourne des valeurs dans.... : Mesure (x, n) =.. et n N d'après le prol de la fonction puis : Z n N Z (iii) Montrons que la mesure à appel : Pour (ii), on considère uniquement les équations qui comportent des : Seule l'équation (2) est récursive et on doit donc montrer : Équation (2) appel initial puis (x, i) = appel récursif quand i > 0 Mesure (x, i) = i donc Mesure (x, i) > Mesure (x, ) > = vraie pour tout i ok > Mesure (x, ) Implantation en caml Maintenant que nous sommes sûr que les équations récursives dénissent un calcul qui termine nous pouvons les traduire en caml et demander à la machine d'eectuer les calculs. L'exécution du calcul va engendrer des appels récursifs en cascade mais nous sommes assurés que cette cascade d'appels va prendre n tôt ou tard. Implantation 1, par traduction des équations récursives On utilise le ltrage sur (x, n) pour déterminer si on est dans le cas de l'équation (1) ou de l'équation (2). let... (puis : int * nat -> int) = function (x,n) -> match (x,n) with partie optionnelle (x,0) -> 1 (* équation 1 *) (x,i) when i>0 -> x * puis(x,i-1) (* équation 2 *) 3

6 Implantation 2, même traduction mais en notation abbrégée let rec (puis : int * nat -> int) = function (x,0) -> 1 (* équation 1 *) (x,i) when i>0 -> x * puis(x,i-1) (* équation 2 *) Remarque Nous redonnons ci-dessous le prol et les équations de la fonction puissance an de soulignez la proximité de la fonction écrite en caml et de sa description mathématique. Prenez le temps de comparer l'implantation 2 avec le prol et les équations ci-dessous. Prol puis : Z N Z Dénition récursive de la fonction par des équations (1) puis (x, 0) = 1 (2) puis (x, i) = x puis (x, i 1) quand i > 0 Conclusion Pour bien programmer en caml il faut dénir ses fonctions mathématiquement par des équations récursives ; ensuite la traduction est quasi immédiate. 5.2 Exemple de fonction récursive non calculable SPÉCIFICATION MATHÉMATIQUE Prol puis : Z N Z Sémantique : puis (x, n) est la nème puissance de x. Les puissances de x sont les termes de la suite récurrente (x i ) i N dénie par x 0 = 1 x i = xi+1 x RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : On dénit la fonction puis par traduction des équations de la suite récurrente. Dénition récursive de la fonction par des équations (1) puis (x, 0) = 1 (2) puis (x, i) = puis (x, i + 1)/x quand i > 0 Implantation : On traduit les équations récursives en caml let rec (puis : int * nat -> int) = function (x,0) -> 1 (x,i) when i>0 -> puis(x,i+1) / x Analyse et critique de cette réalisation Cette fonction est parfaitement dénie, correctement typée et elle est acceptée par caml. Mais... Question : que ce passe-t'il si on essaie de l'exécuter, par exemple en demandant de calculerpuis (3, 2) Elle ne pas puisque puis (x, 2) appelle puis (x,.. ) appelle puis (x,.. ) appelle... 4

7 Nous avons bien suivi toutes les étapes de conception d'une fonction récursive, toutes sauf une : nous avons négligé la preuve de terminaison et le calcul ne termine pas. Nous avons donné une dénition correcte du point de vue mathématique mais incorrecte du point de vue informatique car non calculable. 5.3 Fonctions récursives qui retournent plusieurs résultats La division euclidienne de a par b doit rendre deux résultats : le quotient de la division et le reste. Elle retourne donc un couple (reste, quotient). SPÉCIFICATION MATHÉMATIQUE Prol div : N N N N Sémantique : div (a, b) = (q, r) est le résultat de la division euclidienne de a par b, c'est-à-dire que les entiers q et r sont tels que a = b q + r avec r < b Exemples 1. div (14, 3) = (4, 2) car 5 = et.. < 3 2. div (5, 7) = (0, 4) car 5 = et.. < 7 Propriétés 1. div (a, a) = (..,.. ) car a = et.. <.. 2. div (1, 1) = (..,.. ) car 1 = et.. <.. 3. div (1, b) = (..,.. ) car 1 = et.. <.. quand b > 1 4. div (a, 0) = car a =.. q + r avec r <.. n'est pas C'est pour cela qu'on impose la contrainte b RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : Tant qu'il nous reste dans a une quantité susante pour prendre b, on retranche b de a, c'est-à-dire qu'on prend une fois de plus b de a et donc le quotient augmente d'une unité. Lorsqu'on ne peut plus retrancher b de a (parce que a < b) alors le reste de la division euclidienne c'est a. Dénition récursive de la fonction reste par des équations (1) reste(a, b) =.. quand a < b (2) reste(a, b) = reste(...., b) quand a b Dénition récursive de la fonction quotient par des équations (1 ) quotient(a, b) =.. quand a < b (2 ) quotient(a, b) = 1 + quotient( , b) quand a b 5

8 Dénition de la fonction div par des équations div (a, b) = ( (a, b), reste(..,..)) quand a 0, b > 0 Implantation 1 type nat = int (* >= 0 *) type natpos = int (* >0 *) let rec (quotient : nat * natpos -> nat) = function (a,b) when..>=0 &&..>0 -> if... then 0 else.. + quotient(...,b) let rec (reste : nat * natpos -> nat) = function (a,b) when a b... -> if... then r else reste(...,b) let (div : nat * natpos -> nat * nat) = function (a,b) &&... -> ( quotient...,...(a,b) ) RÉALISATION INFORMATIQUE autre version qui regroupe les fonctions quotient et reste Algorithme : On calcule le reste et le quotient simultanément. Dénition récursive de la fonction reste par des équations (1 ) quotient-reste(a, b, q, r) = (q, r) quand r < b (2 ) quotient-reste(a, b, q, r) = quotient-reste(a, b,.. +..,....) quand r b Dénition de la fonction div par des équations div (a, b) = quotient-reste(a, b, q, r) avec r = a et q = 0 }{{} quand a 0, b > 0 valeurs iniitiales de r et q Implantation autre version let rec (quotient_reste : nat * natpos * nat * nat -> nat * nat) = function (a,b,q,r) when... -> if (r<b) then (q,r) else quotient_reste(..,..,q..1,r..b) let (div : nat * natpos -> nat * nat) = function (a,b) when... -> let r=.. and q=.. in quotient_reste(a,b,q,r) 6

9 Exercice Rédigez les preuves de terminaison des fonctions reste, quotient et quotient - reste. TERMINAISON de la fonction reste On dénit Mesure (a, b) def =.. Preuve de terminaison : (i) Les arguments de la fonction sont la fonction (ii) Justions que la mesure choisie retourne des valeurs dans.... : Mesure (a, b) =.. N puisque.. N d'après le prol de la fonction reste (iii) Montrons que la mesure à appel : Pour (ii), on considère uniquement les équations qui comportent des : Seule l'équation (2) est récursive et on doit montrer : Équation (2) appel initial reste(a, b) = appel récursif reste( ,..) quand a > b Mesure (a, b) > Mesure ( ,..) =.. donc Mesure (a, b) > = ok > Mesure ( ,..) si b... 0 La condition b n'est pas dénie pour b = 0. est nécessaire pour garantir la terminaison. Voilà pourquoi la division TERMINAISON de la fonction quotient - reste On dénit Mesure (a, b,..,.. ) def =.. Preuve de terminaison : (i) Les arguments de la fonction sont la fonction (ii) Justions que la mesure choisie retourne des valeurs dans.... : Mesure (a, b,..,.. ) =.. N puisque.. N d'après le prol de la fonction quotient-reste (iii) Montrons que la mesure à appel : 7

10 Pour (ii), on considère uniquement les équations qui comportent des : Seule l'équation (2) est récursive et on doit montrer : Équation (2) appel initial quotient-reste(a, b, q, r) = appel récursif quotient-reste(..,..,.. +..,....) Mesure (a, b, q, r) > Mesure (a,.., , ) =.. donc Mesure (a, b, q, r) > = ok > Mesure (.., b, q......, r..... ) si Là encore, la condition est nécessaire pour garantir la terminaison. Voilà pourquoi on impose b Fonctions récursives dont la terminaison dépend de plusieurs arguments Calcul rapide du PGCD exercice du partiel 2009 (0 min, 6 pt) Le but de cette partie est d'écrire un algorithme de calcul rapide du pgcd (plus grand diviseur commun) de deux entiers et d'étudier la terminaison de l'algorithme. définition (PGCD) L'entier positif p est le pgcd des entiers a et b si il satisfait les 3 conditions : 1. p divise a 2. p divise b 3. tout autre diviseur q de a et de b est inférieur à p Q1. (0 min, 1 pt) On donne ci-dessous des dénitions de 3 fonctions qui seront utiles pour dénir ensuite la fonction pgcd. On suppose que la fonction pair est déjà implantée. Complétez les dénitions ci-dessous. SPÉCIFICATION MATHÉMATIQUE du pair Prol pair : Z Sémantique : pair (n) vaut vrai si n est divisible par 2 SPÉCIFICATION MATHÉMATIQUE du prédicat impair Prol impair : Sémantique : impair (n) vaut vrai si n n'est pas divisible par 2 8

11 RÉALISATION INFORMATIQUE Implantation let (impair :... ) =... -> not... SPÉCIFICATION MATHÉMATIQUE Prol dist : Z Z.... Sémantique : dist (a, b) est la distance qui sépare les nombres a et b Exemple 1. dist (5, 8) = 3 2. dist (15, 12) = 3 3. dist (0, 1) = 1 4. dist ( 2, 0) = 2 5. dist ( 2, 3) = 5 6. dist ( 7, 5) = 2 Propriétés 1. a, b Z, a b = dist(a, b) si a... b 2. a, b Z, a b = dist(a, b) si RÉALISATION INFORMATIQUE Implantation let (dist :...) =... -> let d =... in if L'algorithme du pgcd rapide SPÉCIFICATION MATHÉMATIQUE Prol pgcdr : N N N Sémantique : pgcdr (a, b) est le plus grand des nombres qui divise à la fois a et b. Exemples 1. pgcdr (5, 12) = 1 en eet 5 et 12 n'ont pas de diviseur commun non nul autre que 1 2. pgcdr (8, 6) = 2 en eet 8 = 2 4 et 6 = pgcdr (24, 16) = 8 en eet 24 = 3 8 et 16 = 2 8 donc 8 est le plus grand diviseur commun de 24 et 16 L'exercice consiste à traduire chacune des remarques ci-dessous sous la forme d'une équation qui dénit l'algorithme de calcul rapide du pgcd d'un couple d'entiers (a, b). 9

12 Q2. (0 min, 1.5 pt) Complétez les pointillés dans les remarques suivantes : RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : Dans le cas où l'un des deux nombres a, b vaut 1 alors le pgcd vaut... Dans le cas où les nombres sont consécutifs (soit a = n et b = n + 1 ou bien b = n et a = n + 1), le pgcd de a et b vaut 1. Si les deux nombres a et b sont égaux alors le pgcd est Si a est pair et b est impair alors le pgcd(a, b) est égal au pgcd de b et de a/2. Réciproquement, si a est impair et b pair alors le pgcd(a, b) est égal au pgcd de et de Si les deux nombres sont pairs, ils sont donc chacun divisibles par deux. Que peut-on alors dire du pgcd de a et b Si les deux nombres sont impairs et a > b, les diviseurs communs à a et b sont forcément des diviseurs de ; donc le pgcd de a et b est égal au pgcd de a b et de b. Si les deux nombres sont impairs et si a < b, les diviseurs communs à a et b sont forcément des diviseurs de b a ; donc le pgcd de a et b est égal au pgcd de et de... Q3. (0 min, 1.5 pt) À partir des remarques précédentes, complétez les équations de l'algorithme. RÉALISATION INFORMATIQUE Dénition récursive de la fonction par des équations (1) pgcdr (a, b) =.. si (2) pgcdr (a, b) = a si (3) pgcdr (a, b) = pgcdr (.., ) si (4) pgcdr (a, b) = si (5) pgcdr (a, b) = pgcdr ( , ) si (6) pgcdr (a, b) = pgcdr ( ,..) si (7) pgcdr (a, b) = pgcdr (.., ) si Exemple d'exécution, mesure et preuve de terminaison Q4. (0 min, 2 pt) Complétez les appels récursifs engendrés par l'appel pgcdr (44, 37) en indiquant à chaque étape l'équation utilisée. Ensuite, donnez une fonction Mesure à valeur dans N qui décroit 10

13 strictement à chaque appel récursif et vériez qu'elle décroît eectivement sur la séquence d'appels récursifs engendrés par pgcdr (44, 37). Mesure (a, b) def = pgcdr (44, 37) Mesure (44, 37) =.... d'après (.. ) = > pgcdr (22,.... ) Mesure (22,.... ) =.... d'après (.. ) = > pgcdr (...., 37) Mesure (...., 37) =.... d'après (.. ) = > pgcdr (...., 26) Mesure (...., 26) =.... d'après (.. ) = > pgcdr (11,.... ) Mesure (11,.... ) =.... d'après (.. ) = > pgcdr (....,.. ) Mesure (....,.. ) =.... d'après (.. ) = > pgcdr (....,.. ) Mesure (....,.. ) =.... d'après (.. ) =.. Exercice Rédigez la preuve de terminaison pour les équations récursives (3) et (6). TERMINAISON On dénit Mesure (a, b) def = Preuve de terminaison : (i) Les arguments de la fonction sont la fonction (ii) Justions que la mesure choisie retourne des valeurs dans.... : Mesure (a, b) = pgcdr N puisque a N et b N d'après le prol de la fonction 11

14 (iii) Montrons que la mesure à appel : Pour (ii), on considère uniquement les équations qui comportent des : Pour l'équation récursive (3) on doit montrer : Équation (3) appel initial pgcdr (a, b) = appel récursif quand impair (.. ) pair (..) Mesure (a, b) = donc Mesure (a, b) > Mesure (a, ) > = ok > Mesure (a, ) si b.. Notez que b > 0 ne sut pas pour garantir la décroissance stricte car lorsque b = 1 on a b/2 vaut 0. Il faut que b... Heureusement c'est le cas car b et que b est Pour l'équation récursive (6) on doit montrer : Équation (6) appel initial pgcdr (..,..) = appel récursif Mesure (a, b) = donc Mesure (a, b) > Mesure ( ,..) > = =.. ok > Mesure ( ,..) si b La décroissance stricte est garantie puisque b