Chapitre 9 : Géométrie vectorielle

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1 Chapitre 9 : Géométrie vectorielle I Notion de vecteur 1 Translation et vecteur Soit A et B deux points du plan La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l unique point D tel que BC et AD aient le même milieu Dans ce cas, on dit que D est l image de C par cette translation Interprétation Lorsque A et B sont distincts, la translation qui transforme A en B est un «glissement» : Dans la direction de la droite AB ( ) ; Dans le sens de A vers B ; De longueur AB La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB Activité préparatoire Représentation d un vecteur Lorsque A et B sont distincts, le vecteur AB est symbolisé par une flèche de A vers B La longueur AB est appelé norme du vecteur AB Le point A est appelé origine du vecteur vecteur AB et B son extrémité 2 nde 1

2 Le vecteur AB est défini par : Une direction : la droite AB Un sens : de A vers B Une longueur : AB ( ) 2 Égalité de vecteurs On dit que les vecteurs AB vecteur AB On note AB = CD et CD sont égaux lorsque D est l image de C par la translation de Propriété On considère deux points distincts du plan A et B AB = CD si est seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) AB = CD si est seulement si les vecteurs AB et CD ont la même direction, le même sens est la même longueur 3 Représentation d un vecteur Si AB = CD = EF même vecteur que l on peut noté u alors on dit que les vecteurs AB, CD et EF sont les représentants d'un Remarque Un vecteur a une infinité de représentants 2 nde 2

3 Application 1 ABCD est un parallélogramme, construire les points E, F, G et H tels que : DE = BC CF = DC BG = AB HA = BC 4 Vecteur nul La translation qui transforme A en A est la translation de vecteur nul, que l'on note 0 Conséquence u si, et seulement si A et B sont confondus 5 Vecteurs opposés Le vecteur opposé au vecteur AB est le vecteur noté BA associé à la translation qui transforme B en A On a alors BA = AB Remarque Les vecteurs u et u ont la même direction, la même longueur mais des sens opposés Exercice 1 On considère un parallélogramme NOTE 1 Construire les points A et B, images respectives des points N et E par les translations de vecteurs TE et OT 2 Montrer que E est le milieu du segment BN 2 nde 3

4 Exercice 2 Soit VER un triangle non aplati 1 Construire les points T et J, images respectives du point V par les translations de vecteurs ER et RE 2 Établir que JV = VT Que peut-on en déduire? II Somme de deux vecteurs 1 Soit u et v deux vecteurs La somme des vecteurs u et v est le vecteur w associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v On en écrit : w = u + v Exercice 1 de la feuille (1 et 2) 2 Une relation fondamentale La relation de Chasles Pour tous points A, B et C on a : AC = AB + BC Règle du parallélogramme Soit A, B et C trois points du plan Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme si est seulement si AD = AB + AC 2 nde 4

5 Démonstration Supposons que AD = AB + AC D après la relation de Chasles, on a AC + CD = AB + AC Autrement dit ABDC est un parallélogramme 3 Cas particulier : Différence de deux vecteurs Soit u et v deux vecteurs, d où CD = AB On appelle différence du vecteur u avec le vecteur v le vecteur noté u v tel que : u v = u + v ( ) Exercice 1 de la feuille (3) Application 1 Simplifier les écritures : AM + MN MN + NM Application 2 MP + AM MO + PM + OP OP + KO + NK KN ON + OK Soit A, B et C trois points du plan, I le milieu de AB et J le milieu de AC 1 Montrer que CA + CB = 2CI 2 Montrer que BC = 2IJ Application 3 Soit A, B, C et D quatre points du plan Démontrer les égalités suivantes : CA + BC + AB = 0 BC + DA DC = BA AC + DB = AB + DC CA + CB = 2CI avec I milieu de AB BD AC + CB = CA DC 2 nde 5

6 Exercice 3 ( ) Soit I le milieu d un segment AB et M un point n appartenant pas à la droite AB 1 Construire les points C et D tels que : IC = IA + IM et ID = IB + IM 2 Quelle est la nature des quadrilatères AIMC et IBDM? 3 Démontrer que M est le milieu de CD 4 Démontrer que IC = BM 5 Soit E le symétrique de I par rapport à M a Traduire cette propriété par une égalité vectorielle b Démontrer que IC + ID = IE p transmath III Produit d un vecteur par un réel et colinéarité 1 Produit d un vecteur par un réel u est un vecteur quelconque différent de 0 et k un nombre réel non nul On appelle produit du vecteur u par le réel k, le vecteur noté ku : De même direction que u ; De même sens que u si k > 0, et de sens contraire si k < 0 ; k fois la norme de u si k > 0 De norme égale à k fois la norme de u si k < 0 Exemple avec u Remarque, 2u et 3u Si u = 0 ou k = 0 alors ku = 0 2 nde 6

7 2 Colinéarité de deux vecteurs Deux vecteurs u et v sont colinéaires signifie qu ils ont même direction, c est-à-dire qu il existe un nombre réel k tel que u = kv Exemple Soit u et v deux vecteurs du plan tels que v = 3u, alors les vecteurs u et v sont colinéaires Propriété A, B, C et D étant quatre points deux à deux distincts du plan, dire que les droites AB et CD sont ( ) et ( CD) sont parallèles équivaut à dire que les vecteurs AB colinéaires Dire que les points A, B et C sont alignés équivaut à dire que les vecteurs AB sont colinéaires Application Démontrer le théorème de la droite des milieux et AC IV Coordonnées d un vecteur 1 Coordonnées d un vecteur Soit ( O,i ; j ) un repère On admet que, pour tout vecteur u, il existe un point M tel que u = OM Les coordonnées du vecteur u dans ce repère sont celles du point M dans ce repère On note u x y ou u ( x; y) 2 nde 7

8 Remarque Graphiquement, lorsque l on se déplace de l origine à l extrémité du vecteur u, le décalage horizontal correspond à l abscisse de u et le décalage vertical à son ordonnée Propriété 1 Dans le repère O;i, j ( x'; y' ) On a alors : u = v équivaut à ( ), on considère les vecteurs u et v, de coordonnées respectives x; y x = x' y = y' ( ) Le vecteur u + v a pour coordonnées x + x'; y + y' Le vecteur ku a pour coordonnées ( kx;ky) Remarque Le vecteur u a pour coordonnées ( x; y) Exercice 4 Dans le repère O;i, j ( ), on donne u 3 Déterminer les réels a et b tel que 3u = v b +1 et v 2a 1 3 ( ) et Propriété 2 Dans le repère O;i, j ( x B ; y B ) Le vecteur AB ( ), on considère les points A et B, de coordonnées respectives x A ; y A a pour coordonnées ( x B x A ; y B y A ) ( ) et Exercice 5 ( ), on considère les points A 5;2 Dans le repère O;i, j ( ), B( 3;1), C ( 0;5) et D ( 2;4) 1 Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et CD Que peut-on en déduire? 2 Déterminer les coordonnées du point E tel que ABCE soit un parallélogramme 3 Montrer que C est le milieu de ED 4 Déterminer les coordonnées des points F, G et H tels que : AF = AB + ED BG = 4AB 3ED CH = 2AH AB 2 nde 8

9 2 Critère de colinéarité Propriété Soit u et v deux vecteurs de coordonnées respectives ( x; y) et ( x'; y' ) dans le repère ( O;i, j) u et v sont colinéaires équivaut à dire que leurs coordonnées sont proportionnelles Autrement dit : x' y xy' = 0 Exercice 6 On considère les vecteurs u 6;3 ( ), v ( 2; 1) et w 4;2 ( ) ( )dans le repère O;i, j Étudier la colinéarité des vecteurs u et v, puis des vecteurs v et w Exercice 7 Soit les points A 1;1 Démontrer que les droites AB ( ), B( 3;2), C( 2; 3) et D( 6; 1) ( ) et ( CD) sont parallèles Exercice 8 Soit les points B( 3;2), D( 6; 1) et E( 5;0) Démontrer que les points B, D et E sont alignés Exercice 9 Déterminer la valeur de x pour laquelle les vecteurs u ( 2;5) et v ( x;3) sont colinéaires Exercice 10 ( ), F ( 3; 4 ) et G( 4;7) On donne les points E 1; 2 1 Calculer les coordonnées du vecteur EF + FG 2 En déduire les coordonnées du point H tel que EFHG soit un parallélogramme 2 nde 9

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