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1 CHAPITRE 13 TRANSLATIONS ET VECTEURS I. NOTION DE TRANSLATION Fanion n 1 Fanion n 2 On passe d fanion n 1 a fanion n 2 par ne translation. Por définir ne translation, 3 éléments sont nécessaires : - ne direction : ici, l «horizontale». - n sens : ici, ers la droite. - ne longer : ici 5cm. Ces 3 éléments peent être représenté par n segment orienté : II. NOTION DE VECTEUR A B C D Les dex segments oriéntés ci-desss ont : - la même direction : ceci signifie qe les droites (AB) et (CD) sont parallèles. - le même sens : ers la droite. - la même longer : 5 cm. Page 1 sr 10

2 Ils définissent donc la même translation. On écrit : AB = CD On lit «le ecter AB est égal a ecter CD». III. VECTEURS EGAUX ET PARALLELOGRAMMES Si AB = CD alors le qadrilatère ABDC est n parallélogramme. Si ABDC est n parallélogramme alors AB = CD (et assi AC = BD, DC = BA..) Remarqe : Dans ce cas on dit qe ABDC est bien n parallélogramme mais n parallélogramme aplati. IV. RAPPEL : CARACTERISATION DES PARALLELOGRAMMES PAR LES DIAGONALES. Si n qadrilatère est n parallélogramme alors ses diagonales ont le même milie. Si les diagonales d n qadrilatère ont le même milie alors c est n parallélogramme. Page 2 sr 10

3 V. RESUME Voici plsiers façons de dire la même chose : Par la translation de ecter AB, le point E a por image F. AB = EF. Le qadrilatère EFBA est n parallélogramme. Les segments [AF] et [EB] ont le même milie. VI. CONSTRUCTIONS Enoncé Constrire le point S tel qe RS = AB. Page 3 sr 10

4 Soltion Arc de centre R et de rayon AB Arc de centre B est de rayon AR Méthode : Préoir la position d point S : «en hat à droite». Il s agit maintenant de constrire le parallélogramme. Por cela on tilise la propriété siant : Les côtés opposés d n parallélogramme ont la même longer. On constrit dans la zone prée : n arc de centre B est de rayon RA n arc de centre R est de rayon AB. Le point S est le point d intersection des dex arcs. VII. SOMME DE DEUX VECTEURS A. INTRODUCTION Fanion 3 Fanion 1 Fanion 2 Page 4 sr 10

5 Le fanion 2 est l image d fanion 1 par la translation de ecter. Le fanion 3 est l image d fanion 2 par la translation de ecter. On remarqe qe le fanion 3 est l image d fanion 1 par ne translation dont le ecter est représenté en trait épais sr la figre ci-dessos : Fanion 3 Fanion 1 Fanion 2 De pls, en faisant les translations dans l atre ordre (en commençant par celle de ecter pis en faisant celle de ecter ), on retombe bien sr le fanion 3. B. THEOREME (ADMIS) Faire sccessiement dex translations, des ecters et, reient à en faire ne sele. Le ecter de cette translation est appelé ecter somme des ecters et. On le note +. De pls, l ordre dans leqel on fait les translations n a pas d importance : + = +. Page 5 sr 10

6 C. EXEMPLE Enoncé : Constrire n représentant d ecter +. Soltion : + - on choisit n point M, - on constrit le point m, image de M par la translation de ecter, - on constrit le point M, image de m par la translation de ecter. Le ecter MM est égal a ecter +. Note : on pet commencer par la translation de ecter pis faire celle de ecter. Page 6 sr 10

7 D. DEUX CONFIGURATIONS A CONNAITRE Configration n 1 : C A, B et C sont trois points qelconqes : A B On a tojors : AB + BC = AC Relation de Chasles C A B C Configration n 2 : A, B et C sont trois points qelconqes : A B Le ecter AB + AC est égal a ecter AE où E est tel qe ABEC est n parallélogramme. C E A B AB + AC = AE où E est tel qe ABEC est n parallélogramme. Règle d parallélogramme. Page 7 sr 10

8 E. EXERCICE Enoncé : ABCD est n rectangle de centre I. En tilisant les lettres de la figre, simplifier les expressions ectorielles siantes : DC + CB BA + AD AB + AD DC + DA AB + CD DI + IC AB + ID AD + IB AI + AI AB + ID + IC = Soltion : DC + CB = DB Relation de Chasles BA + AD = BD Relation de Chasles DI + IC = DC Relation de Chasles AB + ID = AB + BI car ID = BI = AI Relation de Chasles AB + AD = AB + BC car AD = BC = AC Relation de Chasles AD + IB = AD + DI car IB = DI = AI Relation de Chasles DC + DA = DC + CB car DA = CB = DB Relation de Chasles AI + AI = AI + IC car AI = IC = AC Relation de Chasles Note : AI + AI s écrit 2AI Page 8 sr 10

9 AB + CD = AB + BA car CD = AB La relation de Chasles donnerait AA. On conient de dire qe AA est le ecter nl qe l on écrit 0. Donc AB + CD = 0. AB + ID + IC = AB + BI + = AI + IC = AC IC car ID = BI Relation de Chasles Relation de Chasles VIII. COMPOSEE DE DEUX SYMETRIES CENTRLES A. INTRODUCTION Fanion 1 Fanion 3 Fanion 2 Le fanion 2 est l image d fanion 1 par la symétrie de centre A. Le fanion 3 est l image d fanion 2 par la symétrie de centre B. Page 9 sr 10

10 On remarqe qe le fanion 3 est l image d fanion 1 par ne translation dont le ecter est représenté en trait épais sr la figre ci-dessos : Fanion 1 Fanion 3 Fanion 2 On remarqe assi qe le ecter a ne longer est le doble de celle d ecter AB mais q ils ont même direction et le même sens. On écrit : = 2 AB. B. THEOREME (ADMIS) Faire ne symétrie de centre a siie d ne symétrie de centre B reient à en faire ne translation de ecter 2 AB. Attention : l ordre a de l importance! Faire d abord la symétrie de centre b pis celle de centre a reiendrait à faire ne translation de ecter 2 BA (c'est-à-dire dans l atre sens!). Page 10 sr 10

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