Thème 6. Transferts thermiques et rayonnement

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1 hèm 6 ransfrts thrmqus t rayonnmnt Qustonnar : èr quston : Qul coffcnt défnt la capacté d un matérau à condur la chalur : coffcnt d échang thrmqu surfacqu h (W/m /K. a conductvté thrmqu λ (W/m/K. coffcnt d dffuson D (m.s -. a vscosté η (kg/m/s. èm quston : Un matérau put êtr qualfé d «mauvas conductur thrmqu» s : a conductvté thrmqu st élvé. a résstanc thrmqu st élvé. a mass volumqu st élvé. a vscosté st élvé. 3 èm quston : Vra ou Fau : pour un surfac nor (égalmnt applé corps nor : out rayonnmnt ncdnt st absorbé. out rayonnmnt ncdnt st réfléch. a rayonnmnt éms par c corps st d orgn thrmqu. rayonnmnt absorbé st rééms à la mêm tmpératur.

2 EXECICE Ercc - Conducton thrmqu : ussanc dsspé par un réactur. a cuv n acr d un réactur nucléar form un paro supposé plan dont ls dmnsons (longuur t largur sont très grands par rapport à l épassur cm. s transfrts thrmqus d l ntérur vrs l térur du réactur s ffctunt à travrs l épassur d la cuv suvant la drcton horzontal O. a conductvté thrmqu d l acr st : λ acr W/m/K. s tmpératurs sur ls facs ntrn t trn du réactur sont rspctvmnt t. 65K 55K Intérur Acr λ acr Etérur I - applr la défnton du flu d chalur dans la paro J (W/m n foncton d λ acr t du gradnt d tmpératur. flu s prm n (W/cm² alors qu la conductvté thrmqu s prm n W/K/m t l gradnt d tmpératur n K/m. ar conséqunt, nous pouvons écrr : r J λ grad λ acr ( acr I - Calculr la pussanc ( (n Watts transms à travrs un surfac vrtcal n un pont qulconqu à l ntérur d la paro n acr. a pussanc s prm n Watts alors qu l flu s prm n W/m². Il faut donc multplr l flu par la surfac pour avor un pussanc. On à donc : r r Δ ( J n d λacr λacr Δ I - 3 En consdérant l état statonnar établ, donnr l prsson d la tmpératur ( au pont. l on consdèr un état statonnar, cla sgnf qu la pussanc t l flu sont constants n tout pont du doman. On put donc écrr qu : ( ( sot ( λ acr ( λacr

3 3 On n conclut : + I - 4 racr la varaton d ( n foncton d ntr t. D après la rlaton trouvé précédmmnt, on constat rapdmnt qu nous avons un drot. 65K 55K I - 5 Consdérons qu la surfac total d la cuv du réactur nucléar st assmlabl à un surfac plan m. Qull st alors la valur d la pussanc thrmqu dsspé par l réactur à travrs la cuv. λ acr o sot A.N : MW our dmnur ls prts thrmqus du réactur t protégr ls nstallatons térurs, on dépos sur la fac ntrn d la cuv n acr un écran thrmqu homogèn, d épassur cm t d conductvté thrmqu λ s 4 W/m/K. Après établssmnt d l état statonnar, ls tmpératurs ds facs ntrn t trn du réactur sont msurés : 65 K t 47 K. a tmpératur (non msuré à l ntrfac cuv n acr st applé. 65K + 47K Intérur Ecran thrmqu λ Acr λ acr Etérur + 3

4 4 II A partr ds résultats ds qustons I t I 3, donnr l prsson d la tmpératur ( n un pont qulconqu d l. On s trouv dans l, donc pour ds postons tlls qu. On consdèr un état statonnar, sot ( (. On donc : ( λ ( λ sot + II Donnr l prsson d la tmpératur ( n un pont qulconqu d la paro n acr. Ctt fos-c, on s trouv dans la paro n acr, donc ds postons tlls qu +. On consdèr toujours un état statonnar, sot ( (+. On donc : λ ( + ( acr λ + acr sot ( D après l énoncé du problèm, nous avons, c qu nous donn : + + II 3 A partr d l hypothès d l état statonnar, calculr la tmpératur à l ntrfac ntr l t la paro d la cuv n acr. En supposant l état statonnar, nous pouvons écrr qu ( acr (. On a donc : ( λ acr ( λacr avc On obtnt fnalmnt : λ λ + λ + λ acr acr A.N : 5K II 4 racr la varaton d ( ntr la fac ntrn du réactur ( t la fac trn ( +. l on souhat tracr l évoluton d à +, nous dvons prndr n consdératon l passag dans l t nsut l passag dans l acr. our chaqu cas, la pnt n sra pas la mêm. 4

5 5 dans l t + dans l acr. + 65K 5K 45K II 5 our l mêm réactur qu précédmmnt (surfac total m, donnr la valur d la pussanc dsspé. écran thrmqu a-t-l u un rôl postf? λ o sot A.N : 6W ntroducton d l n st pas néglgabl. s prts thrmqus ont été dmnués. Ercc - Conducton thrmqu : tmpératur d ntrfac ntr du matérau. Consdérons un conductur thrmqu d épassur 5 cm t d conductvté thrmqu λ (W/m/K qu sépar du mlu d tmpératurs dfférnts. A l état statonnar, ls tmpératurs ds facs gauchs ( t drots ( du matérau conductur sont msurés : 93 K t 373 K. 93K 373K Mlu Conductur thrmqu λ Mlu I applr la défnton du flu d chalur dans l matérau J (W/m n foncton d λ t du gradnt d tmpératur. flu s prm n (W/cm² alors qu la conductvté thrmqu s prm n W/K/m t l gradnt d tmpératur n K/m. ar conséqunt, nous pouvons écrr : 5

6 6 r J λ grad λ ( I En dédur la pussanc (W transms à travrs un surfac qulconqu n un pont à l ntérur du matérau conductur. a pussanc s prm n Watts alors qu l flu s prm n W/m². Il faut donc multplr l flu par la surfac pour avor un pussanc. On à donc : r r Δ ( J n d λ λ Δ I 3 Avc l hypothès d un état statonnar, n dédur l prsson d la tmpératur ( n un pont qulconqu du matérau n foncton, t. l on consdèr un état statonnar, cla sgnf qu la pussanc t l flu sont constants n tout pont du doman. On put donc écrr qu : ( ( sot ( λ ( λ On n conclut : + I 4 C profl srat-l dfférnt dans l cas d un matérau (λ fabl par rapport à un matérau bon conductur (λ grand. Commntr. profl n changrat pas s ls du tmpératurs d surfac rstnt ls mêms, étant donné qu l profl st ndépndant ds conductvtés thrmqus. évoluton sra donc lnéar dans ls du cas. ar contr, l flu va changr car ctt grandur dépnd ds conductvtés thrmqus. on prnd un conductvté thrmqu plus fabl, l flu sra plus ptt, l faudra donc plus d tmps pour attndr un état statonnar. On mt à présnt n contact, suvant lur surfac commun (un plan vrtcal d ar du matérau conducturs d conductvtés thrmqus rspctvs λ t λ. s du matérau ont un mêm épassur. En régm statonnar, l nsmbl ds du conducturs s comport comm un systèm dont l état n dépnd qu d la coordonné spatal l long d l a horzontal prpndcularmnt au plan d ntrfac ntr ls du matérau. nsmbl ds du conducturs sépar toujours du mlu gazu d tmpératurs dfférnts. s du facs qu n sont pas n contact présntnt ds tmpératurs 93 K (à gauch t 373 K (à drot. Enfn, on désgn par la tmpératur sur l plan d ntrfac ntr ls du matérau. 6

7 7 93K 373K Mlu Conductur thrmqu λ, Conductur thrmqu λ, Mlu II ar analog avc l rcc précédnt, donnr ls prssons ds profls d tmpératurs ( dans chacun ds matérau n foncton d,,, t. l on s trouv dans l conductur, donc pour ds postons tlls qu état statonnar, sot ( (, on a :, dans un ( λ ( λ sot + l on s trouv dans l conductur, donc pour ds postons tlls qu état statonnar, sot ( (, on a :, dans un ( λ ( λ sot + II En consdérant l état statonnar, calculr la tmpératur à l ntrfac ntr ls du matérau n foncton d,, λ t λ. En supposant l état statonnar, nous pouvons écrr qu ( acr (. On a donc : ( λ ( λ On obtnt fnalmnt : λ + λ λ + λ A.N : 37,87K II 3 racr l profl global d tmpératur ( pour l nsmbl du systèm dans l cas où l matérau st un (λ. W/m/K t l matérau d l acr (λ 63 W/m/K. l on souhat tracr l évoluton d à, nous dvons prndr n consdératon l passag dans l prmr conductur pus dans l scond conductur. our chaqu cas, la pnt n sra pas la mêm. 7

8 8 On a + dans l t + dans l acr. 37,9 373K Isolant Acr 93K II 4 Calculr alors la pussanc transms (W à travrs l systèm n supposant un surfac d contact ntr ls du matérau m. acr λ o sot A.N : 6W λ acr o sot A.N : 6W II 5 Calculr ls résstancs thrmqus t assocés à chacun ds matérau. En dédur l prsson d la résstanc thrmqu total du systèm. On rappll tout d abord qu un résstanc thrmqu assocé à un matérau s mt sous la form suvant : Δ t total ussanc On obtnt donc c : total + acr Δ ussanc Δ + ussanc acr ot total + λ λ acr d où total + λ λ II 6 En utlsant ls résstancs thrmqus t t n vous appuyant sur un analog élctrqu (pont dvsur d tnson, rtrouvr l prsson d la tmpératur à l ntrfac ntr ls du matérau. Analog Elctrqu : ont dvsur d nson. 8

9 9 E V s Fg. : pont dvsur d tnson V s Vs + V V E V V ( V V + ( + II 7 Applcaton : on consdèr à présnt qu l matérau st un matérau organqu (corps human par mpl d conductvté thrmqu λ.5 W/m/K. a Calculr la tmpératur s l matérau st du bos (λ. W/m/K. b Calculr la tmpératur s l matérau st du cuvr (λ 39 W/m/K. Conclur. Nous avons vu qu λ + λ λ + λ, c qu nous donn our l bos : 35.9K sot 43 C t pour l cuvr : 37,9K sot 99,9 C. On put donc n conclur qu l bos nous sol d la chalur, à l nvrs du cuvr. Ercc 3 Conducton, résstanc thrmqu t échangs thrmqus surfacqus : Condut cylndrqu n régm statonnar, applcaton à l solaton ds conduts d au d fabl dmnson. On s propos d solr un condut d au n cuvr consttué d un cylndr d longuur 5 m, d rayon ntérur r 5 mm t d rayons térur r 6 mm. On donn la conductvté thrmqu du cuvr λ 38 W/m/K. our solr la condut d au, on nstall autour du tub n cuvr un gan cylndrqu coaal consttué d un matérau d conductvté thrmqu λ s. W/m/K, d rayon ntérur r t d rayon trn r. a tmpératur d la paro ntrn du tub n cuvr st prs égal à la tmpératur d l au chaud qu crcul dans la condut ( 35 K. On suppos n outr qu l au n s rfrodt pas lorsqu ll parcours ls 5 m d condut (.. pas d varaton d sur la longuur du tub. a tmpératur d l ar ambant ntourant l systèm st a 9 K t l coffcnt d échang thrmqu surfacqu ntr la surfac trn du dspostf t l gaz ambant st donné par h W/m /K. 9

10 r r r Eau a 9K 5m Isolant vr Donnr l prsson du flu d chalur J (W/m dans l tub n cuvr n foncton d la conductvté thrmqu du cuvr λ t du gradnt d tmpératur. flu s prm n (W/m² alors qu la conductvté thrmqu s prm n W/K/m t l gradnt d tmpératur n K/m. ar conséqunt, nous pouvons écrr : r J λ grad λ r ( r Calculr la pussanc (W transms à travrs la couch d cuvr lorsqu l systèm st à l état statonnar. En dédur la varaton d tmpératur (Δ ntr ls surfacs ntrns (r t trn (r du tub d cuvr. a pussanc s prm n Watts alors qu l flu s prm n W/m². Il faut donc multplr l flu par la surfac pour avor un pussanc. On à donc : ( r r J n d λ r r r d usqu d r r d ϕ dz, ( ( λ r r r dϕ dz λ r dϕ dz r r π ϕ z r C qu nous donn : ( λ r ( π

11 On put donc n conclur qu d λ π dr ( r sot Δ λ π r ln ( r 3 A partr ds prssons obtnus au qustons précédnts, montrr qu la résstanc thrmqu d un couch d cuvr cylndrqu, homogèn d conductvté thrmqu λ, d longuur t d rayon ntrn t trn r t r st donné par : ( r r ln πλ On rappll qu un résstanc thrmqu assocé à un matérau s mt sous la form suvant : Δ ln( r r sot πλ ussanc 4 En dédur l prsson d la résstanc thrmqu d la couch. 5 applr l prsson d la pussanc transms par la surfac trn du systèm n foncton du coffcnt h, d la surfac térur total t d la dfférnc d tmpératur ntr la surfac trn t l gaz ambant (Δ - a. En dédur l prsson d la résstanc thrmqu h d la surfac d transfrt thrmqu térur n r. 6 Applcaton numérqu : Calculr ls valurs ds résstancs thrmqus, s t h n r r 3cm. ( 6 cuvr ln sot A.N : π cuvr 5, K/W 3 ln sot A.N : π 5,,6,5K/W h sot A.N : h,k/w π,3 5 7 En dédur l prsson t la valur numérqu d la résstanc thrmqu total tot. Conclur (put-on smplfr ctt prsson?. Δ sot total + h + cuvr + h ussanc

12 8 Calculr alors la pussanc prdu (W par la condut d au (à l état statonnar. Far l applcaton numérqu n r r 3cm. ussanc ( Δ a sot A.N : ussanc 96,8 W 9 En dédur la tmpératur d la surfac trn d la couch d. ussanc o ( h π r sot a a + h π r o 3 K A partr d l prsson approché d tot obtnu à la quston 7, montrr qu l st un valur crtqu r crt du rayon térur r d la couch d pour lqul la résstanc thrmqu tot st mnmal (dans c cas, ls prts sont mamals. Calculr r crt. our détrmnr la valur mnmal d tot, l faut détrmnr sa dérvé t calculr la valur d r pour laqull ctt dérvé s annul. Nous avons : ot ( r r d + sot ln ot πλ π r h dr π r h λ h r Isolant Ctt dérvé s annul pour λ r rcrtqu cm h Calculr la pussanc dsspé par l systèm dans ls tros cas suvants : - n l absnc d - pour r r crt - pour r 3 r crt Est-l toujours judcu d solr un condut d au chaud d fabl damètr???? En l absnc d : ussanc ( Δ a a + h 3,W Avc l (r r crt : ussanc ( Δ a a 4,77W + + ( r r h crt Avc l (r 3r crt : ussanc ( Δ a a 97,W + + ( r 3r h crt On put donc constatr qu un solaton avc un rayon r crtqu consomm plus d énrg. Il n st donc pas toujours judcu d solr un condut d au chaud s son damètr st fabl.

13 3 Ercc 4 - ayonnmnt thrmqu : Equlbr radatf d la rr. flu ncdnt solar φ rçu n Franc au mos d jullt st d 5 W/m. On suppos qu l atmosphèr st totalmnt transparnt au rayonnmnt solar t qu la surfac trrstr st assmlabl à un corps nor. Φ Φ ol Qull tmpératur d surfac prmt d assurr l équlbr radatf d la rr. sol s comport comm un corps nor, par conséqunt, l n réflécht pas l rayonnmnt. out rayonnmnt ncdnt st absorbé donc l flu radatf éms par l sol st unqumnt lé à sa tmpératur. équlbr radatf st obtnu s φ φ ( φ. Or, l flu rayonné par 4 l sol st clu lé à sa tmpératur, sot φ σ où σ st la constant d tfan tll qu 4 π k 8 4 σ B 5,67. W / m² / K 3. Donc, s φ 5 h c 4 4 φ φ σ A.N : 57K sot -6 C σ total φ, alors nous pouvons écrr qu : Comparr c résultat avc ls valurs d tmpératurs rélls msurés. a tmpératur obtnu st nférur à la tmpératur moynn au sol qu st n réalté d 4 C. En fat, l faut tnr compt du rôl joué par l atmosphèr qu absorb n part l rayonnmnt thrmqu du sol (Efft d rr. ans fft d srr, la tmpératur moynn actull au nvau du sol srat vosn d -5 C à - C. fft d rr st donc ndspnsabl à la v. sul souc st qu l n faut pas qu l s mball. Ercc 5 - ayonnmnt thrmqu : Flu radatf t convctf prdu par l corps human. On admt qu la surfac du corps human st assmlabl à un surfac nor conv sothrm d tmpératur H 3 C t d surfac total H m. On consdèr égalmnt qu ls murs d un pèc d habtaton (où s trouv l homo sapns n quston sont assmlabls à ds surfacs nors sothrms à la tmpératur M 5 C. Enfn, l ar qu mplt la pèc st supposé totalmnt transparnt t sothrm à la tmpératur A C. 3

14 4 A C Mur 5 C H H 3 C Calculr la pussanc radatv rad (W échangé par l corps human avc son nvronnmnt. homm va émttr du rayonnmnt thrmqu mas auss n absorbr. Il faut donc far l blan d énrg ntr c qu st éms t c qu st absorbé. rad sot éms absorbé rad σ σ Homm 4 Homm A.N : 5,67. ( rad Homm,6W 4 Murs coffcnt d échang thrmqu surfacqu à la surfac du corps human st h 5 W/m /K. Calculr la pussanc convctv conv (W échangé par l corps human avc l ar ambant nvronnant. conv h H ( H A A.N : 5 ( W conv 3 Comparr ls du trms d pussanc. s prts thrmqus du corps human par convcton t par rayonnmnt sont auss du mêm ordr d grandur. 4