Travaux Dirigés de M 1

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1 TD M 1 Coection PCSI Tavaux Diigés de M 1 Execice 1 : Déplacement d un point matéiel le long d une came Un point matéiel A est asteint à se déplace dans le plan x d un éféentiel R, le long du poutou d une came fixe dans R (fig. ciconte). L équation polaie de la came est la suivante : = b c cos θ. La tige, qui pemet le mouvement et éalise, à l aide d un essot, le contact su la came, toune autou de l axe z, avec une vitesse angulaie ω constante. 1. Expime, en coodonnées polaies, la vitesse et l accéléation de A pa appot à R. A θ 2. Calcule v et a pou ω = 30 tous/min, losque A atteint le point de la came défini pa θ = π, sachant que b = 1,25 cm et c = 1 cm Soit v θ la composante othoadiale de v. A-t-on dv θ = a θ la composante othoadiale de l accéléation? Expliquez. x 1. n obtient l expession du vecteu accéléation pa déivations successives du vecteu position A =. e = (b c cos θ). e = (b c cos ωt). e. v = d A d = (b c cos ωt). e + (b c cos ωt). d e avec (b c cos ωt) = 0 + cω sin ωt = cω sin ωt et d e = θ e θ = ω e θ soit v = cω sin ωt e + (b c cos ωt)ω e θ A θ x Puis a = d v avec d e θ = ω e a = cω 2 cos ωt e +cω sin ωt d e +(0+cω sin ωt)ω e θ+(b c cos ωt)ω d e θ cω 2 cos ωt e + cω 2 sin ωt e θ + cω 2 sin ωt e θ ω 2 (b c cos ωt) e soit finalement = a = ( b + 2c cos ωt)ω 2 e + 2ω 2 c sin ωt e θ 2. Application numéique : ω = 30 tous/min soit ω = 2π 30/60 3,14 ad.s 1. n en déduit en, c est à die pou θ = ωt = π 2, v = cω e + bω e θ v = ω c 2 + b 2 = 5,03 cm.s 1 et a = bω 2 e + 2ω 2 c e θ a = ω 2 b 2 + 4c 2 = 23,2 cm.s v θ = (b c cos θ)ω dv θ = cω 2 sin θ a θ = 2c sin θω 2 ca la base polaie utilisée ici est une base locale. Ainsi, v = v e + v θ e θ a = dv e d e + v + dv θ e d e θ + v θ θ = dv e + θv e θ + dv θ e θ θv θ d e = ( dv θv θ ) e + ( dv θ + θv ) e θ = a e + a θ e θ. Execice 2 : Laboatoie spatial Un laboatoie spatial, constitué de deux anneaux concentiques de même axe, est en otation unifome autou de cet axe de manièe à cée une gavité atificielle. Sa péiode de otation T est choisie de manièe à ce que l accéléation soit égale à g T l accéléation de pesanteu su Tee (9,81 m.s 2 ) au niveau de l un des anneaux (de aon 1 = 2,15 km) et à g M l accéléation de la pesanteu su Mas (3,72 m.s 2 ) au niveau de l aute. Détemine la valeu de T et le aon 2 du second anneau. 1

2 PCSI Coection Cinématique du point Tous les points d un anneau sont en mouvement ciculaie unifome. n etouve aisément l expession de l accéléation d un point M 1 situé su l anneau de aon 1. M 1 = 1 e v 1 = d M 1 = d 1 e d e + 1 = θ eθ = 1 ω e θ puis a 1 = d v 1 = 1 ω d e θ = 1 ω 2 e., ω = 2π d où a T 1 = 4π2 1 = g T 2 T T = 2π 1 g T 93 s. De même, au point M 2 du second anneau, a 2 = g M = 4π2 2 T 2 2 = gt m. 4π 2 g M M 2 g T M 1 ωt Execice 3 : Mouvement hélicoïdal Les équations paamétiques d une paticule M dans un éféentiel othonomé R diect sont : x = a cos ωt, = a sin ωt et z = hωt avec a, h et ω des constantes positives. 1. Soit la pojection de M dans le plan x. (a) Monte que est animé d un mouvement ciculaie unifome. (b) Su quelle suface la tajectoie de M est-elle inscite? La epésente. 2. Calculez les composantes de v(m/r) en coodonnées clindiques ainsi que la vitesse numéique de M. Quelle emaque peut-on faie? Déteminez l angle α que fait v(m/r) avec la diection z (on poua calcule le poduit scalaie de ces deux vecteus). Que peut-on die de α? 3. Calculez les composantes du vecteu accéléation a(m/r) en coodonnées clindiques. Indiquez le suppot et le sens de a(m/r). 1. (a) Si est le pojeté de M dans le plan x, ses coodonnées sont x = a cos ωt ; = a sin ωt et z = 0. n a alos x = a 2 et z = 0 ce qui coespond à l équation catésienne d un cecle de cente et de aon a. La vitesse numéique de est telle que v 2 = ẋ 2 +ẏ 2 = a 2 ω 2 sin 2 ωt+a 2 ω 2 cos 2 ωt = a 2 ω 2 soit v = aω constante. est donc animé d un mouvement ciculaie et unifome. z R z v I a v θ = ωt e θ M θ x e x v (b) M este à la veticale de mais se déplace en plus veticalement à la vitesse constante v z (M) = ż = hω il décit donc une tajectoie hélicoïdale (hélice) inscite su un clinde de généatice z et de aon a. 2. Pa définition, v(m/r) = v = d M avec M = + M = a. e + z. e z (expession dans la base clindo-polaie, la plus adaptée). n en déduit v = a θ. e θ + ż. e z = aω. e θ + hω. e z soit v =. v = ω 2 a 2 + ω 2 h 2 = ω a 2 + h 2. n emaque que la vitesse de M dans R est constante. Pou détemine l angle ente deux vecteus dont on connaît la nome, on peut calcule le poduit scalaie de ces vecteus. Ici, v. e z = v. e z. cos α = ω a 2 + h 2 cos α et pa ailleus, v. e z = (aω. e θ + hω. e z ). e z = hω d où cos α = h a. n emaque que α est constant. 2 +h 2 2

3 TD M 1 Coection PCSI Pa définition, a(m/r) = a = d v = aω d e θ + hω d ez = aω 2 e. a(m/r) est diigé les I le pojeté de M su l axe z. n emaque que a(m/r) = a(/r) Execice 4 : Effet Dopple Un véhicule de pompies oule à la vitesse constante v 0, en émettant un son que l on modélisea pa une séie de bips sonoes de féquence f Quel est l intevalle de temps qui sépae deux bips pou un pompie à bod du véhicule? 2. Même question pou un obsevateu lié au sol et duquel s éloigne le véhicule (duée T). En déduie la féquence des impulsions sonoes peçues pa cet obsevateu (féquence f). 3. Même question pou un obsevateu lié au sol et ves lequel se diige le véhicule (toujous à la vitesse v 0 ) : T et f. Données ; céléité du son : c 340 m.s 1, v 0 = 100 km.h 1 et f 0 = 400 z. 1. Pou un pompie lié au véhicule, tout se passe comme si ce denie était immobile et pa définition de la féquence T 0 = 1 f 0 = 2,5 ms. 2. Pou un obsevateu 1 duquel le véhicule s éloigne, on epésente la situation à un instant t puis à t + T 0. Les ondes sonoes epésentées se déplacent à la céléité c et le véhicule à la vitesse v 0. à t 1 c v c 0 2 à t + T 0 c v c d = v 0.T 0 Ente t et t+t 0, le véhicule s est éloigné de d = v 0.T 0. Cette distance sea pacouue pa l onde sonoe en un temps t = d = v 0 c c T 0. Finalement, l obsevateu ne peceva deux ondes sonoes successive qu apès la péiode T = T 0 + t = T 0 [1 + v 0 c ] d où une féquence f = f 0 1+v z : son plus gave. /c 3. Si le véhicule se diige ves l obsevateu 2, la duée ente la éception de deux ondes sonoes successives sea maintenant T = T 0 t = T 0 [1 v 0 c ] d où une féquence f = f v 0 /c z : son plus aigu. Execice 5 : Viage lage ou seé? 3

4 B B PCSI Coection Cinématique C du point Los d un gand pix, deux voitues (A et B), aivent en ligne doite, coupent l axe CC au même instant et pennent le viage de deux manièes difféentes : la voitue A suit une tajectoie ciculaie de cente et de aon A = 90 m la voitue B négocie le même viage su une tajectoie ciculaie de cente et de aon B = 75 m. n appelle R le éféentiel (, e x, e, e z ). Le but de l execice est de détemine laquelle des deux voitues sotia en pemie du viage en coupant à nouveau l axe CC. A B e e x 1. Détemine littéalement puis numéiquement les longueus L A et L B des tajectoies des deux voitues. Peut-on conclue? 2. n suppose que les deux voitues oulent à des vitesses v A et v B constantes pendant tout le viage. Détemine ces vitesses pou que dans les viages, les accéléations des deux voitues estent inféieues à 0,8g avec g la constante de pesanteu (au delà de cette limite, elles déapent et finissent leu oute dans les gavies). Faie les applications numéiques. C 3. Conclue. 1. Pendant tout le viage, A suit une tajectoie ciculaie. Elle pacout le demi cecle de aon A d où L A = π A. La voitue B pacout la distance A B en ligne doite avant d abode son demi cecle de aon B, elle pacout ensuite à nouveau A B en ligne doite. n a ainsi L B = 2( A B ) + π B. Les applications numéiques conduisent à L A 283 m et L B 266 m. B pacout une distance plus coute mais il faut calcule sa vitesse pou pouvoi conclue. 2. Su la potion ciculaie des tajectoies, pou chaque véhicule et dans la base polaie, on a v = v. e θ comme v est constante, a = v. e θ = v θ. e avec v = θ d où a = v2. e et a = v2. La limite d adhéence impose a 0,8g v2 0,8g v 0,8g Pou la voitue A, on a donc au maximum v A = 0.8g A et v B = 0.8g B pou la voitue B (les pilotes pennent tous les isques!). Les applications numéiques donnent v A 95,7 km.h 1 et v B 87,3 km.h Pou éponde à la question posée pa l execice, il faut calcule le temps que va mette chaque voitue pou fanchi le viage. Pou la voitue A, qui pacout L A à v A constante, on a t A = L A va = π A 0.8gA = π A 0.8g et pou la voitue B on obtient de même t B = L B vb = π B+2( A B ) 0.8gB. Les applications numéiques donnent t A 10,6 s et t B 10,9 s. Finalement, des deux tajectoies poposées ici, c est celle de A qui est la meilleue (à ne teste que su cicuit!). Execice 6 : Détemination d une loi hoaie Un mobile animé initialement d une vitesse v 0 = v 0 i constante, pénète dans un milieu ésistant dans lequel il est soumis à une accéléation a = kv 2 i ; k est une constante et v la vitesse instantanée. 4 A B e e x C A C A

5 TD M 1 Coection PCSI En penant pou oigine des temps et des espaces le moment où le mobile pénète dans le milieu, établi la loi donnant v(t). Véifie l homogénéité du ésultat obtenu. 2. En déduie l équation hoaie du mouvement x(t). 3. Détemine l expession de v(x). 1. Comme le vecteu a est de sens opposé à celui du vecteu vitesse v, on peut plutôt pale de décéléation suivant l axe x de vecteu diecteu i. Ainsi, le mobile gade une tajectoie ectiligne. n peut epésente la situation à difféents instants : v(t < 0) = v 0 v(t = 0) = v 0 v(t > 0) v(t > t) v(t > t) x n a donc à tout instant v = v(t). i a = dv. i et pou t > 0, d v(t) = a = kv 2. i d où pa identification, dv kv2. n est ainsi passé d une équation vectoielle à une équation scalaie (pojection selon x), este à l intége. n peut alos écie l équation pécédente sous la fome dv = k et pa intégation, 1 = kt+c v 2 v où C est une constante. n détemine ensuite C en utilisant la condition initiale v(t = 0) = v 0 1 v 0 = C d où 1 v v 0 = kv 0t+1 v 0 et finalement, v 0 v = 1 + kv 0 t Pou véifie l homogénéité, il faut commence pa détemine la dimension de k. n utilise pou cela la elation a = kv 2 i qui implique [a] = [k].[v] 2 [k] = [a][v] 2 = L.T 2.(L.T 1 ) 2 = L 1 : invese d une longueu. n a ainsi [kv 0 t] = L 1.L.T 1 v.t sans dimension et l expession 0 1+kv 0 est bien homogène à une t vitesse. 2. n en déduit x(t) pa intégation dx(t) = v = v kv 0 t 1+kv 0 t k 0t)+C où C est une constante. À t = 0, x = 0 = 1 ln(1 + 0) + k C C = 0 et finalement x(t) = 1 k ln(1 + kv 0t) 3. L expession de v(x) s obtient en éliminant t dans les expessions pécédentes. De x(t), on tie kx = ln(1 + kv 0 t) 1 + kv 0 t = e kx et en éinjectant dans v(t), on obtient v(x) = v 0 exp(kx) v(x) = v 0e kx. n emaque que v décoît exponentiellement en fonction de la pofondeu dans le matéiaux : décoissance exponentielle caactéistique d un fottement fluide. Execice 7 : Équation hoaie Un mobile décit un axe x avec une vitesse v qui à l instant t est liée à son abscisse x pa la elation de la fome x = a v b. Détemine la loi hoaie x(t) en penant x = 0 à t = 0. Véifie l homogénéité du ésultat. Ici s agit ici d un pu execice de cinématique... 5

6 PCSI Coection Cinématique du point n pat de l expession x = a v b et on cheche à détemine x(t) en utilisant v = dx. x = a v b v = 1 a 2 (x + b)2 = dx dx (x + b) 2 = 1 a 2 n vient d effectue une sépaation de vaiables (x et t de pat et d aute de l égalité). Pa intégation de l équation pécédente, on obtient 1 = t + C où C est une constante., à x+b a 2 t = 0, on a posé x = 0 d où 1 = 0 + C C = 1 et 0+b b 1 x + b = t a 2 1 b = bt a2 a 2 b x + b = a2 b bt a 2 x = a2 b b 2 t + a 2 b bt a 2 x = b2 t a 2 bt Pou véifie l homogénéité de cette elation, il faut détemine la dimension de a et b. n utilise la elation x = a v b qui implique que [b] = L et a = x+b v et [a] = L.L 1 2.T 1 2 = L 1 2.T 1 2. [ ] n a alos b 2 t a 2 bt = L.T.L L.T = L est bien homogène à une longueu. Execice 8 : Spiale Un mobile M pacout avec une vitesse constante de nome v la spiale d équation polaie = aθ avec a = Cte. Expime v la vitesse de M en fonction de θ et v dans la base polaie. Dans le sstème de coodonnées polaies, on a donc = aθ ce qui coespond à la tajectoie epésentée ci-dessous. Pa ailleus, dans ce sstème de coodonnées, on a v = ṙ. e + θ. e θ = a θ. e + aθ θ. e θ v = a 2 θ 2 + a 2 θ 2 θ 2 = a θ 1 + θ 2 θ x n en déduit θ = v a 1+θ 2 et finalement, v = v 1 + θ 2 ( e + θ e θ ) v e θ e 6