Chapitre 3 Hétéroscédasticité

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1 Chaptre 3 Hétéroscédastcté Lcence Econométre Econométre II Martn Fourner Fourner@gatecnrsfr L3 Econométre - Econométre II Présentaton du problème L3 Econométre - Econométre II Défnton du problème L hypothèse d homoscédastcté mpose que la varance des termes d erreur sot constante pour chaque observaton, e pour toutes valeurs des varables explcatves Reprenons le modèle lnéare général Il y a hétéroscédastcté lorsque l hypothèse H4 (cf ch Introductf) n est plus vérfée, sot : L3 Econométre - Econométre II 3

2 Hétéroscédastcté versus autocorrélaton Hétéroscédastcté Autocorrélaton L3 Econométre - Econométre II 4 3 Exemple Exemple : Lors de l estmaton du rendement de l éducaton, on peut penser que la varance en productvté propre nobservable dffère selon les nveaux d éducaton attents : ln( salare ) = α educaton + X β + u avec Var( u ) = foncton( educaton ) L3 Econométre - Econométre II 5 4 Représentaton graphque f(y x) y E(y x) = β0 + β x x x x 3 x L3 Econométre - Econométre II 6

3 Les sources usuelles du problème L3 Econométre - Econométre II 7 Les sources usuelles du problème Varables explcatves nobservées de varance dfférentes pour certans groupes (défns par des varables observées) ex : - productvté nobservée par nveaux d éducaton - qualté nobservée d un ben par nveau de prx - détermnants socologques du taux d épargne par nveau de revenu L3 Econométre - Econométre II 8 Exemple Modèle de la part du revenu dsponble dépensé en losrs Les famlles à fables revenus dépensent relatvement peu en losrs Les varatons de ces dépenses entre ces famlles sont donc fables Pour les famlles avec des revenus mportants, le montant moyen relatf dépensé en losrs sera plus élevé, mas l y aura une plus grande varablté entre de telles famlles Hétéroscédastcté L3 Econométre - Econométre II 9 3

4 3 Les sources usuelles du problème () Modèle à «coeffcents aléatores» S le modèle sous-jacent est : Alors Y = X ( β + ε ) + u Y = X β + ( X ε + u ) 443 Et, avec des termes d erreurs ndépendants : η L3 Econométre - Econométre II 0 4 Les sources usuelles du problème (3) Observatons représentant des moyennes sur des sous-groupes d ndvdus Répétton d une même valeur de la varable à explquer pour des valeurs dfférentes d une varable explcatve (ex: regroupement en tranches pour le revenu, etc) L3 Econométre - Econométre II 3 Les conséquences L3 Econométre - Econométre II 4

5 3 Pourquo se soucer de l hétéroscédastcté? Les MCO restent sans bas et convergents, même en présence d hétéroscédastcté La matrce de varance covarance des coeffcents estmés est basée en présence d hétéroscédastcté On ne peut plus applquer les tests d hypothèse usuels post-estmaton (t statstcs, F statstcs ou LM statstcs) NB : La nature du problème et ses solutons sont proches de celles déjà analysées pour l autocorrélaton des termes d erreur L3 Econométre - Econométre II 3 3 Pourquo se soucer de l hétéroscédastcté? () L estmateur des MCO est sans bas : (cf chaptre ) La varance de l estmateur des MCO est basée L3 Econométre - Econométre II 4 4 Corrger la matrce de varancecovarance a Régressons «robustes» L3 Econométre - Econométre II 5 5

6 4 L approche de Whte (980) On vent de vor que : Sauf cas partculer, la forme de l hétéroscédastcté est nconnue et la matrce n est donc pas accessble Approche de Whte : pour obtenr un estmateur de la varance de l estmateur, l sufft d avor un estmateur de : X 'Ω X u Ω u L3 Econométre - Econométre II 6 4 L approche de Whte () Whte (980) montre que, sous des condtons très générales, la matrce : n S = e X X ' n = Est un estmateur sans bas de Σ = X ' Ω u X n avec e le -ème terme résduel ssu de l estmaton du modèle par MCO On peut donc corrger la varance de l estmateur de β par la «matrce de Whte» pour obtenr : W Ω = n( X ' X ) Sˆ( X ' X ˆ ) β L3 Econométre - Econométre II 7 43 Matrce de varance-covarance «robuste» La correcton par la matrce de Whte fournt une estmaton convergente de la matrce de varancecovarance des paramètres estmés Cette estmateur peut-être utlsé pour mettre en œuvre les tests usuels post-estmaton Les écart-types corrgés par la matrce de Whte sont appelés «robustes» Certans travaux suggèrent de corrger la matrce de Whte par le rapport n/(n k ) NB : Lorsque n les deux approches sont équvalente et la démarche en deux étapes n est valde qu asymptotquement L3 Econométre - Econométre II 8 6

7 43 Matrce de varance-covarance «robuste» () Il est mportant de garder à l esprt que les régressons «robustes» n ont de justfcaton qu asymptotquement Sur des échantllons de pette talle, les t de Student dérvés des estmatons «robustes» n ont pas une dstrbuton proche du t et les tests sont nvaldés La correcton par la matrce de Whte est préprogrammée sur tous les logcels d économétre Sous Stata, les estmatons «robustes» sont obtenues par l nstructon reg y x x, robust L3 Econométre - Econométre II 9 5 Corrger la matrce de varancecovarance b Les Mondres Carrés Pondérés (Weghted Least Squares) L3 Econométre - Econométre II 0 5 Les Mondres Carrés Pondérés Dsposer d nformatons supplémentares sur la forme de l hétéroscédastcté rencontrée permet toujours de dérver un estmateur plus effcace que celu donné par l estmaton «robuste» L dée générale est de transformer le modèle en un modèle à erreurs homoscédastques NB : cf nformaton sur la forme de l autocorrélaton dans le ch L3 Econométre - Econométre II 7

8 8 L3 Econométre - Econométre II 5 Forme de l hétéroscédastcté connue à une constante près Supposons que l hétéroscédastcté pusse être modélsée sous la forme : Var(u x) = σ h(x) avec h = h(x ) connu On peut alors écrre et applquer des MCG (cf chaptre ) Ψ = = Ω σ σ n n u h h h h L3 Econométre - Econométre II 3 53 Mondres Carrés Généralsés L estmateur des MCG, donné par : est alors BLUE (cf démonstraton du chaptre ) ˆ ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ˆ Ψ = Ω = Ω Ω Ω = X X X X avec Y X X X u u u MCG MCG σ β β L3 Econométre - Econométre II 4 54 Mondres Carrés Généralsés L estmateur des MCG est alors l estmateur des MCO sur le modèle transformé : Preuve : k k x h b x h b x h b h b h y = 0

9 55 MCG et MCP (GLS & WLS) Les MCG sont dans ce cas équvalents à des Mondres Carrés Pondérés (Weghted Least Squares - WLS) car la procédure revent à pondérer chaque observaton par l nverse de Var(u x ) Idée : Mathématquement, les MCG dans ce cas mnmsent la somme des carrés des résdus du modèle transformé, sot : SSR * = n = ( y b b x 0 b x b x ) Le pods accordé au carré du résdu de chaque observaton est donc nversement proportonnel à la varance de son terme d erreur L3 Econométre - Econométre II 5 k k / h 56 Les Mondres Carrés Pondérés () Au leu de transformer le modèle pour applquer les MCO sur un modèle transformé homoscédastque, l est donc équvalent d applquer les MCO sur des observatons pondérées par l nverse de la varance de leurs résdus L dée est alors smplement de mnmser la somme pondérée (par /h ) des carrés des résdus L3 Econométre - Econométre II 6 57 Les Mondres Carrés Pondérés (3) Les MCP (WLS), comme les MCG (GLS) nécesstent de connaître la forme de Var(u x ) Dans la plupart des cas, on ne sat ren sur la matrce de varance-covarance des résdus L3 Econométre - Econométre II 7 9

10 6 Corrger la matrce de varancecovarance c Les Mondres Carrés Quas Généralsés (Feasble Generalzed Least Squares) L3 Econométre - Econométre II 8 6 Les Mondres Carrés Quas Généralsés (FGLS) Dans le cas général, on ne connaît pas la forme de l hétéroscédastcté On a donc beson d en trouver un estmateur de h(x ) Par exemple, on peut partr d une forme d hétéroscédastcté assez flexble du genre : Var(u x) = σ exp(δ 0 + δ x + + δ k x k ) Il faudra alors trouver un estmateur des paramètres δ ι ΝΒ : la foncton h dot être postve L3 Econométre - Econométre II 9 6 Les Mondres Carrés Quas Généralsés () Notre hypothèse Var(u X)=E(u u X)= σ exp(δ 0 + δ x + + δ k x k ) peut s écrre sous la forme : u = σ exp(δ 0 + δ x + + δ k x k )v avec E(v x) = Or E(v) = g =ln(u ) = α 0 + δ x + + δ k x k + e avec E(e) = et e ndépendant de X Comme û est un estmateur de u (les MCO restent sans bas), cette relaton peut être estmée par les MCO L3 Econométre - Econométre II 30 0

11 63 Les Mondres Carrés Quas Généralsés (3) On dspose donc désormas d un estmateur de h par ĥ = exp(ĝ ), / exp(ĝ ) fournt un système de pondératon adéquat L3 Econométre - Econométre II 3 64 Les Mondres Carrés Quas Généralsés (4) Résumé de la procédure : ) Estmaton des MCO sur le modèle orgnal sans tenr compte de l hétéroscédastcté ) Sauvegarde des résdus emprques û et computaton de ln(û ) 3) Régresson de ln(û ) sur toutes les varables explcatves 4) Sauvegarde des valeurs prédtes ĝ(û ) 5) Estmaton par Mondres Carrés Pondérés avec comme pondératon : /exp(ĝ) L3 Econométre - Econométre II 3 65 Mses en garde par rapport aux MCQG Dans le doute sur la présence et la forme de l hétéroscédastcté, l peut être tentant de prendre une forme usuelle et d applquer les MCQG (d autant plus tentant s le logcel utlsé propose une procédure smple ) Attenton! S les termes d erreurs sont homoscédastques, l estmateur des MCQG sera basé et relatvement peu effcace par rapport aux MCO L3 Econométre - Econométre II 33

12 66 Mses en garde par rapport aux MCQG () La procédure repose sur une hypothèse sur la forme de l hétéroscédastcté, dans notre exemple : Var(u x) = σ exp(δ 0 + δ x + + δ k x k ) Dans le cas général, on n a aucune nformaton sur la forme de l hétéroscédastcté L3 Econométre - Econométre II 34 7 Tester la présence d hétéroscédastcté L3 Econométre - Econométre II 35 7 Tester la présence d hétéroscédastcté L dée générale est de tester l hypothèse nulle : H 0 : Var(u x, x,, x k ) = σ ce qu est équvalent à tester l hypothèse nulle : H 0 : E(u x, x,, x k ) = E(u ) = σ S l on suppose que la relaton entre u et x j est lnéare : u = δ 0 + δ x + + δ k x k + v tester H o revent à tester : H 0 : δ = δ = = δ k = 0 L3 Econométre - Econométre II 36

13 7 Le test de Breusch-Pagan On n observe pas les vras termes d erreur On peut en revanche les estmer à partr des termes d erreurs de la régresson par MCO (NB : les MCO restent sans bas) Après avor régressé le carré des résdus sur toutes les varables explcatves X, le R peut être utlsé pour former un F-test ou un LM-test L3 Econométre - Econométre II Le test de Breusch-Pagan () Une statstque de test de la sgnfcatvté globale de la régresson est donnée par : F = [R /k]/[( R )/(n k )] qu sut une dstrbuton F k, n k Une autre statstque de test consste à effectuer un test du Multplcateur de Lagrange (LM-test) donné par : LM = nr qu sut une dstrbuton χ k L3 Econométre - Econométre II Le test de Whte Le test de Breusch-Pagan permet de détecter les formes lnéares d hétéroscédastcté Le test de Whte permet de prendre en compte les non-lnéartés en utlsant les carrés et les produts crosés de toutes les varables explcatves Il s agt donc de la même procédure en ntrodusant juste tous les x j, x j, et x j x j et en testant que les paramètres assocés sont conjontement sgnfcatfs (F-test ou LM-test) NB : On arrve rapdement à un nombre de paramètres à estmer mpratcable L3 Econométre - Econométre II 39 3

14 75 Une forme alternatve du test de Whte Les valeurs smulées par la régresson MCO y ˆ = X βˆ sont foncton de toutes les varables explcatves X En conséquence, ŷ est une foncton des carrés et des produts crosés des explcatves et ŷ et ŷ peuvent être utlsés pour représenter les non lnéartés x j, x j, x j x j L3 Econométre - Econométre II Une forme alternatve du test de Whte () Une approche consste donc à : ) Régresser le carré des résdus des MCO sur les valeurs smulées ŷ et ŷ ) Construre un F-test ou un LM-test à partr du R de cette estmaton pour tester la sgnfcatvté jonte des coeffcents NB : - On ne teste plus que restrctons - Ce test repose sur une hypothèse forte concernant la forme de l hétéroscédastcté mas n mpose pas la lnéarté de cette forme L3 Econométre - Econométre II 4 77 Le test de Goldfeld-Quandt Procédure applcable dans le cas où la théore permet d envsager une hétéroscédastcté causée par une seule explcatve (x ) : ) Trer les observatons par les valeurs de la varable explcatve soupçonnée source d hétéroscédastcté (corrélée avec u ) ) Supprmer la parte des données trées qu se trouve au mleu de l échantllon (~/5ème des données) 3) Estmatons séparées (MCO) sur les deux sous échantllons (hautes et basses valeurs de x ) L3 Econométre - Econométre II 4 4

15 78 Le test de Goldfeld-Quandt () Les rapport des varances des termes d erreur des deux régressons sut une dstrbuton de Fsher : σ GQ = = F σ [( N K ),( N K )] N -K est le nombre de degrés de lberté de la premère régresson et N -K celu de la seconde L3 Econométre - Econométre II 43 8 Quelques exemples Sources : - Verbeek M, 000, A gude to modern Econometrcs, Wley - Cécle Dessendre et Vrgne Pguet, Problèmes d hétéroscédastcté : le recours aux mondres carrés généralsés, Note INRA-ESR, Florence Goffette-Nagot, Estmaton d une foncton de demande de traval ndvduelle : Exemple de tratement de l hétéroscédastcté, Note Unversté Lyon, 005 L3 Econométre - Econométre II 44 8 Un exemple d estmaton robuste reg y x x Source SS df MS Number of obs = F(, 9997) = 769 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = 0003 Total Root MSE = 0845 y Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] x x _cons Sous-estmaton de la varance sans prse en compte de l hétéroscédastcté reg y x x, robust Lnear regresson Number of obs = 0000 F(, 9997) = 435 Prob > F = 009 R-squared = 0005 Root MSE = 0845 Robust y Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] x x _cons L estmaton «robuste» ne corrge que la matrce de varance-covarance L3 Econométre - Econométre II 45 5

16 8 Épargne et revenu Modèle : Épargne = αrevenu + β Régresson par les MCO : Source SS df MS Number of obs = F(, 7) = 585 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = 55 épargne Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] revenu _cons L3 Econométre - Econométre II Épargne et revenu () revenu resd On soupçonne de l hétéroscédatcté / revenu : Test de Goldfeld et Quandt : On estme la varance pour deux sous-groupes Obs à : SCR= Obs 9 à 9 : SCR= ce qu donne : Fcalculé= Statstque théorque lue dans la table à 9 (=-) degrés de lberté : On rejette H0 : homoscédastcté L3 Econométre - Econométre II Épargne et revenu (3) Correcton de la matrce de varance par la matrce de Whte Source SS df MS Number of obs = F(, 7) = 585 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = 55 épargne Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] revenu _cons Regresson wth robust standard errors Number of obs = 9 F(, 7) = 7338 NB : valeurs des coeffcents nchangés mas Prob > F = modfcaton de la varance R-squared Root MSE = 0669 = 55 Robust épargne Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] revenu _cons L3 Econométre - Econométre II 48 6

17 83 Estmaton d une foncton de demande de traval Objectf : Analyser les détermnants de la demande de traval à l échelle de la frme Rôles respectfs de la quantté produte et du coût des facteurs de producton : traval et captal Modèle économque : Foncton de producton : Q = f (K, L) Coût de producton : c = rk + wl Mnmsaton de la foncton de coût Foncton de demande de traval (testable) L = g (Q, r, w) L3 Econométre - Econométre II Estmaton d une foncton de demande de traval () Modèle économétrque : r n est pas connu, utlsaton d une proxy : stock de captal K Chox d une forme lnéare et ajout du terme d erreur L = a 0 + a Q + a K + a 3 w + u L3 Econométre - Econométre II Estmaton d une foncton de demande de traval (3) Données : Echantllon de 596 entreprses belges captal: mmoblsatons, fn 995 trav : nombre d employés prod : valeur ajoutée (mllons de FB) salare : coût salaral par employé reg traval salare prod captal L = a 0 + a Q + a K + a 3 w + u Source SS df MS Number of obs = F( 3, 565) = 760 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = 566 traval Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] salare prod captal _cons L3 Econométre - Econométre II 5 7

18 84 Test de Breusch-Pagan Prncpe : Test H 0 : E(u t ) = σ contre H : E(u t ) = g (Z t θ) Méthode : Estmer la varance de l erreur en régressant les résdus d une étape en MCO sur les explcatves /* reg auxlare des carres des resdus */ reg res_ salare prod captal Source SS df MS Number of obs = F( 3, 565) = 605 Model 69733e e+ Prob > F = Resdual 507e e+09 R-squared = Adj R-squared = Total 985e e+0 Root MSE = 948 res_ Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] salare prod captal _cons L3 Econométre - Econométre II 5 84 Test de Breusch-Pagan () La statstque de Breusch-Pagan est donnée par : BP = N * R À partr de la régresson des carrés des résdus sur les varables explcatves : BP = 569 x 0588 = 3304 à comparer à un χ à 3 degrés de lberté (3 varables explcatves) Valeur seul à 5% : 7,8 L3 Econométre - Econométre II Estmaton du modèle en logarthme /* ols sur modele en log qu découlerat d une Cobb-Douglas */ reg ln_trav ln_sala ln_prod ln_capt Source SS df MS Number of obs = F( 3, 565) = 00 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = 084 Total Root MSE = ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala ln_prod ln_capt _cons L3 Econométre - Econométre II 54 8

19 86 Test de Breusch-Pagan sur le modèle en logarthme reg res_ln ln_sala ln_prod ln_capt Source SS df MS Number of obs = F( 3, 565) = 59 Model Prob > F = 0059 Resdual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = 8878 res_ln Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala ln_prod ln_capt _cons L3 Econométre - Econométre II Test de Breusch-Pagan sur le modèle en logarthme () La statstque de Breusch-Pagan est donnée par : BP = N * R À partr de la régresson des carrés des résdus sur les varables explcatves : BP = 569 x 0036 = 774 à comparer à un χ à 3 degrés de lberté (3 varables explcatves) Valeur seul à 5% : 7,8 Zone d ncerttude Valeur seul à 0% : 6,5 L3 Econométre - Econométre II Test de Whte sur le modèle en logarthme reg res_ln ln_sala ln_prod ln_capt ln_prod_ ln_sala_ ln_capt_ ln_sal_prod ln_sal_capt ln_capt_prod Source SS df MS Number of obs = F( 9, 559) = 7 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = res_ln Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala ln_prod ln_capt ln_prod_ ln_sala_ ln_capt_ ln_sal_prod ln_sal_capt ln_capt_p~d _cons L3 Econométre - Econométre II 57 9

20 89 Test de Whte sur le modèle en logarthme () La statstque de Breusch-Pagan est donnée par : BP = N * R À partr de la régresson des carrés des résdus sur les varables explcatves : BP = 569 x 009 = 5855 à comparer à un χ à 3 degrés de lberté (3 varables explcatves) Valeur seul à 5% : 7,8 Valeur seul à % :,67 L3 Econométre - Econométre II MCO avec correcton par la matrce de Whte /* ols sur modele lneare avec correcton de Whte */ reg ln_trav ln_sala ln_prod ln_capt, robust Regresson wth robust standard errors Number of obs = 569 F( 3, 565) = Prob > F = R-squared = Root MSE = Robust ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala ln_prod ln_capt _cons /* rappel : ols sur modele en log */ ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala ln_prod ln_capt _cons L3 Econométre - Econométre II 59 8 Les MCQG Mse en œuvre des MCQG Hypothèse : hétéroscédastcté multplcatve, E(u t ) = σ exp (Z t θ ) Méthode : Estmer la foncton qu le la varance aux explcatves /* calcul des log des carrés des résdus estmés va ols */ /* et régresson sur les explcatves et leurs carrés */ reg ln_res_ln ln_sala ln_prod ln_capt ln_prod_ ln_sala_ ln_capt_ Source SS df MS Number of obs = F( 6, 56) = 330 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = 0037 Total Root MSE = 354 ln_res_ln Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala ln_prod ln_capt ln_prod_ ln_sala_ ln_capt_ _cons test ln_prod_ ln_sala_ ln_capt_ Modèle lnéare ( ) ln_prod_ = 0 ( ) ln_sala_ = 0 F( 3, 56) = 85 retenu ( 3) ln_capt_ = 0 L3 Econométre Prob - Econométre > F = II

21 8 Les MCQG () étape : Utlser la varance prédte pour transformer le modèle estmé E( u t ) = σ exp( Z tθ) Donc on dvse toutes les varables, y comprs la constante, par exp( θˆ) /* MCQG : reg du modèle transforme */ reg tr_ln_trav tr_ln_sala tr_ln_prod tr_ln_capt Z t Source SS df MS Number of obs = F( 3, 565) = 8055 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = 503 tr_ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] tr_ln_sala tr_ln_prod tr_ln_capt _cons L3 Econométre - Econométre II 6 83 Synthèse OLS : Ecarts-types basés ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala ln_prod ln_capt _cons OLS avec correcton de Whte Robust ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala ln_prod ln_capt _cons MCQG avec hétéroscédastcté multplcatve tr_ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] tr_ln_sala tr_ln_prod tr_ln_capt _cons L3 Econométre --54 Econométre 0000 II