CH5 Algèbre : Suites numériques

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1 ème Scieces CH5 Algèbre : Suites umériques Décembre 9 A LAATAOUI I Présetatio des suites umériques : Défiitio d ue suite : Ue suite (u ) est ue foctio défiie sur l'esemble N qui à tout etier aturel associe u et u seul réel oté u Autremet écrit : (u ) : N R u = u() Remarque : l'image de l'etier est otée u au lieu de u() A reteir : O dit que u est le terme de rag ou le terme d ordre ou le terme d idice de la suite u est aussi appelé le terme gééral de la suite (u ) Avec quoi peut-o défiir ue suite? Il y a deux maières de défiir ue suite : Par ue formule explicite comme ue foctio Par exemple, o peut parler de la suite (u ) défiie pour tout etier par : U = + Pour calculer u 34, il suffit juste de remplacer par 34 C'est comme pour les foctios x Cette suite est e fait u raccourci de la foctio f (x) = (x+) E effet, pour tout etier, u = f () Exercice O cosidère la suite (u ) >3 défiie par u = 4 Calculer u 3 ; u 4 ; u 5 ; u Exprimer u + u e foctio de, et motrer que u + u < pour tout > 3 Exercice Soit la suite défiie sur a) Calculer u, u et u 3 N par u + = b) Calculer e foctio de : u + ; u et u + 3 = 4 Par ue formule de récurrece c) Motrer que ( u u ) C'est-à-dire qu'u terme est défii par rapport au précédet Par exemple, o peut cosidérer la suite (u ) défiie par : Suites umériques Cours ème Scieces 9 wwwespacemathscom

2 Pour calculer u 34, il faut auparavat calculer u, u,, u 3 et u 33 C'est-à-dire tous les termes qui le précèdet U vrai travail de calculatrice ou d'ordiateur! C'est pour cela que le plus souvet, o essaie de trouver ue formule explicite Sauf que parfois il 'y e a pas Il existe certaiemet d'autres faços de défiir des suites mais elles e sot quasimet pas employées au lycée C'est pour cela que ous ous boreros à ces deux maières Exercice 3 O cosidère la suite (w ) IN défiie par w = et w + = w 3 Calculer w ; w ; w 3 et w 4 Exercice 4 Calculer les ciq premiers termes de chacue des suites suivates : a) U = ², IN ; b) U = - U =, IN* ; c) U =, 4 ; d) 3 U+ = U +, U = e) U+ = 3 U + (-) pour Exercices, et 3 page 8 II Suites arithmétiques : Défiitio d'ue suite arithmétique Dire que la suite (u ) est arithmétique de raiso r sigifie que pour tout etier aturel, u + = u + r Aisi, si (u ) est ue suite est arithmétique alors : Par exemple, la suite ; 5 ; 8 ; ; 4 est la suite arithmétique de er terme et de raiso 3 Suites umériques Cours ème Scieces 9 wwwespacemathscom

3 Remarque : pour démotrer qu'ue suite est arithmétique, il suffit de prouver que la différece etre deux termes cosécutifs est costate C'est-à-dire qu'il suffit de motrer que pour tout etier, u + - u = costate = r Exercice 5 ) Prouver que la suite ( u ) IN dot le terme gééral est u = est ue suite arithmétique ) Prouver que la suite ( u ) IN défiie par u = 3 est ue suite arithmétique de raiso V = 3) Prouver que la suite ( V ) défiie sur N par : est arithmétique et calculer sa raiso V+ = 3 + V 4) Motrer que la suite ( u ) IN dot le terme gééral est u = 5 + est ue suite arithmétique Exercice 4 page 8 Propriété : Si (u ) est ue suite arithmétique de raiso r alors pour tout etier, u = u + r De même, si et p sot deux etiers aturels quelcoques alors : u = u p + ( p) r Ces formules permettet de calculer 'importe quel terme d'ue suite arithmétique ou bie ecore sa raiso Exercice 6 (u ) IN désige ue suite arithmétique de raiso r Sachat que r = et u 4 = 3, calculer u et u 8 Sachat que u 4 = 35 et u = 5, calculer r et u Sachat que u = π et u 3 = 4π, calculer u Représetatio graphique : Le pla est rapporté à u repère orthoormé ( Oi,, j) Soit (u ) la suite arithmétique de premier terme u = et de raiso r = a) Placer les poits A (, u ), A (, u ) et (, ) A u b) Vérifier que les poits A, A et A sot sur ue même droite D, que l o précisera A u, appartiet à D c) Motrer que, pour tout etier, le poit ( ) Somme des premiers etiers : Si le premier terme est u, la somme des premiers termes est k = - S = u + u + u + + u - = u k k = k = Si le premier terme est u, la somme des premiers termes est S = u + u + u u = uk k = 3 Suites umériques Cours ème Scieces 9 wwwespacemathscom

4 Attetio la somme S = u + u + u + + u est ue somme de ( + ) termes Théorème : Si est u etier aturel o ul alors : ou plus gééralemet : S = ombre de termes er terme + derier terme Par exemple, la somme des premiers etiers est égale à : = = 55 Exercice 7 (u ) désige ue suite arithmétique de raiso r, S = u + u + + u Sachat que r = 5 et u =, calculer u 4 et S Sachat que u 3 = 5 et S 4 = 5, calculer r et u III Suites géométriques : Défiitio d'ue suite géométrique Dire que la suite (u ) est géométrique de raiso q sigifie que pour tout etier aturel, u + = u q Aisi, si (u ) est ue suite est géométrique alors : Par exemple, la suite 3 ; 6 ; ; 4 ; 48 est la suite géométrique de er terme 3 et de raiso Propriété : Si (u ) est ue suite géométrique de raiso q alors pour tout etier, u = u q De même, si et p sot deux etiers aturels quelcoques alors u = u p q -p Ces formules permettet de calculer 'importe quel terme d'ue suite géométrique ou bie ecore sa raiso 4 Suites umériques Cours ème Scieces 9 wwwespacemathscom

5 Exemple : (u ) est ue suite géométrique de raiso q = -3 et telle que u 7 = 4 Détermier u 3 Nous pourrios passer par le premier terme de la suite u Mais ce 'est pas écessaire O peut écrire que : u 3 = u 7 q 3-7 = 4 (-3) 6 = 4 79 = 7496 Détermier la raiso q et le premier terme v de la suite géométrique (v ) sachat que v 4 = 7 et v 7 = 56 Commeços par la raiso q O peut écrire que : v 7 = v 4 q 7-4 d'où 56 = 7 q 3 d'où q 3 = 8 d'où q = Car u seul ombre a pour cube 8 : il s'agit de Pour ce qui est du premier terme v, o peut écrire que : v 4 = v q 4 d'où 7 = v 4 d'où v = Exercice 8 (u ) IN désige ue suite géométrique de raiso q Sachat que u = 5 et u 3 = 7, calculer u 4 Trouver toutes les suites géométriques telles que u = et u = Le truc e plus : pour démotrer qu'ue suite est géométrique, il suffit de prouver que le quotiet de deux termes cosécutifs est costat C'est-à-dire qu'il suffit de motrer que pour tout etier, = costate Exercice 9 Pour chacu des cas suivats, la suite est elle géométrique? si oui, préciser so premier terme et sa raiso 5 a) Pour tout IN, u = 3 * b) Pour tout IN, v 5 = u = c) * pour tout IN, u = u + + d) Pour tout IN, u = 3 Somme des + premières puissaces d'u ombre réel Théorème : Si est u etier aturel o ul et si q est u réel différet de alors : S = U + U + + U = U q+ q Et das le cas gééral : S = er de termes qombre terme q 5 Suites umériques Cours ème Scieces 9 wwwespacemathscom

6 Par exemple, la somme des premières puissaces de est égale à : Exercice (u ) désige ue suite géométrique de raiso q, S = u + u + + u Sachat que u = 3 et q = 5, calculer u 3 et S 3 Sachat que u = et q =, calculer S 63 Exercice O cosidère la suite (u ) défiie par u = 8 et u + = u 3 pour tout de IN Soit (v ) la suite défiie pour tout de IN par v = u a ; a état u réel fixé Exprimer v + e foctio de v et de a Détermier ue valeur de a pour laquelle la suite (v ) est géométrique Soit (v ) la suite défiie pour tout de IN par v = u 3 Exprimer v e foctio de E déduire ue expressio de u e foctio de 3 Soit u etier Exprimer e foctio de la somme S = u + u + + u - Vérifier pour = 5 e calculat u, u, u 3 et u 4 Exercice Soit ( u ) ue suite géométrique de premier terme u = 3 et de deuxième terme u = Motrer que la raiso de cette suite est 4 Calculer u e foctio de 3 Soit S = u + u + + u a) Calculer S e foctio de b) Détermier l etier pour que S soit égale 63 6 Suites umériques Cours ème Scieces 9 wwwespacemathscom

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