Université Hassan II Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales de Mohammedia

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1 Unversté Hassan II Faculté des Scences Jurdques, Économques et Socales de Mohammeda Année Unverstare 2009/200 MATHEMATIQUES II Professeurs: T. BENKARAACHE & M.REDOUABY

2 Chatre I Les Sutes numérques Les Sutes numérques les sutes numérques sont des fonctons artculères. Défnes sur IN, elles ont des rorétés sécfques qu s adatent à l étude des hénomènes économques Évoluton Contnu foncton numérque (notée y f(x)) ( x IR) Dscrète sute numérque (notée y u n ) ( n IN) 2

3 foncton numérque (à une varable) : f: IR IR x f(x) Sute numérque (undmensonnelle): u: IN IR n u n Ans, toutes les rorétés générales concernant les fonctons numérques s alquent aux sutes. Seules les notatons vont changer. Par exemle : «La sute (u n ) est crossante» sgnfe : IN q ; q IN u u q 3

4 Par contre, même s la sute est donnée sous forme : u n f(n), la dérvaton n a c aucun sens our étuder les varatons Exemle : f(x) x f'(x) 2x 3 (2x 3) La foncton dérvée a un sens Sot la sute donnée ar : c est-à-dre : ( u n ) u n f(n) u n Attenton n 2n 3 u' n n a as de sens 2 Une sute (u n ) eut être donnée : Sot exlctement : u n f(n). On sat calculer u n drectement à artr de n Exemle : u n f(n) Nous avons alors : u ar exemle : f(x) 2 n avec n x 2 défne our u 00 /9999 n 2 4

5 Sot ar récurrence : u est connu et une relaton de récurrence u n f(u n ) ermet de calculer le terme de rang n en foncton du terme récédent de rang n Exemle : u 3 et u f(un) avec n f (x) x Nous avons alors : ; u 3 u 3 u 2 ; u u 3 ; etc. 2 4 u 3 2 Remarque Les sutes que l on rencontre le lus fréquemment en mathématques fnancères sont les sutes arthmétques et les sutes géométrques. Nous en raellerons c les rorétés les lus mortantes. 5

6 A. Les sutes arthmétques On aelle sute arthmétque une sute donnée ar la relaton de récurrence suvante : u n n u r est une constante donnée qu on aelle u «rason de la sute» et u son remer terme r Remarque On eut écrre la relaton de récurrence d une sute arthmétque de la manère suvante : u f(u ) n avec n f (x) x r 6

7 - Rael - Prorétés des sutes arthmétques u u (n )r ) n ; u u (n )r 2) n ; our deux rang n et quelconques Prorétés des sutes arthmétques (u n 3) u u u... u n n n ; 2 «somme des n remers termes en foncton du remer et du derner termes» et de façon générale : u u u k n 4)... ; n k n (n ) k u 2 u ) (u u 2 ) 7

8 Remarque Une autre formulaton de la rorété 3): nu u u u nu r (n )n 2 5)... n ; 2 «somme des n remers termes en foncton du remer terme et de la rason» Exemle On consdère la sute donnée ar : u u Il s agt d une sute arthmétque de rason r 3 et de remer terme 2 n u 3 n 2 8

9 Exemle Calculons, ar exemle, les termes u 24 et : u 32 u (32 )r u «rorété» ou u (24 32)r u (24 )r u 24 u 32 «rorété2» «rorété» Exemle Calculons les sommes suvantes : u u... u 2 27 et u u... u (u u ) u u... u «rorété3» avec : 27 u 26r , donc : u u... u 27 (2 80)/

10 Exemle Ou, en utlsant la rorété 5 : u u... u 27u 2 27 On obtent : u u... 2 u (27 )27 r Exemle Pour la 2 ème somme, on utlse la rorété 4 : ( ) u... u ( u ) avec : u 2r 38 4r 25 3 u et u 42 u u u On obtent : u... u u

11 B. Les sutes géométrques On aelle sute géométrque de rason k, une sute défne ar sa relaton de récurrence et ar son remer terme : u ku n n avec u k Remarque On eut écrre la relaton de récurrence d une sute géométrque de la manère suvante : u n f(u ) n avec f (x) kx k est une constante réelle

12 Raelons les rncales rorétés des sutes géométrques n ) u ; n k u n 2) u ; our deux rang n et n k u quelconques Prorétés des sutes géométrques n n k 3) u u u... u ( ) u ; 2 n k «somme des n remers termes en foncton de la rason k et du remer terme u» 2

13 Remarque Cec est une conséquence drecte de la formule «très mortante» suvante : x x x IR x 2... x ;, on a : m m x x 2 (m est un enter ) ( x x x IR Preuve En effet :, on a : (x x m x, On dvse ar le terme ( ) et on obtent : 2 m... x )(x ) 2 m m... ) x x x x 2 x... ( x x x x m x 2... m x x m ) 3

14 Preuve de la rorété 3 D arès la rorété : 2 n u u... u u ku k u... k u 2 n 2 ( k k ( k n k )u... k n )u CQFD En effet : u De façon générale n k n k 4) u u u... u n ( ) u; k u u k 2... u n k 2 u ku k u... k 2 n ( k k... k )u n CQFD (k k )u n u 4

15 Exemle On consdère la sute donnée ar : u 3u n n 2 u Il s agt d une sute géométrque de rason k3 et de remer terme 2 Exemle u u 3 5 Calculons les termes et : 2 3 u 3 u «rorété» ou u u u u «rorété» «rorété2» 5

16 Exemle Calculons les sommes suvantes : u... u 4 et u... 3 u 7 u u 4... u u ( ) u ( ) u «rorété3» ( u 3 u 8 ) 3 «rorété4» Chatre I : Sutes numérques EXERCICES CORRIGES 6

17 Chatre 2 : INTERETS. Introducton Les termes courants dans le domane des affares Les termes courants dans le domane des affares Noton d ntérêt L ntérêt est le loyer de l argent. Il eut être une déense ou un revenu : Il s agt d une déense our l emrunteur Il s gt d un revenu our le rêteur 7

18 Les termes courants dans le domane des affares Autres défntons ossbles : L'ntérêt est la rémunératon d'un rêt d'argent effectué ar un agent économque (le rêteur) à un autre agent économque (l emrunteur) Lorsqu une ersonne (hysque ou morale) emrunte de l argent à une autre, elle achète cet emrunt. L ntérêt est le coût de cet emrunt. Exemles. Vous emruntez de l argent à la banque. Vous êtes l emrunteur, le banquer est le rêteur. Votre emrunt vous coûte 2. Vous lacez de l argent sur un comte bancare. Vous êtes le rêteur, la banque est l emrunteur. Votre lacement vous raorte (et coûte à la banque) 8

19 Les termes courants dans le domane des affares Taux d ntérêt «annuel» On aelle, taux d ntérêt annuel, l ntérêt rodut ar un catal de DH lacé endant an Habtuellement, le taux d ntérêt est donné our une unté de catal de 00 DH Exemle S arès avor lacé DH endant an, on récuère,2 DH, l ntérêt est 0,2 DH On dt alors que le taux d ntérêt est de 0,2 ou encore 2% 9

20 Les termes courants dans le domane des affares Varaton du taux d ntérêt Le taux d ntérêt est varable selon les crconstances, l tent comte de : La lo de l offre et de la demande : s l y a beaucou d offres et eu de demandes de cataux, le taux d ntérêt tendra à basser. S l y a beaucou de demandes de cataux et eu d offres, le taux d ntérêt tendra à s élever Le montant du rêt La durée du rêt Le degré de confance que le rêteur accorde à l emrunteur : lus l emrunteur a de garantes lus l a de chances d obtenr l emrunt à mondre coût L nflaton : l nflaton fat augmenter le taux d ntérêt, et ar conséquent le montant global de l ntérêt 20

21 On dstngue : Les termes courants dans le domane des affares Les systèmes d ntérêt Le système des ntérêts smles : généralement utlsé our les lacements à court terme (mons d un an) Le système des ntérêts comosés : généralement utlsé our les lacements à long terme (lus d un an) Chatre 2 : INTERETS 2. Calcul d ntérêts 2

22 2. Calcul d ntérêts Le taux d'ntérêt ar érode (noté) est l'ntérêt raorté ar une unté monétare endant une érode : unté monétare DH,, $,... Une érode an, trmestre, mos, jour, etc. Taux d ntérêt Calcul d ntérêts : ont de déart Quel est l ntérêt I rodut ar un catal C lacé endant une érode au taux d ntérêt? unté monétare C catal L ntérêt I rodut ar C endant une érode est donné ar : IC I? 22

23 Calcul d ntérêts L emrunteur aura donc à rembourser (arès une érode) : C I C C C( ) L ntérêt I rodut ar C endant une érode est donné ar : A retenr I C La somme à rembourser arès une érode est : C C( ) C C érode 23

24 Exemle Pour ayer la cauton de votre aartement, votre banquer vous rête 8000 DH our un an au taux annuel de 5,6% On a : C 8000 et L ntérêt en DH rodut ar 8000DH à 5, 6% annuel endant un an est : 8000 x 0, DH Exemle La somme que vous devrez rembourser arès un an est donc : 8000 x ( 0.056) 8448 DH Votre emrunt vous aura coûté 448 DH 24

25 Exemle 2 Pour ayer la cauton de votre aartement, votre banquer vous rête 8000 DH our deux ans au taux annuel de 5, 6% Comment calculer l ntérêt? 2 ans 2 érodes C C? C 2? 0 2 Premère méthode On a vu dans l exemle que l ntérêt dû arès un an est de 448 DH L ntérêt rodut ar les 8000 DH endant la deuxème année est encore de 448 DH donc, à la fn de la deuxème année, vous remboursez : DH Au total, votre emrunt vous a coûté 896 DH 25

26 Deuxème méthode L ntérêt dû arès un an est de 448 DH Vous ne ayez as ces 448 DH et tout se asse comme s, à la fn de la remère année, l vous restat à rembourser 8448 DH. L ntérêt rodut ar ces 8448 DH endant la seconde année est : 8448 x ,09 Deuxème méthode A la fn de la seconde année, vous devez rembourser : ,09 892,09 DH Votre emrunt état de 8000 DH, vous remboursez 892,09 DH donc cet emrunt vous a coûté au total : 92,09 DH 26

27 2. Calcul d ntérêts a) Intérêts Smles a) Intérêts Smles Défnton Dans le cas de l ntérêt smle, le catal reste nvarable endant toute la durée du rêt. L emrunteur dot verser, à la fn de chaque érode, l ntérêt dû 27

28 a) Intérêts Smles Autre défnton ossble Un catal est lacé à ntérêts smles s c'est le catal de déart qu rodut l'ntérêt endant toute la durée du lacement Exemle. Sot un catal de DH lacé à ntérêt smles endant 2 années à un taux annuel de 3%. Calculons les ntérêts (en DH): Pour la ère année : , «somme calculée à la fn de la ère année» 28

29 Exemle Pour la 2 ème année : , «somme calculée à la fn de la 2 ème année» Sot un total d ntérêt de DH On aurat u calculer drectement cette somme : , A retenr Dans le système des Intérêts smles : Les ntérêts sont versés à la fn de chacune des érodes de rêt Le catal ntal reste nvarable 29

30 Calcul des ntérêts smles On emrunte un catal C o endant n érodes au taux ar érode. L ntérêt à ayer arès la remère érode est C 0 et, usque c est le catal de déart C 0 qu rodut l ntérêt ; l ntérêt à ayer arès chaque érode est C 0 Calcul des ntérêts smles L ntérêt total (ou global) à ayer (le coût de l emrunt) est donc : C C0 C0 c est-à-dre: 0... I C G 0 (n fos) La somme totale à rembourser est donc : n C C C n C ( n n) 30

31 A retenr «ntérêts smles» C 0 L ntérêt total à ayer (le coût de l emrunt) est : I C n G 0 La somme totale à rembourser (valeur défntve «ou acquse») du catal C 0 est : C 0 C ( n n) C n 0 2 n Chatre II : Intérêts smles EXERCICES CORRIGES 3

32 2. Calcul d ntérêts b) Intérêts comosés b) Intérêts Comosés Défnton Un catal est lacé à ntérêts comosés, lorsque à la fn de chaque érode de lacement, l ntérêt smle de cette érode est ajouté au catal ntal our rodure un ntérêt smle à son tour endant la érode suvante 32

33 Intérêts Comosés C 0 C C 2 C n- C n 0 2 n- n En ntérêts comosés, les ntérêts sont ajoutés au catal. On dt qu ls sont catalsés à la fn de chaque érode La catalsaton des ntérêts est généralement annuelle mas elle eut être semestrelle, trmestrelle, mensuelle ou autre (selon la érode) Valeur défntve (ou valeur acquse) C 0 C C 2 C n- C n 0 2 n- n ) La durée de lacement est un nombre enter de érodes : S on désgne ar : C 0 : le catal ntal n : le nombre de érodes : taux d ntérêt ar DH et ar érode C n : le catal «défntf» acqus à la fn de la n ème érode 33

34 Le tableau c-dessous donne les valeurs acquses en fn de érode : Pérode Catal lacé en début de érode Intérêts ayés à la fn de chaque érode C 0 C 0 2 C C 3 C 2 C n C n- C n- Valeurs acquse en fn de érode C C 0 C 0 C 0 () C 2 C C C () C 0 () 2 C 3 C 2 C 2 C 2 () C 0 () 3.. C n C n- C n- C n- () C 0 () n Valeur défntve (ou valeur acquse) La formule générale de la valeur défntve ou acquse à ntérêts comosés est : C 0 C ( ) n L ntérêt total ( ou global) à ayer (le coût de l emrunt) est : n n I G C ( ) 0 C 0 n C (( ) 0 ) 34

35 Exemle Sot un catal C DH lacé endant 3 ans à ntérêts comosés au taux annuel de 0 % On a : 3 3 C 0000 ( 3 0, ) 0000, Sot un ntérêt total : I G DH 330 DH Valeur défntve (ou valeur acquse) 2) La durée de lacement est un nombre fractonnare de érodes : Exemle Quelle est la valeur acquse au bout de 5 ans et 3 mos d un catal de DH lacé à ntérêts comosés au taux annuel de 7,5% mos 0,075 35

36 Deux solutons sont ossbles : a) La soluton ratonnelle b) La soluton commercale a) La soluton ratonnelle Dans ce cas, on consdère que la valeur acquse au bout de 5 ans «C 5» reste lacée à ntérêts smles endant 3 mos Ce qu donne : Comme C 5 C 5 3/2 C 2000,075 5 C obtent avec la soluton ratonnelle : C 5 3/ ,57 DH 0, ,55, on 36

37 b) La soluton commercale Dans la ratque, on généralse la formule des ntérêts comosés au cas où n «n est le nombre de érodes!!) n est as un nombre enter de érodes : Cn 0 C ( ) n : même s n n est as enter b) La soluton commercale Dans notre exemle, avec la soluton commercale on obtent : C 5 3/2 2000, /2 754,86 DH 37

38 Remarque La valeur acquse donnée ar la soluton commercale est toujours nféreure à celle donnée ar La soluton ratonnelle On adote toujours la soluton commercale sauf ndcaton contrare. On dt alors que la catalsaton est contnue Chatre II : Intérêts comosés EXERCICES CORRIGES 38

39 2. Calcul d ntérêts c) Taux roortonnels & taux équvalents Taux roortonnels Défnton Deux taux sont roortonnels lorsque leur raort est égal au raort des durées de leurs érodes resectves Exemle : Au taux annuel de 0% corresond le taux semestrel «roortonnel» de 5% et le taux trmestrel «roortonnel» de 2,5% En effet : 0 / 5 année / semestre 2 et 0 / 2,5 année / trmestre 4 39

40 Taux roortonnels En ntérêts smles, deux taux roortonnels rodusent sur un même catal les mêmes ntérêts au bout du même tems Exemle Calculons l ntérêt smle rodut ar un catal de DH lacé endant un an au taux annuel de 0% érode Taux Durée de lacement Valeur acquse année 0% an 0000( 0, ) semestre 5% semestres 0000( 0,05 2) trmestre 2,5% trmestres 0000( 0,025 4) 000 Dans tous les cas, la valeur acquse est la même, une fos que l on utlse les taux roortonnels 40

41 Mas l n en est as de même dans le système des ntérêts comosés. Rerenons l exemle récédent et utlsons les ntérêts comosés : érode Taux Durée de lacement Valeur acquse année 0% an 0000 ( 0,) 000 semestre 5% trmestre 2,5% 2 semestres 4 trmestres ( 0,05) ( 0,025) 038,3 En ntérêts comosés et à taux roortonnels, les valeurs acquses ar un même catal à la nème érode ne sont as les mêmes. La valeur acquse augmente quand les érodes de catalsaton devennent lus ettes, d où l utlsaton des taux équvalents 4

42 Taux équvalents Défnton Deux taux sont équvalents lorsque, à ntérêts comosés, ls aboutssent our un même catal, à la même valeur acquse endant la même durée de lacement Exemle Rerenons l exemle récédent : C0000 DH ; 0% (taux annuel) ; durée de lacement année Ans, au bout d une année, la valeur acquse est : 0000 ( 0, 0)

43 Taux équvalents S s est le taux semestrel équvalent alors : ( 0, 0) 0000 s, 2 s s (, ) /2 s (, ) /2 0,0488 Ans, 4,88% est le taux semestrel équvalent au taux annuel de 0 % RESUME Taux Proortonnels (Pour le calcul de la valeur acquse à Intérêts Smles): érode 0 2 «k sous-érodes» k Le taux roortonnel au taux our une érode dvsée en k sous-érodes est : C 0 ( k ) C ( ) k 0 k k 43

44 RESUME Taux Équvalents (Pour le calcul de la valeur acquse à Intérêts Comosés): 0 2 «k sous-érodes» k Le taux équvalent au taux our une érode dvsée en k sous érodes est : C ( 0 érode k ) C ( ) k 0 k ( ) /k Exemles. Quel est le taux trmestrel équvalent au taux annuel de 9%? ( S t est le taux trmestrel équvalent alors : 4 /4 ),09,09 0,0277 2, 8% t t Sot un taux trmestrel égal à 2,8% Remarque : taux roortonnel 9/4 2,25% 44

45 Exemles 2. Quel est le taux mensuel équvalent au taux semestrel de 6%? ( S m est le taux mensuel équvalent alors : 6 /6 m),06 m,06 0,00975 Sot un taux mensuel égal à 0,97% 0,97% Remarque : taux roortonnel 6/6 % Exemles 3. Quel est le taux annuel équvalent au taux mensuel de %? S a est le taux annuel équvalent alors : 2 2 a) ( 0,0) a,0 0, ( Sot un taux annuel égal à 2,68% 2682 Remarque :taux roortonnel x2 2% 45

46 Exemles 4. Quel est le taux bmensuel équvalent au taux trmestrel de 3%? ( (dans un semestre : l y a 2 trmestres et 3 «2 mos») S b est le taux bmensuel équvalent alors : 3 2 ),03 b 2/3,03 0,0990,99% b Sot un taux bmensuel égal à,99% Remarque : taux roortonnel 2% Annexe Taux moyen de luseurs lacements «Intérêts smles» Exemle : soent tros cataux lacés à des taux varables et endant des durées dfférentes (en jours, ar exemle) 46

47 Taux moyen Cataux Taux Durées C j C 2 2 J 2 C 3 3 j 3 L ntérêt global rocuré ar ces 3 lacements est : C j C j I C j G 360 Taux moyen Défnton «Taux moyen» Le taux moyen de ces tros lacements est un taux unque noté m qu, alqué à l ensemble de ces 3 lacements donne le même ntérêt global C'est-à-dre : m est tel que : C j C m 2 m I 2 G 360 j C 3 m j 3 47

48 Donc : Taux moyen C j C j C j (C j C j C j ) m C'est-à-dre : m est donné ar : m C C j C C D une manère générale : j j j 2 2 C C j m j 3 C j k k k C j k k k k Chatre II : Taux roortonnels, Taux équvalents, Taux moyen EXERCICES CORRIGES 48

49 2. Calcul d ntérêts d) Escomte commercal & Équvalence de cataux «à ntérêts smles». Effet de commerce Défnton C est un nstrument de crédt. une dette à ayer. Il rerésente 49

50 Vocabulare L effet de commerce rend la forme : D une trate (on dt auss lettre de change) s l est rédgé ar le créancer (on dt auss le bénéfcare ou le treur) D un bllet à ordre (on dt auss bon de casse) s l est rédgé ar le débteur (on dt auss le ayeur ou le tré) Remarque Sur un effet de commerce sont ndquées :. La valeur nomnale de l effet : c est le montant nscrt sur l effet 2. La date d échéance : c est le jour convenu our le aement de la dette 3. La durée : c est le nombre de jours, de mos (ou d années) entre la date d émsson de l effet et sa date d échéance 50

51 Exemle Effet de commerce Valeur nomnale: DH Date d échéance: 30/6/200 Fat à Mohammeda, le 0/0/200 Durée de cet effet : du 0 janver au 30 jun, sot 80 jours. Effet de commerce Le bénéfcare est sensé attendre la date d échéance our encasser son effet, mas : Il eut le vendre avant son échéance. On dt qu l négoce l effet avant son encassement normal : Cette oératon est aelée l escomte 5

52 2. Escomte commercal Défnton «Escomte commercal d un effet» C est une oératon bancare qu consste à ayer au bénéfcère d un effet la valeur escomtée de l effet contre sa valeur nomnale avant l échéance Remarque V.N (Valeur nomnale de l effet) V.E (Valeur escomtée de l effet) La dfférence entre les deux orte le nom de l escomte : E V.N V.E 52

53 2. Escomte commercal Défnton «Escomte» L escomte est l ntérêt retenu ar la banque sur la valeur nomnale de l effet endant le tems qu s écoule deus le jour de la remse à l escomte jusqu au jour de l échéance Formules S on désgne ar : C : la valeur nomnale de l effet «V.N.» : le taux de l escomte J : la durée de l escomte en jours (ar exemle) E : la valeur de l escomte VE (notée auss C 0 ) : la valeur escomtée 53

54 Formules Alors : E C J 360 l s agt d un ntérêt erçu ar la banque, et VE C E C C J C( j ) Exemle Un fournsseur négoce le 03 ma un effet d un montant de DH dont l échéance est le 8 jullet de la même année. La banque escomte l effet à un taux de 2%. Quelle est la valeur escomtée de cet effet à la date du 03 ma? 54

55 76 jours VE? DH 3 ma 8 jullet 0, Escomte : E 570DH Valeur escomtée : VE DH (à la date du 03 ma) Dans un escomte, la valeur escomtée est aelée valeur actuelle Dans cet exemle, DH est la valeur actuelle de l effet au 03 ma, c'est-à-dre 76 jours avant son échéance. Queston : Quelle est la valeur actuelle de cet effet s l est négocé le 03 jun au leu du 3 ma? 55

56 45 jours VE? DH 3 jun 8 jullet 0, Escomte : E 337,50DH Valeur escomtée : VE , ,50 DH (à la date du 03 jun) Ans, cet effet dont la valeur nomnale est DH et à échéance le 8 jullet a our valeurs actuelles au 03 ma, 03 jun et 8 jullet : ,5 3 ma 3 jun 8 jullet Remarque à la date d échéance : ,2 Valeur actuelle Valeur nomnale 56

57 3. Équvalence de cataux «à ntérêts smles» Prnce général De même qu un créancer eut céder un effet de commerce avant son échéance à une banque, un débteur eut rembourser une dette avant terme ou reousser son échéance. Pusque la valeur d une dette est nséarable de la date à laquelle elle est dsonble, l sufft our le créancer et le débteur de s entendre sur une date de aement et sur un taux de calcul our effectuer l évaluaton de la dette à une date récse Noton d actualsaton Sot un catal C dsonble à la date 0 : C( j 360 ) C ( j ) C 360 -j 0 j On eut donc évaluer un catal C à une date quelconque (c'est-à-dre calculer sa valeur actuelle : c est l actualsaton du catal) en ajoutant l ntérêt ou en retranchant l escomte 57

58 Équvalence de deux effets Défnton Deux effets sont équvalents à une date donnée, s escomtés au même taux, ls ont la même valeur escomtée (valeur actuelle commercale). Cette date est la date d équvalence des deux effets Formules S on désgne ar : C et C 2 : Valeurs nomnales (cataux) J et J 2 : Durées d escomte en jours : taux d escomte VE et VE 2 : valeurs actuelles 58

59 Formules J J 2 VE VE 2 C C 2 même valeur actuelle Nous avons alors l équaton «Équaton d équvalence» suvante : VE VE 2 C ( j ) 360 C ( 2 j ) Problèmes relatfs à l équvalence de deux effets (ou de deux cataux) Dans la ratque, la noton d équvalence est utlsée our remlacer un effet ar un autre d échéance dfférente. Le roblème se ramène donc à détermner le montant ou la date d échéance de l effet de remlacement 59

60 A artr de l équaton de base : C ( j ) 360 C ( «Équaton d équvalence des deux effets» On eut calculer : La valeur nomnale de l effet équvalent La date d échéance de l effet équvalent La date d équvalence Le taux d escomte 2 j ) Chatre II : Escomte commercal & Équvalence de cataux à ntérêts smles EXERCICES CORRIGES 60

61 Chatre 3 Annutés. Valeur actuelle «à ntérêts comosés» On a déjà calculé la valeur acquse à ntérêts comosés C n ar le lacement d un catal C o au taux ar érode endant n érodes : C 0 C ( ) n n 6

62 . Valeur actuelle «à ntérêts comosés» Or C C 0 C n 0 n n C ( ) C n 0 0 C ( ) n n Donc, la valeur actuelle d un catal C n «lacé au taux ar érode endant n érodes» est : n C C n( ) 0 Exemles. Une ersonne désre dsoser dans 5 ans de DH. Quelle somme dot-elle lacer «mtn» au taux 8% C C 0? , C DH Pour obtenr dans 5 ans DH, l faut lacer 2529 DH au taux 8% 62

63 Exemles 2. Vous voulez dsoser de DH dans 0 ans. Quelle somme devez-vous lacer au taux % mensuel? C C 0? , C ,65DH Pour obtenr dans 0 ans DH, l faut lacer 36347,65 DH au taux % mensuel Exemles 3. Une ersonne désre dsoser dans 3 ans et 4 mos de DH. Quelle somme dot-elle lacer au taux 2%? C 0? C 3/ C 84000, 2 0/3 0 4 mos 57573,05DH 63

64 2. Les annutés Défnton On aelle anuté une sute de règlements «versements» effectués à ntervalles de tems égaux La érode est l ntervalle de tems entre deux règlements consécutfs S les versements sont égaux, on arle d annuté constante 2. Les annutés Défnton S la érode est dfférente de l année, on arle de semestraltés, mensualtés Attenton Lorsqu on arle de semestraltés, mensualtés, etc., l faut utlser les taux d ntérêts équvalents arorés 64

65 2. Les annutés On consdère une sute de n versements A k effectués aux éoques k. Sot le taux d ntérêt corresondant à la érode. Sur un axe de tems, on eut rerésenter la successon des versements de la manère suvante : A A 2 A 3. A n n Défnton «à retenr» V a V A A A 2 A 3. A n n V a : est la valeur actuelle de l ensemble des n versements à la date 0 V A : est la valeur acquse de l ensemble des n versements à la date du derner 65

66 a) Valeur acquse «Consttuton d un catal» Valeur acquse : Elle se calcule à la date du derner versement : c est la somme catalsée des n versements Le tableau suvant donne la valeur acquse de chaque versement à la date n : versements date Nombre de érodes restantes Valeurs acquses A n- A () n- A 2 2 n-2 A 2 () n-2 A 3 3 n-3 A 3 () n A k k n-k A k () n-k.... A n n 0 A n

67 a) Valeur acquse La valeur acquse V A est donc donnée ar : V n k ( ) A n A k k «formule à retenr» Exemle On verse 000 DH le 0/5/2004, us 2000 DH le 0/5/2005 et 3000 DH le 0/5/2006. Quelle est la valeur acquse de ces tros versements au taux annuel 8%? V A 2 V 000, , ,40 A A 000 A A

68 b) Valeur actuelle «Remboursement d une dette» Valeur actuelle : Elle se calcule à la date 0 : c est la somme actualsée des n versements Le tableau suvant donne la valeur actuelle de chaque versement à la date 0 : versement date Nombre de érodes récédentes Valeurs actualsées A A () - A A 2 () -2 A A 3 () A k k k A k () -k A n n n A n () -n 68

69 b) Valeur actuelle La valeur actuelle V a est donc donnée ar : V a n k A ( ) k k «formule à retenr» Exemle Calculer la valeur actualsée des tros versements récédents : «000 DH le 0/5/2004, us 2000 DH le 0/5/2005 et 3000 DH le 0/5/2006 au taux annuel 8%» V a V a , , C est-à-dre : A 000 A A V a 5022, DH,

70 Remarque V a V A 0 2. n On vérfe que : n Va V ( ) A Dans notre exemle : V a et V A V ( 5022, 6326,4,08 a 3 ) n 3. Cas artculer «annutés constantes» Quelque sot k, A k a, on a alors : V A n k a a A ( k ( ( ) n k ) ( ) 2... a ( ) n n k ( ) ( n n k ) ) 70

71 De même, our le calcul de la valeur actuelle V k ) a k ) n n ( a A a k ( k k 2 n a( α α... α ) avec α ( ) a 2 n α ( α α... α ) n aα α, on remlace α ar sa α n Valeur et on obtent : V a ( ) Remarque On eut calculer la valeur actuelle drectement à artr de la valeur acquse calculée récédemment : n n ( ) n V a V ( ) a ( ) A n a ( ) 7

72 Exemle 4 annutés constantes de 5000 DH sont versées érodquement à artr du remer janver 2002 au taux annuel 0% Calculer leur valeur actuelle et leur valeur acquse Exemle V a «annuté a 5000» V A a a a a Valeur acquse au èr janver 2005 : V A , 0, DH 72

73 V a Exemle «annuté a 5000» V A a a a a Valeur actuelle au èr janver 200 : V 4, a , 33DH 0, 4. Remboursement d une dette Une ersonne emrunte une somme d argent C a un taux d ntérêt qu elle désre rembourser au moyen de n versements érodques A k (c on trate la cas général) Les versements se font une érode arès la date de l emrunt 73

74 4. Remboursement d une dette a) Valeur actuelle : la valeur actuelle des n versements dot être égale au montant de l emrunt C. On dot donc avor : C n k A ( ) k k «formule à retenr» 4. Remboursement d une dette S les remboursements sont constants de valeur a, on a : C a ( ) n 74

75 4. Remboursement d une dette b) Valeur acquse : la valeur acquse des n versements dot être égale a la valeur acquse de l emrunt C. On dot donc avor : n n C ( ) k k C n A ( ) A k ( ) k k n k 4. Remboursement d une dette S les remboursements sont constants de valeur a, on a : C n ( ) a ( ) n C a ( ) n 75

76 Montant des annutés constantes de remboursement S l on connaît le montant de l emrunt C, le taux d ntérêt et le nombre de remboursements n, on eut détermner le montant a des remboursements s ls sont constants : n ( C a ) a C n ( ) Exemle Une ersonne contracte un emrunt d un montant DH et elle souhate le rembourser en 2 versements égaux au taux d ntérêt 3%. Calculer le montant de ces remboursements Le montant des remboursements est donné ar : , 3, 3 a ,6DH 76

77 Exemle Quel est le coût de cet emrunt? La ersonne a emrunté DH et dot rembourser , ,30 Le coût de l emrunt est donc égal à : , ,30 Remarquer que dans cet exemle, le coût de l emrunt est suéreur à son montant!! Chatre III : Annutés EXERCICES CORRIGES 77

78 Chatre 4 Les emrunts Indvs Emrunts ndvs Défnton Un emrunt ndvs est un emrunt contracté aurès d un seul rêteur. Il est remboursé érodquement. 78

79 Emrunts ndvs On suosera que les remboursements se font en fn de érode Le rêteur eut mettre à la dsoston de l emrunteur la somme convenue en une ou luseurs fos Emrunts ndvs Les remboursements dfférés ou antcés sont ossbles, moyennant ou non des fras sulémentares A chaque aement, le montant des ntérêts est calculé sur le catal restant à rembourser 79

80 . Amortssement Lors de chaque annuté (remboursement), on fat la art entre : La somme qu artce au remboursement du catal emrunté La somme qu artce au remboursement de l ntérêt. Amortssement La somme qu artce au remboursement du catal emrunté s aelle l amortssement 80

81 . Amortssement S A est l annuté de la érode, c est-à-dre le montant ayé à la fn de la érode, on a : avec : A I M I est l ntérêt crée endant la érode et remboursé en fn de cette érode M est l amortssement de la érode 2. Tableau d amortssement On emrunte un catal D 0 au taux d ntérêt (ar érode) et on rembourse à la fn de chacune des n érodes Remarque : D 0 our dre «dette à la date 0» 8

82 Notatons En début de érode, le dette restante est noté D - L annuté ayée en fn de la érode est notée A L ntérêt ayé en fn de la érode est noté I L amortssement ayé en fn de la érode est noté M Schéma «annutés en fn de érode» D 0 V a V A A A 2 A - A A n- A n n- n ère érode érode érode n Les remboursements (annutés) se font en fn de érode 82

83 Schéma «Dette restante» D 0 D n 0 D D 2 D - D D n n- n À la date 0, le montant de la dette restante est égal au montant de l emrunt À la date n, arès le derner versement, la dette restante est égale à 0 Règles de base a) A chaque début de érode, on a une dette D - : c est la somme restante due Cette somme crée un ntérêt I D - endant la érode b) A la fn de la érode, on rembourse l annuté A qu aye l ntérêt I et contrbue au remboursement de la dette : A I M 83

84 Règles de base La dette de début de érode est alors : D D - M La dette en fn de la dernère érode «début de la érode n» dot être totalement ayée donc : D n D n- M n 0 On résume la stuaton ar érode dans un tableau aelé tableau d amortssement : Pérode Catal dû en début de érode Intérêt de la érode Amortssement de la érode Annuté de la érode D 0 I D 0 M A I M 2 D D 0 M I 2 D M 2 A 2 I 2 M 2 3 D 2 D M 2 I 3 D 2 M 3 A 3 I 3 M 3... D - D -2 M - I D - M A I M... n D n- D n-2 M n- I n D n- M n A n I n M n 84

85 Remarques. Coût de l emrunt La somme totale remboursée est la somme de toutes les annutés (versements) : A A 2 A n La somme emruntée au début est D 0 Le coût de l emrunt est donc : C A A 2 A n D 0 Remarques 2. Somme restante à ayer La somme qu reste à ayer début de la érode est la valeur actuelle des n- annutés restantes (c est-à-dre la somme qu va être remboursée ar les n- annutés restantes, ntérêts comrs) 85

86 Somme restante à ayer D A 2 érode A 2. A n. n On a donc (chatre récédent «Annutés») : n k D A ( ) k k Remarques 3. Somme emruntée En artculer, la somme due en début de la remère érode, D 0, est la somme emruntée D 0 n ) k 0 A ( k k 86

87 Remarques A retenr Lors d un emrunt sur n érodes, au taux ar érode, en remboursant A k à la érode k (k, 2,, n), on eut emrunter D 0 avec : D n ) k 0 A ( k k 4. Amortssement On eut reler l amortssement d une érode à l amortssement de la érode récédente : M Remarques ( )M A «formule à retenr» A 87

88 88 Preuve On a : ; avec : et donc M I A M I A M M D D A A M M ) D D ( D I D I Preuve Or : On obtent : Ans : M D D M D D M M M A A )M M ( A A )M ( M

89 3. Le cas artculer des annutés constantes. Somme emruntée Lors d un emrunt sur n érodes, au taux ar érode, en remboursant a ar érode, on eut emrunter D 0 avec : D 0 a ( ) n 3. Le cas artculer des annutés constantes 2. Valeur de l annuté Lors d un emrunt «d un montant D 0» sur n érodes, au taux ar érode, quelle annuté dot-on ayer (remboursement ar annutés constantes)? a D 0 ( ) n 89

90 3. Le cas artculer des annutés constantes 3. Somme restante à ayer Nous avons vu récédemment dans le cas général que : n k D A ( ) k k donc, s les annutés sont constantes de valeur commune a : n k D a ( ) k Somme restante à ayer C est-à-dre : 2 D a( α α... a α n 2 α ( α α... avec n aα α, on remlace α ar sa α valeur et on obtent : D n ( ) a α ) n ) α ( ) 90

91 Somme restante à ayer A retenr Lors d un emrunt sur n érodes, au taux ar érode, en remboursant a ar érode, la dette restante début de la érode (0,,, n) est donnée ar : D n ( ) a Remarque Dans la cas 0, on retrouve la formule cdessus donnant le montant de l emrunt : D n ( ) 0 a Dans la cas n, on retrouve la règle de base c-dessus : D n 0 9

92 Somme restante à ayer «en foncton de la somme emruntée» On a : D n ( ) a et a D 0 n ( ) On remlace a ar sa valeur et on obtent : n D ( ) D 0 n ( ) Somme restante à ayer A retenr Lors d un emrunt de D 0, endant n érodes, au taux ar érode, la dette restante début de la érode (0,,, n) (c est-à-dre la dette arès aement de l annuté de la érode ) est : n D ( ) n D 0 D 0 ( ) ( ) ( n ) ( n ) 92

93 3. Le cas artculer des annutés constantes 4. Amortssement Dans le cas général, nous avons vu la relaton : M ( )M Dans le cas artculer des annutés constantes, on a : A A M ( ) M A A A retenr Dans un emrunt ar annutés constantes, les amortssements sont en rogresson géométrque de rason : M ( ) M 93

94 3. Le cas artculer des annutés constantes 4. Amortssement Le remer amortssement est : a D 0 M A I a D 0 ( ) Or, donc : n M D 0 ( ) n 3. Le cas artculer des annutés constantes 4. Amortssement Et usque les amortssements sont en rogresson géométrque de rason : M ( ) M On a alors : M D 0 ( ) ( ) n 94

95 Exemle On emrunte un catal de DH au taux annuel 0% our 5 ans. Les remboursements se font à la fn de chaque année ar annutés constantes Exemle Le montant de chaque annuté est : a 0, D n 5 ( ), 20048,6 95

96 Exemle Le catal dû en début de èr année est : D Pendant la èr année, cette somme rodut un ntérêt, en DH, égal à : I D , 7600 Exemle L annuté est : A 20048,6 DH, de sorte que l amortssement en DH de cette remère année est : M A 20048, ,6 I 96

97 Exemle Le catal dû en début de 2 ème année est : D D ,6 6355,39 M 0 Pendant la 2 ème année, cette somme rodut un ntérêt, en DH, égal à : I D 6355,39 0, 6355, 4 2 Exemle L annuté est : A ,6 DH, de sorte que l amortssement en DH de cette deuxème année est : M A 20048,6 6355, ,47 I

98 En réétant ce qu on a fat our la 2 ème année, on construt as-à-as le tableau : érode Catal dû en début de érode Intérêts de la érode Amortssement de la érode Annuté de la érode , , , ,4 3693, , , , , , ,0 3479,5 6569, , , ,6 Méthode rade. Le montant de chaque annuté est obtenu ar : a D 0 ( ) n On comlète la colonne «annuté de la érode» 98

99 Méthode rade 2. En utlsant la formule : D a ( ) On comlète la colonne «Catal dû» n Méthode rade 3. En utlsant la formule : I D On comlète la colonne «Intérêts» 99

100 Méthode rade 4. En utlsant la formule : M A I a I On comlète la colonne «amortssements» Remarque Nous avons traté c le cas la lus fréquent, celu du remboursement ar annutés constantes. D autres rocédures de remboursement seront tratés en exercces (vor exercces corrgés) : La rocédure des amortssements constants La rocédure du remboursement fnal avec consttuton d'un fonds d'amortssement 00

101 A retenr La melleure rocédure de remboursement our un emrunteur est celle dont le coût de l emrunt (somme des ntérêts : somme de la colonne ntérêts du tableau d amortssement) est le lus fable Chatre IV : Emrunts Indvs EXERCICES CORRIGES 0

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