Première STG Chapitre 7 : les suites arithmétiques. Page n
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- Flavie Mathieu
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1 Première STG Chapitre 7 : les suites arithmétiques. Page n On s'est aperçu que 25 % des arbres d'une forêt disparaissent chaque année par suite d'une maladie et chaque année 500 arbres sains sont abattus. La première année ( année ), la forêt compte arbres. On souhaite étudier l'évolution de cette population d'arbres si la maladie n'est pas éradiquée. C'est en utilisant la notion mathématique de suite que l'on peut résoudre ce problème. Dans l'antiquité, on utilisait des méthodes de calcul permettant d'obtenir une succession de valeurs. On définissait ainsi ce qui bien plus tard s'appellera une suite numérique et on en étudiait certaines propriétés. Certains problèmes sont devenus très célèbres comme celui de Fibonacci en 202 qui s'intéresse au nombre de descendants que deux lapins peuvent avoir en une année. Ce n'est qu' à la fin du dix huitième siècle que la notation indicielle u n a été introduite par Lagrange ( ). Aujourd'hui, cette notion se retrouve dans toutes les publicités du type : placement au taux de 2,25 %. E Activités préparatoires pour découvrir la notion de suites N Une suite peut être définie par la liste de ces termes. Compléter les listes suivantes et expliquer comment on passe d'un terme à son suivant : A ) B ) N 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 0 ; 4 ; 8 ; 2 ; 6 Indice d'une suite Reprenons la suite des nombres impairs ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 Posons u = ; u 2 = 3 ; u 3 = 5 ; u 4 = 7 ; u 5 = 9 ; Déterminer u 6 ; u 7 et u 8. N 3 Promenade numérique. A ) Quels sont les nombres qui suivent " logiquement " les nombres : 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 ; 4 ; 4,5? B ) Le comité de loisirs d'un village balise un chemin de randonnée en plaçant un panneau tous les 0,5 km. Le panneau du début du chemin est numéroté 0, le panneau suivant porte le numéro, etc. Un promeneur part du centre du village, situé à 2 km du début du chemin. Quelle distance a parcourue le promeneur lorsqu'il atteint : le panneau numéro? le panneau numéro 2? le panneau numéro 3? C ) On note d 0 la distance parcourue par le promeneur lorsqu'il atteint le panneau numéro 0, d la distance parcourue par le promeneur lorsqu'il atteint le panneau numéro,, d n la distance parcourue par le promeneur lorsqu'il atteint le numéro n. Compléter le tableau suivant : d 0 d d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 2 N 4 Les économies de Nicolas Nicolas veut acheter un baladeur qui coûte 99. Il reçoit 90 le premier janvier et décide d'économiser 5 le premier jour de chaque mois à partir du premier février. A ) On pose v 0 = 90 ( lire " v indice 0 égale 90 " ). Calculer v, somme dont il dispose le premier février puis v 2 somme dont il dispose le premier mars. B ) On désigne par v n la somme dont il dispose le premier jour du mois n. Calculer les valeurs successives de v n jusqu'à n = 9. On pourra faire un tableau. C ) Pourra - t - il acheter son baladeur pour son anniversaire qui est le 5 août?
2 Première STG Chapitre 7 : les suites arithmétiques. Page n 2 Définitions. Une suite est arithmétique lorsqu on passe d un terme à son suivant en ajoutant toujours un même nombre a appelé raison. Pour tout entier naturel, on a u n+ = u n + a. Soit a un nombre réel. Une suite ( u n ) est arithmétique de raison a lorsque pour tout entier naturel n on a u n+ = u n + a. Premier exemple : voir feuille annexe. Deuxième exemple de suite arithmétique : Le conseil municipal d'un village a pris la décision d'offrir 3 ordinateurs par an au club informatique " Info - Jeunes ". Le club possède actuellement 5 ordinateurs. Combien en aura t - il dans un an? dans deux ans? E2 Savoir calculer un terme d'une suite arithmétique. Exemple : Soit la suite arithmétique ( u n ) de raison a = 8 et telle que u 00 =. Calculer u 0. Résolution : ( u n ) est une suite arithmétique de raison a = 8. Donc pour passer du terme u 00 à son suivant u 0 on ajoute a = 8. Donc u 0 = u 00 + a = + 8 = 9. N 5 Soit la suite arithmétique ( v n ) de raison 2,5 et telle que v 5 = 7,5. Calculer v 6. N 6 Soit la suite arithmétique ( w n ) de raison 5 et telle que w 5 = -0. Calculer w 52. N 7 Soit la suite arithmétique ( u n ) de raison - 8 et telle que u 4 = 5. Calculer u 5 et u 6. N 8 Soit la suite arithmétique ( v n ) de raison 7 et telle que v 6 = 23. Calculer v 5. N 9 Soit la suite arithmétique ( w n ) de raison - 3 et telle que w 9 = -2. Calculer w 8. N 0 Soit la suite arithmétique ( u n ) telle que u 9 = 5 et u 0 = 8. Calculer la raison de cette suite. N Soit la suite arithmétique ( v n ) telle que v 4 = - 5 et v 5 = - 9. Calculer la raison de cette suite. N 2 Soit la suite arithmétique ( w n ) telle que w 6 = 39 et w 7 = Calculer la raison de cette suite.
3 Première STG Chapitre 7 : les suites arithmétiques. Page n 3 E3 Savoir démontrer qu'une suite est arithmétique. Exemple : Le conseil municipal d'un village a pris la décision d'offrir 3 ordinateurs par an au club informatique " Info jeunes ". Le club possède actuellement 5 ordinateurs. On pose u 0 = 5 et on note u n le nombre d'ordinateurs que possèdera le club dans n années. Démontrer que la suite ( u n ) est une suite arithmétique. Schéma : voir feuille annexe. Le conseil municipal d'un village a pris la décision d'offrir 3 ordinateurs par an au club informatique " Info - Jeunes ". Donc on passe du nombre u n à son suivant le nombre u n+ en ajoutant 3. Autrement dit la variation absolue du nombre d'ordinateurs d'une année à l'autre est un nombre constant égal à 3. Donc la suite ( u n ) est une suite arithmétique de raison a = 3. N 3 A ) La population d'une ville, qui était de habitants en 2000, augmente chaque année de 250 habitants. Combien y avait-il d'habitants en 200? et en 2002? B ) On note p 0 la population en 2000 et p n la population n années plus tard c'est à dire en n. Démontrer que la suite ( p n ) est une suite arithmétique et préciser sa raison. N 4 A ) La population d'une ville, qui était de habitants en 200, baisse depuis cette date de 600 habitants par an. Combien y avait-il d'habitants en 2002? et en 2003? B ) On note p 0 la population en 200 et p n la population n années plus tard c'est à dire en n. Démontrer que la suite ( p n ) est une suite arithmétique et préciser sa raison et son terme initial. N 5 Une entreprise effectue des forages de puits. Le coût du forage du premier mètre est égal à 550. Chaque mètre supplémentaire coûte 90. A ) Quel est le coût du forage d'un puits de 2 mètres? d'un puits de 3 mètres? d'un puits de 4 mètres? B ) On note u n le coût de n mètres de forage, où n est un nombre entier naturel non nul. Démontrer que la suite ( u n ) est une suite arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme. 2 Formule explicite : terme de rang n d'une suite arithmétique. Le terme général d une suite arithmétique de raison a et de premier terme u 0 est donné par la formule u n = u 0 + n a Le terme général d une suite arithmétique de raison a et de premier terme u est donné par la formule u n = u + ( n ) a E4 Savoir exprimer et calculer un terme de rang n d'une suite arithmétique. Exemples : A ) Soit la suite arithmétique ( u n ) de raison a = 0,5 et de terme initial u 0 = 0. Exprimer u n en fonction de n. Calculer u 00. Résolution : ( u n ) est une suite arithmétique de raison a = 0,5. Or le terme général d une suite arithmétique de raison a et de premier terme u 0 est donné par la formule u n = u 0 + n a. Donc u n = 0 + n 0,5 = 0 + 0,5 n.
4 Première STG Chapitre 7 : les suites arithmétiques. Page n 4 Pour calculer u 00, je remplace n par 00 dans l'expression précédente. Donc u 00 = 0 + 0,5 00 = = 60. B ) On considère la suite arithmétique ( u n ) de terme initial u = 5 et de raison a = - 3. Exprimer u n en fonction de n. Calculer u 20. ( u n ) est une suite arithmétique de raison a = - 3. Or le terme général d une suite arithmétique de raison a et de premier terme u est donné par la formule u n = u + ( n ) a. Donc u n = 5 + ( n ) ( - 3 ) = 5 3n + 3 = 8 3n. Pour calculer u 20, je remplace n par 20 dans l'expression précédente. Donc u 20 = = 8 60 = N 6 On considère la suite arithmétique ( u n ) de terme initial u 0 = 4 et de raison a = - 2. Exprimer u n en fonction de n. Calculer u 5. N 7 On considère la suite arithmétique ( v n ) de terme initial v = 7 et de raison a = - 4,5. Exprimer v n en fonction de n. Calculer v 500. N 8 La suite ( w n ) est arithmétique de terme initial w 0 = - 4 et de raison 5. Calculer w 8 et w 20. N 9 On considère la suite arithmétique ( u n ) de terme initial u = 0,5 et de raison 0,35. Calculer u 5 et u 20. N 20 Calculer la raison a de la suite arithmétique ( v n ) telle que v 0 = 4 et v 8 = 20. N 2 Calculer la raison de la suite arithmétique ( w n ) telle que w 0 = -2 et w 0 = 2. N 22 On considère la suite arithmétique ( u n ) de raison -6 telle que u 8 = 0. Calculer u 0. N 23 Calculer la raison a de la suite arithmétique ( v n ) telle que v = 00 et v 9 = 80. N 24 Calculer la raison de la suite arithmétique ( w n ) telle que w = 0 et w 0 = 80. N 25 On considère la suite arithmétique ( u n ) de raison 4 telle que u 6 = 5. Calculer u. N 26 On considère la suite arithmétique ( v n ) de raison - 3 telle que v 5 = 0. Calculer v. N 27 On considère la suite arithmétique ( w n ) de raison 3 telle que w 7 = 3. Calculer w 0. E5 Activité : des suites et des points. N 28 A ) On considère la suite arithmétique ( u n ) de terme initial u 0 = 4 et de raison a = - 2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unité cm, on considère l'ensemble des points de coordonnées U n ( n ; u n ). Calculer u, u 2, u 3, et u 4. Placer dans le repère les points U 0, U, U 2, U 3, et U 4.
5 Première STG Chapitre 7 : les suites arithmétiques. Page n 5 Que peut-on conjecturer? B ) Démontrer que le point U 3 appartient à la droite d'équation y = -2x + 4. C ) Démontrer que le point U n ( n ; u n ) appartient à cette droite. D ) Que peut-on dire du sens de variation de la fonction affine donnée par f ( x ) = -2x + 4. Justifier. 3 Représentation graphique. Soit ( u n ) une suite arithmétique de raison a. Soit l'ensemble des points U n ( n ; u n ) représentant la suite ( u n ) dans le plan rapporté à un repère. Alors tous les points U n ( n ; u n ) sont situés sur une même droite, qui a pour coefficient directeur a. E6 Savoir exploiter une représentation graphique. N 29 Le plan est rapporté à un repère ( O ; i, j ). Les points d'abscisses entières ou nulles de la droite D représentent une suite arithmétique ( u n ). Déterminer graphiquement le terme initial, la raison et le terme u 2. N 30 Le plan est rapporté à un repère ( O ; i, j ). Les points d'abscisses entières ou nulles de la droite D représentent une suite arithmétique ( u n ). Déterminer graphiquement le terme initial, la raison et le terme u.
6 Première STG Chapitre 7 : les suites arithmétiques. Page n 6 N 3 Le plan est rapporté à un repère ( O ; i, j ). Les points d'abscisses entières ou nulles de la droite D représentent une suite arithmétique ( u n ). Déterminer graphiquement le terme initial, la raison et le terme u 4. 4 Sens de variation. Soit ( u n ) une suite arithmétique de raison a avec a > 0. Alors la suite ( u n ) est une suite strictement croissante. Autrement dit : pour tout entier n, u n < u n+. Soit ( u n ) une suite arithmétique de raison a avec a < 0. Alors la suite ( u n ) est une suite strictement décroissante. Autrement dit : pour tout entier n, u n > u n+. Soit ( u n ) une suite arithmétique de raison a avec a = 0. Alors la suite ( u n ) est une suite constante. Autrement dit : pour tout entier n, u n = u n+. E7 Savoir déterminer le sens de variation. N 32 N 33 N 34
7 Première STG Chapitre 7 : les suites arithmétiques. Page n Les points d'abscisses entières strictement positives de chacune des droites ci dessus représentent une suite arithmétique ( u n ). Dans chacun des numéros ci dessus, déterminer graphiquement le sens de variation de la suite ( u n ). N 35. Soit la suite arithmétique ( u n ) de raison a = 8 et telle que u 00 =. Déterminer le sens de variation de ( u n ). N 36. Soit la suite arithmétique ( u n ) de raison - 8 et telle que u 4 = 5. Déterminer le sens de variation de ( u n ). E8 Trouver le premier terme qui franchit un seuil donné et le rang de ce terme. N 37. Soit la suite arithmétique ( u n ) de terme initial u 0 = 5 et de raison a = -,5.. Justifier que la suite ( u n ) est strictement décroissante. 2. a ) Calculer u, u 2, u 3 et u 4. b ) En déduire le premier terme de la suite inférieur ou égal à 0 ; préciser le rang de ce terme. c ) Interpréter graphiquement le résultat. 3. a ) Ecrire le terme u n en fonction de n. b ) Démontrer que l'inéquation u n - 30 est équivalente à l'inéquation n c ) En déduire la plus petite valeur de l'entier n à partir de laquelle u n On note k ce nombre. Calculer u k. d ) Vérification : calculer u k- et en déduire que u k est bien le premier terme de la suite inférieur ou égal à Réinvestissement : on considère la suite arithmétique ( v n ) de terme initial v = 2 et de raison a = 3,5. a ) Justifier que la suite est strictement croissante. b ) Déterminer, par le calcul, le rang k du premier terme de la suite qui est supérieur ou égal à 200. Calculer v k. E9 Problèmes divers. N 38. On considère la suite arithmétique ( u n ) de terme initial u 0 = 4 et de raison 7.. Donner le sens de variation de cette suite. 2. Exprimer u n en fonction de n. 3. Utiliser le résultat précédent pour résoudre l'équation u n = 200. En déduire qu'il existe un terme de la suite égal à Résoudre l'équation u n = 300. Existe-t-il un terme de la suite égal à 300? N 39. On place un capital égal à au taux annuel de 3 % à intérêts simples. On pose C 0 = et on note C n le capital ( en euros ) acquis au bout de n années ( avec n entier naturel non nul ).. Démontrer que C = et C 2 = Démontrer que la suite ( C n ) est une suite arithmétique. Donner son terme initial et sa raison. 3. a ) Exprimer, en fonction de n, le capital acquis au bout de n années. 3. b ) Calculer le capital acquis au bout de 0 ans. 3. c ) Résoudre l'inéquation C n et en déduire au bout de combien d'années le capital acquis sera supérieur ou égal au double du capital initial.
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