SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES EXERCICES CORRIGES

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1 Cors et exercices de mathématiqes SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES EXERCICES CORRIGES Exercice Les ombres sivats sot-ils e progressio arithmétiqe? ; ; 8 Exercice Parmi ces sites, lesqelles sot arithmétiqes? : Exercice ( ) est e site arithmétiqe de raiso r ) O sait qe et r Calcler,, ) O sait qe et Calcler r et et ) O sait qe et Calcler r et, ) O sait qe et 8 Calcler r et, ) O sait qe et Calcler r et, ) Sachat qe et, explicitez ) Sachat qe et r, explicitez 8) Sachat qe et qe +, explicitez 9) Ue site arithmétiqe est telle qe + + et Calclez Exercice Albert place capital iitial C à tax ael de %, les itérêts état simples, c est-à-dire qe le capital d e aée est égal à celi de l aée précédete agmeté de % d capital iitial (les itérêts e sot pas capitalisés chaqe aée, comme ce serait le cas por des itérêts composés) O ote C le capital d Albert a bot de aées, capital exprimé e eros ) Motrer qe, por tot etier, C C Q e dédit-o? ) Por tot etier, exprimer e foctio de C ) De qel capital Albert dispose-t-il a bot de as? ) A bot de combie d aées le capital a-t-il doblé? ) A bot de combie d aées le capital dépasse-t-il? Exercice Motrer qe la site ( ) des aires défiies par la figre ci-desss est arithmétiqe Exercice Combie y a-t-il de ombres impairs etre 9 et? de ombres pairs? Exercice 9 ) E recoaissat la somme des s d'e site arithmétiqe, calcler S ) Calcler S ) Calcler la somme des etiers mltiples de qi sot pls grads qe et pls petits qe ) Exprimer la somme S e foctio de Exercice 8 Ue site arithmétiqe de raiso est telle qe et, état ombre etier, Calclez Exercice 9 Ue horloge soe totes les heres, de cop à here d mati à cops à miit Qel est le ombre de sos de cloche eteds e heres? i i i Page /

2 Cors et exercices de mathématiqes Exercice ) Les ombres, 8, sot les trois s coséctifs d e site Est-ce e site arithmétiqe o géométriqe? Qelle est la raiso de cette site? ) Les ombres,, sot les trois s coséctifs d e site Est-ce e site arithmétiqe o géométriqe? Qelle est la raiso de cette site? Exercice Les ombres sivats sot-ils e progressio géométriqe? 8 ; ; Exercice Parmi ces sites, lesqelles sot géométriqes : Exercice ( ) est e site géométriqe de raiso r ) O sait qe et r Calcler,,, 8 ) O sait qe et r Calcler,,, ) O sait qe et Calcler r, et ) O sait qe et Calcler r, et ) O sait qe et Calcler r, et Exercice Motrer qe ces sites sot géométriqes, et préciser ler raiso et ler ( ) + + v w + ( ) Exercice E recoaissat la somme des s d'e site géométriqe, calcler : ) ) ) ) ) x + x x + x x Exercice O sppose qe chaqe aée la prodctio d'e sie sbit e baisse de % A cors de l'aée, la prodctio a été de ités O ote P et P la prodctio préve a cors de l'aée + a) Motrer qe P est e site géométriqe dot o doera la raiso b) Calcler P c) Si la prodctio desced a dessos de ités, l sie sera e faillite, qad cela risqe-t-il d arriver si la baisse de % par a persiste? La répose sera recherchée par expérimetatio avec la calclatrice Exercice La locatio aelle iitiale d'e maiso se mote à Le locataire s'egage à loer drat aées complètes Le propriétaire li propose dex cotrats : ) Cotrat Le locataire accepte chaqe aée e agmetatio de % d loyer de l'aée précédete a) Si est le loyer iitial de la ère aée, exprimer le loyer de la ième aée e foctio de b) Calcler le loyer de la ème aée c) Calcler la somme payée, a total, a bot de aées d'occpatio ) Cotrat Le locataire accepte chaqe aée e agmetatio forfaitaire de a) Si v est le loyer iitial de la ère aée, exprimer le loyer v de la ième aée e foctio de b) Calcler le loyer de la ème aée c) Calcler la somme payée, a total, a bot de aées d'occpatio ) Coclre : qel cotrat est le pls avatagex? Page /

3 Cors et exercices de mathématiqes Exercice 8 Nos avos tos parets, grads parets, 8 arrières grads-parets, etc E spposat qe os apparteos à la géératio, qe os parets appartieet à la géératio, os grads parets à la géératio, etc : ) Combie d acêtres figret à la géératio? ) Si o povait remoter jsq e l a (soit eviro à la ème géératio), combie y arait-il d idivids a total sr l arbre gééalogiqe (de la ère géératio c est à dire os, jsq à la ème géératio comprise)? Qe peser de ce résltat? Exercice 9 U roi de Perse volt récompeser l'iveter d je d'échecs Celi-ci demada a roi de déposer grai de blé sr la première case, grais sr la secode, grais sr la troisième et aisi de site e doblat à chaqe fois le ombre de grais jsq'à la ème case ) Combie de grais de blé devrot être posés sr l'échiqier? ) E admettat qe grais de blé pèset grammes, calcler la masse de ces grais de blé ) E 989, la prodctio fraçaise de blé a été de millios de toes, combie d'aées de prodctio fadrait-il por remplir l'échiqier? ) Sachat qe le roi pose grai à la secode, et q'il commeça lors d big-bag, a-t-il ajord'hi termié? Exercice O déchire e dex e feille de papier de, mm d épaisser O sperpose les dex morceax qe l o déchire de ovea e dex Qelle épaisser de papier obtiedrait-o si o povait répéter l opératio a total trete fois (c est à dire répéter 9 fois ce qe l o viet de faire)? Exercice O cosidère la site de réels strictemet positifs, défiie par :, et por tot, l( + ) + l ) Exprimer e foctio de et préciser la atre de la site ( ) + ) Détermier la mootoie de la site ( ), et préciser sa limite ) Exprimer la somme e foctio de k k ) Exprimer la somme l( k ) e foctio de E dédire le calcl de e foctio de k Page /

4 Cors et exercices de mathématiqes SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES CORRECTION Exercice Pisqe - et 8-,, ces ombres sot trois s coséctifs d e site arithmétiqe de raiso Exercice La site défiie par est pas arithmétiqe car si o calcle,, + +, etc, o s aperçoit qe la différece etre dex s coséctifs est pas tojors la même La site est alterée, sr dex valat, l atre valat La site défiie par est arithmétiqe car elle se redéfiit par + site arithmétiqe de raiso, qi est caractéristiqe d e + Exercice ) Si et r, alors por tot, + r, ce qi os permet de calcler, 8 et 9 ) O calcle r, doc por tot etier, + r + ce qi os permet de calcler 8 et ) Pisqe + r, o e dédit qe r ( ), et aisi por tot etier, + r + ce qi os permet de calcler et ) Pisqe + 9r, o e dédit qe r ( ), et aisi por tot etier, 9 + ( ) r + ( ) +8 ce qi os permet de calcler 8 et 8 ) Pisqe + r, o e dédit qe r ( ), et aisi por tot etier, + ( ) r ( ) ce qi os permet de calcler et ) Pisqe + ( ) r, o e dédit qe r ( ) ( + ), et aisi por tot etier, + ( ) r ( ) ) Por tot etier, + ( ) r + ( ) 8) Pisqe + ( ) r, o e dédit qe r r,, et aisi por tot etier, + r +, 9) Pisqe la site est arithmétiqe de raiso r, r+ + r + r, et + r Le r système a por soltio Pisqe por tot etier, r + r + r +, o e dédit Exercice ) Le motat des itérêts qi s ajotet a capital d e aée C est égal à % de, c est-à-dire à 8 Aisi C+ C + 8 La site ( C ) est doc e site arithmétiqe de raiso 8 et de C Page /

5 Cors et exercices de mathématiqes ) Por tot, C C + r + 8 ) A bot de as, Albert disposera de C ) O résot C C + 8 Comme, Le capital d Albert ara doc 8 doblé a bot de as ) O résot C + 8 Comme, 9 Le capital d Albert ara 8 doc atteit a bot de 9 as Exercice ( r ) Notos la site des rayos des cercles est e site arithmétiqe de raiso r Aisi, por tot etier, r ( ) A π r π + π + r + Les aires des demi disqes sot doc égales à : Por tot etier, A A π + π ( ) + π π Aisi, por tot etier, π + Por motrer qe la site et de égal à des aires est arithmétiqe, o calcle la différece eter dex s coséctifs : Por tot etier, + π + + π + π La site Exercice Les ombres impairs sot les s de la site arithmétiqe de raiso, et de est doc arithmétiqe de raiso π Aisi ils sot de la forme + O cherche à déombrer les ombres impairs tels qe 9 9 +, 9, c est-à-dire correspodat à 89 Il y a 89 + etiers tels qe 89, doc il y a ombres impairs etre 9 et Les ombres pairs état les s de la site arithmétiqe de raiso, et de v Aisi ils sot de la forme 9 v O cherche doc les etiers tels qe 9 Comme, 9 Il y a -9+ ombres impairs etre 9 et Exercice ) Si o ote ( ) la site arithmétiqe de raiso et de, o a, por tot, + 9 Résolvos + Aisi correspod à, et la somme S correspod à la somme S des s s de ( ) Aisi S ombre de s ter me derier + + Page /

6 Cors et exercices de mathématiqes ) Si o ote ( la site arithmétiqe de raiso - et de, o a, por tot, ) Résolvos Aisi - correspod à, et la somme S S des s s de ( ) Aisi correspod à la somme S ombre de s te derier rme + ) Les mltiples de sot les s de la site arithmétiqe de raiso, et de Aisi ils sot de la forme O cherche à déombrer les s de la site tels qe, Comme, Il y a -+8 mltiples de etre et La somme de ces 8 mltiples est doc égale à 8 ombre de s derier ) ( ) Si o ote ( la site arithmétiqe de raiso et de, o a, por tot, aisi la somme S celle des s s de la site Aisi por tot, Exercice 8 Si est derier + + S ombre de s +, et est e site arithmétiqe de raiso et de, la somme des -+ s de + r + à + r + s exprime e foctio de par : ( ) ombre de s derier + + ( )( 9+ ) i i ( )( 9+ ) éqivat alors à , c est-à dire à i O résot cette éqatio d secod degré e calclat so discrimiat, et o obtiet dex soltios distictes, dot la sele etière positive est Exercice 9 Notos la site correspodat a ombre de cops d horloge, de, à here d mati, à, à miit Le ombre de sos de cloche eteds e heres est égal à la somme site arithmétiqe de raiso Celle somme vat ombre de s derier + i i i + + des s s de cette Remarqe : ( + ) O povait appliqer la formle + +, démotrée das l exercice, e remplaçat par Page /

7 Cors et exercices de mathématiqes Exercice ) Les différeces 8-(-) et -8 état égales, ces ombres sot les trois s coséctifs d e site arithmétiqe de raiso 8 Comme les qotiets et sot différets, ces ombres e sot pas les s coséctifs d e site géométriqe 8 ) Les différeces -(-) et --- état pas égales, ces ombres e sot pas les s coséctifs d e site arithmétiqe E revache, les qotiets et état égax, ces ombres sot les trois s coséctifs d e site géométriqe de raiso - Exercice Les qotiets et état égax, ces ombres sot les trois s coséctifs d e site 8 géométriqe de raiso Exercice La site défiie par est pas géométriqe, car le calcl de 9 et de 9 + motret qe La site défiie par Exercice ) Si et + + se réécrit r, o calcle + 8,, doc est e site géométriqe de raiso, et de r, pis r, r et r 8 ) Pisqe r, o dédit, et à partir de la formle r, o dédit r, et ) Pisqe r, o dédit r, et à partir de la formle r, o dédit sccessivemet et 9 ) Pisqe r, o dédit r, ce qi os forit dex soltios : r o r - Si r, à partir de la formle, o dédit sccessivemet r formle r, o dédit sccessivemet et 9 9 ) Pisqe, o dédit r r 9 et 9 Si r, à partir de la, ce qi os forit dex soltios : r - Aisi, por tot, r O e dédit sccessivemet et Page /

8 Cors et exercices de mathématiqes Exercice ) O calcle + ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + + ) géométriqe de raiso, et de + v ( + ) + + ) O calcle v de v + ) O calcle : site , ce qi prove qe la site + ( + ) w + w w ) est géométriqe de raiso -8, et de + ( ( ) + +, ce qi prove qe la site ( ) est w v est géométriqe de raiso, et 8, ce qi prove qe la Exercice ) Si o ote ( ) la site géométriqe de raiso q et de 8, o a, por tot, 8 Résolvos Aisi 9 correspod à, et la somme correspod à la somme + + ombre raiso de s q q raiso ) Si o ote ( ) la site géométriqe de raiso + des 8 s s de ( ) Aisi q et de, o a, por tot, 8 8 Résolvos Aisi correspod à , et la somme + + correspod à la somme des 8 s s de 8 8 ( ) Aisi ombre raiso de s 8 q 8 q 8 raiso ) Si o ote la site géométriqe de raiso q et de, o a, por tot, ( ) 8 8 Résolvos Aisi -8 correspod à, et la somme correspod à la somme des s s de ( ) Aisi ombre raiso de s q q + raiso Page 8/

9 Cors et exercices de mathématiqes ) Si o ote ( la site géométriqe de raiso q et de, o a, por tot, ) La somme correspod doc à Aisi ombre raiso de s q q raiso ( ) + de -+ s coséctifs de ) Si o ote la site géométriqe de raiso q x et de, la somme x + x x + x x correspod à la somme des s s de ( ) Aisi ombre raiso de s q ( x) x + ( x) ( x) q ( x) + x raiso Exercice a) Ue dimitio de % se tradisat par e mltiplicatio par,9, o a doc P +,9P La site est doc e site géométriqe de raiso,9 P b) O e dédit aisi qe por tot, P,9, ce qi permet de calcler P,9 8, c) O cherche por qelle valer de o ara P,9,9 Grâce à la calclatrice, o trove Remarqe : O pet assi écrire : l ( ),9 l (,9) l, l(,9) Comme, o retrove bie Exercice ) a) Le loyer ael d cotrat pet être modélisé par e site géométriqe de raiso, (e agmetatio de % d loyer de l'aée précédete se tradit par e mltiplicatio par +,), et de Por tot, le loyer de la ième aée vat,, b) Le loyer de la ème aée vat, 98, à, près c) La somme payée a bot de aée d occpatio vat,,9, ) a) Le loyer ael d cotrat pet être modélisé par e site v v Aisi, por tot, le loyer de la ième aée vat v + b) Le loyer de la ème aée vat v c) La somme payée a bot de aée d occpatio vat ) Le cotrat le pls avatagex por le locataire est le cotrat ( ) arithmétiqe de raiso et de Page 9/

10 Cors et exercices de mathématiqes Exercice 8 ) E otat ( la site représetat le ombre d idivids à la géératio, o a, et por tot, ) est doc e site géométriqe de raiso et de Aisi, por tot, + 9 Le ombre d acêtres figret à la géératio vat alors ) Le ombre d ivids figrat sr l arbre gééalogiqe de la ère à la ème géératio comprise serait égal à +, idivids, soit pls de milliards d idivids! Ce chiffre est bie sûr impossible et s expliqe par le fait qe l o e tiet pas compte des mariages etre cosis Exercice 9 ) E otat ) la site représetat le ombre de grais de blé sr la ième case O a, et por tot, ( est doc e site géométriqe de raiso et de Aisi, por tot, + Le ombre de grais de blé posés sr l échiqier vadra alors : 9 +,8 9 ) Ue règle de trois os permet de coclre qe si grais de blé pèset grammes,, 8 grais de blé 9, 8 8 pèserot grammes,,8 grammes, soit eviro, 8 toes ) Ue règle de trois os permet de coclre qe si la prodctio fraçaise de blé a été de millios de toes, il fadra, 8 8 as por prodire la qatité de blé écessaire! ) Si o pose grai par secode, il fadra la prodctio fraçaise de blé a été de millios de toes, il fadra 9 eviro, 8 secodes por remplir l échiqier, soit eviro,8 aées por remplir l échiqier, soit eviro 8 aées (8 milliards d aées!) Exercice E otat ( l épaisser e dixièmes de mm obte après sperpositios de morceax de feille O a doc, ) et por tot, ( + ) est doc e site géométriqe de raiso et de Aisi, por tot, dixièmes de mm A bot de 9 répétitios (c est-à-dire à la ème étape), l épaisser de papier atteidrait 8 dixièmes de millimètres, soit eviro kilomètres! Exercice ) Pisqe por tot, l( + ) + l l( e) + l l( e), o e dédit qe por tot, e La site ( ) est doc e site géométriqe de raiso e et de + ) Pisqe la raiso de cette site est e > et qe >, o e dédit qe la site est strictemet croissate et qe lim + + ) Pisqe la site ( ) est e site géométriqe de raiso e et de, la somme ombre de s + + e e e e e e raiso + k vat doc k ) Pisqe la site est e site géométriqe de raiso e et de, o établit qe por tot, e e Aisi, por tot, l l e l + l e l + l( e) l + ( ) Page /

11 Cors et exercices de mathématiqes La somme l( ) vat doc : k k l l( k ) ( l + k) l + k l + k k k k E tilisat les propriétés de la foctio logarithme épérie, pisqe k + + l l ( ) l( k) o dédit qe e + + l Page /