Les suites numériques Les suites arithmétiques et les suites géométriques

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Clémence Pinette
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1 Les suites numériques Les suites arithmétiques et les suites géométriques Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2015/2016 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

2 1 Généralités et notation Deux façons de définir une suite : 2 Expression de u n en fonction de n 3 Expression de u n en fonction de n 4 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

3 I) Généralités a) et notation et notation Deux façons de définir une suite : Une suite numérique est une fonction d une partie de N, dans R. Remarque La plupart du temps, les suites seront définies sur N ou N. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

4 I) Généralités a) et notation et notation Deux façons de définir une suite : Une suite numérique est une fonction d une partie de N, dans R. Remarque La plupart du temps, les suites seront définies sur N ou N. Notations u n est le terme d indice n de la suite, on l appelle aussi le terme général de la suite. On aurait pu la noter u(n). La suite se note (u n ) n N ou plus simplement (u n ) ou u. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

5 b) Deux façons de définir une suite et notation Deux façons de définir une suite : explicite On donne une formule permettant de calculer u n connaissant l entier n. Exemple On considère la suite v définie par : pour tout n dans N, v n = n+1 n+2 On demande de calculer : v 0, v 1, v 10 et v 98. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

6 b) Deux façons de définir une suite et notation Deux façons de définir une suite : explicite On donne une formule permettant de calculer u n connaissant l entier n. Exemple On considère la suite v définie par : pour tout n dans N, v n = n+1 n+2 On demande de calculer : v 0, v 1, v 10 et v 98. implicite On donne une formule qui permet de calculer chaque terme en fonction du ou des précédent(s). { w 0 = 0 Exemple Soit w définie par w n+1 = 3w n + 2 pour tout n N On demande de calculer w 0, w 1, w 3... Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

7 b) Deux façons de définir une suite et notation Deux façons de définir une suite : explicite On donne une formule permettant de calculer u n connaissant l entier n. Exemple On considère la suite v définie par : pour tout n dans N, v n = n+1 n+2 On demande de calculer : v 0, v 1, v 10 et v 98. implicite On donne une formule qui permet de calculer chaque terme en fonction du ou des précédent(s). { w 0 = 0 Exemple Soit w définie par w n+1 = 3w n + 2 pour tout n N On demande de calculer w 0, w 1, w 3... Remarque : il est impossible de calculer w 100 sans avoir calculer les 99 premiers termes Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

8 II) a) Généralités Expression de un en fonction de n Une suite u est dite arithmétique s il existe un réel r tel que : pour tout entier n de N, u n+1 = u n + r. r s appelle la raison de la suite arithmétique. Exemples Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

9 II) a) Généralités Expression de un en fonction de n Une suite u est dite arithmétique s il existe un réel r tel que : pour tout entier n de N, u n+1 = u n + r. r s appelle la raison de la suite arithmétique. Exemples 1 Démontrer que la suite (u n ) qui est définie sur N par u n = 3n 10 est arithmétique, préciser son premier terme et sa raison. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

10 II) a) Généralités Expression de un en fonction de n Une suite u est dite arithmétique s il existe un réel r tel que : pour tout entier n de N, u n+1 = u n + r. r s appelle la raison de la suite arithmétique. Exemples 2 La suite (v n ) qui est définie sur N par v n = 3n 2 est-elle arithmétique? Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

11 II) a) Généralités Expression de un en fonction de n Une suite u est dite arithmétique s il existe un réel r tel que : pour tout entier n de N, u n+1 = u n + r. r s appelle la raison de la suite arithmétique. Exemples 3 La suite (w n ) qui est définie sur N par w 0 = 2 et w n+1 = 2w n + 3 est-elle arithmétique? Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

12 Expression de un en fonction de n b) Expression de u n en fonction de n Propriété Si u est une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r alors pour tout entier naturel n on a: u n = u 0 + nr. Attention: si le premier terme est u p, alors pour tout entier naturel n p on a: u n = u p + (n p)r Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

13 c) Généralités Expression de un en fonction de n Propriété n u k = u 0 + u u n = (n+1) u 0+ u n k=0 2 n u k = u p + u p u n = (n p+1) u p+ u n 2 k=p premier terme+dernier terme = nombre de termes 2 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

14 III) a) Expression de un en fonction de n Une suite u est dite géométrique s il existe un réel q tel que : pour tout entier n de N, u n+1 = u n q. q s appelle la raison de la suite géométrique. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

15 Expression de un en fonction de n b) Expression de u n en fonction de n Propriété Si u est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q alors pour tout entier naturel n on a: u n = u 0 q n Attention: si le premier terme est u p, alors pour tout entier naturel n p on a: u n = u p q n p Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

16 c) Généralités Expression de un en fonction de n Propriété Si q=1 alors = premier terme nombre de termes n 1 q n+1 Si q 1 alors : u k = u 0 + u u n = u 0 k=0 1 q n 1 q n p+1 u k = u p + u p u n = u p k=p 1 q 1 raisonnombre de termes = premier terme 1 raison Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

17 IV) Généralités Il est souvent utile de faire ou d utiliser des algorithmes pour calculer les termes ou de calculer la somme des termes. d une suite définie de façon implicite Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

18 a) Premier exemple Généralités Variables : N et k sont des nombres entiers u est un nombre réel Entrée : Saisir N Initialisation : Affecter à u la valeur 1 Traitement : Pour k allant de 0 à N 1 Affecter à u la valeur 3u 2k+ 3 Fin Pour Sortie : Afficher u Quel est le nombre affiché par cet algorithme lorsque N vaut 3? Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

19 b) Deuxième exemple Généralités On considère la suite (u n ) définie par u 1 = 2 et pour tout entier naturel non nul n u n+1 = 2u n 5 Compléter l algorithme pour qu il affiche la somme des dix premiers termes de la suite u n Variables : i est nombre entier u et S sont des nombres réels Initialisation : Affecter à u la valeur Affecter à S la valeur Traitement : Pour i allant de à 10 Affecter à u la valeur Affecter à S la valeur Fin Pour Sortie : Afficher Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Généralités sur les suites réelles Année 2015/ / 13

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