> 1 ère partie : > 2 ème partie : Suites arithmétiques et géométriques. Probabilités. Séquence 9 MA12. Cned Académie en ligne

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1 > ère partie : Suites arithmétiques et géométriques > ème partie : Probabilités Séquece 9 MA 99

2 ère partie Chapitre > Suites arithmétiques... 0 A AB Activités, Cours Défiitio, exemples Propriétés Ses de variatio Somme des premiers termes ABC D Exercices d applicatio à Exercices d appretissage à 0 Chapitre > Suites géométriques A AB Activités,, 5, 6 Cours Défiitio, exemples Propriétés Ses de variatio Somme des premiers termes ABC AD Exercices d applicatio à Exercices d appretissage à Chapitre > Sythèse des coaissaces... 5 Chapitre > Exercices d approfodissemet et... 6 Sommaire séquece 9 MA 0

3 Suites arithmétiques A Activités. Activité Soit f la foctio défiie sur par f(x) = x + et soit ( u ) la suite défiie par u = f ( ). a) Représeter graphiquemet la foctio f ; marquer les poits de coordoées (, u ). b) Exprimer u + e foctio de u. c) Calculer ( u u p ). Soit f la foctio défiie sur par f(x) = ax + b et soit ( u ) la suite défiie par u = f ( ). a) Calculer u + u ; e déduire la relatio de récurrece qui défiit ( u ). b) Calculer ( u u p ). c) Trouver ue relatio etre u d ue part, u + et u d autre part.. Activité O pose S = = k. k = Calculer S 5 et S 6. Ecrivos S sur deux liges das u ses et das l autre : S = S = Additioer ces deux liges de maière «astucieuse» pour exprimer S à l aide de. (o pourra remarquer que les sommes verticales sot toutes égales) E déduire ue expressio de S. ( + ) Nous allos démotrer ceci e posat T = Calculer S, T, S et + S T + T. Coclure. Calculer la somme des 00 premiers ombres etiers o uls; des ( ) premiers ombres etiers o uls ; des premiers ombres etiers o uls. B Cours Défiitio, exemples Défiitio Remarque Soit r u ombre réel fixé. La suite ( u ) u + = u + r. est arithmétique de raiso r si et seulemet si pour tout La raiso r est idépedate de ; c est ue costate. Par coséquet pour motrer qu ue suite ( u ) est arithmétique, il suffit de motrer que u + u est ue costate idépedate de ; cette costate est alors la raiso. Preos par exemple la suite ( u ) défiie par u = ; u 5 + u = -- ( + ) = O e déduit que ( u ) est ue suite arithmétique de raiso --. Pour exprimer que des ombres sot les termes cosécutifs d ue suite arithmétique, o dit aussi qu ils sot e progressio arithmétique. Séquece 9 MA 0

4 Exemples La suite des ombres etiers aturels 0,,,,.. est la suite arithmétique de premier terme u 0 = 0 et de raiso. La suite des ombres etiers aturels pairs 0,,,.. est la suite arithmétique de premier terme u 0 = 0 et de raiso. La suite des ombres etiers aturels impairs,, 5.. est la suite arithmétique de premier terme u 0 = et de raiso. Plus gééralemet, l esemble des multiples d u ombre quelcoque a est la suite arithmétique de premier terme u 0 = 0 et de raiso a. Aisi les multiples de 7 formet ue suite arithmétique de raiso 7. Propriétés Etat doée ue suite arithmétique ( u ) de raiso r et de premier terme u 0, peut-o trouver directemet u sas calculer les termes itermédiaires? Théorème Coséquece Théorème Théorème O passe d u terme à so suivat e ajoutat la raiso r ; aisi o peut peser que pour passer de u 0 à u, il faut ajouter fois la raiso, ce qui doerait u = u 0 + r. Vérifios-le : o pose v = u 0 + r ; motros que u = v. Il est clair que v 0 = u 0 et de plus v + v = ( u 0 + ( + ) )r ( u 0 + r) = r ; o a doc bie v + = v + r. Aisi les suites ( u ) et ( v ) ot le même premier terme et la même relatio de récurrece ce qui prouve qu elles sot égales. Si ( u ) est ue suite arithmétique de raiso r et de premier terme u 0, pour tout, u = u 0 + r. De même toute suite ( u ) dot le terme gééral est u = a + b est ue suite arithmétique de raiso a. Si ( u ) est ue suite arithmétique de raiso r et de premier terme u 0 ; les poits de coordoées (,u ) sot situés sur la droite d équatio y = u 0 + rx. Ecart etre deux termes quelcoques d ue suite arithmétique : u u p = u 0 + r u 0 pr = ( p)r. Si ( u ) est ue suite arithmétique de raiso r, alors pour tous etiers et p, u u p = ( p)r. Cosidéros termes cosécutifs u, u et u +. O a u + + u = u 0 + ( + ) r+ u 0 + ( )r = u 0 + r. O e déduit que u + + u = u, d où le théorème : Si ( u ) est ue suite arithmétique, chaque terme est la moyee arithmétique des deux qui l etouret. Ses de variatio Théorème Remarque Cosidéros ue suite arithmétique ( u ) de raiso r. Par défiitio o sait que u + u = r. Aisi si r est positif, la suite est croissate et si r est égatif, elle est décroissate. Ue suite arithmétique de raiso r est croissate lorsque r est positif et décroissate lorsque r est égatif. Ceci est coforme à ce qu o sait des foctios affies. E effet la foctio associée à la suite arithmétique de raiso r a pour coefficiet directeur r et o sait que le ses de variatio d ue foctio affie est défii par le sige de so coefficiet directeur. Somme des premiers termes d ue suite arithmétique ( u ) est ue suite arithmétique de raiso r et de premier terme u 0 ; o pose S = u 0 + u + + u = u p. Nous allos calculer S e foctio de. (o peut remarquer p = 0 que cette somme cotiet + termes). 0 Séquece 9 MA

5 Pour tout p, o a u p = u 0 + pr, doc S = u 0 + ( u 0 + r) + ( u 0 + r) + +( u 0 + r). Cette somme cotiet ( + ) termes allat de l idice 0 à l idice. O peut doc dire que Théorème Remarque Exemples S = ( + ) u 0 + ( )r. Or ous avos vu das l activité que la somme des premiers ombres etiers était égale à O e déduit que S et e ( + ) ( + ) = ( + )u r, mettat ( + ) e facteur : S ( + ) u r ( + ) u 0 + r = = , ce qui peut aussi s écrire u 0 + u S = ( + ) car u 0 + r = u 0 + u 0 + r = u 0 + u. Si ( u ) est ue suite arithmétique, alors S u 0 + u + + u u p ( + ) u 0 + u = = = p = 0 O pourra reteir cette formule sous la forme : premier terme + derier terme ombre de termes Sous cette forme, la formule permet de calculer la somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique. Somme des premiers ombres pairs o uls. Le premier est et le ième est. La formule ous dit alors que S = , + ce qui doe S E fait o aurait pu faire ce calcul autremet e écrivat = ( + ). ( + ) que = ( ) et comme = , o retrouve bie le même résultat. Somme des premiers ombres impairs. Ces ombres formet ue suite arithmétique de premier terme u et de raiso. O a aisi Mais est le ( + ) ième terme et le ième 0 = u = +. ( u ) est u = ( ) + =. La somme des premiers ombres impairs est doc ( ) = =. Reteos que la somme des premiers ombres pairs o uls est ( + ) et que la somme des premiers ombres impairs est. C Exercices d applicatio Exercice Das cet exercice, ( u ) désige ue suite arithmétique de raiso r. Calculer u 8 sachat que u 0 = et r = --. Calculer r et u 0 sachat que u 5 = et u = 7. Calculer u 0 sachat que u 0 = 57 et r =,5. Calculer u 00 sachat que u 0 u 0 = et u 0 = 5. Répose O sait que u 8 = u 0 + 8r. Aisi u 8 = = + = 9 ; u. 8 = 9 u u 5 = ( 5)r = 8r ; comme u u 5 = 7 = 6, o a 8r = 6 d où r =. Pour calculer u 0, o applique la formule u 5 = u 0 + 5r, d où u 0 = u 5 5r = 0 = ; u 0 =. u 0 = u 0 + 0r, d où u 0 = u 0 0r = 57 0,5 = ; u 0 = 7. De u 0 u 0 =, o tire 0 r =, d où r =, ; aisi u 00 = u , ; u 00 = 07,. Exercice Détermier 5 ombres etiers cosécutifs dot la somme est 000. Soit u ombre impair. Démotrer que la somme de ombres etiers cosécutifs est u multiple de. Séquece 9 MA 05

6 Répose Notos u 0 le plus petit de ces 5 ombres. Ceux-ci sot alors les 5 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u0 et de raiso. Le 5 ième est u = u0 +. La somme de ces u 0 + u 0 + ombres est alors égale à O est doc ameé à résoudre l équatio u 0 + u = 000 qui équivaut à u d où Les ombres cherchés 0 + = 80, u 0 = 8. sot doc les etiers aturels compris etre 8 et 5. ombres etiers cosécutifs sot les premiers termes d ue suite arithmétique de raiso. Si u 0 u 0 + u 0 + est le premier, le derier est u 0 +. Leur somme est alors , soit u Mais comme est impair, - est pair et par coséquet u est u etier et aisi u est u multiple de. Exercice Répose O cosidère la suite ( u ) défiie par so premier terme 0 et par la relatio de récurrece u + = u + a où ( a ) est la suite arithmétique de premier terme a 0 et de raiso r. Doer l expressio de u. Problème réciproque : la suite ( u ) est défiie pour tout etier par u = a + b + c. Motrer que la suite ( a ) défiie par a = u + u est ue suite arithmétique dot o précisera le premier terme et la raiso. Ecrivos les termes de la suite ( u ) e coloes : u = a 0 u = u + a u = u + a u = u + a u = u + a Additioos membre à membre cette suite de égalités, o obtiet : u + u + u + + u + u. = u + u + u + + u + a 0 + a + a + a + a O observe alors que tous les termes de la suite ( u ) dot l idice est etre et - se simplifiet et il reste u = a 0 + a + a + + a + a, ce qui correspod à la somme des premiers termes a 0 + a de la suite ( a ). Cette somme est égale à De plus, a = a 0 + ( ) r. O e déduit que u = a O suppose que u = a + b + c. Alors u + u = a ( + ) + b ( + ) + c a b c = a+ a+ b. Posos a = a+ a+ b : o recoaît l expressio de la suite arithmétique de premier terme (a + b) et de raiso a. O peut remarquer que si c = 0, u est la somme des premiers termes de la suite ( a ). D Exercices d appretissage Exercice Détermier trois ombres réels e progressio arithmétique (c est-à-dire trois termes cosécutifs d ue suite arithmétique) dot la somme est et le produit. Exercice Détermier trois ombres réels e progressio arithmétique dot la somme est et la somme des carrés. 06 Séquece 9 MA

7 Exercice Calculer Calculer la somme des multiples de 7 compris etre 500 et 000. Exercice Calculer la somme de chacue des liges et coloes. Ceci est u carré magique : La somme des ombres situés sur ue lige, ue coloe ou ue diagoale est toujours la même ; ici 5. ( le vérifier). O veut maiteat costruire u carré magique selo le même pricipe mais possédat 8 liges et 8 coloes. Il compte doc 6 cases das les quelles o devra mettre les ombres,,,., 6. Exercice 5 Sur la figure ci-cotre, o a tracé la droite d équatio y = ax + b où a et b sot des réels positifs. La zoe hachurée est u trapèze rectagle dot les sommets situés sur l axe des abscisses ot pour abscisses et +. O ote a l aire de cette zoe ; motrer que (a ) est ue suite arithmétique. O + Exercice 6 Blache Neige veut distribuer 707 champigos aux sept ais. Elle rage les ais du plus petit au plus grad et elle doe u certai ombre de champigos au plus petit, puis u de plus au suivat, u de plus au suivat et aisi de suite jusqu au plus grad. Combie de champigos recevra le plus grad? Exercice 7 ( u ) désige ue suite arithmétique de raiso r telle que u 5 = 0 et u + u + + u 0 = 5. Calculer u et r. Exercice 8 Soiet O et A 0 deux poits tels que OA 0 =. O costruit esuite le poit A tel que A 0 A = et (A 0 A ) est perpediculaire à (OA 0 ) puis o cotiue aisi : le poit A + est tel que A A + =, (A A + ) est perpediculaire à (OA ). O pose u = OA ; ous allos calculer u. Costruire A, A, A, A. Etablir ue relatio etre u + et u. O pose v = u. Motrer que la suite (v ) est arithmétique ; préciser sa raiso. E déduire u. Séquece 9 MA 07

8 Exercice 9 La courbe de la figure ci-cotre a pour équatio y = x. A partir d u poit A 0 de cette parabole, o costruit les suites de poits (A ) et (B ) par le procédé suivat : les droites (A B ) ot pour coefficiet directeur -- et les droites 5 (A + B ) ot pour coefficiet directeur --. O ote a l abscisse de A et b celle de B. B B A Exprimer le coefficiet directeur de la droite (A B ) e foctio de a et b, et e déduire b e foctio de a. De la même maière, exprimer a + e foctio de b. B A A E déduire que les suites (a ) et (b ) sot arithmétiques et préciser leurs raisos. B 0 A 0 Doer les coordoées des poits (A ) et (B ) e foctio de e preat a 0 =. O Exercice 0 x O cosidère la foctio f défiie sur par fx ( ) = x + Etudier les variatios de f sur --, + ; préciser les limites aux bores de cet itervalle. Costruire sa courbe représetative aisi que la droite d équatio y = x das u repère orthoormé d uité graphique 5 cm. La suite ( u ) est défiie par u 0 = et u + = fu ( ). Nous allos calculer u e foctio de. Costruire les premiers termes de la suite ( u ). O pose v = ---- ; motrer que la suite ( v est arithmétique et préciser sa raiso. u ) E déduire l expressio de v, puis celle de u e foctio de. 08 Séquece 9 MA

9 Suites géométriques A Activités. Activité Ue persoe place à la baque u capital de 000 euros au taux d itérêt composé auel de 5 %. Cela sigifie que les itérêts acquis à la fi de chaque aée sot itégrés au capital. (et produiset doc à leur tour des itérêts) O ote C le capital acquis à la fi de la ième aée et C 0 = 000. Calculer C et C. Motrer que C + = 05C,. E déduire ue relatio etre C et C 0, etre C et C 0. Doer sas démostratio C e foctio de C 0. Quel sera le capital acquis au bout de 0 as? Au bout de combie d aées le capital aura-t-il doublé? triplé? (procéder par tâtoemet avec la calculatrice). Activité O cosidère la suite ( u ) défiie par so premier terme u 0 = a où a est u réel fixé et par la relatio de récurrece u + = qu où q est aussi u réel fixé o ul. L activité précédete ous a suggéré que das ce cas, u = q u u 0. Nous allos démotrer cette cojecture. Posos v = q a. Etablir ue relatio etre v + et v et calculer v 0. E déduire que les suites ( u ) et ( v ) sot égales.. Activité 5 U échiquier est composé de 8 ragées de 8 cases, soit au total 6 cases. Nous allos poser sur ces cases des jetos dot l épaisseur est de 0,5 mm de la faço suivate : jeto sur la ère case, sur la ème, sur la ème, 8 sur la ème, et aisi de suite e doublat à chaque fois. (chaque case cotiet deux fois plus de jetos que la précédete). Quelle est la hauteur de jetos sur la derière case? La comparer à la distace etre la terre et le soleil qui est de 50 millios de km. Nous allos maiteat calculer le ombre de jetos écessaires pour réaliser cette opératio. Cela reviet à calculer la somme ( S = ). Ecrivos-la à l aide des puissaces de et multiplios-la par : S = S = (e effet quad o multiplie S par, o multiplie chaque terme de la somme par ce qui augmete chaque exposat de ) Soustraire ces deux liges membre à membre, et doer la valeur de S. Séquece 9 MA 09

10 . Activité 6 Soit q u ombre réel ; o pose S = + q+ q + + q. Nous allos calculer ue expressio simplifiée de S e ous ispirat de l activité 5 (remarquos que q 0 = ) : Calculer S lorsque q =. q O suppose das cette questio que q. Calculer S qs et e déduire que S + = q B Cours Défiitio exemples Défiitio Remarque Cas particuliers Exemples Soit q u réel o ul ; la suite ( u ) est géométrique de raiso q si et seulemet si pour tout, u + = qu. Pour ue suite arithmétique, o passe d u terme à so suivat e ajoutat u terme costat, et pour ue suite géométrique, o passe d u terme à so suivat e multipliat par u facteur costat. u + Il e résulte que pour motrer qu ue suite o ulle est géométrique, o sera ameé à calculer u et à motrer que ce ombre est idépedat de ; c est la raiso. Si q =, la suite est costate, et si q =, elle est dite «alterée» : elle pred alterativemet deux valeurs opposées. Pour exprimer que des ombres sot les termes cosécutifs d ue suite géométrique, o dit aussi qu ils sot e progressio géométrique. a) les ombres 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 05..formet le début d ue suite géométrique de raiso. b) la suite ( u ) défiie pour tout par u = est la suite géométrique de premier terme u 0 = et de raiso. E effet, u + = + = = u. c) la suite ( u ) est défiie pour tout par u + = -- u et u O a alors 0 = 600. u = 900 ; u = 5 ; u = 56, 5 ;. Propriétés Etat doée ue suite géométrique ( u ) de raiso q et de premier terme u 0 o ul, peut-o trouver directemet u sas calculer les termes itermédiaires? O passe d u terme à so suivat e multipliat par la raiso q ; aisi o peut peser que pour passer de u 0 à u, il faut multiplier fois par la raiso, ce qui doerait u = q u 0. Démotros-le : o pose v q v + q + u o = u 0 ; motros que u = v. Il est clair que v 0 = u 0 et de plus = ; o v q = q u 0 a doc bie v + = qv. Aisi les suites ( u ) et ( v ) ot le même premier terme et la même relatio de récurrece ce qui prouve qu elles sot égales. Théorème Théorème Théorème ( u ) est ue suite géométrique de raiso q et de premier terme u 0 si et seulemet si pour tout, u = q u 0. u q u 0 q Lie etre deux termes quelcoques d ue suite géométrique : ---- = u p q p = ---- u 0 q p = q p. u Si ( u ) est ue suite géométrique de raiso q, alors pour tous etiers et p, ---- = q ou u p u. p = u p q p Cosidéros termes cosécutifs u, u et u + d ue suite géométrique. O a u + u = q + u 0 q u 0 = u 0 q = ( q u 0 ) = u. O e déduit le théorème : Si ( u ) est ue suite géométrique, o a pour tout u + u = u. 0 Séquece 9 MA

11 Deux remarques s imposet à propos de ce résultat : il e suffit pas que ce résultat soit vérifié pour que la suite soit géométrique. le terme cetral est la moyee géométrique de ceux qui l etouret que s il s agit d ue suite à termes positifs. Ses de variatio Nous allos étudier le ses de variatio des suites géométriques dot le premier terme et la raiso sot deux ombres strictemet positifs. O cosidère ue suite géométrique ( u ) de raiso q et de premier terme u 0. u + u = q + u 0 q u 0 = ( q )q u 0. Les ombres q et u 0 état positifs, le sige de u + u est celui de (q ). D où le résultat : si q >, la suite est croissate et si q <, la suite est décroissate. Ce résultat état pas gééral, il coviet de s attacher à la méthode plutôt qu au résultat. (la méthode est valable e toute circostace) Somme des premiers termes Rappelos le résultat établi das l activité 6 : q q q q = pour q. q O cosidère ue suite géométrique ( u ) de raiso q ( q ) et de premier terme u 0, et o pose S = u 0 + u + u + + u. Nous allos rechercher ue expressio simplifiée de S. (o peut remarquer que cette somme cotiet + termes) Nous savos que pour tout, u = q u 0 ; o peut doc écrire S sous la forme S = u 0 + qu 0 + q u q u 0 soit ecore S = u 0 ( + q+ q + + q ). Et grâce au résultat q de l activité 6, S = u Il faut remarquer das cette formule que l exposat + est q égal au ombre de termes de la somme. Das le cas où q =, tous les termes sot égaux et aisi S = ( + ) u 0. Théorème Soit ue suite géométrique ( u ) de raiso q et de premier terme u 0, o pose q S = u 0 + u + u + + u. Alors S = u si q et S si q =. q = ( + )u 0 C Exercices d applicatio Exercice Répose Exercice Dire si les trois suites suivates sot arithmétiques, géométriques ou i l'u i l'autre : u = + ; v = ; w =. Le terme gééral de la suite ( u ) est de la forme u 0 + r avec et r = ; ( u ) est doc la suite arithmétique de premier terme et de raiso. Le terme gééral de la suite ( v ) est de la forme -- ; c est doc ue suite géométrique de premier terme et de raiso --. Calculos les premiers termes de la suite ( w ) : w 0 = 0 ; w = ; w = 8. Cette suite est pas arithmétique car w w w w 0 et elle est pas géométrique car il existe pas de réel q tel que w = qw 0. La suite ( u ) est géométrique de premier terme u 0 et de raiso q. a) u 0 = 6 et q = -- ; calculer u, u 8, u. b) u =, q = ; calculer u, u 8, u. Séquece 9 MA

12 c) u =, u 7 = 8 ; calculer q, u. d) u 7 = -- ; u ; calculer 0 = -- u 9, q. Répose a) Nous allos appliquer ici la formule u q = u 0 : u = , d où u = ; u d où ;, doc. 8 6 = = u 8 = ---- u = = u = u b) Nous savos que ---- = q O e déduit que doc ; de u. u = q u = ( ), u = p même u 8 = ( ) u d où u 8 = 8 et u = ( ) u 8, d où u = 6. u 7 c) ---- = q d où u = q q 8 = ---- = 9 et aisi q = ± ; u = q u 7 = 9 8, doc u = 6. u 0 d) q doc ; d où. u = = = q = -- u 7 q 6 = u u = u 7 --, u = -- Exercice Calculer les sommes suivates : a) S = b) S = Répose a) O sait que 79 = 6, doc S = doc S est la somme des 7 premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raiso : S 7 87 = = doc S = 09. b) S est la somme des premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raiso 5. Calculos le rag du derier terme : 50 = 5 ; o e déduit que 5 = 5 65 = 5 6. Aisi S = = , S = 9 06 D Exercices d appretissage Exercice Exercice Détermier ombres a, b, c e progressio géométrique tels que abc = 000 et a + b + c = 5. Le ez de Piocchio mesure cm et il double sa logueur à chaque fois que Piocchio met. Calculer sa logueur après 6 mesoges. Exercice Calculer la somme suivate : S = Exercice Exercice 5 Pour chacue des suites suivates, dire si elle est géométrique et si oui, doer sa raiso et so premier terme : a) u = b) u = c) u = ---- d) u = e) f) u = cos( π) u = si π --. O pose fx ( ) = + x+ x + + x 0. Doer ue autre expressio de Calculer f ( x) fx ( ). de deux maières différetes. E déduire la valeur de Séquece 9 MA

13 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9 Ue populatio de bactéries e culture augmete de t % par jour. O ote P cette populatio au premier jour de l expériece. Exprimer e foctio de P et t la populatio P au bout d u jour, P au bout de deux jours. Doer u ecadremet à 0 - près de t à l aide de la calculatrice sachat que la populatio a doublé e ue semaie. ( u ) est la suite géométrique de premier terme -- et de raiso. a et b sot tels que l équatio x + a x+ b = 0 a pour solutios u et u +. Motrer que la suite a ( v ) défiie pour tout par v = ---- est ue suite géométrique dot o précisera la raiso. b Gééraliser cette questio e cosidérat que ( u ) est la suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q. O cosidère les suites ( u ) et ( v ) défiies par u -- et = + v = O pose s = u + v et d = u v. Etudier la ature des suites ( s ) et ( d ). Calculer S = s 0 + s + + s et D = d 0 + d + + d. E déduire U = u 0 + u + + u et V = v 0 + v + + v. O a u carré de côté 0 cm. A l itérieur de ce carré, o costruit d autres carrés plus petits comme idiqué sur la figure ci-cotre : le plus grad des carrés hachurés a u côté égal à la moitié de celui du carré iitial (5 cm) et les suivats ot toujours u côté égal à la moitié du précédet. O ote c le côté du ième carré costruit das le grad carré et a so aire. Motrer que les suites ( c ) et ( a ) sot des suites géométriques dot o précisera le premier terme et la raiso. Existe-t-il ue valeur de pour laquelle le sommet iférieur droit du ième carré sera à l extérieur du carré iitial? Calculer la somme des aires des premiers carrés (zoe hachurée) et motrer qu elle est toujours iférieure au tiers de l aire du grad carré. Exercice 0 Les droites de la figure ci-cotre sot sécates e O et défiisset 8 agles de 5. Le poit A 0 est tel que OA 0 = et les triagles OA A + sot isocèles et rectagles e A +. O pose u = OA ; motrer que ( u ) est ue suite géométrique et préciser sa raiso. Calculer la logueur de la lige brisée A 0 A A.A 8. A A A A A 8 0 A 7 A5 A 6 A 0 Quelle est l aire du polygoe A 0 A A.A 8? Séquece 9 MA

14 Exercice La suite ( u ) est défiie par u 0 = 0 et u + = -- u +. Das u repère orthoormé, costruire les droites d équatios y = -- x+ et y = x. Calculer l abscisse de leur poit d itersectio. Représeter les premiers termes de la suite ( u ) sur l axe des abscisses. Soit ( v ) la suite défiie pour tout par v = u 8. Motrer que ( v ) est ue suite géométrique et préciser sa raiso. Exprimer v e foctio de, et e déduire u e foctio de. Séquece 9 MA

15 Sythèse des coaissaces Pour bie reteir les aalogies et les différeces etre les suites arithmétiques et les suites géométriques, il est utile de les regarder e parallèle. Suites arithmétiques Défiitio Soit r u ombre réel fixé. La suite ( u ) est arithmétique de raiso r si et seulemet si pour tout, u + = u + r. Pour motrer qu ue suite ( u ) est arithmétique, il suffit de motrer que u + u est ue costate idépedate de ; cette costate est alors la raiso. Théorème ( u ) est ue suite arithmétique de raiso r et de premier terme u 0 si et seulemet si pour tout, u = u 0 + r. Théorème Si ( u ) est ue suite arithmétique de raiso r, alors pour tous etiers et p, u u p = ( p)r. Théorème Si ( u ) est ue suite arithmétique, alors u + + u = u. Théorème Si ( u ) est ue suite arithmétique, alors S u 0 + u + + u u p ( + ) u 0 + u = = = p = 0 S premier terme + derier terme = ombre de termes Suites géométriques Défiitio Soit q u réel o ul ; la suite ( u ) est géométrique de raiso q si et seulemet si pour tout, u + = qu. Pour motrer qu ue suite est géométrique, il suffit de motrer que est ue costate idépedate de ; cette u + u costate est alors la raiso. Théorème ( u ) est ue suite géométrique de raiso q et de premier terme u 0 si et seulemet si pour tout, u = q u 0. Théorème Si ( u ) est ue suite géométrique de raiso q u alors pour tous etiers et p, ---- = q u p. p Théorème Si ( u ) est ue suite géométrique, o a pour tout, u + u = u. Théorème Soit ue suite géométrique ( u ) de raiso q et de premier terme u 0, o pose S = u 0 + u + u + + u. q Alors S = u si q et q S = ( +)u 0 si q =. Séquece 9 MA 5

16 Exercices d approfodissemet Exercice U price possède u certai ombre de pièces d or, qu o otera x, et u certai ombre d héritiers, qu o otera N. Ne voulat pas doer à tous des parts égales et après avoir beaucoup réfléchi, il décide d effectuer so partage de la maière suivate : le premier aura la moitié des pièces plus ue, le deuxième aura la moitié du reste plus, le troisième la moitié du reste plus et aisi de suite. Quad le derier est servi il e reste rie. Le but de ce problème est de détermier x, N et les parts de chaque héritier sachat que le ombre x est compris etre et Notos p la part du ième héritier et r le ombre de pièces restat après que le ième héritier a été servi. Exprimer e foctio de x les ombres p et r. Trouver ue relatio etre p et r -, puis etre p, r et r -. E déduire que r = -- r. Etude des suites ( u ) vérifiat la relatio u = --u pour > 0 et de premier terme u 0 = x. (Remarquos qu il e existe ue ifiité car chaque choix du premier terme défiit ue suite ( u ) ) Calculer u, u lorsque x = 5 et lorsque x = 90. Exprimer u et u e foctio de x. Motrer que, pour que ( u ) soit ue suite géométrique, il faut que x = --. Est-elle géométrique das ce cas? Motrer que, pour que ( u ) soit ue suite arithmétique, il faut que x =. Quelle serait alors sa raiso? Motrer que la suite arithmétique défiie par ce premier terme et cette raiso vérifie la relatio de récurrece. O cosidère la suite ( a ) défiie pour tout par a = et la suite ( b ) défiie pour tout par b = u a. Motrer que pour > 0, b = -- b E déduire l expressio de b e foctio de, puis celle de u e foctio de et. x. Retour à otre problème d héritage. Quelle est la valeur de r N? E déduire que x = N + ( N ) +. A l aide de la calculatrice, trouver N pour que x soit compris etre et Das u tableau, doer la répartitio des pièces d or etre les héritiers. Exercice Notatios Remboursemet d emprut. Ue persoe emprute à sa baque la somme de (euros) pour acheter ue voiture. Ce prêt est remboursable e 60 mesualités costates et le taux d itérêt est de 6 % par a, soit 0,5 % par mois. Cela sigifie que chaque mois, l empruteur paie les itérêts dus pour le mois écoulé et dimiue le capital à rembourser. M désige la somme versée chaque mois par l empruteur (la mesualité) et C le capital restat dû au bout de mois. La règle bacaire est : C + est égal à C augmeté de 0,5 % puis dimiué de M. 6 Séquece 9 MA a) O suppose que M = 00 et o va voir si le remboursemet sera bie achevé au bout de 60 mois. Ecrire C + e foctio de C. Quelle est la valeur de C 0? O pose D = C Calculer D 0 et motrer que (D ) est ue suite géométrique ; préciser sa raiso.

17 E déduire D puis C e foctio de. Calculer C 60. La mesualité de 00 est-elle trop élevée ou pas assez? b) Calcul de M pour que le remboursemet se fasse exactemet e 60 mesualités. Ecrire C + e foctio de C et de M. O pose D = C 00 M. Calculer D 0 et motrer que (D ) est ue suite géométrique ; préciser sa raiso. E déduire D puis C e foctio de et de M. A quelle coditio le remboursemet sera effectué à l issue des 60 mesualités? Calculer alors M. Si vous disposez d u tableur, vous pouvez costruire le tableau d amortissemet. (voir corrigé). Aide aux exercices d approfodissemet Exercice Ne pas oublier que chaque reste se partage etre la part suivate et le reste suivat. et Peser aux relatios etre chaque terme et ceux qui l etouret. Ecrire u à l aide de a et b. Après l héritage du N ème et derier, il e reste rie. Ecrire la formule doat x das le meu Y= de la calculatrice et faire ue table de valeurs avec X etier. Exercice a) Exprimer D + e foctio de C +, puis C + e foctio de C et efi C e foctio de D. la mesualité est isuffisate si à l issue des 60 mois, le capital est pas totalemet remboursé. b) le capital à rembourser à l issue des 60 mois doit être ul. Séquece 9 MA 7

18 ème partie Chapitre > Loi de probabilité sur u esemble fii... A AB ABC ABD Activités,, Cours Loi de probabilité Lois des grads ombres Le lagage des évéemets Cas d équiprobabilité Exercices d applicatio,,, Exercices d appretissage à 5 Chapitre > Espérace, variace et écart-type d ue loi de probabilité... 7 A Activité AB ABC Cours Exercices d appretissage 6, 7 Chapitre > Sythèse des coaissaces... 9 Chapitre > U exemple de simulatio... Sommaire séquece 9 MA 9

19 Loi de probabilité sur u esemble fii A Activités. Activité Nous allos évoquer ue expériece déjà recotrée das la séquece cosacrée aux statistiques : le lacer de dés. Le premier tableau doe les résultats de 0 lacers de dés ; voici les résultats : Résultats 5 6 effectifs 7 fréqueces Le deuxième tableau doe les résultats de 600 lacers de dés : Résultats 5 6 effectifs fréqueces Compléter les deux tableaux e calculat les fréqueces. Calculer la moyee et l écart type des fréqueces pour les deux séries. Que peut-o e coclure? E réalité, u dé équilibré e favorise aucue de ses faces ; autremet dit les 6 faces d u dé ot autat de chaces de sortir les ues que les autres. Quelle devrait être la fréquece d apparitio de chacue des faces d u dé? Cette fréquece théorique est appelée «probabilité».. Activité O a simulé sur ordiateur u jeu cosistat à lacer deux pièces de moaie. O le fait 000 fois et o ote à chaque fois le ombre de résultats «pile». Ce ombre peut être 0,,. Les résultats de ce jeu répété 0 fois sot regroupés das le tableau suivat : expériece expériece expériece expériece expériece 5 expériece 6 expériece 7 expériece 8 expériece 9 expériece 0 ombre de lacers à 0 «pile» ombre de lacers à «pile» ombre de lacers à «pile» Quelle est la fréquece moyee du résultat «0 fois pile»? «fois pile»? «fois pile»? Il apparaît que les types de résultats ot des fréqueces très différetes : eviro 0,5 pour 0 et et 0,5 pour. Séquece 9 MA

20 Essayos d expliquer ce phéomèe. Pour bie le compredre, cosidéros que les deux pièces qu o lace sot différetes. (par exemple par leur taille ou leur couleur) Das ces coditios, les résultats sot au ombre de : (P, P), (F, F), (F, P) et (P, F) et ces résultats ot chacu la même fréquece théorique : --. Aisi il y a deux maières d obteir ue fois «pile» : (F, P) ou (P, F). O peut aussi aalyser cette situatio à l aide d u arbre : er lacer ème lacer P F P F P F résultat PP PF FP FF. Activité Les 8 élèves de secode d u lycée étudiet chacu exactemet deux lagues étragères. E première lague, 8 fot de l allemad et tous les autres fot de l aglais. Tous ceux qui fot de l allemad e première lague fot de l aglais e deuxième, et o sait qu e tout 98 élèves appreet l allemad. O choisit u élève au hasard. Quelle est la probabilité qu il étudie l allemad l espagol l aglais l allemad et l espagol l allemad ou l aglais (o pourra commecer par compter les élèves das chaque catégorie). B Cours Cosidéros ue expériece aléatoire (c est à dire résultat du seul hasard) doat u ombre fii de résultats possibles e, e,,e. L esemble de ces résultats oté Ω est appelé uivers et ses élémets sot appelés évetualités. Ω = { e, e,, e }. Loi de probabilité Défiir ue loi de probabilité sur Ω, c est associer à chaque évetualité e i u ombre p i tel que chaque p i est compris etre 0 et et la somme de tous les p i est égale à. ( 0 p i et p i = ) O dit que p i est la probabilité que l évetualité e i se réalise : p i = p(e i ). Exemple O lace u dé cubique bie équilibré dot les 6 faces sot umérotées,,,,,. L esemble Ω est alors {,, } et la loi de probabilité est défiie par p ( ) = -- ; p( ) = -- ; p( ) = Loi des grads ombres Repreos la même expériece aléatoire et recommeços-la k fois. Chaque résultat e i de l expériece se produit avec la fréquece f i. La distributio de fréqueces (les f i ) se rapproche de la loi de probabilité (les p i ) lorsque k gradit. Séquece 9 MA

21 Exemple La figure ci-cotre est costituée d u carré de côté partagé e deux zoes a et b séparées par u quart de cercle. U objet tombe de b maière aléatoire à l itérieur du carré. La probabilité de tomber das la zoe a ou b est proportioelle à l aire de la zoe. π π L aire de la zoe a est égale à -- et celle de la zoe b est --. Les a probabilités p a et p b d atteidre les zoes a et b sot de la forme k π -- π et k -- De plus p a + p b =, doc k = et aisi et. pa = π -- π p b = --. Après cette approche théorique, ous allos ous livrer à ue simulatio par ordiateur. Pour cela ous allos créer 000 poits dot les coordoées sot comprises etre 0 et de maière aléatoire. Cette expériece est répétée 0 fois, et e voici les résultats : exp. exp. exp. exp. exp. 5 exp. 6 exp. 7 exp. 8 exp. 9 exp. 0 Nombre de poits das a La fréquece est obteue e divisat par 000. Si o regarde maiteat la moyee de ces fréqueces, o trouve 0,785. π D après la loi des grads ombres, cette fréquece doit être proche de la probabilité -- dot ue valeur approchée est 0, (o peut remarquer que cette expériece est u moye de calculer ue valeur approchée de π). Le lagage des évéemets O se place das le cadre d ue expériece aléatoire dot l esemble des évetualités est Ω = { e, e,, e } sur lequel o a défii ue loi de probabilité p i = p(e i ). Défiitio Théorème Exemple Cas particulier Défiitio O appelle évéemet tout sous-esemble de Ω. La probabilité d u évéemet est la somme des probabilités des évetualités qu il cotiet. Repreos otre dé dot les 6 faces sot umérotées,,,,, ; Ω = {,, }. Si A est l évéemet «obteir u résultat iférieur ou égal à», A = {, }. De même o ote B l évéemet «obteir u résultat impair» : B = {, } 5 pa ( ) = p ( ) + p ( ) = = -- et p ( ) + p ( ) = = Ω est l évéemet certai (il est sur de se réaliser) ; sa probabilité est. p(ω) =. est l évéemet impossible (il e peut se réaliser car il e cotiet aucu élémet) ; sa probabilité est 0. p( ) = 0. Soit A u évéemet ; le complémetaire de A oté A est l esemble des élémets de Ω qui A appartieet pas à A. Sa probabilité est p( A ) = p(a). A Ω Exemple L évéemet A est {} et sa probabilité est Séquece 9 MA

22 Défiitio Soiet A et B deux évéemets. L évéemet «A et A B B» est l itersectio de A et B otée A B ; il est costitué des évetualités B apparteat à la fois A B A à A et à B. L évéemet «A ou B» est la réuio de A et de B otée A B ; il est costitué des évetualités apparteat à A ou à B ou aux deux Si A et B ot pas d élémet commu, A B =, alors pa ( B) = 0 et pa ( B) = pa ( ) + pb ( ). Plus gééralemet, o retiedra la formule pa ( B) = pa ( ) + pb ( ) pa ( B). Exemple Das otre exemple, A B = { } et A B = {,, }. O a doc pa ( B) = -- et pa ( B) =. 5 O peut vérifier la formule précédete : = Cas d équiprobabilité O est das ue situatio d équiprobabilité lorsque toutes les évetualités de Ω ot la même probabilité. Cela sigifie que p(e ) = p(e ) =..= p(e ) = p. La somme état égale à, o a p = d où p = --. Aisi pe ( i ) = --. C est le cas pour u dé : la probabilité d apparitio de chacue des faces est m ombre d évetualités favorables Si A est u évéemet coteat m évetualités, pa ( ) = --- = ombre total d évetualités (les évetualités favorables sot celles coteues das A). C Exercice d applicatio Exercice O tire au hasard ue carte das u jeu de. O cosidère les évéemets suivats : A : «La carte tirée est u roi». B : «La carte tirée est u cœur». Défiir les évéemets A B et A B. Calculer les probabilités p(a), p(b), pa ( ), p( B), p( A B), p( A B). Répose L évéemet A B cotiet les cartes qui sot à la fois u roi et u cœur ; A B cotiet doc u seul élémet qui est le roi de cœur. L évéemet A B cotiet les cartes qui sot u roi ou u cœur ; il est doc costitué des rois et des 8 cœurs, ce qui représete e réalité cartes : les 8 cœurs et les rois autres que le roi de cœur qu il e faut compter qu ue seule fois. L esemble Ω cotiet élémets qui sot les cartes du jeu, A cotiet élémets qui sot les 8 rois et B cotiet 8 élémets qui sot les 8 cœurs. Doc pa ( ) = ---- = -- ; pb ( ) = ---- = -- ; 8 pa ( B) = ---- ; pa ( B) = O aurait pu aussi dire pa ( B) = pa ( ) + pb ( ) pa ( B). 7 pa ( ) = p( A) = -- ; p( B) = p( B) = Séquece 9 MA

23 Exercice Répose U dé est pipé : la probabilité de faire 6 est --. tadis que les 5 autres évetualités ot la même probabilité. Détermier la probabilité de chacu des évéemets suivats : a) le dé tombe sur ; b) le dé tombe sur u ombre pair ; c) le dé tombe sur u ombre impair. Soit p la probabilité de chacu des ciq autres évetualités ; o a 5p + -- =, d où 5p = -- et p = a) La probabilité d obteir est doc b) Appelos A l évéemet «obteir u ombre pair» ; alors A = {,, 6} et pa ( ) = , p( A) = c) Appelos B l évéemet «obteir u ombre impair» ; B est l évéemet cotraire de A doc pb ( ) = p( A) = Exercice Répose Quelle est la probabilité d obteir le résultat «--» e laçat dés, sas teir compte de l ordre. Nous allos utiliser u arbre : er dé ème dé ème dé résultat Comptos d abord les tirages possibles : pour cela il faut se représeter l arbre e etier. Le premier dé doe 6 braches ; chacue d elles doe aissace à 6 autres braches, ce qui fait 6 braches avec les deux premiers dés. Efi ces 6 braches fot apparaître 6 ouvelles braches chacue. O a doc 6 résultats possibles. Parmi eux, 6 cotieet les trois chiffres,,. La probabilité cherchée 6 est doc = D Exercices d appretissage Exercice Soit ue probabilité p sur u uivers Ω. O cosidère les évéemets A et B vérifiat : pa ( ) = --, p( B) = --, p( A B) = Calculer les probabilités des évéemets suivats : (o pourra s appuyer sur u diagramme). A, B, A B, A B, A B, A B et A B. Séquece 9 MA 5

24 Exercice Ue ure cotiet trois boules umérotées,,. O tire au hasard ue boule, puis o la remet et o tire ue deuxième boule. Doer la liste des résultats possibles ; quelle est la probabilité que la somme des uméros obteus soit 5? Même questio lorsqu'o e remet pas la première boule tirée. Exercice Exercice Exercice 5 U dé est déséquilibré de telle sorte que les probabilités p, p, p des résultats,, sot e progressio arithmétique de raiso -- et les probabilités p, p 5, p 6 des résultats, 5, 6 sot e progressio 8 géométrique de raiso --. Détermier la loi de probabilité de cette expériece sachat que p = p. Trois efats Alice, Béédicte et Camille vot esemble à la crèche et déposet leurs mateaux au même edroit e arrivat. Le soir e sortat ils repreet chacu u mateau au hasard. E utilisat u arbre, détermier les probabilités des évéemets suivats : E : «Chacu récupère so propre mateau» ; F : «Aucu des trois e récupère so propre mateau» ; G : «Seule Camille récupère so propre mateau». Ue ure cotiet 0 boules idetiques umérotées de à 0, et o e tire ue au hasard. Calculer les probabilités des évéemets suivats : la boule tirée porte u uméro multiple de la boule tirée porte u uméro multiple de 5 la boule tirée porte u uméro multiple de et de 5 la boule tirée porte u uméro multiple de ou de 5 la boule tirée porte u uméro qui est multiple i de i de 5. 6 Séquece 9 MA

25 Espérace, variace et écart-type d ue loi de probabilité A Activité O lace pièces de moaie et o s itéresse au ombre de résultats " pile ". Ce ombre peut doc être 0,,,. E s aidat d u arbre, détermier la loi de probabilité de cette expériece. Récapituler les résultats das u tableau. Cosidéros maiteat l expériece aléatoire comme ue série statistique dot la distributio de fréqueces est idetique à la loi de probabilité. Calculer la moyee, la variace, et l écart-type de cette série. B Cours Das ce paragraphe, o e parle que d expérieces aléatoires dot les évetualités sot des ombres réels. Cosidéros ue expériece dot l uivers des évetualités est Ω = {x, x,.,x } où les x i sot des réels et la loi de probabilité est défiie par p(x i ) = p i. Nous allos défiir des élémets caractéristiques Défiitio aalogues à ceux d ue série statistique. L espérace mathématique de la loi de probabilité est E = x p + x p + + x p, E = x i p i. Remarque i = L espérace mathématique de la loi de probabilité est aalogue à la moyee d ue série statistique. Défiitio La variace de la loi de probabilité est V = p i ( x i E) ; so écart-type est σ = V. i = Théorème Comme la variace d ue série statistique, celle d ue loi de probabilité peut se calculer avec la formule V x = i p i x i p i. i = i = Remarque L espérace, la variace et l écart-type d ue loi de probabilité ot les mêmes propriétés que ceux d ue série statistique. C Exercices d appretissage Exercice 6 O lace u dé deux fois pour fabriquer u ombre à deux chiffres : le chiffre des dizaies est le résultat du premier lacer et le chiffre des uités est le résultat du deuxième lacer. A l aide d u arbre, détermier le ombre de résultats possibles. O ote E l esemble de ces résultats. Détermier la loi de probabilité de cette expériece. Détermier les probabilités des évéemets suivats : a) obteir u ombre commeçat par b) obteir u ombre pair c) obteir u ombre supérieur à 50 d) obteir u ombre costitué de deux chiffres pairs. Séquece 9 MA 7

26 Calcul de la somme des résultats possibles. Rappeler la formule doat la somme des premiers 6 ombres etiers et e déduire k. Calculer la somme des chiffres des uités et la somme des chiffres des dizaies des élémets de E. k = Calculer l espérace de la loi de probabilité. Exercice 7 Détermier 5 ombres réels e progressio arithmétique de raiso ---- et dot la somme est. 0 Ue expériece aléatoire a pour esemble des évetualités E = {,,,, 5}. Les probabilités p, p,, p 5 associées à ces valeurs formet ue suite arithmétique croissate de raiso Détermier 0 la loi de probabilité de cette expériece. Calculer l espérace, la variace et l écart type de cette loi de probabilité. Modélisatio : Ue ure cotiet u certai ombre de boules umérotées,,,, 5. O e tire ue au hasard. La loi de probabilité de cette expériece est celle de la questio. Combie y-a-t-il de boules de chaque uméro? 8 Séquece 9 MA

27 Sythèse des coaissaces Loi de probabilité sur u esemble fii Loi de probabilité Loi des grads ombres Le laguage des évéemets Défiitio Cas particuliers Défiitio Défiitio Cas d équiprobabilité L esemble des résultats d ue expériece aléatoire oté Ω est appelé uivers et ses élémets sot appelés évetualités. Ω = { e, e,,e }. Défiir ue loi de probabilité sur Ω, c est associer à chaque évetualité e i u ombre p i tel que chaque p i est compris etre 0 et et la somme de tous les p i est égale à. ( 0 p i et p i = ) O dit i = que p i est la probabilité que l évetualité e i se réalise : p i = p(e i ). Repreos la même expériece aléatoire et recommeços-la k fois. Chaque résultat e i de l expériece se produit avec la fréquece f i. La distributio de fréqueces (les f i ) se rapproche de la loi de probabilité (les p i ) lorsque k gradit. O se place das le cadre d ue expériece aléatoire dot l esemble des évetualités est Ω = { e, e,,e } sur lequel o a défii ue loi de probabilité p i = p(e i ). O appelle évéemet tout sous-esemble de Ω. La probabilité d u évéemet est la somme des probabilités des évetualités qu il cotiet. Ω est l évéemet certai (il est sur de se réaliser) ; sa probabilité est. p(ω) =. est l évéemet impossible (il e peut se réaliser car il e cotiet aucu élémet) ; sa probabilité est 0. p( ) = 0. Soit A u évéemet ; le complémetaire de A oté A est l esemble des élémets de Ω qui appartieet pas à A. Sa probabilité est pa ( ) = p( A). Soiet A et B deux évéemets. L évéemet «A et B» est l itersectio de A et B otée A B; il est costitué des évetualités apparteat à la fois à A et à B. L évéemet «A ou B» est la réuio de A et B otée A B; il est costitué des évetualités apparteat à A ou à B ou aux deux. Si A et B ot pas d élémet commu, A B =, alors pa ( B) = 0 et pa ( B) = pa ( ) + pb ( ). Plus gééralemet, o retiedra la formule ( pa ( B) = pa ( ) + pb ( ) pa ( B) ). O est das ue situatio d équiprobabilité lorsque toutes les évetualités de Ω ot la même probabilité. Cela sigifie que p(e ) = p(e ) =..= p(e ) = --. m ombre d évetualités favorables Si A est u évéemet coteat m évetualités, pa ( ) = --- = ombre total d évetualités (les évetualités favorables sot celles coteues das A). Séquece 9 MA 9

28 Espérace, variace et écart-type d ue loi de probabilité O e parle que d expérieces aléatoires dot les évetualités sot des ombres réels. Cosidéros ue expériece dot l uivers est Ω = { x, x,,x } où les x i sot des réels et la loi de probabilité est défiie par p(x i ) = p i. Défiitio L espérace mathématique de la loi de probabilité est E = x i p i + x p + + x p, E = x i p i Remarque i = L espérace mathématique de la loi de probabilité est aalogue à la moyee d ue série statistique. Défiitio La variace de la loi de probabilité est V = p i ( x E) ; so écart-type est σ = V. i = Théorème Comme la variace d ue série statistique, celle d ue loi de probabilité peut se calculer avec la formule V x = i p i x i p i. i = i = Remarque L espérace, la variace et l écart-type d ue loi de probabilité ot les mêmes propriétés que ceux d ue série statistique. 0 Séquece 9 MA

29 U Exemple de simulatio Problème État doés ombres compris etre 0 et choisis de maière aléatoire, quelle est la probabilité qu ils soiet les côtés d u triagle? Il ous faut d abord rechercher ue coditio la plus simple possible pour que trois ombres soiet les côtés d u triagle. Soiet a, b, c ombres. Pour qu ils soiet les côtés d u triagle, il doivet vérifier l iégalité triagulaire, c est à dire que chacu d eux doit être iférieur à la somme des deux autres. Ce qui se traduit par a < b + c ; b < a + c et c < a + b. Rageos os ombres e ordre croissat : a < b < c. Il est clair qu alors a < b + c et b < a + c. Aisi a, b, c sot les côtés d u triagle si et seulemet si c < a + b. Nous allos maiteat réaliser ue simulatio sur u tableur. das la cellule a : = ALEA() Etedre esuite cette commade aux cellules b et c puis verticalemet jusqu à la lige 00. O obtiet 000 triplets de ombres aléatoires compris etre 0 et. Il ous faut maiteat les rager : das la cellule d : plus grad das la cellule d : = MAX(A:C) (cette cellule cotiet le plus grad des ombres) das la cellule e : plus petit das la cellule e : = MIN(A:C) (cette cellule cotiet le plus petit des ombres) das la cellule f : milieu das la cellule f : = A + B + C D E (cette formule doe le ombre du milieu) Sélectioer et étedre ces commades jusqu à la lige 00. Il faut esuite dire pour chaque triplet si les trois ombres qui le composet sot les côtés d u triagle, c est à dire si le plus grad est plus petit que la somme des deux autres. das la cellule g : triagle? das la cellule g : = SI(D < E + F ; ; 0) Cette derière commade sigifie : si le plus grad est iférieur à la somme des deux autres, iscrire, sio iscrire 0. O obtiet alors u tableau qui commece comme ci-dessous : Plus grad Plus petit Milieu Triagle? 0, ,6896 0,668 0, ,6896 0, , ,7 0, , ,7 0, , ,779 0,5075 0,5075 0, ,779 0, ,869 0, ,869 0, , ,85 0, , , ,85 0, ,5089 0,67 0, , ,67 0,5089 0,6099 0, , , , , ,688 0, ,987 0, ,987 0,688 0,7869 0, , , , , ,0897 0, ,658 0,658 0, , ,78 0, ,855 0, ,855 0,78 0 0,857 0, ,6596 0, ,857 0, Séquece 9 MA

30 Il est facile de cotrôler das la coloe de droite ititulée «triagle?» que le résultat est bie si «plus grad» < «plus petit» + «milieu» et 0 das le cas cotraire. Il e ous reste plus qu à compter les triplets correspodat à u triagle. Il y e a autat que de das la coloe de droite ; ce ombre est égal à la somme des termes de la coloe de droite. Le tableau suivat récapitule les résultats de 0 expérieces (chaque ouvelle expériece s obtiet par la touche F9). Das la lige «échatillo de taille 0», o mettra le ombre de triagles parmi les dix premiers triplets ; das la lige «échatillo de taille 00», o mettra le ombre de triagles parmi les 00 premiers triplets et das la lige «échatillo de taille 000», o mettra la ombre de triagles parmi les 000 premiers triplets. das les cellules h, h, h, iscrire échatillo de taille 0, échatillo de taille 00, échatillo de taille 000 das la cellule i : = SOMME (G:G) das la cellule i : = SOMME (G:G0) das la cellule i : = SOMME (G:G00) Numéro de l expériece Échatillo de taille Échatillo de taille Échatillo de taille O obtiet aisi ue série statistique. Calculer la moyee et l écart-type de la distributio de fréqueces de la série des échatillos de taille 0. Même questio pour les séries des échatillos de tailles 00 et 000. Peut-o à la lumière de cette simulatio et e s appuyat sur la loi des grads ombres répodre à la questio de départ : état doés ombres compris etre 0 et choisis de maière aléatoire, quelle est la probabilité qu ils soiet les côtés d u triagle? Séquece 9 MA