LES SUITES. Une suite peut être définie de deux manières différentes :

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1 LES SUITES I. Rappels : A. Généralités sur les suites : Nous avons vu qu'une suite de nombres peut être notée avec une lettre ( en général u, v ou w ). Chaque nombre ayant sa place dans la suite, à la lettre symbolisant la suite, on ajoutera un indice n entier, qui indiquera la place du nombre dans la suite. Exemple : La suite de nombres ; 4 ; 7 ; 0. sera symbolisée par la lettre u. Le premier terme de cette suite,, pourra être noté u 0 et alors on a : u 0 = ; u = 4 ; u = 7 Le premier terme de cette suite peut aussi être noté u et alors on a : u = ; u = 4 ; u = 7 ) Définition : Une suite est une fonction définie de IN ou d'une partie de IN dans IR. u : IN IR n u(n) Le nombre u(n) sera noté u n par commodité. Une suite est notée u ou (u n ) n IN. Un terme de la suite est noté u n ( sans parenthèse ). Le premier terme d'une suite est en général u 0 ou u.les termes u n et u n+ sont deux termes consécutifs. ) Remarques : Si le premier terme de la suite est u 0 alors le second terme est u, le troisième est u et le n è terme de la suite sera alors u n. Si le premier terme de la suite est u alors le second terme est u, le troisième est u et le n è terme de la suite sera alors u n. Une suite peut être définie de deux manières différentes : * soit par une expression donnant le terme u n en fonction de n ( forme explicite ) exemple : u n = n + on a alors une relation de la forme u n = f (n). on peut,grâce à cette formule,calculer facilement n'importe quel terme. u = + = ; u 5 = 5 + = 99. * soit par son premier terme ( ou un autre ) et une relation entre des termes de la suite exemple : u = et u n+ = u n Une relation du type u n+ = f (u n ) est une relation de récurrence. On dit alors que la suite est définie par récurrence. On peut alors calculer n'importe quel terme de la suite u = u = ; u 5 = u 4 il faudra connaître les 4 premiers termes pour pouvoir calculer le 5 è avec la relation de récurrence. 4) Sens de variation d'une suite : Pour étudier le sens de variation d'une suite, on étudie le signe de la différence u n+ u n. Si u n+ u n > 0 pour tout n, la suite est strictement croissante. Si u n+ u n < 0 pour tout n, la suite est strictement décroissante. Si u n+ u n = 0 pour tout n, la suite est constante.

2 B. Suites arithmétiques : ) Exemple d'introduction : placement «avec intérêt simple» Une banque propose, pour un placement d un montant de 500 euros fait le er janvier 00, un taux d intérêt simple annuel de 5 %. Cela signifie qu à la fin de chaque année on reçoit un intérêt de 5 00 C 0 où on nomme C 0 le capital initial versé le er janvier 00, C le capital disponible au bout d un an, C le capital disponible au bout de ans, a) Calculer C, C et C. C = C 0 + 0,05 C 0 = = 575. C = C + 0,05 C 0 = = 650. C = C + 0,05 C 0 = = 75. b) Que représentent C n + et C n? C n + et C n représentent le montant du capital au bout de la (n+) è c) Etablir la relation entre C n + et C n. C n + = C n + 0,05 C 0 = C n d) Etablir la relation entre C 0 et C n C 0 C C C. C n C n et de la n è année. C n = C 0 + n 75 e) Si on laisse pendant 0 ans le compte sans retirer d argent alors combien aura-t-on la 0 ième année? C 0 = C = = 50. ) Définition et notation: a) Définition : Une suite arithmétique notée ( u n ) où n est un entier naturel est une suite dans laquelle chaque terme sauf le premier ( noté u 0 ) est obtenu en ajoutant au terme précédent un nombre réel non nul r appelé la raison de la suite. b) Notation : cette relation s appelle la relation de récurrence de la suite (u n ). ( u n ) définie par : u 0 terme initial u n + = u n + r, pour tout n entier naturel terme de rang n+ terme de rang n raison Remarque : u n+ u n = r donc une constante. On utilisera cette remarque pour démontrer qu'une suite est arithmétique. Exemples : ) Montrer que la suite ( u n ) n IN définie par u 0 = u n+ = u n + est une suite arithmétique de raison. u n+ u n = donc la suite ( u n ) n IN est une suite arithmétique de raison. ) La suite ( u n ) n IN définie par u n = n 6 est elle une suite arithmétique? 5 u n+ = 5 n 7 5 ; u n+ u n = 5 donc la suite ( u n ) n IN est une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme u 0 = 6.

3 ) Expression du terme u n en fonction du premier terme et de la raison: + r + r + r + r + r u 0 u u u... u n u n u n = u 0 + n r Soit ( u n ) une suite arithmétique définie par son terme initial u 0 et sa raison r. On a alors : u n = u 0 + n r n IN Remarque : Si le premier terme est u alors on a u n = u + ( n ) r n IN * Petit truc : Dans la relation u n = u 0 + nr on a 0 + n = n Dans la relation u n = u + ( n ) r on a + ( n ) = n u n = u p + ( n p ) r 4) Représentation graphique et sens de variation d'une suite arithmétique : Dans la représentation graphique d'une suite arithmétique, les points sont alignés. De plus u n+ u n = r donc : si r > 0 la suite est strictement croissante ; si r < 0 la suite est strictement décroissante ; si r = 0 la suite est constante. 5) Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique : S = u 0 + u + + u n (premier terme de la somme + dernier terme de la somme) (nombre de termes de la somme ) = 6) Exercices types : Dans tout l exercice ( u n ) désigne une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. a) u 0 = - 6 et r = 4. Calculer u 7 et u 0. b) u 0 = et u = 67. Calculer r. c) u 5 = et u 5 = - 7. Calculer r et u 0. d) u = 5 et r = 4. Expliciter le terme général u n.

4 II. Suites géométriques : 4 ) Exemple d'introduction : placement «avec intérêts composés» Une banque propose, pour un placement d un montant de 500 euros fait le er janvier 00, un taux d intérêt composé annuel de 5 %. Cela signifie qu à la fin de chaque année la somme en banque augmente de 5%. On nomme C 0 le capital initial versé le er janvier 00, C le capital disponible au bout d un an, C le capital disponible au bout de ans, a) Calculer C, C et C. C = C 0 + 0,05 C 0 = = 575. C = C + 0,05 C =,05 C = 65,75. C = C + 0,05 C =,05 C = 76,44. b) Que représentent C n + et C n? C n + et C n représentent le montant du capital au bout de la (n+) è c) Etablir la relation entre C n + et C n. C n + = C n + 0,05 C n =,05 C n. d) Etablir la relation entre C 0 et C n.,05,05,05,05,05 C 0 C C C. C n C n et de la n è année. C n = C 0 (,05 ) n e) Si on laisse pendant 0 ans le compte sans retirer d argent alors combien aura-t-on la 0 ième année? C 0 = C 0 (,05 ) 0 = 500 (,05 ) 0 = 44,4. ) Définition et notation: a) Définition : Une suite géométrique notée ( u n ) où n est un entier naturel est une suite dans laquelle chaque terme sauf le premier ( noté u 0 ) est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre réel non nul q appelé la raison de la suite. cette relation s appelle la relation de récurrence de la suite (u n ). b) Notation : ( u n ) définie par : u 0 terme initial u n + = u n q, pour tout n entier naturel terme de rang n+ terme de rang n raison Remarque : Pour démontrer qu'une suite est géométrique, on écrira u n+ en fonction de u n. Exemple : ) Montrer que la suite ( u n ) n IN définie par u 0 = n u n = est une suite géométrique de raison. u n+ = n+ = n = u n donc la suite ( u n ) n IN est une suite géométrique de raison. ) La suite ( u n ) n IN définie par u n = n 6 est elle une suite géométrique? 5 u 0 = ; u = 5 ; u = ; u u = et u u = 5 6 ; u u u donc la suite ( u 0 u n ) n IN n'est pas une suite géométrique.

5 ) Expression du terme u n en fonction du premier terme et de la raison: 5 q q q q q u 0 u u u... u n u n u n = u 0 q n Soit ( u n ) une suite géométrique définie par son terme initial u 0 et sa raison q. On a alors : u n = u 0 q n n IN Remarque : Si le premier terme est u alors on a u n = u q n n IN * Petit truc : Dans la relation u n = u 0 q n on a 0 + n = n Dans la relation u n = u q n on a + ( n ) = n u n = u p q ( n p ) Exemple : Dans tout l exercice ( u n ) désigne une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. a) u 0 = 6 et q = 4. Calculer u 7 et u 0. b) u 0 = 4 et u =. Calculer q. 4) Représentation graphique et sens de variation des suites géométriques : Les points ne seront pas alignés. Exemples : u n =, n et v n = 0,8 n. 4 y y x x Sens de variation : ( u n ) une suite géométrique de raison q> 0 et de premier terme u 0 Si u 0 > 0 et si q > la suite est strictement croissante ; Exemple : u 0 = et q = 5 Si u 0 < 0 et si q > la suite est strictement décroissante ; Exemple : u 0 = et q = 5 Si u 0 > 0 et si 0 < q < la suite est strictement décroissante ; Exemple : u 0 = et q = 0,5 Si u 0 < 0 et si 0 < q < la suite est strictement croissante ; Exemple : u 0 = et q = 0,5 Si u 0 = 0 et si q = la suite est constante. Exemples : u 0 = 0 tous les termes sont égaux à 0 ; q = tous les termes sont égaux à u 0.

6 5) Somme des termes d'une suite géométrique : 6 a) Somme des ( n + ) premières puissances d un nombre réel q non nul. S = + q + q + q +..+ q n qs = q + q + q +..+ q n + q n+ S qs = n+ donc ( ) S = n+ donc S = n+ si q pour q, on a : + q + q + q +..+ q n = ( - q n + ) ( - q ) pour q = on a = n + Exemple : Calculer la somme des 5 premières puissances de. ( 0 + ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 4 = ( ) 5 = ( 4 ) = 4 4 = 8 b) Somme de n+ termes consécutifs d'une suite géométrique. Si ( u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q différente de pour n un entier naturel non nul, on a : S n = u 0 + u + u + u +..+ u n = u 0 n + En effet u 0 + u + u + + u n = u 0 + u 0 q + u 0 q u 0 q n = u 0 ( + q + q² +. + q n )= u 0 ( - q n + ) ( - q ) On retiendra : S n = ( premier terme de la somme ) nombre de termes (raison) raison c) Remarque : Si S = u 0 + u + u + + u n alors S = u 0 ( - q n + ) ( - q ) = u 0 u 0 q n+ = u 0 u n+ = u 0 u n q S = premier terme de la somme dernier terme de la somme raison raison Cette dernière formule sera particulièrement utile pour calculer la somme d'une suite géométrique dont on ne connait pas le nombre de termes ou pour laquelle ce calcul est fastidieux. Exemple : Calculer S = Posons u = 6 ; u =. La suite (u n ) est une suite géométrique de raison. Donc S = = 9898

7 6) Limite d'une suite géométrique : 7 a) Limite de la suite (q n ) avec q > 0 : 0 < q < : quand n devient grand, q n se rapproche de 0. On dit que la limite de la suite (q n ) est 0 quand n tend vers +. On note lim (q n ) = 0 ou lim (qn ) = 0 q > : quand n devient grand, q n devient de plus en plus grand. On dit que la limite de la suite (q n ) est + quand n tend vers +. On note lim (q n ) = + ou lim (q n ) = + q = : quand n devient grand, q n reste toujours égal à. On dit que la limite de la suite (q n ) est quand n tend vers +. On note lim (q n ) = ou lim (qn ) = b) Limite de la suite géométrique (u n ) avec q > 0 : u n = u 0 q n 0 < q < : lim (q n ) = 0 Donc la limite de la suite (u n ) est aussi 0. lim (u n ) = 0 q > : n lim + (q n ) = + Si u 0 > 0 alors la limite de la suite (u n ) est aussi +. lim (u n) = + Si u 0 < 0 alors la limite de la suite (u n ) est. lim (u n) = q = : n lim + (q n ) = Donc la limite de la suite (u n ) est u 0. lim (u n ) = u 0 Attention!! Une suite peut être strictement croissante et ne pas avoir comme limite +.

8 III. Suites arithmético-géométriques : 8 ) Définition: Une suite arithmético-géométrique notée ( u n ) où n est un entier naturel est une suite définie par une relation de récurrence du type u n+ = a u n + b avec a et b des réels quelconques. ) Exemple: u 0 = 5 et u n+ = u n 4 est une suite arithmético-géométrique. ) Cas particuliers : Si a = 0 ( u n ) est une suite constante. Si a = ( u n ) est une suite arithmétique de raison b. Si b = 0 ( u n ) est une suite géométrique de raison a. 4) Etude des suites arithmético-géométriques : L'étude d'une telle suite peut se ramener à l'étude d'une suite géométrique. Exemple : n 97 page 40. 5) Représentation graphique des suites arithmético-géométriques : Exemple : n 0 page 40.