Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

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1 Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut être défiie de 2 faços : Soit par ue forme explicite u = f(), e foctio du rag. Exemple : u = 2² + 3 1, f est la foctio x 2x² 3x 1 Soit par ue formule de récurrece u +1 = f(u ), e foctio du terme qui précède. O doe das ce cas la valeur du terme iitial. Exemple : u 1 u 2u 5 1 Défiitio 1: Variatio d ue suite Soit (u ) ue suite umérique. Si pour tout etier, o a u +1 u, alors la suite (u ) est croissate. Si pour tout etier, o a u +1 u, alors la suite (u ) est décroissate. Théorème 1 : Soit (u ) ue suite umérique dot tous les termes sot positifs. Si pour tout etier, o a u 1 1, alors la suite (u u ) est croissate. Si pour tout etier, o a u 1 1, alors la suite (u u ) est décroissate. Théorème 2 : Soit (u ) ue suite umérique défiie par ue relatio du type u = f(). Si f est croissate sur [a ;+[ alors la suite (u ) est croissate. Si f est décroissate sur [a ;+[ alors la suite (u ) est décroissate. y =,1x²,5x 1 U 7 U 6 2. Représetatio d ue suite a. Suite défiie de faço explicite : u = f() Représetatio de la suite défiie pour tout de N par u =,1²,5 1. U 5 U 4 U 3 U 2 U 1 o U 1. Les suites - Pricipe de récurrece - Limite d ue suite Page 1 Termiale S

2 Eseigemet spécifique b. Suite défiie par récurrece : u +1 = f(u ) et u = a y = x(2-x) Représetatio de la suite défiie par u, 1 u u ( u 2 ) 1 y=x II. Des suites particulières 1. Suites arithmétiques o u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Défiitio 2 : Suite arithmétique Dire qu ue suite (u ) est arithmétique sigifie qu il existe u réel a tel que, pour tout de N, u +1 = u + a. a e déped pas de. a est appelée la raiso. Si a est ul alors la suite (u ) est costate. Théorème 3 : Ses de variatio Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso a. Si a est positive alors la suite est croissate. Si a est égative alors la suite est décroissate. Démostratio : (u ) est ue suite arithmétique de raiso a doc pour tout de N, u +1 = u + a. Doc, pour tout de N, u +1 u = a Théorème 4 : Expressio de u e foctio de Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso a et de premier terme u. Pour tout N, u = u + a. Théorème 5 : Relatio etre u m et u p Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso a, u m et u p sot deux termes de la suite (u ). O a alors, u m = u p + (m p)a. Démostratio : (u ) est ue suite arithmétique de raiso a et de terme iitial u. Aisi, d après le théorème 4, u m = u + ma et u p = u + pa. Doc, par soustractio, u m u p = ma pa doc u m u p = (m p)a Et, u m = u p + (m p)a. 1. Les suites - Pricipe de récurrece - Limite d ue suite Page 2 Termiale S

3 Eseigemet spécifique Théorème 6 : Somme de p termes cosécutifs pu ( up 1) La somme de p termes cosécutifs d ue suite arithmétique est S =. 2 Démostratio : (u ) est ue suite arithmétique de terme iitial u. La somme S de p termes cosécutifs est S = u + u 1 + u u p-1 mais aussi S = u p-1 + u p-2 + u p u. E additioat membre à membre, S + S = u + u p-1 + u 1 + u p-2 + u 2 + u p u p-1 + u. Doc 2S = p(u + u p-1 ) pu ( u p 1) Et S = 2 Remarque : S = (ombres de termes) ( terme iitial + derier terme) 2 Nombre de termes : Das la somme u + u u p ( avec p > ), le ombre de termes est p Suites géométriques Défiitio 3 : Suite géométrique Dire que (u ) est géométrique de raiso q sigifie qu il existe u réel q tel que pour tout apparteat à N, u +1 = q.u. Le réel q est appelé la raiso de (u ). q e déped pas de. Théorème 7 : Expressio de u e foctio de Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q et de terme iitial u. Pour tout de N, u = u q. Théorème 8 : Soit (u ) ue suite géométrique de raiso strictemet positive q et premier terme strictemet positif u. Si q>1 alors (u ) est strictemet croissate. Si q<1 alors (u ) est strictemet décroissate. Si q =1 alors (u ) est costate. Démostratio : (u ) est ue suite géométrique de raiso strictemet positive q et premier terme strictemet positif u doc pour tout de N, u = u q. Soit de N, u +1 u = u q +1 u q = u q ( q 1 ). Comme u > et q >, le sige de u +1 u est du sige de ( q 1 ). Si q >1 alors pour tout de N, u +1 u > et (u ) est strictemet croissate. 1. Les suites - Pricipe de récurrece - Limite d ue suite Page 3 Termiale S

4 Eseigemet spécifique Si q <1 alors pour tout de N, u +1 u < et (u ) est strictemet décroissate Si q =1 alors pour tout de N, u +1 u = et (u ) est costate. Théorème 9 : Somme des termes cosécutifs La somme S des premiers termes cosécutifs d ue suite géométrique est u (1 q ) Si q1, S =. 1 q Si q =1, S = u. Démostratio : (u ) est ue suite géométrique de raiso strictemet positive q et premier terme strictemet positif u doc pour tout de N, u = u q. La somme S de termes cosécutifs est S = u + u 1 + u u -1 S = u + u q + u q u q -1 = u ( 1+ q + q q -1 ) E multipliat S par q, qs = u ( q + q q ). Par soustractio membre à membre, S qs = u ( 1 q ). Doc S(1 q) = u ( 1 q ). u Supposos q 1 : S = (1 q ) 1q Supposos q = 1 : S = u ( ) = u Remarque : Si q 1, S = terme iitial 1 raiso ombre de termes 1 raiso Si q = 1, S = ombre de termes terme iitial III. Pricipe de récurrece Ce pricipe est basé sur ue propositio clairemet éocée P qu il faudra démotrer. Cette démostratio doit être rédigée e trois étapes bie défiies. Etape 1 Iitialisatio : Vérifier de la propositio pour la valeur iitiale de,. Etape 2 Hérédité : Démotrer que si la propositio est vraie pour u certai p, alors elle est vraie pour p + 1. Etape 3 Coclusio : Le pricipe de récurrece ous permet alors de coclure que P est vraie pour tout 1. Les suites - Pricipe de récurrece - Limite d ue suite Page 4 Termiale S

5 Eseigemet spécifique IV. Limite d ue suite 1. Limite ifiie Défiitio 4: Limite ifiie d ue suite Soit (u ) ue suite umérique et A u réel. Dire qu ue suite (u ) a pour limite + sigifie que tout itervalle ouvert de la forme ]A ;+[ cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai idice N. O écrit lim u. A ] Tous les u à partir d u idice N Limite des suites de référece e + A coaitre lim ² 3 lim lim Pour tout etier k 1 lim k 2. limite réelle ou fiie Défiitio 5: Limite fiie d ue suite Dire qu u réel est limite d ue suite (u ) sigifie que tout itervalle ouvert de cetre cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai idice N. O écrit lim u ] [ Tous les u à partir d u idice N Limite des suites de référece e + A coaitre lim 1 lim 1 ² lim 1 3 lim 1 Pour tout etier k 1 1 lim k 1. Les suites - Pricipe de récurrece - Limite d ue suite Page 5 Termiale S

6 Eseigemet spécifique V. Théorèmes sur les limites 1. Règles opératoires Soit (u ) et (v ) deux suites dot les limites sot doées das u même voisiage. Si Alors lim u = lim v = lim [u + v ] = lim u v = lim v L L L + L LL L L ' L L L + + L + idétermiée si L < + si L < si L > si L > idétermiée u = v avec règle des siges (1) idétermiée idétermiée idétermiée idétermiée (1) La limite de ce type de suite est + ou, selo le sige de L et si v ted vers zéro par valeurs positives ou égatives. Applicatio : Détermier la limite de la suite (u ) défiie par u 5 ² 3 7 Détermier la limite de la suite (u ) défiie par u ² 1 1. Les suites - Pricipe de récurrece - Limite d ue suite Page 6 Termiale S

7 Eseigemet spécifique 2. Théorèmes de comparaiso Théorème d ecadremet dit «des gedarmes» ( admis) (u ), (v ), (w ) sot trois suites et u réel. Si à partir d u certai idice N tel que pour tout >N, w u v et si alors lim u. x lim x w lim v x Théorèmes de mioratio et de majoratio 1. Si à partir d u certai idice N tel que pour tout > N, u v et si lim v alors lim u. x x 2. Si à partir d u certai idice N tel que pour tout > N, u v, et si lim v alors lim u. x x Démostratio pour le bac O suppose que lim v x. Il s agit de démotrer que tout itervalle de la forme ]A ;+[ cotiet toutes les valeurs u à partir d u certai rag. Soit A u réel, comme lim v, l itervalle ]A ;+[ cotiet tous les termes v à partir d u x certai rag p. De plus pour tout > N, u v Alors pour tout etier max N, p, o a u v A c'est-à-dire que u A et lim u. La démostratio du théorème de majoratio est aalogue. x 3. Covergece des suites mootoes Défiitio 6: Suite borée Soit (u ) ue suite umérique. O dit que (u ) est majorée lorsqu il existe u réel M tel que pour tout, u M. O dit que (u ) est miorée lorsqu il existe u réel m tel que pour tout, u m. Lorsque (u ) est majorée et miorée, o dit que (u ) est borée. 1. Les suites - Pricipe de récurrece - Limite d ue suite Page 7 Termiale S

8 Eseigemet spécifique Iterprétatio graphique : M + 1 m + (u ) est majorée par M (u ) est miorée par m Par égatio : La suite (u ) est o majorée sigifie que pour tout réel M, aussi grad que l o veut, il existe u terme N tel que u N > A. Théorème 1 : Soit ue suite u covergeat vers u réel l. Si la suite u est croissate alors la suite u est majorée par l. Démostratio o exigible pour le bac O raisoe par l absurde : o suppose qu il existe u réel tel que u l. Comme la suite u est croissate pour tout o a l u u (1) Comme la suite u coverge vers l, il existe u rag N tel que pour tout etier N, u l 1; u aisi pour tout etier N, u u (2) O aboutit à ue cotradictio et l hypothèse iitiale est doc fausse. O e déduit que pour tout etier, u l. Théorème 11 : 1. Toute suite croissate o majorée a pour limite + 2. Toute suite décroissate o miorée a pour limite Démostratio o exigible pour le bac Soit (u ) ue telle suite. La suite (u ) état pas majorée, pour tout réel M aussi grad que l o veut, il existe u terme u N tel que u N > M. La suite état croissate, pour tout etier supérieur à N, u u N doc u > M. A partir de l idice N, tout itervalle ]M ;+[ cotiet tous les termes de la suite (u ). D après la défiitio 1, la limite de (u ) est doc +. La démostratio du 2. repred les mêmes idées. 1. Les suites - Pricipe de récurrece - Limite d ue suite Page 8 Termiale S

9 Eseigemet spécifique Théorème 12 (admis) : 1. Toute suite croissate et majorée est covergete. 2. Toute suite décroissate et miorée est covergete. Applicatio : Soit (u ) la suite umérique défiie sur N par : u u 3u 4 1 a. Justifier que pour tout N, u. b. Motrer que (u ) est majorée par 4. c. Motrer que (u ) est strictemet croissate (o pourra utiliser u raisoemet par récurrece). d. E déduire que (u ) coverge et détermier sa limite. 4. Limite d ue suite géométrique u = q Théorème 13 : Soit q est u réel. (u ) est la suite géométrique défiie par u = q. Si 1 < q < 1 alors lim q. O dit que (u ) coverge vers. Si q > 1 alors lim q Si q < 1 alors (u ) a pas de limite.. O dit que (u ) diverge vers +. Démostratio pour le bac Soit u réel q>1. O pose alors q=1+a avec a>. O a motré par récurrece que pour tout etier aturel, 1 a 1 a. Aisi pour tout etier aturel, q 1 a. Or lim 1 a car a>. q D après le théorème de mioratio o a doc lim. No exigible pour le bac Soit u réel q < 1. Les valeurs de q sot alterativemet positive ou égative suivat la parité de. La suite admet doc pas de limite. O suppose que 1 < q < 1. Das le cas q=, lim q. Das le cas < q < 1 o a 1 1 q, doc 1 lim q et par passage à l iverse lim q. Das le cas -1< q <, pour tout etier, q q q. Comme lim q, d après le théorème des gedarmes lim q. 1. Les suites - Pricipe de récurrece - Limite d ue suite Page 9 Termiale S