CH V : Généralités sur les suites réelles

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1 CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout élément n N possède une image par u. Notation u : N R n u(n) On utilisera la notation pour représenter u(n), l image de l application u au point n. Pour cet élément, on préférera parler de valeur de la suite au rang n ou encore de terme général de la suite. Une telle application u sera généralement notée ( ) n N ou tout simplement ( ). On pourra aussi considérer des suites : définies seulement à partir du rang 1 u : N R n 1 n v : N R n ln(n) définies seulement à partir du rang : (ln(n 1)) n ( ) 1 définies seulement à partir du rang m (pour m N) : n (m 1) I.. Comment définir une suite? a) Par formule explicite n N, = 5n + 3 n N, =.7 n b) Par formule récurrente u0 = 3 n N, +1 = + 5 (cette suite est arithmétique, cf plus loin) u0 = n N, +1 = 7 (cette suite est géométrique, cf plus loin) u 0 = u 1 = ln(3) n N, + = (cette suite est dite récurrente linéaire d ordre, cf plus loin) u 0 = 8 u 1 = 10 n N, + = 7 ln(+1 ) (cette suite n est ni arithmétique, ni géométrique... ) c) Par restriction sur N d une fonction réelle f : R R x x e et n N, u x n = f(n) = n e n n m Évidemment, ce type de définition n est possible que si la fonction f est définie sur un ensemble qui inclut N. On obtient ainsi une formule explicite pour la suite. 1

2 I.3. Propriétés - vocabulaire I.3.a) Sens de variation Une suite est croissante si elle définit une fonction croissante. ( ) croissante ( m N, n N, (m n u m )) On utilise en fait la définition suivante qui tire partie des propriétés de N. Définition (Sens de variation des suites) Une suite ( ) est dite croissante si : n N, +1 Une suite ( ) est dite décroissante si : n N, +1 Dans le cas où ces inégalités sont strictes, on parlera de croissance stricte et de décroissance stricte. Une suite ( ) est dite (strictement) monotone si elle est : soit (strictement) croissante, soit (strictement) décroissante. Une suite à la fois croissante et décroissante est constante. ( ) constante a R, n N, = a n N, = u 0 n N, +1 = Une suite est dite stationnaire si elle est constante à partir d un certain rang. n 0 N, n N, (n n 0 = 0 ) De manière générale, on dit qu une propriété P(.) est vérifiée à partir d un certain rang si : n 0 N, n N, (n n 0 P(n)) Montrer que ces deux notions de croissance sont équivalentes. Méthodologie Pour montrer qu une suite est croissante, il faut démontrer que : n N, +1 Cherchons à simplifier cette inégalité. Soit n N. 1) En déplaçant de l autre côté de l inégalité : À retenir : pour étudier la monotonie d une suite ( ), on peut étudier le signe de la quantité +1. ) En divisant par : a. Si > 0 : b. Si < 0 : Dans le cas des suites de signe constant, on peut donc étudier la monotonie de ( ) en formant le quotient. Plus précisément : À retenir : pour étudier la monotonie d une suite ( ), Si ( ) est une suite strictement positive ( n N, > 0) ( ) croissante n N, ( ) décroissante n N, Si ( ) est une suite strictement négative ( n N, < 0) ( ) croissante n N, ( ) décroissante n N, (pour monotonie stricte : remplacer inégalités larges par des strictes)

3 Soit ( ) une suite telle qu il n existe aucun rang à partir duquel elle est de signe constant. Montrer que ( ) n est pas monotone. La forme de nous permet de décider quelle quantité considérer : si est définie «à l aide de sommes», on forme la quantité +1. si est définie «à l aide de quotients», on forme la quantité +1. Exemple Déterminer le sens de variation des suites ( ) et (v n ) définies par : a) n N, = n 1 k k=1 Soit n N. On a : +1 = 1 0. n + 1 Ainsi, la suite ( ) est croissante. (elle est même strictement croissante puisque b) n N, v n = n! n. 1 n + 1 > 0) Soit n N. Comme n! > 0 et n > 0, on a : v n > 0. La suite (v n ) est strictement positive. Or : v n+1 v n = = (n + 1)! n n + 1 n! = (n + 1) (n!) n n + 1 n! n + 1 n + 1 n + 1 n = n + 1 n > 1 Ainsi la suite (v n ) est strictement croissante. I.3.b) Bornes d une suite réelle Définition (Notion de majorant, minorant) Une suite ( ) est dite majorée si elle admet un majorant. M R, n N, M Une suite ( ) est dite minorée si elle admet un minorant. m R, n N, m Une suite à la fois majorée et minorée est dite bornée. ( ) est bornée (m, M) R, n N, m M Si une suite ( ) admet un majorant M, tout réel R M est aussi majorant de la suite puisqu on a alors : n N, M R. Ainsi, si la suite ( ) admet un majorant, elle en admet une infinité. Un majorant d une suite ( ) est un réel indépendant de la valeur de n. Par exemple, si on a ( ) telle que : n N, n, on ne peut pas en conclure que ( ) est majorée. (par exemple, on a : n N, n n mais la suite (n) n est pas majorée) Exemple Considérons la suite ( 1 ). n Elle est majorée par puisque : 1. n Elle est donc majorée par :,.1, e, 3, 7, Parmi ces majorants, il convient de distinguer «le meilleur» i.e. celui qui apporte le plus d information sur la suite. Il s agit ici de, le plus petit des majorants de la suite. 3

4 Définition (Notion de borne supérieure, inférieure) Toute suite réelle ( ) majorée admet une borne supérieure : par définition, c est le plus petit des majorants de la suite. On notera sup n N la borne supérieure de ( ). Toute suite réelle ( ) minorée admet une borne inférieure : par définition, c est le plus grand des minorants de la suite. On notera inf n N la borne inférieure de ( ). Par définition, la borne supérieure de ( ) (si elle existe!) est un majorant de ( ). On est donc dans l un des deux cas suivants : soit ( ) est majorée et, dans ce cas, elle admet une borne supérieure, soit ( ) n est pas majorée et, dans ce cas, elle n admet pas de borne supérieure. Il est à noter que la borne supérieure de ( ) (si elle existe!) n est pas forcément un élément de la suite. Par exemple, la suite ( ) de terme générale = 1 n admet pour borne supérieure sup =. Et n est jamais atteint ( n N, ). n N Si le «meilleur» des majorants est atteint, on parle de maximum. Définition (Notion de maximum, minimum) On dira qu une suite ( ) admet un maximum atteint au rang n 0 si : n 0, n N, 0 Un maximum atteint au rang n 0 sera noté : 0 = max n N. On dira qu une suite ( ) admet un minimum atteint au rang n 0 si : n 0, n N, 0 Un maximum atteint au rang n 0 sera noté : 0 = min n N. Les notions de maximum et de borne supérieure sont différentes. 1) Si une suite admet un maximum, alors elle admet aussi une borne supérieure qui est égale à ce maximum. ) Ainsi, si une suite n admet pas de borne supérieure, elle n admet pas non plus de maximum. (c est la contraposée du point précédent) 3) Une suite peut admettre une borne supérieure mais pas de maximum. Autrement dit, la borne supérieure d une suite n est pas forcément atteinte (i.e. n est pas forcément un élément de la suite). (considérer par exemple la suite ( 1 n )) ( a) La suite 1 1 ) est-elle majorée? Minorée? n + 1 Admet-elle une borne supérieure? Une borne inférieure? b) Répondre aux mêmes questions dans le cas de la suite Propriété (Caractérisation des suites bornées) ( ) est bornée M 0, n N, M ( n + 1 Autrement dit : ( ) est bornée ssi la suite ( ) possède un majorant. Démonstration. On procède par double implication. ( ) Si ( ) est bornée, il existe m 1 et M 1 tels que : n N, m 1 M 1. Notons M = max ( m 1, M 1 ). On a alors : n N, M ( ) Il suffit de remarquer que (propriété de la fonction valeur absolue) : M M M ). 4

5 I.3.c) Suites extraites Définition Soit ( ) est une suite. Soit ϕ : N N une application strictement croissante. La suite (u ϕ(n) ) est une sous-suite (ou suite extraite) de ( ). Exemple Considérons la suite ( ) de terme général = ( 1)n n + 1. Si on note v n = u n, alors (v n ) est une suite extraite de ( ) définie par : n N, v n = ( 1)n (n) + 1 = 1 n + 1. Si on note w n = u n+1, alors (v n ) est une suite extraite de ( ) définie par : n N, w n = ( 1)n+1 (n + 1) + 1 = 1 n +. La suite ( 3 ) n 3 est aussi une suite extraite de ( ). La suite (u ln(n) ) n 1 n est pas une suite extraite de ( ). On considère la suite (S n ) de terme général : S n = n k=1 ( 1) k+1. k a. Montrer que (S n ) et (S n+1 ) sont des suites extraites de la suite (S n ). Il suffit de remarquer que ϕ : n n et ψ : n n+1 sont des fonctions : de N dans N, strictement croissantes. b. Déterminer le sens de variation des suites (S n ) et (S n+1 ). Notons (v n ) la suite de terme général v n = S n. Alors : v n+1 v n = S (n+1) S n = S n+ S n =... (on agit de même pour (S n+1 )... ) II. Suites usuelles II.1. Suites arithmétiques Définition Une suite ( ) est dite arithmétique s il existe un réel r tel que : n N, +1 = + r Dans ce cas, le réel r est appelé raison de la suite. Théorème 1. (Caractérisation des suites arithmétiques) ( ) arithmétique r R, n N, = u 0 + n r Exemple La suite ( ) suivante est arithmétique. u0 = 3 n N, +1 = + 5 Elle a pour formule explicite : n N, = 5n + 3. Propriété (D autres caractérisations) 1. ( ) arithmétique n N, = ( ) arithmétique r R, n N, p N, = u p +(n p)r Démonstration. La caractérisation est relativement immédiate. La caractérisation 1 se démontre en formant la différence 1. 5

6 II.. Suites géométriques Définition Une suite ( ) est dite géométrique s il existe un réel q tel que : n N, +1 = q Dans ce cas, le réel q est appelé raison de la suite. Théorème. (Caractérisation) ( ) géométrique q R, n N, = u 0 q n Exemple La suite ( ) suivante est arithmétique. u0 = 3 n N, +1 = 5 Elle a pour formule explicite : n N, = 3 5 n. Propriété (D autres caractérisations) 1. ( ) géométrique n N, = ( ) géométrique q R, n N, p N, = u p q (n p) Démonstration. La caractérisation est relativement immédiate. La caractérisation 1 peut se faire par analogie avec la preuve dans le cas arithmétique : on forme (pour 1 0!). 1 (que dire d une suite géométrique ( ) qui admet un rang n 0 tq 0 = 0?) Sommes des premiers termes d une suite arithmétique / géométrique 1) Soit ( ) suite arithmétique de raison r. Alors : u k = n (u 0 + k r) = n = (n + 1) u 0 + r n(n + 1) ) Soit ( ) suite géométrique de raison q 1. Si q 1, on a : u k = n q k u 0 = u 0 n u 0 + r q k n = (n + 1) k (u 0 + n r ) = u 0 1 qn+1 1 q On rappelle que si m 0, n, on a : q k = qm q n+1 k=m 1 q Ce qu on peut montrer aussi en écrivant la somme en extension : k=m 3) Si q = 1, on a : q k = q m + q m q n = q m (1 + q q n m ) ( n m ) = q m q k = q m 1 qn m+1 = qm q n+1 1 q 1 q u k = n 1 k u 0 = n (somme d une suite arithmétique) Soit ( ) une suite arithmétique. u 0 = (n + 1) u 0 a. Montrer que : k 0, n, u k + k = u 0 +. b. En déduire que : n N, u k = (n + 1) u 0 +. c. Retrouver la valeur de n k à l aide de cette formule. 6

7 a. Que peut-on dire du sens de variation d une suite arithmétique? Soit ( ) suite arithmétique de raison r. Alors : +1 = r La suite ( ) est croissante si r 0, décroissante sinon. b. Que peut-on dire du sens de variation d une suite géométrique? Soit ( ) suite géométrique de raison q. Si u 0 = 0 ou q = 0, la suite est constante nulle. Elle est donc à la fois croissante et décroissante. On suppose maintenant u 0 0 et q 0. On a donc : n N, 0 (récurrence immédiate). 1) Traitons le cas u 0 > 0. si q > 0, on a alors : n N, > = q La suite ( ) est croissante si q, décroissante sinon. si q < 0, la suite change de signe d un rang à l autre. La suite ( ) n est donc ni croissante ni décroissante. ) Le cas u 0 < 0 est similaire. Il faut cependant faire attention. En effet, si la suite ( ) est négative on a : si q > 0, on a alors : n N, < 0. La suite ( ) est croissante si q, décroissante sinon. si q < 0, la suite change de signe d un rang à l autre. La suite ( ) n est donc ni croissante ni décroissante. Et si on prenait un peu de recul? Les suites arithmétiques et géométriques ont des constructions similaires : partant d un élément u 0 on itére n fois une opération scalaire pour obtenir la valeur de. Cette opération est : l ajout de la raison dans le cas d une suite arithmétique, la multiplication par la raison dans le cas d une suite géométrique. On peut obtenir les caractérisations précédentes (et démonstrations) des suites géométriques par traduction des propriétés des suites arithmétiques suivant le dictionnaire suivant : + / n.r q n = u n = +1 1 suites arithmétiques suites géométriques Soient ( ) une suite arithmétique et (v n ) une suite géométrique dont tous les termes sont strictement positifs. a. Que peut-on dire de la suite (v n ) de terme général v n = e un? Notons r la raison de ( ). On a alors : v n+1 = e +1 = e un+r = e r e un = e r v n La suite (v n ) est donc géométrique de raison e r. b. Que peut-on dire de la suite ( ) de terme général v n = ln( )? Notons q la raison de ( ). On traite le cas où u 0 > 0 et q > 0 (pour assurer : n N, > 0. On a alors : v n+1 = ln(+1 ) = ln(q ) = ln(q)+ln( ) = v n +ln(q) La suite (v n ) est donc arithmétique de raison ln(q). 7

8 II.3. Suites arithmético-géométriques II.3.a) Définition Définition Une suite ( ) est dite arithmético-géométrique s il existe a R\0, 1} et un réel b 0 tel que : n N, +1 = a + b On appelle équation de point fixe associée à la suite ( ) l équation (en la variable x) suivante : x = a x + b (si on note f : x a.x + b, cette équation se réécrit : f(x) = x, faisant ainsi de l élément x R un point fixe de f) II.3.b) Méthode d étude Considérons une suite arithmético-géométrique ( ). On va ramener l étude de ce type de suites à l étude des suites géométriques. 1) Résolution de l équation de point fixe x = a x + b b Cette équation admet pour unique solution λ = 1 a. ) Utilisation d une suite auxiliaire (v n ) (géométrique) On écrit : +1 = a + b (L 1 ) λ = a λ + b (L ) et donc +1 λ = a ( λ) (L 1 ) (L ) Notons alors (v n ) la suite de terme général v n = λ. De par l égalité précédente, on a : v n+1 = a v n. 3) Obtention de la formule explicite pour (v n ) La suite (v n ) est géométrique de raison a. Ainsi : n N, v n = a n v 0. 4) Conclusion : obtention de la formule explicite pour ( ) On a donc, pour tout n N : λ = a n (u 0 λ) On obtient donc une formule explicite pour ( ). n N, = a n (u 0 λ) + λ Le principe de la démonstration est de faire appraître comme somme d une partie géométrique (v n ) et d un élément (λ) : = v n + λ. Les suites arithmético-géométriques apparaissent ainsi comme des suites géométriques translatées de λ. On note que la partie géométrique dans la définition de ( ) (+1 = a +...) se retrouve dans la formule explicite ( = a n (u 0 λ)+...). Notons ( ) la suite définie par u 0 = 0 et : n N, +1 = 3 +. Donner une formule explicite de ( ) puis calculer u k. 1) L équation de point fixe associée à la suite ( ) est : x = 3 x +. Or : x = 3 x + x = Cette équation a donc pour unique solution : λ = 1. ) On écrit : +1 = 3 + (L 1 ) λ = 3 λ + (L ) et donc +1 λ = 3 ( λ) (L 1 ) (L ) Notons alors (v n ) la suite de terme général v n = λ. 3) La suite (v n ) est géométrique de raison 3. Ainsi : n N, v n = 3 n v 0 = 3 n (u 0 λ) = 3 n (0 ( 1)) = 3 n. 4) On a donc, pour tout n N : = v n + λ = 3 n 1. Enfin, u k = n (3 k 1) = n 3 k n 1 = 1 3n = (3 n+1 1) n 1 = 3 n+1 n 3 (n + 1) 8

9 II.4. Suites récurrentes linéaires d ordre II.4.a) Définition Définition Une suite ( ) est dite récurrente linéaire d ordre s il existe deux réels (non nuls) a et b tels que : n N, + = a +1 + b On appelle équation caractéristique associée à la suite ( ) l équation (en la variable x) x = ax + b. On peut la réécrire : II.4.b) Méthode d étude x ax b = 0 Cette méthode est basée sur le calcul des racines de l équation caractéristique. On a ainsi trois cas différents, en fonction du discriminant du polynôme caractéristique. Théorème 3. Soit ( ) une suite récurrente linéaire d ordre. Il existe donc a 0 et b 0 tels que : n N, + = a+1 + b. 1) Si = a + 4b > 0 Alors le polynôme admet deux racines réelles distinctes r 1 et r. La formule explicite de ( ) est donnée par : = λ r n 1 + µ r n où les réels λ et µ sont donnés par λ + µ = u 0 λ r 1 + µ r = u 1 ) Si = a + 4b = 0 Alors le polynôme admet une racine double r. La formule explicite de ( ) est donnée par : = λ r n + µ n r n où les réels λ et µ sont donnés par λ = u0 3) Si = a + 4b < 0 λr + µ r = u 1 Alors le polynôme n admet pas de racine réelle. Une formule explicite pour la suite ( ) existe bien mais ne sera pas donnée ici (Hors Programme). Démonstration. Hors programme et donc non développée ici. (suite de Fibonacci) On considère la suite donnée par : u 0 = 0 u 1 = 1 n N, + Donner une formule explicite de cette suite. = +1 + L équation caractéristique associée à la suite ( ) est : x = x + 1. Notons P le polynôme : P (X) = X X 1. Son discriminant est = ( 1) 4 ( 1) = = 5 > 0. Ce polynôme admet donc deux racines disctinctes : r 1 = 1 5 et r =

10 On en déduit la formule explicite de ( ) : n N, = λ r n 1 + µ r n où les valeurs λ et µ sont données par le système : 0 = λ + µ (valeur en n = 0) (S) 1 = λ r 1 + µ r (valeur en n = 1) Résolvons-le. 1 = (r1 r (S) ) µ r 1 (L 1 ) (L ) 1 = (r r 1 ) λ r (L 1 ) (L ) Notons enfin que : r r 1 = On en déduit que : λ = 1 et µ = Ainsi, pour tout n N, on a : ( = [( ) n ( = ) n ( 1 5 = ) n ] Dans cette résolution, on a conservé r 1 et r dans le système (S). Ce choix a été fait uniquement pour alléger les calculs qui suivent. Généralement, on utilise directement les valeurs de r 1 et r pour écrire et résoudre le système (S). ) n III. Retour sur le principe de récurrence III.1. Récurrence double III.1.a) Pour quels types d énoncés Ce principe de récurrence est adapté lorsque, pour démontrer une propriété à un certain rang, il est nécessaire de savoir que cette propriété est vérifiée aux deux rangs précédents. Il est donc classique d opérer par récurrence double pour prouver des propriétés sur des suites ( ) qui sont définies sous la forme : u0, u 1 donnés n N, + = f(+1, ) où f est une fonction à deux variables. III.1.b) Aspect théorique Théorème 4. Soit P une propriété définie sur N et telle que : 1. Initialisation : P(0) et P(1) sont vraies. Hérédité : n 0, (P(n) ET P(n + 1) P(n + )) Alors la propriété est vérifiée pour tout entier naturel. Autrement dit : n 0, P(n) On considère la suite ( ) définie par : u0 = 1, u 1 = 4 n N, + = +1 Montrer que : n N, est bien défini et tel que > 0. 10

11 III.1.c) Modèle de rédaction : illustration sur un exemple On considère la suite ( ) définie par : u0 = 1, u 1 = 5 n N, + = Montrer que : n N, = 8 n 7 3 n. (ou par la méthode d étude des suites récurrentes linéaires d ordre ) Démonstration. Montrons par récurrence double que : n N, P(n) où P(n) : = 8 n 7 3 n. 1. Initialisation D une part, = 8 7 = 1 et d autre part u 0 = 1. Donc P(0). D une part, = = 16 1 = 5 et d autre part u 1 = 5. Donc P(1).. Hérédité : soit n N. Supposons P(n) et P(n + 1) sont vérifiées. Démontrons P(n + ). (i.e. + = 8 n+ 7 3 n+ ) Par définition de la suite ( ), on a : + = = 5(8 n n+1 ) 6(8 n 7 3 n ) (par H.R.) = 8 n (5 6) 7 3 n (5 3 6) = 8 n n 9 = 8 n+ 7 3 n+ Donc P(n + ) est vérifiée. Par principe de récurrence, on a : n N, P(n). III.. Récurrences fortes III..a) Pour quels types d énoncé Ce principe de récurrence est adapté lorsque, pour démontrer une propriété à un certain rang, il est nécessaire de savoir que cette propriété est vérifiée à tous les rangs précédents. Il est donc classique d opérer par récurrence forte pour prouver des propriétés sur des suites ( ) qui sont définies sous la forme : u0 donné n N, +1 = f n (u 0, u 1,..., ) où f n est une fonction à n + 1 variables. III..b) Aspect théorique Théorème 5. Soit P une propriété définie sur N et telle que : 1. Initialisation : P(0) est vraie. Hérédité : n N, (P(0) ET P(1) ET P() ET... ET P(n) P(n + 1)) Alors la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n 0. Autrement dit : Exemple n 0, P(n) 1) On considère la suite ( ) définie par : u 0 = n N, = n 1 Démontrer que : n, = n + 1. u k k

12 ) On considère la suite (v n ) définie par : v 0 = n N, v n = n 1 (k + 1)v k Démontrer que : n, v n = (n + 1)! On pourra se servir du fait que : (k + 1) = ((k + ) 1) 3) On considère la suite (w n ) définie par : w0 = 1 Montrer que : n N, w n n. n N, w n+1 = w 0 + w w n Ces exemples sont assez artificiels. On peut en effet les traiter par récurrence simple en remarquant que : 1) +1 = ( n + 1 ) v n+1 = (n + )v n, 3) w n+1 = w n. ), III..c) Modèle de rédaction : illustration sur un exemple Montrer que tout entier n est multiple d un nombre premier. Démonstration. Montrons par récurrence forte que : n, P(n) où P(n) : n est multiple d un nombre premier. 1. Initialisation est multiple d un nombre premier : lui-même. Ainsi, P() est vérifiée.. Hérédité : soit n. Supposons que la propriété est vérifiée jusqu au rang n (autrement dit, P() et P(3) et... et P(n) sont vraies). Démontrons P(n + 1) (i.e. n + 1 est multiple d un nombre premier) Deux cas se présentent. Si n + 1 est premier : Alors n + 1 est multiple de lui-même. Donc P(n + 1) est vérifiée dans ce cas. Si n + 1 n est pas premier : Alors, par définition, n+1 admet un diviseur d autre que 1 et lui-même. Ce diviseur est dans l ensemble, n. Or, par hypothèses de récurrence (c est P(d) qui nous sert ici), on sait que : d est multiple d un nombre premier p. Par suite, n + 1 est multiple de p. Donc P(n + 1) est aussi vérifiée dans ce cas. Ainsi P(n + 1) est vérifiée. Par principe de récurrence, on a : n N, P(n). 1

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