Méthodes sur les suites

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1 Méthodes sur les suites G. Petitjean Lycée de Toucy 19 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

2 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n ) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

3 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

4 énoncé On considère la suite u définie de N dans R par u : n 2n 1 Ecrire les 5 premiers termes de la suite 2 Expliciter les termes u n 1, u n+1, u n Représenter graphiquement cette suite G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

5 1 u 0 = 0, u 1 = 2, u 2 = 2, u 3 = 6 et u 5 = u n 1 = 2n 2,u n+1 = 2n + 2,u n + 1 = 2n On trace la courbe d équation y = 2x G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

6 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

7 énoncé Soit (t n ) la suite définie par { t0 = 0 t n+1 = t n + 2n Donner les cinq premiers termes de cette suite 2 Emettre une conjecture sur l expression de t n en fonction de n 3 Démontrer cette conjecture G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

8 1 t 0 = 0 t 1 = t = 1 t 2 = t = 4 t 3 = t = 9 t 4 = t = 16 2 t n = n 2 3 Soit (u n ) la suite définie par u n = n 2. u 0 = 0 et u n+1 = (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 = u n + 2n + 1 Les suites (u n ) et (t n ) ont le même premier terme et sont définies par la même relation de récurrence, donc elles sont égales. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

9 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

10 énoncé On note f la fonction définie sur [ 1; + [ par f (x) = x + 1 et (C) sa courbe représentative. { u0 = 0, 8 La suite (u n ) est définie par u n+1 = u n Construction des courbes Tracer (C) et la droite d équation y = x sur [ 1; 4] dans un repère orthonormé (unité 5 cm) Placer u 0 sur l axe des abscisses. 2 Construction des termes sur (Ox) Expliquer comment construire u 1 sur l axe des abscisses. Construire pas à pas les premiers termes de la suite jusqu à u 3 sur l axe des abscisses. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

11 u 1 est l image de u 0 par la fonctionf, donc le point de la courbe (C) d abscisse u 0 a pour ordonnée u 1. Le point de la droite (D) d équation y = x, d ordonnée u 1 a pour abscisse u 1. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

12 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

13 énoncé Déterminer les variations de la suite (u n ) dans chacun des cas : 1 u n = n 2 u n = 3 n 3 u n = 0, 4 n 4 u n = n2 + 1 n + 3 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

14 Déterminer les variations de la suite (u n ) dans chacun des cas : 1 (u n ) est croissante car la fonction x x est croissante sur [0; + [ 2 u n+1 u n = 3 n+1 3 n = 3 n (3 1) = 2.3 n donc u n+1 > u n pour tout naturel n, donc (u n ) est croissante 3 u n+1 u n = 0, 4 n+1 0, 4 n = 0, 4 n (0, 4 1) = 0, 6.0, 4 n donc u n+1 < u n pour tout naturel n, donc (u n ) est décroissante 4 Soit f la fonction définie sur [0; + [ par f (x) = x x + 3 f est dérivable sur [0; + [ et f (x) = 2x(x + 3) (x 2 + 1) (x + 3) 2 = x 2 + 6x 1 (x + 3) 2 f est positive sur ] ; + [, donc f est croissante sur ] ; + [, donc (u n ) est croissante à partir du rang n = 1 et u 0 = 1 3 < u 1 = 2 5, donc (u n ) est croissante. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

15 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

16 énoncé Chacune des suites (u n ) n N données est-elle arithmétique? 1 u n = 2n u n = n 3 + 3n 2 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

17 1 u n+1 u n = 2(n + 1) + 1 (2n + 1) = 2 donc (u n ) est une suite arithmétique de raison 2 (suite des nombres impairs) 2 u 0 = 0, u 1 = 2, u 2 = 4 mais u 3 = 0, donc (u n ) n est pas une suite arithmétique G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

18 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

19 énoncé u est une suite arithmétique telle que u 4 = 7 et u 9 = 3. Calculer u 100. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

20 u 9 = u 4 + 5r donc r = u 9 u 4 = 2 5 u n = u 9 + (n 9) ( 2) = 2n + 15, en particulier u 0 = 15 donc u 100 = = 185 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

21 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

22 énoncé Calculer les sommes suivantes 1 S = T = G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

23 1 S est la somme de termes consécutifs de la suite arithmétique (u n ) de premier terme u 0 = 1 et de raison r = 2 donc u n = 1 + 2n. u n = n = 125 n = 62 donc S = u 0 + u u 62 = = T est la somme de termes consécutifs de la suite arithmétique (v n ) de premier terme v 0 = 12 et de raison r = 3 donc v n = 12 3n. v n = n = 108 n = donc T = v 0 + v v 40 = 41 = G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

24 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

25 énoncé Chacune des suites (u n ) n N données est-elle géométrique? 1 u n = 2 n u n = n 3 + 3n 2 3 u n = 3n+2 2 n 1 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

26 1 u 0 = 2, u 1 = 3 et u 2 = 5 donc (u n ) n est pas une suite géométrique. 2 u 0 = 0, donc si (u n ) était une suite géométrique, pour tout n on aurait u n = 0. Or u 1 = 3, donc (u n ) n est pas une suite géométrique. 3 u n+1 u n = 3n+3 2 n 2n 1 3 n+2 = 3 2 donc (u n ) est une suite géométrique de raison 3 2 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

27 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

28 énoncé 1 u est une suite géométrique telle que u 5 = 8 et u 8 = 1. Calculer u 20 2 Un locataire a loué son appartement le 1 er février 1995 pour un loyer mensuel de 820 euros et subit chaque année une augmentation de 2%. Quel est le montant de son loyer le 1 er février 2005 après augmentation? { u0 = 2 3 La suite (u n ) est définie par. En étudiant la u n+1 = 3u n 2 suite (v n ) définie par v n = u n 1, exprimer u n en fonction de n G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

29 1 u 8 = u 5 q 3, d où q 3 = u 8 = 1 u 5 8, donc q = 1 2 ( u n = u 8 1 ) n 8 donc u 20 = = On note u n le loyer le 1 er février de l année ( n). u 0 = 820. L augmentation de 2% se traduit par l égalité u n+1 = u n + 0, 02u n soit u n+1 = 1, 02u n, donc (u n ) est une suite géométrique de raison 1,02 et u n = 820 1, 02 n. En 2005, le loyer sera donc u 10 = 820 1, euros 3 u 0 = 2, u 1 = 4, u 2 = 10, u 3 = 28, u 4 = 82 donc v 0 = 1, v 1 = 3, v 2 = 9, v 3 = 27, v 4 = 81 v n+1 = u n+1 1 = 3u n 2 1 = 3u n 3 = 3(u n 1) = 3v n, donc (v n ) est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3, donc v n = 3 n et u n = v n + 1 = 3 n + 1 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

30 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

31 énoncé Calculer les sommes suivantes 1 S = n 2 T = U = G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

32 1 S = 2n+1 1 = 2 n T = 1 + ( 3) 1 + ( 3) ( 3) 10 donc T = ( 3) = 1 4 ( ) = U est la somme de termes d une suite géométrique de raison 1 2, donc U = = G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

33 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

34 énoncé Déterminer la limite des suites données : 1 n 1 2 n 3 u n = 3n u n = 5n u n = 5 3 n 6 u n = 3 2 n { u0 = 5 7 u est définie par u n+1 = 1 3 u n G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

35 1 lim n + n = + 2 lim n + 1 n = 0 3 lim n + 3n + 2 = + (suite arithmétique de raison 3 > 0) 4 lim n + 5n + 1 = (suite arithmétique de raison - 5 < 0) 5 lim n n = + (suite géométrique de raison 3 > 1) 3 6 lim n + 2 n = 0 (suite géométrique de raison 1 ] 1; 1[) 2 7 lim n + u n = 0 (suite géométrique de raison 1 ] 1; 1[) 3 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

36 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

37 énoncé A l aide des propriétés de calcul sur les limites, déterminer celles des suites proposées : 1 u n = n 2 4n u n = 3n 2 + 4n u n = n2 3n 3n u n = 5n + 2 n 5 n 3 n 5 S n = ( 1 2 ) n G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

38 1 lim n 2 = et lim 4n + 5 =, donc lim u n = 2 u n = 3n 2 + 4n + 5 = n 2 ( n + 5 n 2 ) lim n 2 = + et lim n + 5 n 2 = 3 donc lim u n = 3 3 u n = n2 3n n2 (1 3n = n ) 1 3 n 2 (3 + 4 = n n 2 ) donc lim u n = 1 3 ( ) n 2 2 n ) ( ) 2 n 4 u n = 5n + 2 n 5 (1 n n 3 n = 5 5 ( ) 3 n ) = ( ) 3 n donc lim u n = 1 5 (1 n ( ) 1 n+1 5 S n = ( 1 n 1 2 2) = donc lim u n = 1 = G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

39 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d une suite u n+1 = f (u n) 4 Déterminer le sens de variation d une suite 5 Montrer qu une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 8 Montrer qu une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d une suite géométrique 10 Calculer la somme de termes consécutifs d une suite géométrique 11 Connaître les limites des suites usuelles 12 Calculer des limites de suites 13 Déterminer des limites de suites à l aide des théorèmes d encadrement G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

40 énoncé Déterminer la limite de la suite (u n ) définie par u n = ( 1 ) n n + 1 Déterminer la limite de la suite (v n ) définie par v n = n 2 n sin n G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

41 Pour tout n 1, on a 0 1 n ( ) 1 n 2, donc 0 u n et ( ) 2 1 n lim = 0 donc lim u n = 0 d après le théorème des gendarmes. 2 1 sin n 1 donc n n sin n n et n 2 n n 2 n sin n n 2 + n lim n 2 n = +, donc lim v n = + G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin / 41

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