Montbrison 1er avril

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1 La géométrie au cycle 3 R. Charnay - G. Combier A propos des programmes Deux points importants pour penser leur mise en œuvre R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

2 Sur les enjeux La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction, la rigueur et la précision. L acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. R. Charnay - G. Combier Sur la résolution de problèmes La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008) R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

3 Géométrie De quoi parle-t-on de l'école au collège? R. Charnay - G. Combier Du spatial au géométrique Le plus court chemin A B R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

4 Trois modes de résolution Résolution "pratique", sur le terrain Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation des objets (maisons : points, rivière : droite) Résolution mathématique : utilisation de connaissances R. Charnay - G. Combier A B P M C R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

5 Comparaison d'aires Les 2 triangles ont-ils la même aire? R. Charnay - G. Combier Quatre modes de résolution Résolution perceptive : estimation Résolution pratique : découpage, collage Résolution pratico-mathématique : mesurage, calcul (formules) Résolution mathématique : raisonnement R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

6 D C h M h A B R. Charnay - G. Combier La géométrie de l'école au collège C1 et C2 Géométrie de la perception Est vrai ce qui est "vu" comme tel Boîte à outils géométrique : l œil Géométrie instrumentée Fin C2 et C3 Sont vraies les propriétés contrôlées à l aide d'instruments Boîte à outils géométrique : instruments Collège Géométrie déductive Est vrai ce qui est démontré Boîte à outils géométrique : théorèmes R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

7 Déterminer une longueur (éva 6 (éva 6 e, 1998) Sur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm). On a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E. Trouve la longueur du segment [EB] :.. Explique ta réponse :. Victor : 3,5 cm (le cercle est au milieu du segment) 26,3 % Adrien : 1 cm 8 (j ai mesuré) 16,6 % Lise : 3 cm (car 7 cm 4 cm = 3 cm) 10,3 % R. Charnay - G. Combier Reconnaissance du carré Au CP, seul A est reconnu comme un carré A Au CE2, B devrait l'être aussi B En 6 e, C également C R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

8 Evaluation 6 e 2004 Losange ou carré 53,2% Carré 40,7% Losange et carré 5,1% Rectangle 29,6% R. Charnay - G. Combier QUELQUES REPÈRES pour l'enseignement R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

9 Un concept Différents aspects R. Charnay - G. Combier Perpendicularité R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

10 R. Charnay - G. Combier R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

11 R. Charnay - G. Combier R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

12 Plusieurs aspects pour un même concept Perpendicularité Angle particulier : - angle d'une figure connue (carré, rectangle) - limite aigu/obtus - quart de tour ou 4 angles égaux de même sommet recouvrent le plan R. Charnay - G. Combier Plusieurs aspects pour un même concept - Vertical/horizontal Perpendicularité - Droite d équilibre ou demi-angle plat - Axe de symétrie d'une droite (pliage) - Plus courte distance d'un point à une droite R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

13 Parallélisme R. Charnay - G. Combier Plusieurs aspects pour un même concept Parallélisme - Ne se rencontrent pas, non sécantes - Vont dans la même direction ou Même inclinaison par rapport à une droite donnée - Ecart constant R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

14 Plusieurs aspects pour un même concept Parallélisme - Perpendiculaires à une même autre droite - Symétriques par rapport à un point R. Charnay - G. Combier Perpendicularité Evolution de la notion à l école R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

15 Une première étape au CE1 L'angle droit lié au "coin" du carré Mise en débat : carré / pas carré Les gabarits avant l'équerre R. Charnay - G. Combier Des angles droits dans d'autres figures R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

16 Portrait : Qui suis-je? -J'ai un seul angle droit - J ai 8 côtés, 6 angles droits et un axe de symétrie -J'ai 4 côtés et 2 angles droits R. Charnay - G. Combier Une deuxième étape au CE2 Des gabarits aux équerres Différentes équerres - Repérage des angles droits Les équerres pour - Identifier des angles droits - Reconnaître des figures (carré, rectangle, triangle rectangle) - Reproduire, compléter, construire des figures R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

17 Une troisième étape au CE2 La perpendicularité Point de départ - Horizontal / vertical 2 directions déterminées par le fil à plomb et le niveau à bulle Lien avec angle droit Retrouver la trace du fil à plomb lorsque qu'on fera coïncider cette ligne avec le niveau à bulle. Définition Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont deux droites perpendiculaires. R. Charnay - G. Combier Une quatrième étape au CE2 Entraîner et enrichir la perpendicularité Identifier à vue avec l'équerre Tracer, à main levée avec l'équerre R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

18 Une cinquième étape au CM1 L'angle droit parmi d'autres angles Angle droit = quart de tour 2 perpendiculaires : 4 angles droits R. Charnay - G. Combier Optimisation du tracé de deux droites perpendiculaires Tracé 1 Tracé 2 Tracé 3 R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

19 Une sixième étape au CM1 Perpendicularité outil Exemple : pour le parallélisme Exemple : pour la symétrie Avec uniquement l'équerre, sans mesurer, tracer une droite qui passe par le point A et qui est parallèle à la droite d. AA d R. Charnay - G. Combier Une septième étape au CM2 Un nouvel aspect de la perpendicularité 1) Trouver le point de la droite D qui est le proche du point A. d A 2) Ecrire une méthode qui permet de trouver, du premier coup, le point d'une droite qui est le plus proche d'un point qui n'est pas sur la droite. A d R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

20 Une huitième étape au CM2 Réinvestissement de la perpendicularité - Pour décrire une figure - Pour reproduire une figure - Pour construire une figure - d'après une description - d'après un schéma R. Charnay - G. Combier La suite au collège - Tracé à la règle et au compas (relation avec médiatrice et axe de symétrie) - Mesure : 90 (utilisation du rapporteur) - Perpendicularité et distance d'un point à une droite - Perpendicularité et Pythagore ABC est rectangle en A<=> BC 2 =AB 2 +AC 2 - Perpendicularité et demi-cercle R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

21 Enseigner la géométrie à l école R. Charnay - G. Combier Une approche par les problèmes Localiser : décrire une position, repérer Reproduire Décrire, en vue de faire reproduire ou reconnaître Représenter Construire, à partir d'une description, d'un programme de construction, d'un schéma Classer Agrandir, réduire R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

22 Quelles notions (relations)? Relations spatiales ordinaires Alignement Égalité de longueurs, milieu Perpendicularité Parallélisme Comparaison et égalité d angles Axes de symétrie R. Charnay - G. Combier Des compétences attendues sur les objets suivants Objets de base (mais pas premiers!) : point, droite, segment, angle Polygones : triangles et cas particuliers (hauteur), carré, rectangle, losange, parallélogramme (angles, côtés, pas les diagonales) Cercle Polyèdres : cube, pavé droit, prisme droit, pyramide, cylindre R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

23 Quels instruments et techniques? Gabarits : angle droit, angles, longueurs Règle graduée ou non, équerres (ordinaire, réquerre, téquerre) Guide-âne Compas Calque, pliage, géomiroir, papier quadrillé, papier pointé R. Charnay - G. Combier Vocabulaire : une attention particulière Les mots ne sont pas les concepts Polysémie : exemple du mot "droit" Formulations spécifiques La droite d est parallèle à la droite f Les droites d et f sont parallèles Tracer la droite parallèle à la droite d qui passe par le point A R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

24 Quelques exemples de problèmes Autour du cercle R. Charnay - G. Combier Au CM1 Des exemples de pièces qui "passent" ou qui ne "passent pas" sont montrés au préalable. A la fin une validation expérimentale est possible. R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

25 Problème : faire apparaître un diamètre 1 ère étape : tous les moyens sont possibles. 2 e étape : les instruments de géométrie sont interdits. R. Charnay - G. Combier Utiliser ses connaissances Analyser la figure, dans le but d'en compléter un agrandissement dans une position différente. R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

26 Triangles CM2 R. Charnay - G. Combier Exercices R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

27 Triangles particuliers Groupes A : équerre et calque Groupes B : équerre et compas Choisir un triangle et le décrire pour qu'un groupe différent qui dispose du même matériel puisse le reconnaître R. Charnay - G. Combier En conclusion Un concept géométrique Des références spatiales Des problèmes et différentes conceptions Différents langages : vocabulaire, dessin précis, schéma Des techniques et des instruments de référence Un outil pour le raisonnement R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

28 Deux exemples de problèmes "de raisonnement" R. Charnay - G. Combier Montbrison 1er avril

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