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1 TD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE Exercice en classe EXERCICE 1 : La fibre à gradient d indice On considère la propagation d une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique dont l indice de réfraction n(x) ne dépend que de la coordonnée x. On suppose le milieu illimité dans la direction oy et l on ne s intéresse qu à la propagation selon l axe oz. On désigne par θ(x) l angle entre la tangente au rayon et l axe oz et par i(x) son complément. 1) Sachant que n(x)sin(i(x)) est une constante A (loi de Descartes) et que cotg(i)=dx/dz, établir l équation x(z) de la trajectoire d un rayon lumineux dans le milieu (On déterminera la constante A à partir des conditions d injection de la lumière dans la fibre x 0 et i 0 ). Du fait de la validité de la loi de Descartes quelque soit la position du point M sur la trajectoire du rayon lumineux, on peut écrire cette loi en tout point de la trajectoire et notamment en z=0 (conditions d injection de la lumière): On retiendra donc : (1) De plus (2) A partir des relations (1) et (2) et par différentiation, on obtient (2) (3) (1) (4) d'où l'expression de l'équation différentielle de la trajectoire x(z) : 1

2 (5) 2) Prenons le cas d une fibre dont le profil d indice est : où Δ est une constante très inférieure à l unité. Ce profil est représenté ci-dessous pour α=1, α=2 et α=+ en fonction de x/a. et n 0 =1.45 Déterminer la valeur du paramètre α conduisant à une fonction sinusoïdale de x(z) de la forme. Calculer X 0 et Λ. Etablissons l éq. de la trajectoire pour le profil d indice donné : L'équation (5) devient dans le cas du profil indiqué Pour (6) Pour (7) Maintenant, partons de la trajectoire voulue et faisons en sorte qu elle satisfasse (5) et (6) On veut x(z) de la forme : avec X0<a (8) On différentie 2 fois (8) par rapport à z : (9) Puis on identifie (9) avec (6), on en déduit : α = 2 et Il reste à déterminer l amplitude de la trajectoire X0 Les variables ϕ et X0 sont déterminées par les conditions d injection dans la fibre en z=0, soit 2

3 Remarque : x0 et θ0 sont connues : injection dans la fibre - On élimine ϕ dans (8) et (9), on en déduit X0 en fonction de Λ. - On remplace Λ par son expression trouvée précédemment. On en déduit X0 : (10) Sans réelle surprise, l amplitude de la trajectoire dépend des conditions d injection de la lumière dans la fibre (position et angle d incidence) ainsi que des caractéristiques de la fibre. 3) Déterminer, quelque soit α, les conditions d injection pour qu un rayon au point x 0 < a faisant un angle θ 0 avec l axe de propagation, reste confiné dans le cœur de la fibre. L'angle limite θ0 max à l entrée de la fibre correspond à un rayon rasant en, c'est-à-dire à l interface cœur / gaine. soit D'après (1), on a car cosθa=1 (faisceau rasant!) avec car On en déduit donc que θ 0 < θ 0 max avec (11) 4) On suppose α=2, détermination la différence de temps de propagation, sur une distance L grande devant la période de focalisation des rayons lumineux, entre un rayon injecté en x 0 =0 avec l angle θ et celui dont θ est nul. Remarque : tous les rayons sont supposés être injectés en x = 0) 3

4 Trajet d'un rayon axial Trajet d un rayon courbe Il est possible d'exprimer l'abscisse curviligne en fonction de l'abscisse sur l'axe Oz, soit : d où : Pour connaître τ2, il suffit d intégrer ds de 0 à L. Sachant que dans le cas d une fibre longue Λ<< L Il reste : avec Xo donné par (8) Il en résulte donc que Cette différence de temps de parcours entre différents rayons dans une fibre multimode est appelée dispersion modale. Pour θ0 petit > 5) Quelles sont les limites de ce modèle géométrique? Ce modèle des rayons ne permet pas de montrer qu entre θ=0 et θmax, tous les angles ne sont pas permis. Il ne permet pas non plus de connaître la répartition transverse du champ ni la pénétration du champ dans la gaine! Chaque angle permis est appelé mode transverse. La résolution de l équation de propagation avec des conditions aux limités imposées par la géométrie de la fibre permet de connaître ces angles permis et a été présentée en cours. Chaque solution est appelée mode transverse de la fibre! 6) On montre que dans une fibre optique,. Cette valeur est appelée ouverture numérique (ON). Expliquer l influence de la dispersion modale sur la transmission de signaux numériques. Déterminer le débit maximum permis dans une fibre optique multimode sur une 4

5 distance de 1km (, ). On supposera que l étalement de chaque impulsion ne doit pas dépasser ¼ du temps bit. D après l énoncé,. En effet, on a : Or : si θ est petit devant l unité. d où : Soit : AN : Si alors Dans le cas d une communication numérique sur une fibre optique, si celle si présente plusieurs chemins dont les temps de trajets sont différents, la lumière va se répartir sur les différents chemins. En sortie de fibre, les suites de créneaux vont arriver à des instants différents avec pour première conséquence un élargissement de chaque créneau, comme le montre la figure cidessous : Si le retard est excessif, le signal peut se retrouver complètement brouillé. On fixe le retard maximum permis entre le chemin le plus rapide et le chemin le plus lent à ¼ de la durée du temps bit. Or, sur 1km, le retard accumulé vaut : Ce retard ne doit pas excéder ¼ du temps bit. Le temps bit ne doit donc pas être inférieur à 8ns soit un débit de 300MHz. Donc, pour la fibre présentée dans l énoncé, Le débit binaire sur une fibre optique de 1km est limité à 300MHz à cause de la dispersion modale. Exercices supplémentaires EXERCICE 1 : La fibre à saut d indice 1) Même question que 4) pour α= 5

6 Trajet d'un rayon axial Trajet d un rayon courbe d où Pour θ1 petit 2) A votre avis, pour obtenir le débit limite le plus important possible, vaut-il mieux utiliser une fibre à saut d indice ou une fibre à profil parabolique? Δτ varie en - θ -2 pour une fibre à saut d indice - θ -4 pour une fibre à profil parabolique. Donc, pour θmax étant inférieur à 1, il est préférable d utiliser une fibre à profil parabolique pour maximiser le débit sur ce type de fibre (ou la portée pour un débit donné!). 6

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