CHAPITRE 4 DÉTERMINANTS ET INVERSION DE MATRICES

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1 HAPITRE DÉTERMINANTS ET INVERSION DE MATRIES Introduction Dns l lgèbre mtricielle, les déterminnts occupent une plce d importnce tnt en théorie qu en prtique est que l vleur numérique du déterminnt d une mtrice crrée donne toutes sortes d informtion de nture tnt lgébrique que géométrique sur cette mtrice Dns ce chpitre, nous triton des spects lgébriques et géométrique des mtrices crrées L notion de déterminnt peut être bordée de nombreuses fçons, pr eemple, à prtir d iome, de propriétés, de sommes de permuttion, etc Quelques-unes de ces fçons sont présentées dns les cours plus vncés Dns le cdre de ce cours, nous introduisons l notion de déterminnt pr l résolution de système d équtions linéires Il deviendr ensuite possible de résoudre certins systèmes d équtions linéires à l ide de déterminnt notions que nous llons border dns le cours d lgèbre linéire) Objectifs d pprentissge À l fin de cette section, l étudint e) pourr utiliser le déterminnt Plus précisément, l étudint ser en mesure de : - Définir et clculer un mineur, - Définir et clculer un cofcteur, - Déterminer l mtrice des cofcteurs, - lculer le déterminnt d une mtrice crrée - lculer le déterminnt d une mtrice crrée à l ide de théorèmes, - Définir l mtrice djointe d une mtrice crrée, - Définir une mtrice singulière et une mtrice régulière, - Déterminer l inverse d une mtrice crrée GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

2 Déterminnt d une mtrice crrée Nous pouvons démontrer qu une mtrice crrée A est inversible seulement lorsque nous pouvions trnsformer l mtrice ugmentée de l forme [A I] en une nouvelle mtrice ugmentée de l forme [I B] où B = A - Dns ce chpitre, nous utiliserons le déterminnt d une mtrice crrée pour étblir si l mtrice est inversible et pour trouver cette mtrice inverse Avnt de définir le déterminnt d une mtrice crrée, nous llons résoudre de fçon générle des systèmes d équtions linéires où le nombre d inconnues est égl u nombre d équtions Nous pourrons insi introduire l notion de déterminnt d une mtrice crrée Système d éqution linéire à une éqution et à une vrible Soit l éqution : = b, où et b IR ette éqution peut être écrite sous l forme A = B de l fçon suivnte : [ ][ ] = [b ] En résolvnt l éqution = b, nous obtenons = b, si Le terme du dénominteur s ppelle le déterminnt de l mtrice A, où A = [ ] Le déterminnt d une mtrice A est noté dét A ou A Définition: Soit A = [ ] Le déterminnt de l mtrice A est défini pr dét A = Soit les mtrices A = [] et B = [-] Le déterminnt des mtrices A et B : dét A = et dét B = - Système d équtions linéires à deu équtions et à deu vribles Soit le système d équtions : S: b b où ij et b i IR e système peut être écrit sous l forme A = B de l fçon suivnte : b b GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

3 Essyons de résoudre ce système pr l méthode d ddition : b - - b ) ) - b ) ) ) - b ) ) ) ) b - b Pr conséquent : si - ) - b- b si - - Nous consttons que le dénominteur de est identique à celui de L epression dénominteur) s ppelle le déterminnt de l mtrice A, où A est donnée pr : ) A = Le déterminnt de l mtrice A est églement noté Définition: Soit l mtrice A = dét A = A = Le déterminnt de l mtrice A est défini pr : Voici un moyen simple pour retenir l formule de déterminnt d une mtrice = - Eemples ) Soit l mtrice A = lculer le déterminnt de l mtrice A ) Soit l mtrice B = lculer le déterminnt de l mtrice B GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

4 Interpréttion géométrique des déterminnts ) Soit les points A, ), B, ) et les segments de droites relint ces points à l origine O, B, ) A, ) O, ) omplétons le prllélogrmme OAB, où +, +) =, ) B, ), ) A, ) O, ) lculons l ire du prllélogrmme OAB en clculnt l ire du rectngle OEF et en soustrynt l ire des rectngles R et R de même que celle des tringles T, T, T et T E, ) O, ) R T T B T A T F, ), ) R GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

5 Aire T = ire T = Aire T = ire T = y Aire R = ire R = z Aire OAB = Aire OEF y z = +)+) ) = Ainsi l ire du prllélogrmme correspond à, c est-à-dire u déterminnt de l mtrice A =, dont les colonnes représentent les cordonnées des points A et B ussi les composntes des vecteurs OA et OB ) De fçon générle, nous dmettons que peu importe l position des points A, ) et B b, b ) dns le pln, le clcul du déterminnt de A = l ire du prllélogrmme engendré pr les segments de droite OA et OB b b permet d obtenir, à un signe près, Eemple Soit A, -) et B, ), deu points du pln crtésien ) Représenter le prllélogrmme engendré pr les segments de droite OA et OB ) lculer l ire du prllélogrmme B, ) O, ) A, -) GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

6 L ire du prllélogrmme = dét M, où l mtrice M = dét M = - ) = 8 + = Alors l ire du prllélogrmme = unités crrées Appliction Soit les points A, -) et B-, ) ) Représenter le prllélogrmme engendré pr les segments de droite OA et OB ) lculer l ire du tringle OAB Système d équtions linéires à trois équtions et à trois vribles Soit le système d équtions : b b b où ij et b i IR e système peut être écrit sous l forme mtricielle A = B de l fçon suivnte: b b b L résolution de ce système d éqution pr l méthode de Guss nous donne : = D D, = D D et = D vec D D = + + D = b + b + b b b b D = b + b + b b b b D = b + b + b b b b GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

7 Définition: Soit A = Le déterminnt de l mtrice A est défini pr : dét A = D = + + Le déterminnt D de l mtrice A peut églement être écrit sous l forme suivnte : dét A = D = + + dét A = ) ) + ) dét A = + c est ce qu on ppelle le clcul de dét A selon les éléments de l première ligne de A Eemple Soit A = 9 8 lculer le déterminnt de A dét A) selon les éléments de l première ligne lculer le déterminnt de A dét A) selon les éléments de l première colonne Mineur, cofcteur et déterminnt Soit l mtrice A = Éliminons l ligne et l colonne contennt l élément, c est-à-dire l ere ligne et l ere colonne, et clculons le dét B = Le déterminnt est ppelé le mineur de et est noté M GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

8 Définition : Le mineur d un élément ij d une mtrice crrée A n n, où n, est le déterminnt de l mtrice obtenue en enlevnt l i-ième ligne et l j-ième colonne de l mtrice A Le mineur de l élément ij est noté M ij Eemple Soit l mtrice A = Trouver le mineur des éléments,, Définition : Le cofcteur d un élément ij d une mtrice crrée A n n, où n, est égle u produit de -) i + j pr le mineur de cet élément Le cofcteur de l élément ij est noté ij Ainsi ij = -) i + j M ij Eemple Soit l mtrice A = lculer les cofcteurs, et de l mtrice A = -) + M = -) = -) + M = +) = -) + M = +) = --) = - = -) = - = -) = 8 GIN Introduction u clcul mtriciel hp - 8 Ammr Yhi, Génie ivil

9 GIN Introduction u clcul mtriciel hp - 9 Ammr Yhi, Génie ivil Définition : L mtrice des cofcteurs des éléments d une mtrice crrée A n n, où n, notée of A, est l mtrice obtenue en remplçnt chque élément de l mtrice A pr son of mn mi m m in ii i i n i n i A Eemple Soit l mtrice A = 8 Déterminer of A of A = = ) ) ) ) ) ) ) ) ) M M M M M M M M M = D où of A = 8 Schnt que : -) i+j = impir est j i si pir est j i si ) ) Nous construisons l mtrice des signes de -) i+j de l fçon suivnte :

10 Mtrice : Mtrice : Définition : Le déterminnt d une mtrice crrée A n n, où n, est défini insi : dét A = k k + k k + + kn kn = j de {,,, n} développement selon les éléments de l ligne k) n kj kj, pour un k quelconque ou dét A = k k + k k + + nk nk = ik ik, pour un k quelconque de j {,,, n} développement selon l colonne k) n Eemple Soit A = Développer le déterminnt de l mtrice A selon les éléments de l première ligne dét A = + + = -) + M + -) + M + -) + M = - + Théorème: hque mtrice A n n dmet un et un seul déterminnt Eemple Soit A = lculer le déterminnt de l mtrice A = -) + ) + ) = ) = ) ) + ) = 8 + = GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

11 Règle de Srrus L méthode que nous venons d epliquer s pplique u clcul de tout déterminnt, quel qu en soit l ordre Toutefois, dns le cs d un déterminnt d ordre, on peut employer l règle de Srrus qui permet de représenter l formule du déterminnt pr un schém simple L règle de Srrus constitue une méthode prtique pour clculer le déterminnt d une mtrice A = [ ij ] Elle consiste à jouter d bord les deu premières colonnes du déterminnt à évluer à l droite de celui-ci, puis à clculer l somme des produits des éléments situés sur une même flèche, chque produit étnt ffecté du signe indiqué dns le schém suivnt : Si A = [ij], lors: dét A = + + Théorèmes reltifs u déterminnts Théorèmes reltifs u déterminnts de mtrices prticulières Théorème : Si A est une mtrice crrée dont tous les éléments d une colonne ou d une ligne sont des zéros, lors dét A = A i m n n, lors dét A = j + j + j + + nj = i in m mn GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

12 Théorème : Si A est une mtrice crrée tringulire supérieure ou tringulire inférieure), lors dét A = nn Eemple Soit l mtrice A = dét A = -8 = - 8 Théorème : Le déterminnt de l mtrice identité I n n est égl à Eemple Soit l mtrice A = dét A = = Théorèmes reltifs u déterminnts de mtrice crrée Théorème : Le déterminnt d une mtrice crrée A n n est égl u déterminnt de s mtrice trnsposée, c est-à-dire dét A = dét A T Théorème : Si une mtrice crrée B est obtenue d une mtrice crrée A en multiplint tous les éléments d une colonne ligne) de A pr k, où k IR, lors dét B = k dét A GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

13 Appliction Soit l mtrice A = et B = 9 lculer le dét B schnt que dét A = Théorème : Si A est une mtrice crrée n n et si k IR, lors dét ka) = k n dét A Théorème : Si une mtrice crrée B est obtenue d une mtrice crrée A en permutnt deu colonnes lignes) consécutives, lors dét B = -dét A Théorème : Si une mtrice crrée A possède deu colonnes lignes) identiques, lors dét A = Théorème : Si une mtrice crrée A possède une colonne ligne) dont les éléments sont un multiple des éléments d une utre colonne ligne), lors dét A = Théorème : Si une mtrice crrée B est obtenue d une mtrice A en dditionnnt respectivement u éléments d une colonne ligne), de A un multiple des éléments d une utre colonne ligne) de A, lors dét B = dét A Théorème 8: Si A et B sont deu mtrices crrées n n, lors dét AB) = dét A) dét B) Rng d une mtrice Définition: Le rng d une mtrice A n n quelconque, notée rng A), est le nombre de lignes non nulles ou le nombre de pivots) d une mtrice échelonnée équivlente à A Remrque : On peut églement définir le rng d une mtrice comme l ordre de l plus grnde sousmtrice de A une mtrice formée en supprimnt des lignes ou des colonnes de A) dont le déterminnt est non nul ie différent de zéro) GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

14 GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil Eemple Soit A = Déterminer le rng de A Pour évluer le rng de l mtrice de A donnée, on effectue des opértions élémentires de ligne pour réduire A à une mtrice échelonnée A = L L L et L L L L L L L -/ L omme l mtrice échelonnée équivlente à l mtrice A compte deu lignes non nulles ie deu pivots), le rng de A est Mtrice inverse Définition : L djointe d une mtrice crrée An n, où n, notée dj A, est obtenue en trnsposnt l mtrice des cofcteurs de A D où : dj A = of A) T Eemple Soit l mtrice A = Déterminer dj A Trouvons d bord of A of A =, insi dj A =

15 Théorème : Si A est une mtrice crrée n n telle que dét A, lors A - l inverse de A) eiste et : A - = dj dét A Théorème : Une mtrice crrée A n n est inversible si et seulement si dét A A Définition : Une mtrice crrée A n n est dite régulière ou non singulière) si dét A Définition : Une mtrice crrée A n n est dite singulière si dét A = Propriétés des mtrices et des déterminnts Soit A n n et B n n deu mtrices régulières, où n Propriété : dét A - = dét A Propriété : A - ) - = A Propriété : AB) - = B - A - Propriété : A T ) - = A - ) T Propriété : ka) - = k A - ) si k GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

16 Eercices Soit les points A, ), B-, ), -, -) et D, -) Représenter et clculer l ir : ) du prllélogrmme engendré pr les segments de droite OA et OD b) du prllélogrmme engendré pr les segments de droite OB et O c) du tringle OAB ) du prllélogrmme engendré pr les segments de droite OA et OD Donner un eemple d une mtrice A telle que tous les ij soient différents et que le déterminnt soit égl à zéro Soit A = 8 Déterminer 9 ), et b) M, M, M, M et M c),,, et Soit A = et B = lculer A of A) T b lculer B of B) T Évluer selon les éléments : 9 ) de l deuième ligne b) de l troisième colonne 8 Soit A = 9 ) lculer dét A b) lculer dét A T c) omprer les deu réponses Sns clculer les déterminnts, répondre pr vri V) ou fu F) Justifier les réponses : GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil

17 GIN Introduction u clcul mtriciel hp - Ammr Yhi, Génie ivil ) = b) = c) 8 = 8 8 Si A = c b =, évluer 8 c b 9 Prmi les mtrices suivntes, déterminer celles qui sont l inverse l une de l utre A = D = B = E = = F = 8 Pour quelles vleurs de les mtrices suivntes sont-elles inversibles? ) A = b) B = c) = d) D =

18 Trouver l djointe et l inverse de chcune des mtrices suivntes: ) et b) c En supposnt que d-bc, clculer l djoint puis l inverse de l mtrice crrée b d obtenez l formule d inversion suivnte : et b c d d c = d bc b Appliquez l formule d inversion des mtrices crrées d ordre obtenue à l eercice précédent pour clculer A- dns chcun des cs suivnts : cos sin cos sin k ) ; b) ; c) sin cos ; d) sin cos GIN Introduction u clcul mtriciel hp - 8 Ammr Yhi, Génie ivil