Exercices : Matrices

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1 Exercices : Matrices Exercice Soient A, B matrices de M n (K). On note I la matrice identité. On suppose que AB = I + A + A. Montrer que A est inversible, calculer A en fonction de A, B, I.. En déduire que A et B commuttent. Exercice Soit A M (K). On considère l application f : M (K) M (K) X AX. On note B = base canonique de M n (K). Rappeller quelle est cette base.. Calculer Mat(B, B, f) 3. Calculer tr(f) Exercice 3 Calculer le rang des matrices suivantes: A =, B = (pour B, on distinguera plusieurs cas selon la valeur de a) a Exercice 4 On appelle matrice trinagulaire supérieure une matrice (a ij ) telle que i > j a ij = 0. Exemple: ( ). 0 Soit A M n (R) une matrice triangulaire supérieure. On pose B = (e, e,..., e n ) la base canonique de R n. On note comme d habitude f l endomorphisme de R n tel que A = Mat(f, B, B). On pose pour p n, F p = V ect(e,..., e p )

2 . Donner une condition portant sur f et les ensembles F p qui soit équivalente au fait que A soit trinagulaire supérieure.. Soit C une autre matrice triangulaire supérieure. A l aide de la condition ci dessus, prouver que AC est tringulaire supérieure. 3. Retrouver ce résultat par le calcul des coefficients de AC. 4. On suppose que A est inversible, et donc que f est bijective. (a) Soit p...n}. Montrer que dans ce cas f(f p ) = F p. (b) En déduire que A est aussi triangulaire supérieure. Exercice 5 Soit 0 A = 0 0. Montrer que A = A + I 3 (où I 3 = matrice identité 3 3 ). En déduire que A et inversible et calculer A Exercice 6 (Plus difficile) Soit A = (a ij ) une matrice de M n (R) telle que: i,..n}, a ii > j,j i a ij (). Montrer que si A n est pas inversible, il existe des scalaires λ i tq i λ i C i = 0, où les C i sont les colonnes de A.. En déduire que A est inversible. (on fera un R.A)

3 Indications pour l exercice. Mettre A en facteur dans la relation AB A A = I. Pas de difficulté, utiliser l expression de B en fonction de A. Indications pour l exercice Pas de difficultés, appliquer le cours. Indications pour l exercice 3 On utilisera la méthode de Gauss. Indications pour l exercice 4. Que peut on dire de f(f p ) par rapport à F p si A est triangulaire supérieure?. Utiliser la relation trouvée à la question précédente 3. Si A = (a ij ) est triangulaire supérieure, on sait que i > j a ij = 0. Utiliser la relation du cours permettant de calculer les coefficients de AC en fonction de ceux de A et C. 4. (a) Raisonner avec les dimensions. (b) Utiliser la question précédente pour montrer que f (F p ) = F p. Indications pour l exercice 5. pas trop dur.... Mettre A en facteur dans la relation donnée. Indications pour l exercice 6. Si A n est pas inversible que peut on dire de la dimension de V ect(c,..., C n ), où les C i sont les colonnes de A.. Il faut chercher à contredire la relation () en trouvant k tq a kk j,j k a kj. Utiliser la relation de liaison de la question précédente. ( on pourra considerer λ k = sup λ i ) i 3

4 Correction de l exercice. On a AB = I + A + A, donc AB A A = I A(B I A) = I. Donc A est inversible, et son inverse est A = B I A. Donc BA = (A + I + A)A = I + A + A. D où AB = BA Correction de l exercice. Cette base est formée des matrices élémentaires E ij (matrice nulle avec un en position ij). Posons e = E, e = E, e 3 = E, e 4 = E. ( ) ( ) a b a 0 Posons A =, on a: f(e c d ) =, f(e c 0 ) = Donc ( ) 0 a, f(e 0 c 3 ) = a 0 b 0 Mat(f, B, B) = 0 a 0 b c 0 d 0 0 c 0 d ( ) b 0, f(e d 0 4 ) = ( ) 0 b 0 d 3. La trace de f est, d après le cours, la trace de n importe quelle matrice représentant f. La matrice précédente a pour trace (a + d), donc tr(f) = (a + d). Correction de l exercice 3. On va appliquer la méthode de Gauss: L L L L 3 L L En faisant, on obtient: L 4 L L L 5 L L L 4 L L En faisant, on a L 5 L 3 L L 5 L Enfin, en faisant, on obtient une forme traingulaire recherchée: L 4 L Cette matrice est donc de rang 4.. On applique aussi la méthode de Gauss. L En faisant L L L 3 3 L, on obtient L a 6 4

5 Enfin, avec L 3 L L 3, on obtient a 4 On en déduit: Si a 4, B est de rang 3. Sinon, rg(b) = 3 Correction de l exercice 4. Si la matrice A est triangulaire, on a: f(e ) qui s écrit f(e ) = a e. Donc f(f ) F f(e ) = a e + a e. Donc f(e ) F et f(e ) F. Ainsi f(f ) F.. en itérant le processus, f(f k ) F k pour tout k...n} la condition est donc: A triangulaire supérieure p...n}, f(f p ) F p. Notons g l endomorphisme de E tel que C = Mat(g, B, B). On a alors, d après le cours, AC = Mat(fog, B, B). On veut prouver que AC est triangulaire supérieure, il suffit d après ) de prouver que Or: p...n}, fog(f p ) F p g(f p ) F p car C est triangulaire sup fog(f p ) f(f p ) D où le résultat. fog(f p ) f(f p ) F p (car A est triangulaire sup.) fog(f p ) F p 3. On va prouver la même chose avec le calcul explicite des coefs de AC. Posons A = (a ij ), et C = (c ij ). Ces matrices sont triangulaires supérieures, donc a ij = 0 si i > j c ij = 0 si i > j Par ailleurs, si on note d ij les coefficients de la matrice AC, on a: d ij = Soit i et j tels que i > j. Montrons que d ij = 0. D où le résultat. d ij = = = a ik c kj k=0 i a ik c kj + k=0 i k=0 =0 car i > k = a ik }} a ik c kj k=i c kj + k=i a ik a ik c kj k=0 c kj }} =0 car k i > j 5

6 4. L idée est d utiliser une des techniques utilisées dans les questions précédentes. La technique consistant à utiliser le calcul des coefficients n est pas utilisable, car on si connait les coefs de A, on a pas de formule permettant le calcul des coefs de A. Utilisons donc la technique des premieres questions: revenir aux endormorphismes. On sait que si A est inversible, f est bijective et A = Mat(f, B, B), où f désigne la bijection réciproque de f. (a) On a: f(f p ) = f(v ect(e,..., e p )) = V ect(f(e ),..., f(e p )). Mais f est bijective, elle transforme donc une famille libre en une famille libre (cf cours). La famille (f(e ),..., f(e p )) est donc libre, l espace qu elle engendre est de dimension p. Donc dim(f(f p )) = p, comme f(f p ) F P, on a bien f(f p ) = F p. (b) Ainsi, f(f p ) = F p f (f(f p )) = f (F p ) F p = f (F p ) car on sait que f (f(e)) = E pour tout ensemble E Donc en particulier f (F p ) F p A est triangulaire supérieure. Correction de l exercice 5. On a A =, ce qui vaut bien A + I 3.. On a A A = I 3 A(A I 3 ) = I 3. Donc ( ) A (A I 3) = I 3 Si on pose B = (A I 3), l égalité précédente nous affirme bien que B est l inverse de A. Donc A = B = (A I 3) = Correction de l exercice 6. Dire que A n est pas inversible revient à dire que son rang n est pas égal à sa taille. Si on note C, C,..., C n les vecteurs-colonnes de A, cela revient à dire que dim(v ect(c, C,..., C n )) < n. Autrement dit, la famille (C, C,..., C n ) n est pas libre, d où le résultat.. On va faire un raisonnement par l absurde. Supposons que A ne soit pas inversible, d après ce qui précède, on a: Il existe donc des scalaires λ i tq: 0 = λ C λ n C n 6

7 Ecrivons ces relations en termes de coefficients a ij : 0 = λ a, λ p a,p λ n a,n. 0 = λ a j, λ p a j,p λ n a j,n. 0 = λ a n, λ p a n,p λ n a n,n On cherche à contredire la relation () de l énoncé. On cherche donc à prouver qu il existe k tq a kk j,j k a kj. Dans les relations ci dessus, on peut exprimer facilement les coefficients a ii en fonction des autres: λ a = j,j a j a = j,j.λ n a nn =. j,j n λ ja nj a nn = j,j n λ a j λ n a nj () (en supposant que les λ i 0) Il suffit maintenant de remarquer que si λ k = sup λ i, on a j,..., n}, λ k i Or d après la k ième ligne de (), on a a kk = j,j k λ k a kj. D où, d après l inégalité triangulaire: a kk a kj a kk a kj puisque j,j k λ k j,j k λ k Ce qui contredit (). Donc M est inversible. 7