Les angles LNO et ÎLz sont correspondants. LNO = LON le triangle LNO est isocèle en L LN = LO. Les angles ÔLI et LON sont alternes internes

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1 5 ème Devoir Maison Parallélogrammes Correction 07/05/12 Exercice 81 page 196 (6 points) 1. a. LION est un parallélogramme, donc : (NL)//(OI) Les angles LNO et ÎOx sont correspondants LNO = ÎOx b. D après l énoncé et d après ce qui précède, nous avons que : LON = ÎOx LNO = ÎOx LNO = LON le triangle LNO est isocèle en L LN = LO 2. a. LION est un parallélogramme donc (LI)//(NO) Les angles ÔLI et LON sont alternes internes ÔLI = LON De même, remarquons que : (LI)//(NO) Les angles LNO et ÎLz sont correspondants LNO = ÎLz b. Compte tenu de ce qui précède : ÎLz = LNO = LON d après le 1.b. = ÔLI d après le 2.a. ÎLz = ÔLI Donc [LI) est la bissectrice de ÔLz 3. Correction avec Geogebra.

2 5 ème Parallélogrammes Page 2/6 Exercice 82 page 196 (4 points) 1. Correction avec Geogebra. 2. Les angles ÂOC et ĈOE sont supplémentaires : ÂOC + ĈOE = 180 ĈOE = 180 ÂOC = = = 105 Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires : ĈOE + ÔBD = 180 ÔBD = 180 ĈOE = = 75 2 = 75 Dans un parallélogramme, les angles opposés ont deux à deux même mesure : 3 = 1 = = 2 = 75 Les points A et C appartiennt au même cercle de centre O, donc le triangle AOC est isocèle en O. D où : ÔAC = ÔCA Dans le triangle AOC, la somme des angles doit être de 180 : ÂOC + ÔCA + ÔAC = 180 ÂOC + ÔCA + ÔCA = 180 ÂOC + 2 ÔCA = ÔCA = 180 ÂOC 2 ÔCA = ÔCA = 105 ÔCA = ÔCA = 52, 5 5 = 6 = 52, 5

3 5 ème Parallélogrammes Page 3/6 Les angles ÔCA et BCA sont supplémentaires : ÔCA + BCA = 180 BCA = 180 ÔCA BCA = , 5 BCA = 127, 5 7 = 127, 5 Les angles ÔAC et BAC sont complémentaires : ÔAC + BAC = 90 BAC = 90 ÔAC BAC = 90 52, 5 BAC = 37, 5 8 = 37, 5 Dans le triangle BAO, rectangle en A, les angles ÂBO et ÂOB sont complémentaires : BAO + ÂOB = 90 BAO = 90 ÂOB BAO = BAO = 15 9 = 15 Exercice 77 page 212 (5 points) 1. Correction avec Geogebra. 2. Il me semble que le quadrilatère ABCD soit un losange. Le point A appartient à la médiatrice du segment [BD], donc : AB = AD Le point C appartient à la médiatrice du segment [BD], donc : BC = CD Les points A et C appartiennent au même cercle de centre D, donc : AD = CD Ainsi, AB = AD = CD = BC Donc le quadrilatère ABCD est un losange.

4 5 ème Parallélogrammes Page 4/6 Il me semble que le quadrilatère EDF G soit un losange. Les points E et F appartiennent aux même cercle de centre D, donc : DF = DE Les points E et F appartiennent aux même cercle de centre G, donc : GF = GE Ces deux cercles ont même rayon, donc : DF = GF = EG = DE Ainsi, le quadrilatère EDF G est un losange. 3. a. Le point G est le milieu du segment [F H] Le point G est le milieu du segment [IE] Ainsi, les segments [F H] et [IE] ont même milieux, donc le quadrilatère F IHE est un parallélogramme. b. Les segments [F H] et [IE] sont des diamètres du même cercle, donc F H = IE. Ainsi, les diagonales du parallélogramme F IHE ont même longueur, c est donc un rectangle. Exercice 79 page 213 (2 points) Dans les deux cas, le losange a le même périmètre. En effet : Les axes de symétries de chaque figure découpent le rectangle en quatre petits rectangles identiques. Pour chacun de ces petits rectangles, une des diagonales est un coté du losange et l autre est un rayon du cercle. Or les diagonales d un rectangle ont même longueur. Donc chaque coté du losange mesure 10 cm. Ainsi, dans les deux cas, le périmetre du losange est de 4 10 = 40 cm Exercice 84 page 214 (5 points) 1. Dessin à l échelle 1 2 D C E F A 120 B G

5 5 ème Parallélogrammes Page 5/6 2. sur la figure 3. sur la figure 4. a. Parmi les parallélogrammes tracés (ABCD, ABEC et BCF G), il me semble que : ABEC soit un losange. En effet, le parallélogramme ABEC possède deux cotés consecutifs de même longueur (AB = AC). C est donc un losange. BCF G soit un rectangle. En effet, le parallélogramme BCF G possède des diagonales de même longueur (AB = AC = BF = CG). C est donc un rectangle. b. Les triangles ACF et ABG sont équilatéraux. Les angles F AC et BAC sont supplémentaires : F AC + BAC = 180 F AC = 180 BAC F AC = F AC = 60 AC = AF = ACF est isocèle en A. Le triangle ACF est isocèle en A, donc ÂF C = ÂCF Dans le triangle ACF, la somme des angles du triangle doit être égale à 180 : F AC + ÂCF + ÂF C = 180 F AC + ÂCF + ÂCF = 180 F AC + 2 ÂCF = ÂCF = 180 F AC 2 ÂCF = ÂCF = 120 ÂCF = ÂCF = ÂF C = 60 Enfin, ÂCF = ÂF C = F AC = 60 donc le triangle ACF est équilatéral. Même raisonnement pour le triangle ABG

6 5 ème Parallélogrammes Page 6/6 5. Le quadrilatère ACDF est un losange. En effet, Premièrement, ABCD est un parallélogramme, donc : (AB)//(CD). Mais en observant que (AB) et (AF ) sont confondues, nous pouvons écrire (AF )//(CD) Deuxièmement, BCF G est un parallélogramme AF = AB ABCD est un parallélogramme AB = CD AF = CD Ainsi, dans le quadrilatère ACDF, il y a deux cotés non seulement parallèles, mais aussi de même longueur. Donc le quadrilatère ACDF est un parallélogramme. (AD)//(BC) } (AD) (CF ) (BC) (CF ) Ainsi les diagonales du parallélogramme ACDF sont perpendiculaires. Donc ACDF est un losange

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