Parallélogramme. Commentaires généraux. Objectifs des activités

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1 10 arallélogramme 1 ommentaires généraux e chapitre a pour but l étude du parallélogramme. Les propriétés caractéristiques du parallélogramme sont établies en liaison avec la symétrie centrale. lles sont ensuite utilisées dans le cadre d activités déductives simples. n distingue dans ce chapitre trois principaux types de travaux : des constructions (à main levée, sur quadrillage, instrumentées), des travaux d observation pouvant donner lieu à des énoncés de conjectures et des séquences déductives. 2 bjectifs des activités ctivité 1 econnaître des quadrilatères déjà étudiés dans les classes antérieures et savoir les nommer. ctivité 2 border de deux manières la notion de parallélogramme. ctivité 3 btenir expérimentalement un parallélogramme grâce à l intersection de deux bandes à bords parallèles. ctivité bserver, conjecturer, puis démontrer les propriétés d un parallélogramme. ctivité aractériser expérimentalement un parallélogramme par les propriétés de ses côtés opposés. ctivité 6 aractériser expérimentalement un parallélogramme par ses diagonales. ctivité 7 aractériser expérimentalement un parallélogramme par les propriétés de deux de ses côtés opposés. ctivité 8 onstater que la donnée des longueurs des deux diagonales ne suffit pas à caractériser un parallélogramme. 2 hapitre 10 arallélogramme

2 3 Q de rattrapage e Q pourra être photocopié et distribué aux élèves. hoisir la bonne réponse. 1 ommer un quadilatère a. b. c. Quel nom ne convient pas pour désigner le quadrilatère? 2 econnaître les diagonales ans le quadrilatère ci-dessus les diagonales sont les segments : a. [] et [] b. [] et [] c. [] et [] 3 Symétrique K a. est le symétrique de par rapport à K b. est le symétrique de par rapport à K c. K est le symétrique de par rapport à Sur cette figure qui représente un cercle de centre K, ilieu commun [T] et [US] sont deux segments qui se coupent en leur milieu. Une figure qui représente la situation est : a. b. c. T S T S U U S T U Longueurs égales Si les segments [] et [] ont le même milieu, on est sûr que : a. et b. c. et Les Éditions idier hapitre 10 arallélogramme 2

3 Q de rattrapage (solutions) b. 2. c. 3. a.. b.. c. J applique (solutions) 1 est vert ; est orange ; K est violet. 10 ans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu. ci T donc [T] et [SV] n ont pas le même milieu donc STU n est pas un parallélogramme. 11 ans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. ci L L donc L n est pas un parallélogramme ,, 6 et 7 semblent être des parallélogrammes. H,, H,. 12 Quand deux droites sont parallèles, chaque perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Supposons que () et (J) sont parallèles. ci on a () (d), mais (d) n est pas perpendiculaire à (J) donc () et (J) ne sont pas parallèles. ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles donc J n est pas un parallélogramme ,, semblent être des parallélogrammes. Q 1 2. Q semble être un parallélogramme. Q 6 ans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur donc cm. 7 ans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu donc 3 cm. 1 H 8 ans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure donc ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles donc () // (). 2. ans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu. onc [] et [] ont le même milieu :. 26 hapitre 10 arallélogramme

4 16 20 Échelle 1/2 3, S U T vec (TU) // (S) et (U) // (ST). 2.,3 cm Échelle 1/ H n vérifie à la règle l alignement de H, et et au compas l égalité H. semble être le milieu de [H]. Échelle 1/ H 22 a. Échelle 1/2 K 19 Échelle 1/2 J S b. Échelle 1/ hapitre 10 arallélogramme 27

5 23 Échelle 1/2 27 L 2. 3,1 cm n obtient les parallélogrammes, et. 2 Échelle 1/ ans le triangle, la règle de l inégalité triangulaire (chapitre 8) donne. r 12 n est pas inférieur à 3 8 donc la réalisation de la figure est impossible : Laure a raison. 29 Échelle 1/2 2 Échelle 1/ Échelle 1/ V 30 Échelle 1/2 7 Z S T hapitre 10 arallélogramme

6 2. a. [] est un diamètre du cercle de centre donc est le milieu de []. b. Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu alors c est un parallélogramme. ci [] et [] ont le même milieu donc est un parallélogramme. 32 eux perpendiculaires à une même droite sont parallèles. ci () (d) et (S) (d) donc () // (S). 2. Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c est un parallélogramme. ci () // (S) et (S) // () donc S est un parallélogramme Les cercles ont le même rayon donc. e plus, les droites () et () sont parallèles. Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur alors c est un parallélogramme. onc est un parallélogramme. 3 ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. uisque est un parallélogramme, on a : () // (). 2. n en déduit () // (). Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. uisque () // () et, est un parallélogramme. 3 ans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. uisque est un parallélogramme, on a :. 2. e même puisque est un parallélogramme, on a. es égalités et, on déduit :. 36 ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. uisque est un parallélogramme, on a () // (). 2. e même puisque est un parallélogramme, on a () // (). n en déduit que () // (). eux parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. omme () // () et () // () alors () // () est le centre de symétrie de donc est le milieu de []. b. e même est le milieu de []. 3. ans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu. uisque T est un parallélogramme, le milieu de [] est aussi celui de [T].. Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c est un parallélogramme. uisque [] et [T] ont le même milieu, alors T est un parallélogramme. 38 (d 1 ) T 1 2. [] et [] sont deux diamètres de cercles de centre. onc [] et [] ont le même milieu. Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c est un parallélogramme. onc est un parallélogramme. 3. a. ans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur donc. b. ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles donc () // (). 2 (d 2 ) hapitre 10 arallélogramme 29

7 39 semble être un parallélogramme. 2. eux perpendiculaires à une même droite sont parallèles. uisque () () et () () alors () // (). b. ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. uisque est un parallélogramme, on a () // (). n en déduit () // (). Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c est un parallélogramme. uisque () // () et () // (), le quadrilatère est un parallélogramme. 8 b. bravo ; a. non : tracer un parallélogramme Q à main levée ; c. non : quelle propriété possèdent les diagonales d un parallélogramme? 9 a. bravo ; b. non : si TX était un parallélogramme que pourrait-on affirmer pour ses diagonales? ; c. non : attention à l ordre des lettres a. b. et c. bravo. Vrai 2. aux 3. aux. aux. aux 0 c. d. a. h. i. g. j. b. f. e. 2. Les diagonales d un parallélogramme le partagent en quatre triangles de même aire. 1 Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c est un parallélogramme. onc T est un parallélogramme. 2. a. ans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. onc T. b. ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. onc () // (T). 3. T donc T. () // (T) donc () // (T). Si dans un quadrilatère deux côtés sont parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. onc T est un parallélogramme Q pour s évaluer (solutions) 2 b. bravo ; a. non : attention au nom du quadrilatère ; c. dans un parallélogramme, que peut-on dire de la longueur des côtés opposés? 3 b. bravo ; a. non : si [ ] et [] avaient le même milieu que pourrait-on affirmer pour? c. non : si [] et [] avaient le même milieu que pourrait-on affirmer pour et donc aussi pour et? a. et b. bravo ; c. non : que représentent [T] et [H] pour le parallélogramme TH? b. bravo ; a. et c. non : dans un parallélogramme, quels sont les angles dont on peut affirmer qu ils sont égaux? 6 a. et b. bravo ; c. non : quelle propriété possèdent les diagonales d un parallélogramme? 7 c. bravo ; a. et b. non : revoir dans le cours comment reconnaître un parallélogramme grâce aux propriétés de ses côtés. 7 J approfondis (solutions) 3 d. e. c. a. b. Échelle 1/ Échelle 1/ hapitre 10 arallélogramme

8 Si un quadrilatère a les côtés opposés parallèles, alors c est un parallélogramme. uisque () // () et () // (), alors est un parallélogramme. ans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu. uisque est le milieu de [], c est aussi celui de []. 6 lacer le milieu de [] puis tracer (). 7 2x x x Q S 2. a. ans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu. uisque est un parallélogramme, est le milieu de [] donc. b. ans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. uisque est un parallélogramme, on a. c. donc (ce qui revient à dire ). 3. ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. uisque est un parallélogramme, on a () // (). n en déduit () // ().. a. Voir figure. b. Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. uisque () // () et, le quadrilatère est un parallélogramme. 60 ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. uisque est un parallélogramme, on a : () // () dont on déduit () // (H). uisque est un parallélogramme, on a : () // () dont on déduit () // (H). Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c est un parallélogramme. onc H est un parallélogramme. 61 Le segment rouge semble plus long que le vert. 2. Les longueurs semblent cette fois égales. 3. a.. ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. uique QS est un parallélogramme, on a () // (QS). n en déduit () // (S) (en cm). 6. a. Voir figure. b. Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. ci () // (S) et S ( 3 cm) donc S est un parallélogramme. rouge vert b. et c. est un point de la médiatrice de []. La médiatrice d un segment est constituée de tous les points qui sont à égale distance de ses extrémités. onc. hapitre 10 arallélogramme 31

9 62 6 a Les différentes positions obtenues pour laissent à penser que lorsque parcourt, le point parcourt le cercle de centre et de rayon evoirs à la maison (solutions) donc, et sont alignés. n raisonne de même pour, et. 3. Les triangles,, et sont superposables. après le codage de la figure : ; de plus,, alignés et,, alignés donc. Si dans un quadrilatère, les côtés opposés ont la même longueur, alors c est un parallélogramme. onc est un parallélogramme.. n peut observer quatre parallélogrammes :,,, b. semble être le milieu de []. 2. a. ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. uisque est un parallélogramme, on a () // (). b. Si un quadrilatère a les diagonales de même milieu, alors c est un parallélogramme. uisque [] et [] ont le même milieu, le quadrilatère est un parallélogramme. ans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. uisque est un parallélogramme, on a () // (). Le point est donc sur la parallèle à () qui passe par. r cette droite est () donc est sur (). 3. a. ans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. uisque est un parallélogramme, on a :. uisque est un parallélogramme, on a :. b. n en déduit.. après la question 2c, est un point de () donc est un point de (). e plus. n en déduit que est bien le milieu de []. 6, LK, H, LJ,, J, LK, H,, K,,, J, KJ, KJ, LK, J, LK hapitre 10 arallélogramme

10 2. Le point est sur la médiatrice du segment []. La médiatrice d un segment est constituée de tous les points qui sont à égale distance de ses extrémités. onc donc est isocèle en. 3. ans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. uisque est un parallélogramme, on a :. uisque et, on a, donc le triangle est isocèle en. 67 Une solution parmi d autres : (d) onc est bien un parallélogramme qui répond au problème. emarque : Le point diamétralement opposé à donne une autre solution au problème. 68 Une solution parmi d autres : onstruire un rectangle. onstruire le point symétrique du milieu de [] par rapport à. onstruire le point tel que soit un parallélogramme puis le point tel que soit un parallélogramme. 9 asse-tête (solution) 2. rogramme n trace la parallèle à (d) passant par. n appelle un point d intersection de cette droite avec le cercle. n reporte la longueur sur (d) à partir de de telle manière que ne soit pas croisé. n obtient ainsi le point. Justification ar construction on a et () // (). Si dans un quadrilatère deux côtés sont parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. À l aide des bords parallèles de la règle, on trace deus droites parallèles passant l une par, l autre par. n obtient ainsi un parallélogramme, il suffit alors de joindre et pour obtenir le point cherché. hapitre 10 arallélogramme 33

11 10 ocuments à photocopier ctivité 2, p ctivité 3, p. 173 ctivité, p. 173 xercice 3, p. 180 H 3 hapitre 10 arallélogramme Les Éditions idier

12 xercice 6, p. 186 xercice 7, p x xercice 61, p. 187 Les Éditions idier hapitre 10 arallélogramme 3

13 nter-exercices 61-62, p. 187 xercice 6, p. 188 H J K L xercice 67, p. 188 (d) 36 hapitre 10 arallélogramme Les Éditions idier