STRATEGIES DE MAINTENANCE LA FIABILITE DES SYSTEMES DE PRODUCTION

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1 I APPROCHE DE LA FIABILITE PAR LES PROBABILITES : Définiion selon la NF X 6 5 : la fiabilié es la caracérisique d un disposiif exprimée par la probabilié que ce disposiif accomplisse une foncion requise dans des condiions d uilisaion données e pour une période de emps déerminée.. Probabilié : c es le rappor : Nb cas favorables < Nb cas possibles On noera R() la probabilié de foncionnemen à l insan. Le symbole R provien de l anglais Reliabiliy. On noera F() la foncion définie par F()-R(). C es la probabilié complémenaire. F() es la probabilié de défaillance à l insan. F()+R(). 2. Foncion requise : ou accomplir une mission ou rendre le service aendu. La définiion de la foncion requise implique un seuil d admissibilié en deçà duquel la foncion n es plus remplie. 3. Condiions d uilisaion : définiion des condiions d usage, c es à dire l environnemen e ses variaions, les conraines mécaniques, chimiques, physiques, ec. Il es éviden que le même maériel placé dans 2 conexes de foncionnemen différens n aura pas la même fiabilié. 4. Période de emps : définiion de la durée de mission T en uniés d usage. Ex : on se fixe un minimum R(Tm),9 pour une durée de mission Tm 8 heures ; à ou insan Ti de la mission es associée une fiabilié R(i). Ex : moeur de voiure préparé pour les 24 heures du Mans : Probabilié : c es celle de erminer ; fiabilié requise,98 Foncion requise : 2 km/h de moyenne (seuil minimal) Condiions d uilisaion : de jour, de nui, avec de la pluie, n raviaillemens, ec. Période de emps : au bou de 24 heures (durée de la mission) II EXPRESSIONS MATHEMATIQUES : 2 Foncions de disribuion e de répariion : Noion de variable aléaoire : on appelle variable aléaoire X une variable elle qu à chaque valeur x de la VA X on puisse associer une probabilié F(x). Une variable aléaoire es donc une foncion qui à chaque évènemen d une expérience aléaoire associe un nombre réel. Une VA peu êre : Coninue : inervalle de emps enre 2 défaillances consécuives Discrèe : nombre de défaillance sur un inervalle de emps Soi une loi de probabilié relaive à une VA coninue T. Cee loi es caracérisée par sa foncion de disribuion (appelée aussi densié de probabilié) f() e par sa foncion de répariion F() elles que : df( ) P( < T < + d) f ( ) lim d d d La foncion F() représene la probabilié qu un évènemen (défaillance) survienne à l insan T dans l inervalle [,]. F( ) P( T < ) Comme f ( ). d P( < T < + d) F( ) f ( ) d P( T < i) Remarque : si la VA es discrèe, l expression devien : i n F( n) f ( i) P( T < n) 2 - Fiabilié - prof.doc Page sur 4

2 22 Applicaion à la fiabilié : Un disposiif mis en marche la ère fois à ombera inexorablemen en panne à un insan T non connu à priori. T (dae de la panne), es une VA de la foncion de répariion F(). F() probabilié de défaillance avan un insan i R() probabilié de bon foncionnemen à i R() + (F() ( ) + f ( ) d f d 23 Taux de défaillance : On défini le aux de défaillance de la manière suivane : nombre de défaillans sur un inervalle de emps λ () nombre de survivans au débu de la période x inervalle de emps On défini : N le nombre iniial de disposiifs Ns() es le nombre de disposiifs survivans à l insan Ns( + ) es le nombre de disposiifs survivans à l insan + Au niveau d une défaillance, 2 cas peuven se produire : Les défaillans son remplacés Les défaillans ne son pas remplacés Les défaillans son remplacés : Ns() sera oujours égal à N : On nomme C( ) le nombre de défaillans duran. D après la formule générale du aux de défaillance, on a : Les défaillans ne son pas remplacés : C( ) λ() N.. Ns( ) Ns( + ) λ() Ns( ). Ce aux de défaillance es une valeur moyenne sur une période connue. Or, au même ire que F() e R(), il es inéressan de connaîre l évoluion de λ() au cours du emps. C es le aux de défaillance insanané : On fai endre d e (Ns() Ns( + )) dn. dn sera précédé du signe «-» car il y a moins de survivans à ( + ) qu à. λ().d dn dn λ() λ().d N( ). d N ( ) es appelé probabilié condiionnelle de défaillance sur [, +d]. Applicaions : Cas N : les défecueux son remplacés. Une éude a éé menée sur 7 véhicules pendan une période allan de 8km à 9km. 4 défaillances on éé réparées. Déerminer le aux de défaillance pour cee période. C( ) 4 4 λ ( ),585. panne / km No. 7.(9 8) 2 - Fiabilié - prof.doc Page 2 sur 4

3 Cas N 2 : les défecueux ne son pas remplacés. On ese un lo de 5 élecrovannes soumises en coninu à 8 impulsions par minue. A la 5 ème heure, il en rese 33. A la 6 ème heure, il en rese 27. Déerminer le aux de défaillance sur cee classe, par heure e par impulsion. λ Ns( ) Ns( + ) Ns( ) ( ) 8. def / heure 3,79. def / imp. Si les élecrovannes éaien remplacées, on obiendrai : C( ) λ( ) 2. def / heure No. 5x Liaison enre le aux de défaillance e la fiabilié : «Probabilié d avoir une panne enre e d» «probabilié de survivre à l insan» x «probabilié condiionnelle de défaillance enre e +d». Cee expression es idenique à : f ( ). d R( ). λ().d f()r(). λ() Il vien donc l expression du aux de défaillance en foncion de la loi de fiabilié e la densié de probabilié : f() λ () R() III EXPRESSIONS DES LOIS DE FIABILITE : df( u) f ( u) du f ( u) df( u) df( u) df( u) λ( u) λ( u). du R( u) R( u). d( u) ( F( u)). du F( u) Inégrons les 2 membres enre e : df( u) df( u) λ( u). du λ( u). du F( u) F( u) [ ] [ ] λ( u). du ln( Fu) ln( F( )) ln( F()) A, il n y a pas de défaillance, donc F(), donc ln(-f()) ln ( u ). du ( u). du ln( F( )) e λ F( ) R( ) λ On obien donc les expressions générales des lois de fiabilié : R( ) e λ( u). du F( ) R( ) e df( ) f ( ) λ( ). e d λ( u). du λ( u ). du MTBF E( T ). f ( ). d La MTBF es définie comme éan l espérance mahémaique de la VA T. 2 - Fiabilié - prof.doc Page 3 sur 4

4 IV LOIS DE COMPOSITION EN FIABILITE : ASSOCIATIONS DE MATERIELS : Le problème qui se pose à la mainenance au niveau de la fiabilié es son amélioraion consane. Il peu pour cela inervenir sur la echnologie du composan, agencer les composans ou sous-sysèmes de manière à les rendre plus fiables par l uilisaion de redondances don on disingue 3 grandes caégories : Les redondances acives Les redondances passives ou «sand-by» Les redondances majoriaires 4 Redondance acive : Une redondance acive es réalisée par la mise en parallèle d élémens assuran les mêmes foncions e ravaillan en même emps. On a donc à faire à un sysème appelé par les fiabilises «sysème parallèle». Hypohèses de dépar : Les défaillances son indépendanes les unes des aures La fiabilié de chaque sous-sysème ou de chaque élémen a éé déerminée Sysème série : On di qu un sysème es un sysème série d un poin de vue fiabilié si le sysème ombe en panne lorsqu un seul de ses élémens es en panne. E E2 Ei En Rs P( S) P( S S2... Si... Sn) P( S). P( S2)... P( Si )... P( Sn) n Rs Ri Cee associaion es caracérisique des équipemens en ligne de producion. Sysème // : On di qu un sysème es un sysème // d un poin de vue fiabilié si, lorsqu un ou plusieurs de ses élémens omben en panne, le sysème ne ombe pas en panne. Pour calculer la foncion fiabilié d un sysème // à n élémens, ils es plus aisé de passer par la E foncion défaillance F. E2 Ei En F R P( S) P( S) F P( S). P( S2)... P( Si)... P( Sn) F. F2... Fi... Fn F ( R).( R2)...( Ri)...( Rn) Rs ( R).( R2)...( Ri )...( Rn) Rs ( Ri ) n i Dans un sysème //, la fiabilié du sysème es plus grande que la plus grande des fiabiliés des élémens composan le sysème. On uilise ce fai pour améliorer la fiabilié ; cela réalise une redondance acive. Si on désire effecuer un calcul en foncion du emps, on doi inroduire la foncion R(). Si R( ) e λ, alors 42 Redondance passive : n. Rs ( e λ ) i Dans ce cas, un seul élémen foncionne, les aures son en aene. Ceci a l avanage de diminuer ou de supprimer le vieillissemen des élémens ne ravaillan pas. En conreparie, on a l inconvénien d êre obligé d avoir un organe de déecion des pannes e de commuaion d un sysème sur un aure. Le calcul d un sysème à redondance passive ou «sand-by» se fai en enan compe de la variable emps. Il fau donc connaîre au préalable, pour chaque composan, son aux de défaillance λ() e sa loi de fiabilié R(). i 2 - Fiabilié - prof.doc Page 4 sur 4

5 DC E2 Calcul d un sysème à redondance passive à 2 élémens en // : E Hypohèse : le aux de défaillance des élémens E e E2 es consan e es égal à λe e λ e2. Cee hypohèse a pour conséquence que les lois de fiabilié son de ype exponeniel : R ( ) e e e λ 2 e e 2 e λ R ( ) e On fai aussi l hypohèse que la fiabilié de l organe DC es égale à. Il sera facile par la suie de la prendre en compe par la suie dans le calcul, ce organe éan en série avec le sysème {E, E2}. R ( ) e e R ( ) e 2 e e 2 f ( ) λ e e f ( ) λ e 2 e e e2 e2 Le sysème foncionnera avec E ou E2, ces événemens éan muuellemen exclusifs (E sans E2 ou E2 sans E, mais jamais les 2 en même emps). R(S) [Prob(S marche sachan que E marche) x Prob(E marche)] + [Prob(S marche sachan que E ne marche pas) x Prob(E ne marche pas)] Prob(E ne marche pas) probabilié que E soi défaillan Prob(S marche sachan que E marche) (an que E marche, S foncionnera oujours) R ( ) Prob(E marche) probabilié que E foncionne e Probabilié que E ombe en panne sur l inervalle [, ] à l insan T e e λ e λ T f ( ) d λ e. dt e e 2 Probabilié que S marche sachan que E ne marche plus à parir de T ( ) ( λ ) T 2 ( T ) T 2. λe 2. T s( ) + e. + λe.. R xe e dt xe e e dt xe xe 2. T λe 2. T 2. ( λe 2 ) T s( ) + λe + λ e R e. e. e. e. dt e. e. e. dt ( λe 2 ) T 2. ( λe 2 ) T 2. e Rs( ) e + λe. e. e. dt e + λ e. e. ( λe λe ) ( λe 2 ) λ 2. e e Rs( ) e + λe. e. ( λe λe2 ) ( λe λe2 ) ( λe 2 ) λ 2. e e Rs( ) e + λe. e. ( λe λe 2) R R R s( ) s( ) s( ) λ. e λ. e + λ. e λ. e. e λ λ e 2. e2. ( e e 2 ) e e2 e e e e2 λ. e λ. e + λ. e λ. e λ λ e e e 2. e2. e. + e2. e e2 e e e e2 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ. e λ. e + λ. e λ. e λ. e λ. e 2 λ λ λ λ λ λ e e e 2. e. e 2. e e e2 e e e e2 λe λe 2 λe λ e2 Si on prend en compe l élémen de déecion e de commuaion DC, on obien alors : R s( ) λ. λ.. 2. DC λe e λe e e. λ λ e2 e e e2 λ e 2 e T R ( > T ) e λ Remarque : si on considère que ous les élémens on le même aux de défaillance λ, on obien alors l expression suivane : R e e λdc. λ. ( ). s.( + λ. ) 2 - Fiabilié - prof.doc Page 5 sur 4

6 Pour n élémens de aux de défaillance ideniques monés en //, on rouve : 43 Redondance majoriaire : R s( ) i n i ( λ ). (. ) DC + λ λ e. i i! La redondance majoriaire es elle que la foncion es assurée si au moins la majorié des élémens es en éa de foncionnemen. Cee redondance concerne surou des signaux de grande sécurié, e en pariculier les équipemens élecroniques. Le signal de sorie es celui de la majorié des composans. Le cas le plus simple compore 3 élémens. On considère que l organe D de décision a une fiabilié égale à. E R S probabilié d avoir plus de 2 élémens en foncionnemen correc Si ReRe2Re3R E2 D E3 k 3 R C. R.( R) 3R 2R S k 2 k k 3 k Si on généralise à n (impair obligaoiremen pour avoir une majorié) élémens, on obien : k n k k n k n + RS Cn. R.( R) avec c 2 k c La formule de calcul de «c» perme d obenir la majorié des élémens. En enan compe de la fiabilié du composan de décision : 44 Applicaion : k n k k n k R R. C. R.( R) avec c S D n k c Un processus es représené par le processus suivan : n + 2 M,85 M2,99 M3,99 M4,99 M5,99 T,8 T2,99 T3,99 La fiabilié du sysème enier es le produi de oues les fiabiliés élémenaires : Rs,64 Pour améliorer cee fiabilié, on peu appliquer des redondances sur les sysèmes les moins fiables : M e T. Une des soluions peu consiser à uiliser 3 T e 2 M. Economiquemen, il va de soi que cee soluion coûerai rop cher. On se conenera de redonder les élémens faibles des sysèmes M e T T M M2,99 M3,99 M4,99 M5,99 T T2,99 T3,99 M T Rs x x x (,85),99 (,8),99,9 Résula saisfaisan. 2 - Fiabilié - prof.doc Page 6 sur 4

7 V ANALYSE DE LA FIABILITE PAR LA LOI EXPONENTIELLE : 5 Définiion de la loi exponenielle : Rappel sur la durée de vie d un maériel : x de défaillance Maurié ( ). ( ) λ u du e comme ( ) R e λ u ce λ λ. du λ. u λ. R( ) e e e Densié de probabilié : Foncion de répariion : f ( ) λ.. e λ On consae que duran la période de maurié d un équipemen, λ() es consan ou sensiblemen consan. C es le champ d applicaion de la loi exponenielle qui repose sur l hypohèse λ consane. Les défaillances émergen sous l acion de causes diverses e indépendanes. Si λce, alors MTBF / λ en fiabilié Si µce (aux de réparaion), alors MTTR / µ en mainenabilié R( ) F( ) R( ) e λ Espérance mahémaique : E( ) MTBF λ 52 Durée de vie associée à un seuil de fiabilié :.. e λ Il es inéressan de savoir à quel insan la fiabilié aeindra un seuil déerminé. λ. R( ) e ln R( ) λ..ln R( ).ln λ λ R ( ) Ex : un composan a une MTBF de 2 heures. A quelle dae «j» ce composan aura une fiabilié de 9%? j.ln.ln 2 ln 2 heures λ R( ) MTBF R( ) x,9 Au bou de 2 heures, on esime donc que 9% des composans survivron. 53 Représenaion graphique de la loi exponenielle : Si R( ). e λ, alors ln R( ). λ en logarihmes népériens e - λ. logr() en logarihmes décimaux. 2,3 R() Loi exponenielle sur échelle linéaire Loi exponenielle sur papier semi logarihmique logr() Droie de pene λ/2,3 /e,368, m/λ λ ou 2,3/λ 2 - Fiabilié - prof.doc Page 7 sur 4

8 54 Esimaion du aux de défaillance : Porer sur papier semi logarihmique les N poins formés des couples (i, Ri) Tracer la courbe de régression des N poins Si les N poins son sensiblemen alignés, alors la loi de fiabilié es exponenielle Déerminer λ par la pene de la courbe En déduire MTBF / λ En déduire R( ). e λ VI ANALYSE DE LA FIABILITE PAR LA LOI DE WEIBULL : 6 Définiion de la loi de Weibüll : C es une loi de fiabilié à 3 paramères qui perme de prendre en compe les périodes où le aux de défaillance n es pas consan (jeunesse e vieillesse). Cee loi perme : Une esimaion de la MTBF Les calculs de λ() e de R() e leurs représenaions graphiques Grâce au paramère de forme d oriener un diagnosic, car peu êre caracérisique de cerains modes de défaillance Les 3 paramères de la loi son : Paramère de forme > sans dimension: Si >, le aux de défaillance es croissan, caracérisique de la zone de vieillesse o,5 < < 2,5 : faigue o 3 < < 4 : usure, corrosion Si, le aux de défaillance es consan, caracérisique de la zone de maurié Si <, le aux de défaillance es décroissan, caracérisique de la zone de jeunesse f() R() λ() 3 3,5,5,5 3 Remarque : pour γ e, on rerouve la disribuion exponenielle, cas pariculier de la loi de Weibüll : λ η MTBF f() η avec η 2 < η η Paramère d échelle > qui s exprime dans l unié de emps η 2 γ paramère de posiion, - < γ < +, qui s exprime dans l unié de emps : f() γ < γ γ> : survie oale sur l inervalle de emps [, γ] γ : les défaillances débuen à l origine des emps γ< : les défaillances on débué avan l origine des emps ; ce qui monre que la mise en service de l équipemen éudié a précédé la mise en hisorique des TBF 2 - Fiabilié - prof.doc Page 8 sur 4 γ >

9 Relaions fondamenales : Densié de probabilié : Foncion de répariion : F( ) e γ η γ f ( ).. e avec γ η η γ η Loi de fiabilié : R( ) F( ) e Taux de défaillance : γ η γ η λ γ η f ( ) f ( ) γ γ λ( ).. e. ( ). R( ) F( ) η η η η e MTBF e écar ype : E( ) MTBF Aη + γ σ Bη Où A e B son des paramères issus de ables. Ex : pour,2, γ e η55 heures. MTBF,947x heures. 2 - Fiabilié - prof.doc Page 9 sur 4

10 STRATEGIES DE MAINTENANCE 62 Durée de vie associée à un seuil de fiabilié : Il es inéressan de savoir à quel insan la fiabilié aeindra un seuil déerminé, en pariculier les roulemens à billes. R ( ) e γ η γ γ γ ln R( ) ln ln R ( ) η η η R ( ) η. ln R ( ) +γ 63 Papier Weibüll : C es un papier log / log qui compore 4 axes : AXE a AXE A AXE b AXE B AXE A Axe A : axe des emps sur lequel on pore les valeurs i des TBF Axe B : valeurs des probabiliés de défaillance Fi calculées par la méhode des rangs moyens ou des rangs médians. On esime R() par R() F() Axe a : axe des emps en logarihmes népériens : ln() Axe b : axe qui perme l évaluaion de 64 Déerminaion graphique des paramères de la loi : Préparaion des données : déerminaion des couples (i, Fi) par les rangs moyens ou les rangs médians Tracé du nuage de poins Tracé de la droie de Weibüll Déerminaion de, η, γ Déerminaion des équaions de la loi de Weibüll Calcul de la MTBF Exploiaion des données issues de la loi 2 - Fiabilié - prof.doc Page sur 4

11 STRATEGIES DE MAINTENANCE Exemple d applicaion : Préparaion des données : Ordre i TBF Fi,,26,42,58,73,89 Tracé du nuage de poins : η77 heures,4 D D2 Tracé de la droie de Weibüll D : le racé se fai sans difficulé «au jugé». Déerminaion des paramères de la loi : Le fai d obenir direcemen une droie D sans faire de redressemens indique que γ (paramère de posiion) La droie D2, // à D, passan par l origine coupe l axe «b» en un poin,4. C es la valeur du paramère de forme La droie D coupe l axe des emps à η77 heures. C es le paramère de la loi de Weibüll Equaions de la loi :,4 R ( ) e 77 Déerminaion de la MTBF : Les ables annexes donnen les valeurs de A e B pour,4 : A,9 e B,66. On en dédui MTBF Aη + γ,9x 77 7 heures e σ Bη,66 x heures. 2 - Fiabilié - prof.doc Page sur 4

12 Remarque sur la forme du nuage de poins : Si le nuage de poins approxime une droie, la déerminaion de γ es insananée puisque γ. Dans le cas où ce n es pas une droie mais une courbe (concave ou convexe) qui es approximée, il exise des méhodes de redressemen de la courbe pour obenir une droie e donc γ. Dans ce cas, l uilisaion de logiciels spécialisés es conseillée. VII METHODES D APPROXIMATION DES VALEURS DE LA FONCTION DE REPARTITION : On dispose pour nos éudes de fiabilié d un cerain nombre de données expérimenales ou réelles sur les TBF ; TBF don on veu éudier la foncion de répariion. Ces données représenen un échanillon «n» de la populaion que l on veu appréhender. Elles doiven êre classées par ordre croissan de durée (en heures, jours, ec), suivan l unié la plus adapée. i L esimaion de la foncion de densié pour une durée i es donnée par : f ( i) n + Or, ce n es pas la foncion de densié qui nous inéresse mais la foncion de répariion F(i). Cee foncion de répariion peu êre esimée selon plusieurs méhodes don 2 son pariculièremen applicables pour les lois de fiabilié (exponenielle e Weibüll) : ce son les méhodes des rangs médians e des rangs moyens. Le choix enre l une ou l aure des méhodes es foncion de la aille «n» de l échanillon. i,3 Si n 2, on uilise la méhode des rangs médians e F( i ) n +,4 i Si n > 2, on uilise la méhode des rangs moyens e F( i ) n + Des ables donnen les valeurs de F(i) direcemen en foncion de la aille n de l échanillon. Ex : able des rangs médians : ordre TAILLE DE L'ECHANTILLON , 29,2 2,6 5,9 3,,9 9,5 8,3 7,4 6,7 6, 5,6 5,2 4,9 4,5 4,3 4, 3,8 3,6 3,4 2 7,8 5, 38,6 3,5 26,6 23, 2,2 8, 6,3 4,9 3,7 2,7,8,,4 9,8 9,2 8,8 8,3 3 79,4 6,4 5, 42,2 36,5 32, 28,7 26, 23,7 2,8 2, 8,8 7,5 6,5 5,5 4,7 3,9 3,2 4 84, 68,5 57,8 5, 44, 39,4 35,6 32,5 29,8 27,6 25,7 24, 22,6 2,3 2, 9, 8, 5 87, 73,4 63,5 56, 5, 45,2 4,2 37,9 35, 32,6 3,5 28,7 27, 25,5 24,2 23, 6 89, 77, 67,9 6,6 54,8 5, 46, 42,5 39,6 37, 34,8 32,8 3, 29,4 27,9 7 9,5 79,8 7,3 64,4 58,8 54, 5, 46,5 43,5 4,9 38,5 36,4 34,5 32,8 8 9,7 8,9 74, 67,5 62, 57,5 53,5 5, 47, 44,3 4,8 39,7 37,7 9 92,6 83,7 76,3 7,2 64,9 6,4 56,5 53, 5, 47,3 44,8 42,6 93,3 85, 78,2 72,4 67,4 63, 59, 55,7 52,7 5, 47,5 93,9 86,3 79,9 74,3 69,5 65,2 6,5 58,2 55,2 52,5 2 94,4 87,3 8,3 76, 7,3 67,2 63,6 6,3 57,4 3 94,8 88,2 82,5 77,4 73, 69, 65,5 62,3 4 95, 89, 83,5 78,7 74,5 7,6 67,2 5 95,5 89,6 84,5 79,9 75,8 72, 6 95,7 9,2 85,3 8,9 77, 7 96, 9,8 86, 8,9 8 96,2 9,2 86,8 9 96,4 9,7 2 96,6 2 - Fiabilié - prof.doc Page 2 sur 4

13 VIII APPLICATION DE WEIBULL : OPTIMISATION D UNE PERIODE D INTERVENTION SYSTEMATIQUE : La quesion qui revien sans cesse dans un service mainenance pour un équipemen es : fau-il choisir de garder le correcif ou de mere en œuvre un prévenif sysémaique? Pour répondre à cee quesion, il exise plusieurs ouils (abaques de Noire par exemple) don l uilisaion de la loi de Weibüll. La mise en praique de cee loi va permere de répondre aux 2 quesions suivanes : Exise--il une période d inervenion sysémaique T elle que la mainenance prévenive soi plus économique que la mainenance correcive? Si oui, quelle es cee période opimisée θ? Ce ouil d opimisaion sera nommé ouil «r,». 7 Mise en œuvre de la méhode : Sur un sysème réparable, don un consiuan «fragile» es inerchangeable, commen faire pour déerminer la période θ de remplacemen prévenif? Il fau en er lieu connaîre : La loi comporemenale R() du consiuan Le coû «p» du correcif qui, par hypohèse, es égal au coû de l inervenion prévenive liée au remplacemen du consiuan défecueux Le coû indirec «P» des conséquences de la défaillance On appellera rp/p le raio de «criicié économique» de la défaillance. Domaine de validié : 2 < r <. Evaluaion du coû C de l inervenion correcive : Le coû moyen d une inervenion correcive es p + P. p + P Le coû moyen par unié d usage devien : C MTBF Evaluaion du coû C2(θ) d une inervenion prévenive sysémaique : Si θ es la période de remplacemen sysémaique du composan, le coû aura 2 ermes : Le coû de l inervenion p Le coû du correcif résiduel lié au risque de défaillance avan θ e évalué par sa probabilié F() avec < θ. Ce coû es égal à : P. F( ) P.( R( )). p + P.( R( )) Le coû moyen par unié d usage es donc C2( θ ), avec m(θ) la durée de vie moyenne des m( ) composans ne dépassan pas θ, puisqu ils on éé changés à cee dae. θ θ m( ) R( ) d θ. Crière de choix : C2( θ ) Le prévenif sysémaique sera choisi s il exise une période θ elle que C2(θ)<C ou encore <. C Principe de l opimisaion de θ : C2( θ ) On éudie les variaions de quand θ varie. C C2( θ ) Si >, alors il n y a pas de soluions C Si le rappor à minimum inférieur à, la valeur θ correspondan au minimum es opimisée C2( θ ) p + P( R( θ )) MTBF On forme le rappor :. C m( ) p + P R(θ) es modélisable par une loi de Weibüll à 2 paramères (γ). R( θ ) e θ θ η 2 - Fiabilié - prof.doc Page 3 sur 4

14 La MTBF es aussi une foncion de η e : mahémaique complexe. Si on pose x θ e η MTBF η. Γ + avec Γ a e.. d qui es une foncion x P C2( θ ) p + P( R( θ )) MTBF C2( x) + r r, alors. ( e Γ ) + devien :. x p C m( θ ) p + P C e. d + r C2( x) On consae que le rappor es dépendan de 2 C paramères : qui caracérise la forme de la disribuion e r, paramère économique, qui caracérise le rappor des coûs indirecs / direcs (criicié des défaillances). C2( x) Exploiaion du rappor : C En plus des 2 paramères ciés précédemmen, le rappor fai aussi inervenir le emps. On race alors sur un graphique une C2( x) série de courbes f ( x) pour des valeurs successives C de θ e de r. On obien alors des abaques elles que celle ciconre : 72 Méhodes de gesion des maériels : Gesion individuelle en mainenance prévenive sysémaique : en cas de défaillance résiduelle, le remplacemen du composan défaillan iniialise une nouvelle période θ pour l échéancier. C es la méhode la plus fréquene. Défaillance θ θ θ θ θ θ θ durée<θ Gesion collecive en mainenance prévenive sysémaique : en cas de défaillance résiduelle, le remplacemen du composan défaillan ne modifie pas l échéancier prévu. θ θ θ Défaillance θ θ θ Cee noion de gesion des équipemens nous inéresse dans le cas de l opimisaion d une période de remplacemen, puisqu elle nous condui à l obenion de 2 abaques. 2 - Fiabilié - prof.doc Page 4 sur 4

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