Approches probabilistes de fiabilité dans le temps

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1 Chapire 10 Approches probabilises de fiabilié dans le emps Inroducion Les approches probabilises en fiabilié des srucures ne fon pas souven apparaîre expliciemen la dimension emporelle. i l on revien à la formulaion la plus simple du problème di «R -», dans lequel la défaillance du sysème se produi si la solliciaion dépasse la résisance R, il es pouran clair que ces deux quaniés dépenden du emps dans de nombreux problèmes d inérê praique : la résisance R peu diminuer dans le emps sous l effe de mécanismes de dégradaion des maériaux : corrosion des aciers dans le béon armé, propagaion de fissures dans une pièce méallique, diminuion de la énacié de l acier de cuve sous l effe de l irradiaion dans les réaceurs de cenrales nucléaires, ec. Ces mécanismes présenen en général une phase d iniiaion e une phase de propagaion, don la modélisaion peu conenir des paramères incerains ; la solliciaion peu êre variable dans le emps du fai de la variabilié des chargemens appliqués à la srucure : viesse du ven, haueur de vague pour les srucures offshore, charges roulanes pour les pons, haueurs d eau liées aux crues pour les barrages, ec. Les deux ypes de dépendance emporelle peuven êre présens simulanémen ou non, e son de naure différene : les phénomènes de dégradaion de la résisance on une cinéique monoone (conduisan à une décroissance de celle-ci au cours du Chapire rédigé par Bruno UDRET.

2 38 Fiabilié des ouvrages emps) alors que les chargemens son généralemen de naure «oscillane», e nécessien une modélisaion fine par l inroducion de processus sochasiques. Un raiemen comple des problèmes de fiabilié dépendan du emps dépasse le cadre de ce ouvrage. Ce chapire résume les conceps imporans e présene la méhode PHI, développée récemmen pour raier des problèmes de fiabilié dépendan du emps à parir d un ouil classique de la fiabilié, la méhode FORM. Pour un éa de l ar plus comple dans ce domaine, on pourra se référer aux nombreux ravaux de Rackwiz [RAC 01, RAC 04] e aux ouvrages de Dilevsen & Madsen [DIT 96, chapire 15] e Melchers [MEL 99, chapire 6] Processus sochasiques Les processus sochasiques permeen une descripion de chargemens aléaoires dans le emps [CRA 67, LIN 67]. On présene ici, sans voloné de rigueur mahémaique excessive, des noions minimales nécessaires à la compréhension du chapire Définiion e propriéés élémenaires Un processus sochasique à emps coninu es un ensemble de variables 0, T, à valeurs dans, où X aléaoires X indexé par le emps dénoe les évènemens élémenaires d un espace de probabilié sousjacen. A chaque insan 0 correspond donc une variable aléaoire ayan une ceraine loi. Inversemen, une réalisaion ou rajecoire du processus correspond X x,. Définir à la foncion, que l on noe plus simplemen 0 un processus aléaoire revien à se donner la densié de probabilié conjoine de ou ensemble fini de variables X,, X 1 N pour ou ensemble d insans 0 1 N T. On uilise en fiabilié des srucures des processus pariculiers (de Poisson, de renouvellemen à sau, gaussiens, ec.) don la définiion es simplifiée, comme on le verra dans les exemples qui suiven. Les définiions usuelles de densié de probabilié marginale, momens saisiques (moyenne, ec.) associées aux variables aléaoires s éenden, écar ype X naurellemen, à chaque insan, aux processus. X 0

3 Approches probabilises de fiabilié dans le emps 39 On inrodui par ailleurs la foncion d auocorrélaion : 1, E 1 RXX X X [10.1] où E. désigne l espérance mahémaique. Elle radui la dépendance emporelle des rajecoires à deux insans disincs 1,. De façon équivalene, on peu spécifier la foncion de coefficien d auocorrélaion : XX, 1 E X X 1 X 1 X X 1 X [10.] Par ailleurs, un processus es di saionnaire si ces caracérisiques son «invarianes» dans le emps. Cee noion implique en pariculier que les momens n saisiques E X ne dépenden pas du emps, e que la foncion d auocorrélaion R h, h R,. Cela enraîne soi invariane par ranslaion : XX 1 XX 1 noammen que cee dernière ne dépende que de l inervalle 1. Un processus es di différeniable si, au sens des moindres carrés, la limie du raio X h X exise. On noe alors le processus dérivé X, qui vérifie : h X h X lim E X 0 h [10.3] h0 Par linéarié, la moyenne du processus dérivé es que sa foncion d auocorrélaion vau : R XX, 1 RXX 1, 1 d X e on monre X d [10.4] En pariculier, pour un processus saionnaire, on a R XX d RXX. d Processus gaussiens Conrairemen aux processus sochasiques uilisés dans d aures domaines (noammen en mahémaiques financières), ceux uilisés en ingénierie pour

4 40 Fiabilié des ouvrages modéliser des chargemens dépendan du emps (ven, houle, charges d exploiaion, ec.) présenen une ceraine régularié, liée aux propriéés physiques des phénomènes qu ils représenen. Les processus gaussiens son ainsi d uilisaion courane dans différens domaines. Un processus scalaire 0 1 N es di gaussien si, pour ou ensemble d insans T, le veceur X,, X es un veceur gaussien. Il es 1 N défini par la seule donnée de sa moyenne (), de son écar ype () e de sa foncion de coefficien d auocorrélaion ( 1, ). Les formes classiques uilisées pour cee dernière son l auocorrélaion exponenielle ( exp 1 / ), gaussienne ( exp 1 / ( 1 ) / sin ( 1 ) / / ). Une fois le processus ainsi défini, il es possible d engendrer des ) ou encore sinus cardinal ( rajecoires par des méhodes appropriées (méhode de Fourier, méhode de Karhunen-Loève, méhode EOLE, ec. [PRE 94, UD 07]) Processus de renouvellemen à sau Les processus de Poisson son uilisés pour modéliser l occurrence aléaoire dans le emps d évènemens poncuels, comme par exemple l arrivée de cliens dans une queue (guiche, serveur informaique, ec.). En noan Ti, i 1 la variable aléaoire «insan de la i-ème occurrence» (à valeurs dans 0, ), on défini la foncion de compage du processus par : sup : n N n T [10.5] C es un processus à emps coninu, don les rajecoires son à valeurs enières, consanes par morceaux, disconinues aux insans d occurrence des évènemens observés. Un el processus es di de Poisson s il vérifie les propriéés suivanes : N0 0 e, pour ou ensemble fini d insans 0 1 N, les variables aléaoires N, N,, 1 N N N N son indépendanes ; N 1 0 s, la variable N Ns où désigne l inensié du processus. On a ainsi : n sui une loi de Poisson de paramère s, N n e [10.6] n!

5 Approches probabilises de fiabilié dans le emps 41 Pour ces processus, on monre que la loi du emps de première occurrence T 1 es T e ), de même que la loi des exponenielle de paramère (soi 1 1 écars enre deux occurrences successives T n1 T. n Les processus de Poisson serven noammen à consruire les processus de renouvellemen à sau, uiles pour modéliser des chargemens à rajecoire consane par morceaux (par exemple, les charges d exploiaion, de rafic), don l ampliude change à des insans aléaoires dans le emps. Un el processus es défini par la loi de probabilié de l ampliude (des saus) e l inensié du processus de Poisson qui indui les saus. Un exemple de rajecoire es donné sur la figure Figure Exemple de rajecoire d un processus de renouvellemen à saus Les processus de renouvellemen à saus, les processus gaussiens, e ceux consruis par ransformaion de ces derniers (par exemple, les processus lognormaux obenus par exponeniaion d un processus gaussien) permeen de décrire une grande variéé de chargemens. Noons qu il arrive souven que les paramères décrivan les processus soien eux-mêmes des variables aléaoires. C es le cas noammen dans le domaine offshore où l on cherche à modéliser les effes environnemenaux pour différens éas de mer.

6 4 Fiabilié des ouvrages Problèmes de fiabilié dépendan du emps Posiion du problème Comme dans le cas de la fiabilié «classique», on suppose que la défaillance de l ouvrage considéré es caracérisée par une foncion de performance, qui peu dépendre ici du emps de deux façons : soi direcemen en an que paramère, soi parce que la performance dépend de l effe de chargemens représenés par des processus aléaoires (ces derniers pouvan êre saionnaires ou avoir eux-mêmes des g R,,, où propriéés dépendan du emps). On noe donc cee foncion R R R 1,, p T (resp. 1,, aléaoire (resp. un ensemble de processus scalaires) de loi joine donnée. q T ) es un veceur La principale différence enre un problème de fiabilié «saique» e un problème dépendan du emps vien du fai que dans ce dernier cas, on ne sai pas en général quand la défaillance va inervenir. On défini donc la probabilié de défaillance cumulée sur l inervalle de emps 0,T par : R P (0, T ) 0, T : g,, 0 f [10.7] Dans le cas général, cee quanié ne doi pas êre confondue avec la probabilié insananée de défaillance noée Pf, i() e définie par : R Pf, i g,, 0 [10.8] Cee dernière quanié, calculable par les méhodes classiques de fiabilié (Mone-Carlo, FORM/ORM, irages d imporance, ec.) en fixan le emps à une valeur pariculière, n a pas d inerpréaion simple sauf cas pariculier présené ciaprès. On monre en pariculier que : 0, T f, i P (0, T) max P f [10.9] Cee bonne inférieure es en général rès minorane e sans grand inérê.

7 Approches probabilises de fiabilié dans le emps Dégradaion de la résisance e problèmes à marge décroissane Comme on l a vu en inroducion, la dégradaion des propriéés des maériaux inrodui la dimension emporelle dans un problème de fiabilié. Cependan, par définiion, la dégradaion va avoir endance à faire décroîre de façon monoone ces propriéés de résisance, de sore qu une foncion de performance de ype «R -» es égalemen décroissane. On appelle problème de fiabilié à marge décroissane un problème dans lequel oues les rajecoires de la foncion de performance son monoones décroissanes. Dans ce cas pariculier, on monre que la probabilié de défaillance cumulée es égale à la probabilié insananée à l exrémié de l inervalle de emps considéré : P (0, T) P ( T) f f, i [10.10] Le problème de fiabilié dépendan du emps se ramène alors à une succession de problèmes indépendans du emps, pour différenes valeurs de T. Les méhodes classiques (FORM/ORM, simulaion de Mone-Carlo, ec.) peuven donc êre uilisées direcemen. A ire d exemple, la secion d acier sain d une armaure de béon armé se corrodan sous l effe de la carbonaaion ou de la pénéraion d ions chlorure dans le béon peu se modéliser simplemen sous la forme : 0 si T () -i T si T ini 0 corr ini ini [10.11] où 0 es le diamère iniial de l armaure, corrosion, icorr Tini es le emps d iniiaion de la le couran de corrosion e une consane. On peu relier la performance de la srucure en béon à la secion d acier sain : en effe, la parie corrodée perd oue résisance mécanique, e la rouille qui en résule a endance, par expansion, à fissurer e faire éclaer le béon de surface (épaufrures). Ainsi, si on ( ) 1 (avec par défini la défaillance par une inégalié de ype 0 exemple 0, 05), on es dans le cas d un problème à marge décroissane car la ( ) 0- corr ini, qui es clairemen décroissane pour oue réalisaion des variables aléaoires,, 0 icorr Tini qui son à valeurs posiives de par la physique. foncion de performance peu s écrire g i T

8 44 Fiabilié des ouvrages Cas général Comme on l a vu précédemmen, on ne sai pas dans le cas général à quel insan se produira la défaillance dans l inervalle de emps0,t, celle-ci pouvan se produire plus ou moins ô en foncion des réalisaions des processus inervenan dans la foncion de performance. oi ce insan : c es une variable aléaoire à valeurs dans0,t, qui vérifie : 0, : g R,, 0 P (0, ) [10.1] La probabilié cumulée de défaillance n es donc rien d aure que la foncion de répariion du emps de première défaillance, c es-à-dire du emps nécessaire pour que le sysème «franchisse» la surface d éa limie. L esimaion de [10.1] passe par le calcul du aux de franchissemen que l on va mainenan définir Taux de franchissemen oi N la variable aléaoire donnan le nombre de franchissemens de la surface d éa limie (du domaine de sûreé vers celui de défaillance) pendan l inervalle0,. La défaillance se produi sur ce inervalle de emps soi si elle se produi à l insan iniial 0, soi s il y a au moins un franchissemen avan l insan. On a donc : def 0 P (0, ) g R,, 0 0 N 0 [10.13] f On monre que cee dernière expression peu êre majorée [DIT 96, UD 07] : f Pf (0, ) Pf, i (0) E N [10.14] désigne l espérance du nombre de franchissemens sur 0,. On défini où E N alors le aux de franchissemen de la surface d éa limie par : N, h 1 + ( ) lim avec N, h N h N [10.15] h0 h

9 Approches probabilises de fiabilié dans le emps 45 Cee quanié s inerprèe comme la probabilié d avoir exacemen un franchissemen dans l inervalle infiniésimal, h, divisée par h. On considère par ailleurs que les processus sochasiques inervenan dans le calcul son réguliers N, h 1 de sore que lim 0. ous cee condiion de régularié, e par la h0 h propriéé d addiivié dans le emps de la variable de compage N, on monre que : + () d 0 E N [10.16] En regroupan les équaions [10.9], [10.14] e [10.16], on obien finalemen l encadremen suivan la probabilié cumulée de défaillance : 0, T + max (0, ) ( 0) T P ( ) f, i Pf T Pf, i d 0 [10.17] Il «suffi» donc d êre capable d évaluer le aux de franchissemen () pour résoudre le problème de fiabilié dépendan du emps, ou au moins donner une borne supérieure de P (0, T ). On verra ci-dessous quelques résulas analyiques imporans, f e commen ils peuven êre ensuie uilisés dans un cadre général. Les problèmes de fiabilié dépendan du emps saionnaires corresponden au son saionnaires e où la foncion cas où ous les processus regroupés dans de performance ne dépend pas expliciemen du emps, ce que l on noe g R. Dans ce cas, le aux de franchissemen ne dépend formellemen, pas du emps e peu êre évalué à n impore quel insan (par exemple 0 ). L équaion [10.17] se simplifie alors en : + Pf (0, T) Pf, i ( 0) T [10.18] REMARQUE Dans le cas où la foncion de performance ne dépend pas de g ), le variables aléaoires mais seulemen de processus saionnaires (soi nombre de franchissemens es un processus de Poisson d inensié, ce qui perme T d esimer P (0, T) F ( T) 1 e. Cee approximaion n es cependan plus f valable dans le cas général où g dépend égalemen de variables aléaoires R ( ), car les franchissemens ne son dans ce cas plus indépendans les uns des aures.

10 46 Fiabilié des ouvrages T L esimaion correce devien alors : Pf (0, T) E 1 e R R e peu êre évaluée par des méhodes spécifiques. Dans cee expression, R es le aux de franchissemen condiionnel aux variables aléaoires R, e E R. désigne l espérance par rappor à ces variables, voir les déails dans [CH 91, RAC 98]. Le calcul du aux de franchissemen par un processus sochasique scalaire (respecivemen vecoriel) d un seuil (respecivemen d une hypersurface) es complexe e le leceur pourra se reporer aux ouvrages [DIT 96, RAC 04] pour un raiemen comple. On donne cependan la formule de Rice [RIC 44], à la base de nombreux résulas. f oi un processus scalaire dérivable, soi, le processus dérivé e s s leur densié de probabilié conjoine. On s inéresse au aux de franchissemen () par le processus emps), noé a (). La formule de Rice s écri : d un seuil (évenuellemen variable dans le a () [10.19] + ( ) s a( ) f a( ), s ds Dans le cas d un processus saionnaire e d un seuil fixe (par exemple a 0 dans le + cas de la foncion de performance), la formule se simplifie en s f, a s ds. A 0 ire d exemple, si es un processus gaussien de moyenne, d écar ype, on,gaussien 1 a monre que le aux de franchissemen du niveau a vau a, / x où ( x) e / désigne la densié de probabilié gaussienne. i le processus gaussien n es pas saionnaire (par exemple, sa moyenne e son écar ype varien dans le emps) e si le seuil a () es lui-même variable, le aux de franchissemen,gaussien a () devien ( ) a( ), où l on a posé : / x ( x) ( x) x ( u) du [CRA 67] Le calcul du aux de franchissemen de processus vecoriels à ravers une hypersurface es donné par la formule de Belayev, don on pourra rouver une présenaion dans les références [DIT 96, RAC 04].

11 Approches probabilises de fiabilié dans le emps Méhode PHI On a présené dans les secions précédenes les conceps uiles à la formulaion de problèmes de fiabilié dépendan du emps : processus sochasiques, aux de franchissemen, probabilié de défaillance cumulée e bornes associées. Pour êre en mesure d appliquer la formule [10.17] dans des cas praiques, il fau donc évaluer le aux de franchissemen du niveau zéro de la foncion de performance. Comme on l a vu, des résulas analyiques ne son disponibles que dans des cas rès pariculiers, e il fau donc développer dans le cas général des méhodes numériques. Deux grandes classes de méhodes numériques son connues : la méhode asympoique, développée enre aures par Rackwiz e ses collègues, qui consise à esimer le aux de franchissemen e son inégrale dans le emps à parir de la formule de Rice e diverses approximaions analyiques, comme l inégraion de Laplace (voir [RAC 98, RAC 04] pour plus de déails) ; une méhode basée sur l analyse de fiabilié sysème, inspirée des ravaux de [HAG 9, LI 95] e développée sous le nom de méhode PHI dans les ravaux de [AND 0, AND 04, UD 08]. Comme on va le voir mainenan, celle-ci s appuie sur les ouils classiques de la fiabilié pour les problèmes indépendans du emps (noammen la méhode FORM e l analyse de fiabilié des sysèmes). Elle peu donc êre uilisée avec les logiciels classiques, comme Phimecaof [LEM 06] ou Open TURN ( Taux de franchissemen e fiabilié sysème Par définiion, le aux de franchissemen se calcule à parir de la probabilié d avoir un franchissemen de l éa limie enre deux insans proches e h (équaion [10.15]). Dans nore conexe, un el franchissemen signifie que la srucure se rouvai dans le domaine de sûreé à l insan e dans le domaine de défaillance à l insan h. On peu donc calculer le aux de franchissemen de la façon suivane (pour simplifier les noaions, on pose X R, + ( ) lim h0 X X h g, 0 g, h 0 h T ) : [10.0] Le numéraeur de l équaion précédene es la probabilié de défaillance d un sysème parallèle à deux composans, que l on peu esimer par la méhode FORM pour les sysèmes [LEM 05, chapire 9]. On résou ainsi par la méhode FORM chacun des deux problèmes de fiabilié. oien () e α () (resp. ( h) e

12 48 Fiabilié des ouvrages α ( h) ) l indice de fiabilié e le veceur normal uniaire au poin de concepion associés à l éa limie g X, 0 (resp. h g X, h 0 ). L esimaion de la probabilié de défaillance du sysème parallèle se calcule au premier ordre par : FORM X Xh ( ), ( h), α( ) α( h) g, 0 g, h 0 [10.1] 1 x y x y xy où ( x, y, ) exp dx dy désigne la foncion 1 (1 ) de répariion de la loi binormale. En combinan [10.0] e [10.1], on monre dans [UD 08] que le aux de franchissemen se simplifie en : + ( ) ( ) ( ) () α () α x où ( x) ( x) x ( u) du [10.] Pour des problèmes de fiabilié saionnaires, le aux de franchissemen ne dépend pas du emps e se simplifie en : + α() [10.3] On noe les similiudes enre ces deux formules e celles présenées plus hau comme applicaion de la formule de Rice aux processus gaussiens (fin de la secion 10.3). Pour inerpréer [10.], on peu ainsi considérer que la méhode FORM revien à «scalairiser» le problème du franchissemen, en remplaçan la foncion de performance par un processus scalaire équivalen don on éudie le dépassemen d un seuil ( ) Mise en œuvre de la méhode PHI Cas saionnaire Dans le cas d un problème saionnaire, le aux de franchissemen es consan. On va évaluer l équaion [10.3] en approchan numériquemen la dérivée par différences finies, soi :

13 Approches probabilises de fiabilié dans le emps 49 α( ) α( ) num [10.4] Pour ce faire, il fau choisir un incrémen de emps suffisammen faible pour 3 que l esimaion soi précise. L expérience monre que 10 donne de bons résulas, où es la plus peie longueur de corrélaion des différens processus min inervenan dans le problème. Les différenes éapes pour évaluer [10.4] son les suivanes : on défini les veceurs aléaoires gaussiens 1 e processus gaussien aux insans e e min correspondan au respecivemen. Les composanes 1 j j son corrélées deux à deux, de coefficien de corrélaion (, ), où j es la j foncion de coefficien d auocorrélaion du processus, j (équaion [10.]) ; on remplace dans la foncion de performance g, 1 1, définissan ainsi g par le veceur 1, (1) (1) FORM l indice de fiabilié e le veceur α ; R les processus R e on calcule par la méhode on remplace dans la foncion de performance g,, définissan ainsi g processus par le veceur, R les R e on calcule () par la méhode FORM l indice de fiabilié (égal à (1) () ) e le veceur α ; à parir de ces résulas, le aux de franchissemen [10.4] es évalué, puis la probabilié de défaillance cumulée : num (1) α α () (1) (1) Pf (0, T) num T [10.5] On voi que la borne supérieure ainsi calculée croî linéairemen avec T. Pour exploier ces résulas de façon praique, on peu égalemen exprimer cee borne inf 1 (1) + (0, T) T. sous forme d «indice de fiabilié généralisé» De par la relaion enre probabilié e indice de défaillance, cee valeur es une borne inférieure de l indice de fiabilié d où la noaion inf. La borne supérieure sup (1) associée au minoran de l équaion [10.17] es simplemen.

14 50 Fiabilié des ouvrages Il fau bien noer qu il y a ici deux corrélaions mises en œuvre. La première résule de la corrélaion du processus (, ) e la seconde de la corrélaion des éas limies donnée par le produi scalaire α (1) (). α. j Mise en œuvre de la méhode PHI Cas non saionnaire Dans ce cas, la foncion de performance dépend expliciemen du emps ou les processus ne son pas saionnaires. Le aux de franchissemen doi donc êre évalué à différens insans, puis inégré sur 0,T (équaion [10.17]) pour obenir la borne supérieure de la probabilié cumulée. On discréise l inervalle d inégraion, soi it / N, i 0,, N, e on applique la procédure décrie au paragraphe i aux différens insans. La borne supérieure de la probabilié de défaillance cumulée s obien par exemple par la méhode d inégraion des rapèzes : + + N 1 T (0) ( T) + Pf (0, T) Pf, i (0) ( i ) N i1 [10.6] Il es imporan de noer que l inervalle de discréisaion T/ N pour l inégraion n es en général pas du même ordre de grandeur que l inervalle uilisé pour l évaluaion du aux de franchissemen Exemple semi-analyique oi une poure encasrée de longueur L déerminise, de module de flexion EI, soumise à un effor verical F à son exrémié libre. La flèche maximale de la poure 3 FL vau dans des condiions quasi saiques (la variaion du chargemen es 3EI supposée suffisammen lene). On s inéresse au dépassemen d un seuil admissible max. Le module de flexion EI es supposé suivre une loi lognormale de paramères,. On suppose que le logarihme de la charge ln F es un processus EI EI gaussien saionnaire de moyenne F, d écar ype F, de foncion coefficien F d auocorrélaion e F ( / ), où F désigne la longueur de corrélaion. De façon à pouvoir effecuer des calculs analyiques, on écri la foncion de performance associée au dépassemen de la flèche maximale sous la forme :

15 Approches probabilises de fiabilié dans le emps 51 def 3 L g EI, ln max ln ln max ln lnei 3 [10.7] Choisissons un insan 0 quelconque. La variable ln EI es par hypohèse gaussienne e peu donc s écrireln EI EI EI U1, avec U ~ N(0,1). De même, 1 0 es une variable gaussienne de paramères,, que l on peu écrire 0 F FU, avec F F U ~ N(0,1). Ainsi, après subsiuion, l éa limie [10.7] es linéaire en les variables gaussiennes cenrées réduies U1, U. La méhode FORM es dans ce cas exace pour calculer l indice de fiabilié, qui vau : α (1) 3 ln max ln L / 3 F EI F EI [10.8] Les coordonnées du veceur uniaire normal au poin de concepion son /, / (1) EI F EI F F EI Pour raduire l éa limie [10.7] à l insan 0 son corrélées, de coefficien de corrélaion T., il fau noer que ( / F ) e 0 0 e dépendan de la valeur F choisie. La ransformaion isoprobabilise des variables e 0 0 (Naaf) s écri en foncion des variables indépendanes U, U ~ N(0,1) : 3 U, U 1 U 0 F F 0 F F 3 La problème de fiabilié insananée à 0 variables gaussiennes cenrées réduies U1, U, U 3. L indice de fiabilié (exac) es logique puisque le problème es saionnaire. Le veceur normal vau ici : () [10.9] es donc linéaire en les rois es le même que pour l éa limie [10.7], ce qui T () EI / F EI, F / F EI, 1 F / F EI α

16 5 Fiabilié des ouvrages Pour erminer le calcul, il es nécessaire d inroduire les valeurs numériques des différens paramères. On peu alors évaluer, pour le suffisammen faible choisi, (1) () () i l indice de fiabilié, les veceurs α e les reporer dans l équaion [10.5] pour calculer le aux de franchissemen Applicaion : reillis sous chargemen dépendan du emps Nous considérons figure 10. le reillis élasique du chapire 8 de la roisième parie. On s inéresse à la fiabilié dépendan du emps de cee srucure sous l effe de charges variables dans le emps, appliquées sur les nœuds de la membrure supérieure. Figure 10.. Treillis à 3 barres Les variables aléaoires d enrée son décries dans le ableau Nous modélisons les 6 charges vericales appliquées par un unique processus gaussien, de moyenne 50 kn, d écar ype 7,5 kn, de foncion d auocorrélaion gaussienne ( / P ) e P, où la longueur de corrélaion P vau 1 jour. Compe enu de cee valeur, on suppose que la variaion emporelle du chargemen es suffisammen lene pour pouvoir négliger les effes d inerie : un calcul quasi saique es donc valable. On éudie la fiabilié dépendan du emps de la srucure vis-à-vis d un déplacemen maximum admissible. La foncion d éa limie associée s écri : g( E, A, E, A, P) v ( E, A, E, A, P) 0 v 16 cm 1 1 max 1 1 max [10.30]

17 Approches probabilises de fiabilié dans le emps 53 où 1 1 ( E, A, E, A, P ) désigne la réponse calculée par élémens finis. Le problème de fiabilié éan saionnaire, un seul calcul de aux de franchissemen (consan) es nécessaire. Le problème iniial comporan 4 variables aléaoires e un processus es ransformé par la méhode PHI en deux analyses FORM avec 4+=6 variables 3 aléaoires (don une modélisan P e l aure P ). On choisi ici 10. Variable Disribuion Moyenne Ecar ype E 1, E (MPa) Lognormale A 1 (cm²) Lognormale 0 A (cm²) Lognormale 10 1 P (kn) Processus gaussien 50 7,5 Tableau Treillis élasique Variables aléaoires d enrée L analyse de fiabilié insananée à l insan donne l indice 4,03, de veceur normal = {-0, , , , ,649397, 0,0} T. A l insan, on obien le même indice de fiabilié e un veceur normal = {-0, , , , , ,000918} T. On remarque que seules les deux dernières composanes (c es-à-dire celles associées au processus) changen. L applicaion de la formule [10.18] donne un aux de -5 franchissemen de 4,3.10 /jour. La borne supérieure de la probabilié de défaillance cumulée es alors obenue par la formule [10.0]. On représene cee probabilié en foncion du emps sur la figure Ces résulas monren bien que la probabilié de défaillance cumulée peu dépasser la probabilié de défaillance insananée de plusieurs ordres de grandeur, celle-ci éan obenue en supposan le chargemen comme une variable aléaoire Conclusion i les méhodes de fiabilié des srucures pour des problèmes indépendans du emps son aujourd hui bien éablies e déjà courammen uilisées à l échelle indusrielle, il n en es pas de même lorsque la dimension emporelle inervien

18 54 Fiabilié des ouvrages expliciemen dans la formulaion du problème. Le maniemen des processus sochasiques pour modéliser la variabilié emporelle e des probabiliés de défaillance cumulées inroduisen une difficulé supplémenaire. On s es resrein dans ce chapire à aborder les conceps uiles à la résoluion de els problèmes. On s es par ailleurs resrein aux problèmes pour lesquels les aspecs dynamiques ne son pas pris en compe. Les problèmes e méhodes de la dynamique sochasique son en effe un domaine à par enière, noammen présené dans les ouvrages [KRE 83, OI 01, LUT 03]. On s es principalemen inéressé à la méhode PHI pour l évaluaion du aux de franchissemen, qui es basée sur l uilisaion de la méhode FORM pour les sysèmes. Cee approche a le mérie de n uiliser que des ouils classiques développés pour les problèmes de fiabilié indépendans du emps, e donc mis en œuvre dans de nombreux logiciels disponibles. Il convien cependan de vérifier que l approximaion FORM es validée pour les problèmes raiés. Figure Treillis élasique sous chargemen variable Probabilié de défaillance cumulée Enfin, on n a pas abordé l uilisaion de la méhode de Mone-Carlo pour raier les problèmes dépendan du emps. on applicaion nécessie en effe la généraion de rajecoires des processus inervenan dans le problème, puis la résoluion emporelle du problème mécanique. Cee approche es donc rès coûeuse e ne doi êre uilisée qu en dernier recours, noammen pour des problèmes non linéaires de dynamique raiés dans le domaine emporel (analyse sismique de srucures, ec.).

19 Approches probabilises de fiabilié dans le emps Bibliographie [AND 0] ANDRIEU-RENAUD C., Fiabilié mécanique des srucures soumises à des phénomènes physiques dépendan du emps, Thèse de docora, Universié Blaise Pascal, Clermon-Ferrand, 00. [AND 04] ANDRIEU-RENAUD C., UDRET B., LEMAIRE M., «The PHI mehod : a way o compue ime-varian reliabiliy», Reliab. Eng. ys. afey, vol. 84, p , 004. [CRA 67] CRAMER H., LEADBETTER M., aionary and relaed processes, John Wiley & ons, Chicheser, [DIT 96] DITLEVEN O., MADEN H., rucural reliabiliy mehods, John Wiley & ons, Chicheser, [HAG 9] HAGEN O., «Threshold up-crossing by second order mehods», Prob. Eng. Mech., vol. 7, p , 199. [KRE 83] KREE P., OIZE C., Mécanique aléaoire, Dunod, Paris, [LEM 05] LEMAIRE M., Fiabilié des srucures Couplage mécano-fiabilise saique, Hermès, Paris, 005. [LEM 06] LEMAIRE M., PENDOLA M., «PHIMECA-OFT», rucural afey, vol. 8, p , 006. [LI 95] LI C., DER KIUREGHIAN A., «Mean ou-crossing rae of nonlinear response o sochasic inpu», dans M. Lemaire, J. Favre, A. Mebarki (dir.), Proc. 7h In. Conf. on Applicaions of a. and Prob. in Civil Engineering (ICAP7), Paris, p , Balkema, Roerdam, [LIN 67] LIN Y.K., Probabilisic heory of srucural dynamics, McGraw-Hill, New York, [LUT 03] LUTE L., ARKANI., Random vibraions : analysis of srucural and mechanical sysems, Buerworh-Heinemann, Oxford, 003. [MEL 99] MELCHER R., rucural reliabiliy analysis and predicion, John Wiley & ons, Chicheser, [PRE 94] PREUMONT A., Random vibraions and specral analysis, Kluwer Acamedic, Dordrech, [RAC 98] RACKWITZ R., «Compuaional echniques in saionary and non saionary load combinaion A review and some exensions», J. ruc. Eng., vol. 5 (1), p. 1-0, [RAC 01] RACKWITZ R., «Reliabiliy analysis A review and some perspecives», rucural afey, vol. 3, p , 001. [RAC 04] RACKWITZ R., «Zuverlässigkei und Lasen im konsrukiven Ingenieurbau», Lecure noes, Technical Universiy of Munich, 004.

20 56 Fiabilié des ouvrages [RIC 44] RICE., «Mahemaical analysis of random noise», Bell ysem Tech. J., vol. 3, p. 8-33, [OI 01] OIZE C., Dynamique des srucures Elémens de base e conceps fondamenaux, Ellipses, Paris, 001. [CH 91] CHALL G., FABER M., RACKWITZ R., «The ergodiciy assumpion for sea saes in he reliabiliy assessmen of offshore srucures», J. Offshore Mech. Arcic Eng., AME, vol. 113 (3), p , [UD 07] UDRET B., Uncerainy propagaion and sensiiviy analysis in mechanical models Conribuions o srucural reliabiliy and sochasic specral mehods, habiliaion à diriger des recherches, Universié Blaise Pascal, 007. [UD 08] UDRET B. «Analyical derivaion of he oucrossing rae in ime-varian reliabiliy problems», ruc. Infra. Eng., vol. 4(5), p , 008.