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1 1. Couplage par inerie e amorisseur accordé a b α m k F F x 0 0 (a Bâimen de masse sans le disposiif d amorissemen Les forces qui s appliquen au bâimen son : - la force due aux rafales de ven, - la force de rappel du ressor siué à gauche, dirigée vers la gauche car le ressor es en exension, - la force de rappel du ressor siué à droie, dirigée vers la gauche car le ressor es en compression, On applique le PFD au sysème [ ], puis on passe en noaion complexe : d d = F (14 ω + = F = F ω 0 = F 0 ω La pulsaion de résonance es la valeur de ω elle que 0 es maximum, soi : ω B = Si ω ω B, 0 + : le bâimen s écroule. (b Bâimen de masse avec le disposiif d amorissemen de masse m PFD appliqué au sysème [ + m] : Aenion : on applique mainenan le PFD au sysème bâimen + bloc. Dans l expression (14, il fau mainenan remplacer la masse du bâimen par sa masse oale = + m e uiliser la posiion du cenre d inerie G, soi G, au lieu de, dans le erme d accéléraion. Par conre, l allongemen des ressors es oujours repéré par la variable. ( + m d G d = F avec ( + m G = + mξ d d + + md ξ d = F avec ξ = + x d d + + md x d = F (15 PFD appliqué au sysème [m] : Aenion : quand on applique le PFD au bloc de masse m, c es sa posiion par rappor au référeniel galiléen qui inervien dans le erme d accéléraion, ξ, mais concernan les forces de 3

2 rappel du ressor e de froemen, c es la posiion relaive du bloc dans le bâimen, x, qui inervien. m d ξ = kx αdx d d m d d + x md d + αdx + kx = 0 (16 d (c Sysème d équaions linéaires auxquelles obéissen les ampliudes complexes On pose Ω = / e ω 0 = k/m. En divisan (15 par e (16 par m, on obien : d d + Ω + m d x d = F d d + d x d + α dx m d + ω 0x = 0 Puis en passan en noaions complexes e en simplifian ces équaions par e iω, il vien : ω à + Ω Ã mω ã = F 0 ω à ω ã + i α m ωã + ω 0ã = 0 Enfin, en facorisan par à e ã, on rerouve bien les équaions : (d Déplacemen de la masse m quand ω = Ω mω ã + (Ω ω à = F 0 (17 (ω 0 ω + i α m ωã ω à = 0 (18 Quand ω = Ω, (17 ã = F 0 mω a = F 0 mω e ϕ = π (19 la masse m vibre en opposiion de phase avec la force F (e Déplacemen du bâimen quand ω = Ω - ampliude A minimale. ( Quand ω = Ω, (18 e (19 Ω + i α m Ω F0 mω = Ω Ã F0 mω ( à = 1 ω 0 Ω i α mω ( 1 ω A = F 0 mω 0 Ω ( α + mω D après l expression précédene, A es minimum quand ω 0 = Ω e vau alors : A min = F 0 mω α mω A min = F 0α m Ω 3 4

3 (f Rappor a/a min. a = mω A min α = m k α m a km = A min α Si α es rès pei, le rappor a/a min es rès grand le bâimen rese immobile mais l ampliude d oscillaion du bloc de béon es rès grande : le disposiif d amorissemen se romp e on es revenu dans le cas de la quesion (a. Au conraire, si α es rès grand, le bloc de béon rese immobile (e le disposiif d amorissemen ne ser à rien andis que l ampliude d oscillaion de l immeuble es rès grande : il s écroule. Il fau choisir une valeur de α inermédiaire, ni rop grande, ni rop faible, pour que le bloc de béon décrive des oscillaions de grande ampliude, mais pas rop afin que le ressor e l amorisseur ne soien pas rompus, minimisan ainsi les oscillaions de l immeuble, d où le erme d amorisseur accordé. 13. Couplage faible, baemens (a Equaions du mouvemen des masses en foncion des variables x 1 e x. Sur le schéma, nous avons x 1 > x donc le ressor es comprimé. Les forces s appliquan sur les deux masses m son représenées dans la figure ci-dessous. Première méhode (pas la meilleure!. On applique le PFD aux deux masses : Pi + T i + F i = m a i (i = 1,. En projean sur les axes i e j, e en négligean le déplacemen e donc l accéléraion suivan z (peis déplacemens angulaires, il vien : m d x 1 d = T 1 sin θ 1 k(x 1 x m d x d = T sin θ k(x x 1 e { T1 cos θ 1 mg = 0 T cos θ mg = 0 Or sinθ i = x i /L e pour des oscillaions de faible ampliude: cosθ i 1 (i = 1,. Les équaions précédenes se réécriven donc : m d x 1 d = T x 1 1 L k(x 1 x m d x d = T x L k(x x 1 e { mg = T1 cos θ 1 T 1 mg = T cos θ T 5

4 E donc, en regroupan ces sysèmes d équaions : m d x 1 d + mg L x 1 + k(x 1 x = 0 m d x d + mg L x + k(x x 1 = 0 soi, en divisan par m puis en posan ω 0 = g/l e ω 1 = k/m : d x 1 d + ω 0 x 1 + ω 1 (x 1 x = 0 d x d + ω 0 x + ω 1 (x x 1 = 0 d x 1 d + ( + ω 1 x1 ω1 x = 0 x = 0 ω 1 x 1 + d x d + ( ω 0 + ω 1 Remarque : on vérifie bien que ces deux équaions son symériques en x 1 e x. Deuxième méhode (conseillée : mieux adapée pour des mouvemens de roaion e plus rapide. On applique le héorème du momen cinéique aux deux masses : ml d θ i d k = M Pi + M Fi pour i = 1, ( M Ti = 0 car OA i T i. En projean sur l axe de roaion repéré par le veceur uniaire k, il vien : ml d θ 1 d = mglsin θ 1 k(x 1 x Lsin(π/ + θ 1 ml d θ d = mglsin θ k(x x 1 Lsin(π/ θ 1 Pour de peies oscillaions : θ i sinθ i = x i /L e sin(π/ ± θ i = cosθ i 1. Nous avons donc : ml d x 1 d = mgx 1 kl(x 1 x ml d x d = mgx kl(x x 1 soi, en divisan par ml puis en posan ω 0 = g/l e ω 1 = k/m : d x 1 d + ω 0 x 1 + ω 1 (x 1 x = 0 d x d + ω 0 x + ω 1 (x x 1 = 0 d x 1 d + ( + ω 1 x1 ω1 x = 0 x = 0 ω 1 x 1 + d x d + ( ω 0 + ω 1 (b Modes propres e soluion générale pour x 1 ( e x ( Pulsaions propres Ω 1 e Ω 1 avec Ω 1 < Ω. On passe en noaions complexes. Le sysème d équaions précéden de réécri : { ( ω + + ω 1 x1 ω1 x = 0 ω1 x 1 + ( ω ω x = 0 Déerminan D = ( ω + + ω1 ω 4 1 = ( ω + + ω1 ω1( ω + + ω1 + ω1 = ( ω + ( ω + + ω1 = 0 6

5 { Ω 1 = Ω = + ω 1 > Ω 1 { Ω1 = ω 0 Ω = ω 0 + ω 1 Premier mode propre. On remplace ω par Ω 1 = ω 0 dans l une des deux équaions précédenes : ω 1x 1 ω 1x = 0 x 1 = x Les deux masses vibren en phase e on a : x 1 ( = x ( = A cos(ω 0 + φ Deuxième mode propre. On remplace ω par Ω = ω 0 + ω 1 dans l une des deux équaions précédenes : ω1x 1 ω1x = 0 x 1 = x ( Les deux masses vibren en opposiion de phase e on a : x 1 ( = x ( = B cos ω 0 + ω1 + Φ Soluion générale. la soluion générale pour les équaion horaires x 1 ( e x ( es une combinaison linéaire des deux modes propres, e donc : ( x 1 ( = A cos(ω 0 + φ + B cos ω 0 + ω1 ( + Φ x ( = A cos(ω 0 + φ B cos ω 0 + ω1 + Φ (c Condiions iniiales à = 0 : x 1 = a, x = 0, ẋ 1 = ẋ = 0. i. Soluions x 1 ( e x (. x 1 ( = 0 = A cos φ + B cosφ = a x ( = 0 = A cos φ B cosφ = 0 ẋ 1 ( = 0 = Aω sin φ B ω 0 + ω 1 sin Φ = 0 ẋ ( = 0 = Aω sin φ + B ω 0 + ω 1 sin Φ = 0 On voi immédiaemen que les deux équaions poran sur les viesses impliquen : sinφ = sin Φ = 0. Choisissons φ = Φ = 0 e les deux premières équaions se réécriven alors : { x1 ( = 0 = A + B = a x ( = 0 = A B = 0 { A = a A = B A = B = a x 1 ( = a [ ( ] cos(ω 0 + cos ω 0 + ω1 x ( = a [ ( ] cos(ω 0 cos ω 0 + ω1 7

6 ii. Couplage faible : développemen de Ω. ω 1 << ω 0 donc on peu faire un développemen limié de Ω. Ω = + ω 1 = ω ω 1 ( ( ω ω 1 = Ω ω 1 ω1 donc Ω = Ω 1 + Ω avec Ω = Ω 1 << Ω 1 }{{} <<1 iii. Couplage faible : allure de x 1 ( e x (. En uilisan les formules rigonomériques (9 e (10 rappelées dans la parie 4 du poly, le sysème d équaion précéden se réécri : ( x 1 ( = a cos Ω1 + Ω x ( = a sin( Ω1 + Ω soi ( cos Ω1 Ω ( sin Ω1 Ω ( x 1 ( = a cos(ω M cos Ω ( x ( = a sin (Ω M sin Ω ( ( ( Ω1 Ω Ω Ω car sin = sin = sin Les déplacemens x 1 ( e x ( oscillen donc avec une pulsaion moyenne Ω M rapide définie par : Ω M = Ω 1 + Ω = Ω 1 + Ω Ω 1 E leur ampliude es modulée par une pulsaion beaucoup plus faible Ω mod : Ω mod = Ω Auremen di, x 1 ( e x ( peuven êre considérées comme des oscillaions harmoniques de pulsaion Ω M don les ampliudes a cos(ω mod e a sin (Ω mod varien lenemen dans le emps. On parle d oscillaion presque harmonique ou presque monochromaique. Pour racer x 1 ( e x (, on race ou d abord l enveloppe, foncion ± cosinus ou ± sinus de période T mod = 4π Ω, puis on race à l inérieur la foncion cosinus ou sinus de période coure T M Ω π (voir graphe. 1 iv. Evoluion de l énergie de chaque oscillaeur au cours du emps. On remarque que les modulaions son en quadraure de phase pour x 1 ( e x ( : lorsque x 1 ( es maximum, x ( s annule, puis lorsque x 1 ( s annule, T mod /4 plus ard, x ( devien maximum, ec... L énergie, proporionnelle au carré de l ampliude, passe donc d une masse à l aure en un emps T ba = T mod Ω ba = Ω mod. = π Ω : T ba es la période des baemens. On défini donc : Remarque : Baemen des ampliudes e énergies - Exemple des ondes sonores. Si l on écoue deux noes de musique de fréquences différenes l oreille perçoi à priori sons différens. Elle uilise l équaion : x( = a/ [cos(ω 1 + cos(ω ] e elle enend les 8

7 fréquences Ω 1 /π e Ω /π. Le son es faible ou for selon la valeur de l ampliude a/. Mais si les fréquences diffèren de moins de 6% (cela dépend des oreilles... e de leur enraînemen, l oreille perçoi des baemens. Elle préfère l équaion : x( = acos(ω M cos(ω mod e elle enend alors la noe de fréquence Ω M /π mais avec une ampliude variable a/ cos(ω mod. Rappelons que la grandeur associée es la pression e que l oreille es sensible (comme l oeil à l énergie reçue qui varie comme le carré de l ampliude. Comme il y a deux exrêma par période, la fréquence du baemen audible (l inensié du son es le double de la fréquence de modulaion, d où la définiion Ω ba = Ω mod ou encore T ba = T mod /. 9

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