CHAPITRE II Oscillations libres amorties : Systèmes à un degré de liberté

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1 CHAPITRE II Oscillaions libres amories Sysème à un degré de liberé CHAPITRE II Oscillaions libres amories : Sysèmes à un degré de liberé Inroducion : Le pendule élasique comme le pendule pesan, se compore comme un oscillaeur harmonique à la condiion de négliger ou froemen. Il oscille alors héoriquemen sans jamais s arrêer. En réalié, la masse se déplace dans un fluide (en général l air) où il exise oujours des forces de froemen de ype visqueux. L oscillaeur es alors amori e fini par s arrêer. II.1 Oscillaions libres amories La présence de froemens implique une dissipaion d énergie sous forme de chaleur ; on observe alors soi des oscillaions don l ampliude diminue au cours du emps, soi un reour à l équilibre sans oscillaion. On parle alors d amorissemen. L'expression de la force de froemen visqueux es la suivane : F q = αq Tel que : α : es le coefficien de froemen visqueux. α : [N. s/m]. q : la cordonnée généralisée du sysème ; q : La viesse généralisée du sysème. Le signe moins (-) vien du fai que cee force s'oppose au mouvemen en agissan dans la direcion e le sens conraire à la viesse. Dans un mouvemen unidimensionnel x la force s écri sous la forme : f = α v = αx u II. Equaion de Lagrange dans un sysème amori En enan compe de la force de ype froemen fluide (coefficien de froemen visqueux α), l équaion de Lagrange dans ce cas devien : d d L L = F q q q Sous l acion des forces de froemens, le sysème dissipe (perde) de l énergie mécanique sous forme de chaleur, il ya donc une relaion enre la force F q e la foncion de dissipaion D d un côé e la foncion de dissipaion e le coefficien de froemen visqueux α : F q = D e D = 1 q αq L équaion de Lagrange dans le cas d un sysème amori devien : d d L L = D q q q II..1 Equaion différenielle : Sysème masse-ressor-amorisseur Reprenons le cas du pendule élasique (verical par exemple). L éude de l oscillaeur amori se fai de la même façon que précédemmen mais en ajouan la force de froemen visqueux. A une dimension, l équaion de Lagrange s écri : d d L L = D x x x L énergie cinéique du sysème : c es l énergie cinéique de la masse m : T= 1 mx L énergie poenielle du sysème : c es l énergie emmagasinée dans le ressor U= 1 kx Page 1 Universié Ferha Abbas Séif- Faculé de echnologie Tronc commun sciences e echniques N. AKLOUCHE

2 CHAPITRE II Oscillaions libres amories Sysème à un degré de liberé La foncion de dissipaion : D = 1 αx La foncion de Lagrange : L = T U L = 1 mx 1 kx d d L x = mx L x = kx D x = αx k α kx αx En remplaçan dans l équaion de Lagrange on aura : m m mx + kx = αx x + α x + k x = 0 m m x mx C es l équaion différenielle du mouvemen dans le cas d un sysème libre amori. Par rappor aux oscillaions libres non amories, on reconnaî un nouveau erme ( α x ) provenan m de la dissipaion d énergie. La forme générale : q + α q + k q = 0 m m Souven l'équaion différenielle es écrie sous une forme die réduie : q + δ q + ω 0q = 0 δ = α [1/S]: Faceur d amorissemen. m Tels que : ξ = δ (Sans unié) : Rappor d amorissemen. ω 0 À une dimension la forme réduie s écri : x + δ x + ω 0x = 0 II.. La soluion de l équaion différenielle : Sysème masse-ressor-amorisseur L équaion différenielle du mouvemen : x + δ x + ω 0x = 0 Il s agi d une équaion différenielle linéaire du second ordre à coefficiens consans sans second membre. La foncion x() = De r es une soluion pariculière de cee équaion différenielle à condiion que r soi une des deux racines r 1 e r de l équaion du second degré, appelée équaion caracérisique. r + δr + ω 0 = 0 La soluion générale de l équaion prend la forme : x() = C 1 e r 1 + C e r Tel que: r 1 = δ + δ ω 0 ; On voi bien que la soluion dépend des valeurs de δ e w 0. r = δ δ ω 0 1 er cas : δ < ω 0 (0 < ξ < 1) : sysème sous- amori ou faiblemen amori δ ω 0 < 0 r 1 = δ + j (ω 0 δ ) = δ + j ω 0 δ = δ + jω a r = δ j (ω 0 δ ) = δ j ω 0 δ = δ jω a ω a = ω 0 δ = w 0 1 ξ : C es la Pulsaion des oscillaions amories T a = π ω a = π ω 0 δ = π ω 0 1 δ ω 0 = T 0 1 ξ Donc : T a= T 0 1 ξ ; T a: pseudo-période Page Universié Ferha Abbas Séif- Faculé de echnologie Tronc commun sciences e echniques N. AKLOUCHE

3 CHAPITRE II Oscillaions libres amories Sysème à un degré de liberé La soluion : x() = C e δ sin(ω a + φ) C e δ x() représene un mouvemen vibraoire. L ampliude C e δ es décroissane : x() end vers 0 quand augmene. l élongaion x() va osciller en resan comprise enre C e δ e C e δ.ces deux exponenielles représenen l enveloppe du mouvemen de l oscillaeur c es-à-dire les posiions exrémales prises par x lorsque le emps s écoule. éme cas : δ = ω 0 (ξ = 1 ) : Amorissemen criique : r 1 = r = δ La soluion : x() = (C 1 + C ) e δ Si δ = α m e ω 0= k m α = α c = km : Valeur criique du coefficien de froemen. x() n es pas oscillaoire car il ne conien pas un erme sinusoidal. x() end vers 0 sans oscillaion quand le emps augmene. Le sysème revien à sa posiion d équilibre le plus rapidemen possible. 3 éme cas : δ > ω 0 (ξ > 1) : sysème sur- amori ou foremen amori La soluion : r 1 = δ + δ ω 0 r = δ δ ω 0 x() = e δ (C 1 e δ ω 0 + C e δ ω 0 ) x() end vers 0 sans oscillaion quand le emps augmene. x() es un mouvemen non sinusoïdal II.3 L oscillaeur harmonique élecrique Nous allons voir mainenan qu'il exise un aure ype d'oscillaeur harmonique amori dans un aure domaine de la physique : l'élecricié. Soi un circui élecrique, consiué des 3 élémens de base misen en série : un résisor de résisance R ; un condensaeur de capacié C ; e une bobine d'inducance L. Page 3 Universié Ferha Abbas Séif- Faculé de echnologie Tronc commun sciences e echniques N. AKLOUCHE

4 CHAPITRE II Oscillaions libres amories Sysème à un degré de liberé Selon la loi de de Kirchoff : u R + u C + u L = 0 Ri() + 1 di q + L = 0 c d R dq + 1 dq q + L = 0 Rq + 1 q + L q = 0 d c d c q + R L q + 1 Lc q = 0 q + δ q + ω 0q = 0 R δ = δ = R L L avec ω 0 = 1 Donc : q + δ q + ω 0 q = 0 ω Lc 0 = 1 Lc Remarque : Pour un amorissemen criique δ = ω 0 R L = 1 Lc Donc : R = R c = L C II.4 Décrémen logarihmique Définiion : C es le logarihme du rappor de ampliudes successives des oscillaions amories. D = ln x( 1) ; x( ) = 1 + T a Où x( 1 ) e x( 1 + T a ) représenen les ampliudes des oscillaions aux insans 1 e ( 1 + T a ): généralemen ces deux insans son choisis comme correspondan à deux exrema successifs de même signe. Cee quanié mesure la décroissance des ampliudes pendan une période. D = ln x( 1) x( ) = ln x( 1 ) x( 1 + T a ) Pour un sysème amori : x() = C e δ sin(ω a + φ) C e δ 1 sin(ω a 1 + φ) D = ln C e δ( 1+T a ) sin(ω a ( 1 + T a ) + φ) D = ln e δt a = δt a δt a = δ T 0 = ξω 1 ξ 0 = π ; donc : 1 ξ 1 ξ T 0 D = ln x( 1) = δt x( ) a = π Pour plusieurs périodes : T = nt a ; = 1 + nt a ξ ξ 1 ξ D = ln x( 1) x( ) = ln x( 1 ) x( 1 + nt a ) = nδt a = π nξ 1 ξ La pseudo-période e le décrémen logarihmique n on de sens que si le régime es pseudopériodique. II.5 Faceur de qualié (Faceur de surension) Pour décrire l'amorissemen d'un sysème oscillan mécanique ou élecrique on emploie le faceur de qualié Q défini par l expression suivane : Page 4 Universié Ferha Abbas Séif- Faculé de echnologie Tronc commun sciences e echniques N. AKLOUCHE

5 CHAPITRE II Oscillaions libres amories Sysème à un degré de liberé Q = π E max ΔE E max : es l énergie maximale sockée dans le sysème. ΔE : es l énergie perdue par cycle. la noion de qualié pour caracériser l oscillaeur, comme la grandeur qui radui l'apiude du sysème considéré à garder son énergie ou en oscillan. La qualié es d auan meilleure que le rappor E max es grand. ΔE II.5.1 Calcule du faceur de qualié : sysème masse-ressor-amorisseur (m, k, α) Prenons l exemple d un sysème masse-ressor-amorisseur (m, k, α) faiblemen amori don la soluion de l équaion différenielle es sous la forme : On a d une par : x() = x 0 sin(ω 0 + φ), x 0 = C e δ e ω a = ω 0 δ ω 0 + a E max = 1 mω 0x 0 (Cf.chapire I). D aure par: ΔE = F()dx Tel que : F(): es la force de froemen visqueux : F() = α x () +T a ΔE = α x ()dx = α x ()[x d] = α x d +T a On a : x() = x 0 sin(ω 0 + φ) x () = x 0 ω 0 cos (ω 0 + φ) +T a cos²(ω 0 + φ)d = ΔE = αx 0ω 0 +T a +T a cos (ω 0 + φ) d +T a 1 + cos (ω 0 + φ) d ΔE = 1 αt a ω 0 x 0 T a = π ω a ; ω a ω 0 ΔE = απω 0 x 0 o On rerouve bien une variaion négaive de l énergie c es-à-dire une pere d énergie au cours du emps. o L énergie perdue se ransforme en énergie hermique ou elle se disperse en se diffusan dans le milieu avoisinan. En remplaçan dans l expression de Q, on rouve : Q = π 1 mω 0x 0 = mω 0 παx 0 ω 0 α Q = mω 0 α II.5. Calcul du faceur de qualié : sysème élecrique (RLC) Dans un sysème mécanique (m, k): E max = 1 mω 0x 0 (cf. Chapire I) Dans un sysème élecrique (RLC): E max = 1 Lω 0q 0 = ω 0 δ = 1 ξ Dans un sysème mécanique (m, k, α): ΔE = παx 0 ω 0 Dans un sysème élecrique (RLC): Page 5 Universié Ferha Abbas Séif- Faculé de echnologie Tronc commun sciences e echniques N. AKLOUCHE

6 CHAPITRE II Oscillaions libres amories Sysème à un degré de liberé Donc : Remarque : Q = π 1 Lω 0q 0 πrq = Lω 0 0 ω 0 R ΔE = πrq 0 ω 0, ω 0 = 1 LC Q = 1 R L C = 1 ξ Plus l amorissemen es faible, plus la qualié du sysème oscillan es grande. Or Q es d auan plus grand pour un ω 0 donné, que l amorissemen es faible. Un sysème rès amori a un Q faible. Poins clefs Oscillaions libres amories L équaion de Lagrange pour un mouvemen unidimensionnel x : d d ( L ) - L = D ; D = 1 α x x x x δ = α L équaion du mouvemen : x + δ x + ω m 0x = 0 ξ = δ w 0 x() = Ae r es une soluion pariculière el que : r 1 = δ + δ w 0 r = δ δ w 0 Amorissemen faible δ < ω 0 (0 < ξ < 1) δ ω 0 < 0 La soluion : x() = C e δ sin(ω a + φ) avec ω a = ω 0 δ : Pulsaion des oscillaions amories. T a = π ω a : pseudo période. Amorissemen criique: δ = ω 0 (ξ = 1 ) La soluion : x() = (C 1 + C ) e δ avec α = α c = km Amorissemen for : δ > ω 0 (ξ > 1) La soluion : x() = e δ (D 1 e δ w 0 + D e δ ω 0 ) Le Décrémen logarihmique : D = δt a Faceur de qualié : Q = π. l énergie sockée = mω 0 l énergie perdue par cycle α = Lω 0 R = 1 ξ Page 6 Universié Ferha Abbas Séif- Faculé de echnologie Tronc commun sciences e echniques N. AKLOUCHE

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