Les Algorithmes d Optimisation Globale: Application Réseaux Intelligents d Antennes

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1 SETIT rd Internatonal Conference: Scences of Electronc, Technologes of Informaton and Telecommuncatons March 27-31, 2005 TUNISIA Les Algorthmes d Optmsaton Globale: Applcaton Réseaux Intellgents d Antennes Debbat.F et *Bendmerad.F.T Insttut d Informatque Centre Unverstare Mustafa Stamboul Mascara Algére e-mal Fax : *Département d Electronque - Laboratore de Télécommuncaton Unversté Aboubekr Belkad Tlemcen-Algére ft_bendmerad@yahoo.fr Résumé:Les algorthmes d optmsaton peuvent être classés en algorthmes d optmsaton locale et algorthmes d optmsaton globale. Alors que les algorthmes de la premère classe sont pégés par le premer mnmum qu ls rencontrent ou sont handcapés par la talle de l espace de recherche, les algorthmes de la seconde classe ne présentent pas ces nconvénents et permettent de trouver une soluton proche de l optmum global. Le traval que nous présentons a essentellement deux objectfs. D une part l étude de quelques algorthmes d optmsaton globale, d autre part l évaluaton de l adéquaton de certan de ces algorthmes dans le cadre de l optmsaton d un système réseau d antennes ntellgent (adaptatf). Ce type de réseaux annule les sgnaux broulleurs en pondérant et combnant les sgnaux du réseau d antennes. Ans le dagramme de récepton du réseau d antennes prévot une extncton dans les drectons des sgnaux broulleurs tout en évtant une dégradaton du gan dans la drecton du sgnal de communcaton désré. Mots clés : Algorthme génétque, Colones de fourms, Recherche tabou, Recut smulé, Réseaux d'antennes ntellgents. 1 Introducton Un problème d optmsaton combnatore est un problème qu peut s exprmer par une foncton (dte coût) avec ou sans contrantes, à mnmser ou maxmser sur un ensemble de défnton fn ou dénombrable. C est le cas de nombreux problèmes, dans des domanes d applcatons très varés, qu ls soent scentfques ou technques. Tout les problèmes d optmsaton combnatore n ont pas le même degré de dffculté, celu c étant surtout lé à la dmenson de l espace de recherche et au paysage de la foncton à optmser (nombre de mnma, dérvablté, etc.) En conséquence, de multples algorthmes d optmsaton ont été développés. Ces algorthmes d optmsaton peuvent être classés en algorthmes d optmsaton locale et algorthmes d optmsaton globale. Alors que les algorthmes de la premère classe sont pégés par le premer mnmum qu ls rencontrent ou sont handcapés par la talle de l espace de recherche, les algorthmes de la seconde classe ne présentent pas ces nconvénents et permettent de trouver une soluton proche de l optmum global. En revanche, les algorthmes de la premère classe convergent plus rapdement que ceux de la seconde, tout en ayant un coût calculatore mondre. En défntve, l n exste pas de melleur algorthme d optmsaton en termes de performances, que ce sot au nveau de la qualté des résultats ou des temps de calcul, et cec ndépendamment du problème consdéré. Le traval que nous présentons a essentellement deux objectfs. D une part l étude de quelques algorthmes d optmsaton globales (les métaheurstques), d autre part l évaluaton de l adéquaton de certan de ces algorthmes dans le cadre de l optmsaton d un système réseau d antennes ntellgent (adaptatf). Ce type de réseaux annule les sgnaux broulleurs en pondérant et combnant les sgnaux du réseau d antennes. Ans le dagramme de récepton du réseau d antennes prévot une extncton dans les drectons des sgnaux broulleurs tout en évtant une dégradaton du gan dans la drecton du sgnal de communcaton désré.

2 2 Problème d optmsaton Un système est en général composé de pluseurs éléments qu nteragssent et détermnent un comportement global. Quand les caractérstques de fablté d un système peuvent être rédutes à une foncton des fabltés élémentarement de ses composants nous parlons d un système combnatore. Un problème d optmsaton combnatore est un problème qu peut s exprmer par une foncton (dte coût ) avec ou sans contrantes, à mnmser ou maxmser sur un ensemble de défnton fn ou dénombrable. C est le cas de nombreux problèmes, dans des domanes d applcatons très varés, qu ls soent scentfques ou technques. La résoluton satsfasante d'un problème d'optmsaton dffcle", qu comporte un grand nombre de solutons sous optmales, justfe souvent le recours à une "métaheurstque" pussante. Ces méthodes d'optmsaton permettent de rechercher les optmums globaux d'un problème d'optmsaton, en évtant le pégeage dans l'un de ses mnmums locaux. Les prncpales méthodes sont la méthode : du recut smulé, de recherche tabou, les algorthmes génétques et les algorthmes des colones de fourms, toutes nsprées d'analoges avec la physque ou la bologe. 3 Prncpe des métaheurstques les plus répandues 3.1 Algorthmes Génétques L algorthme génétque est un algorthme d'optmsaton s'appuyant sur des technques dérvées de la génétque et de l'évoluton naturelle : crosement, mutaton, sélecton, etc. L algorthme génétque a déjà une hstore relatvement ancenne pusque les premers travaux de John Holland sur les systèmes adaptatfs remontent à 1962(Holland.J.H.75). L algorthme génétque recherche le ou les extrema d'une foncton défne sur un espace de données. Pour l'utlser, on dot dsposer des cnq éléments suvants (Holland.J.H.75) (Salomon.M2001)(Barbay.J.98) : Un prncpe de codage de l'élément de populaton. Cette étape assoce à chacun des ponts de l'espace d'état une structure de données. Elle se place généralement après une phase de modélsaton mathématque du problème traté. Un mécansme de génératon de la populaton ntale. Ce mécansme dot être capable de produre une populaton d'ndvdus non homogène qu servra de base pour les génératons futures. Le chox de la populaton ntale est mportant car l peut rendre plus ou mons rapde la convergence vers l'optmum global. Une foncton à optmser. Appelée auss ftness ou foncton d'évaluaton de l'ndvdu. Des opérateurs permettant de dversfer la populaton au cours des génératons et d'explorer l'espace d'état. L'opérateur de crosement recompose les gènes d'ndvdus exstant dans la populaton, l'opérateur de mutaton a pour but de garantr l'exploraton de l'espace d'états. Des paramètres de dmensonnement : Talle de populaton, nombre total de génératon, crtère d'arrêt, probablté d'applcaton des opérateurs de crosement et de mutaton. 3.2 Recut smulé Le recut smulé est une méthode d optmsaton apparue en 1982, avec la publcaton dans la revue scence d un artcle de Krpatrck (Krpatrck.S &al 93). Elle se fonde sur une analoge entre les problèmes d optmsaton et ceux de la physque statstque. L applcaton prncpale du recut smulé est la recherche opératonnelle c est-à-dre tous les problèmes d optmsaton où l on désre maxmser ou mnmser une quantté. Le recut smulé a déjà obtenu d excellents résultats dans dvers domanes ce qu a ncté les mathématcens, les physcens et les ngéneurs à s ntéresser à cette méthode et à la développer. Le recut smulé fut obtenu par analoge avec le phénomène thermodynamque de recut des métaux. Intalement, le métal est porté à très haute température, pus l est refrod progressvement (Salomon.M2001) (Bos.H.C 96) : - à haute température les atomes sont très agtés de telle sorte que toutes les confguratons atomques sont équprobables, - à basse température les atomes s organsent pour aboutr à une structure atomque parfate proche de l état d énerge mnmale. Le refrodssement dot être très lent pour ne pas rester bloqué dans un mnmum local : à chaque nstant le métal dot se trouver dans un état de quaséqulbre thermque permettant de sortr du mnmum local en attegnant un autre état d équlbre assocé à la température courante. S le refrodssement est trop rapde, on obtent une étape qu au sens mathématque est une soluton sous optmale. Les premers à avor l dée d utlser cet algorthme pour résoudre un problème d optmsaton furent Krpatrck et al, ls remplacèrent la foncton d énerge par la foncton à mnmser, une confguraton atomque par une soluton admssble du problème et ntrodusent d autre part un schéma de température évoluant d une valeur haute vers une valeur basse. Ben qu orgnellement le recut smulé fut ntrodut pour des problèmes dscrets, l peut être utlsé pour résoudre des problèmes contnus en dscrétsant l espace de recherche. Cependant pour trater le cas contnu dfférents algorthmes du recut smulé furent développés par la sute : - les algorthmes classcal smulated annealng (CSA) et le recut smulé rapde fast smulated annealng (FSA) qu sont dérvés drectement du recut dscret (Szu.H.H&al 87), - l algorthme basé sur l équaton de la dffuson, proposé par German et al (German.S & al 81) - le recut smulé adaptatf (ASA), appelé ntalement le very fast smulated reannealng (VFSR) ntrodut par Lester Ingber (Ingber.A.l 89).

3 L ntérêt du recut smulé ou d autre méthodes dérvées par rapport à une recherche locale, est dû au fat que ces algorthmes acceptent de façon probablste des confguratons d énerge plus élevées, ce qu permet de ne pas rester péger par un mnmum local Les algorthmes de colones de fourms L'optmsaton par colones de fourms est une technque d'optmsaton bommétque nspré par un traval de bologste (Deuneubourg & al., 1983) reprs par des nformatcens ( Moyon & Manderrck, 1988) et largement exploté et développé par Marco Dorgo dans les années 90. L'dée consste à mter le comportement des fourms réelles qu collaborent, par exemple pour la recherche de sources de nourrture en mélangeant comportement d'exploraton aléatore et suv des traces chmques lassées par leur consoeurs. Ces traces chmques, les «phéromones», sont utlsées par les fourms pour communquer entre elles de manère ndrecte, par le bas de l'envronnement, une technque générale connue par les entomologstes sous le nom de stgmerge. C'est cette forme de communcaton ans que l'dée de fare coopérer une foule d'agents smples et localsés qu forme la base de l'heurstque développée par Dorgo. Les technques d optmsaton ssues des colones de fourms (Ant Colony Optmzaton ou ACO en anglas) ont été applquées à dvers problèmes d optmsaton comme la coloraton de graphes (Costa.D&al, 97) et le problème du voyageur de commerce (Dorgo &al 97) (Dorgo &al 99). Les algorthmes de colones de fourms représentent une autre classe des algorthmes évolutves. Ils s nsprent du comportement collectf des fourms. Chaque fourm est capable de trouver une soluton du problème, ben que probablement de fable qualté. Une manère d mplémenter une fourm dans une métaheurstques sera par exemple de la défnr comme un algorthme constructf. A chaque étape de la métaheurstques une fourm construra une soluton ou une composante d une soluton ; ce fasant, elle lasse une trace, par analoge à la phéromone que lasse une fourm réelle lors de l accomplssement d une tache. La phéromone à pour effet d ncter ses congénères à fare le même chox. Deux facteurs nfluencent la constructon d une soluton : L attrat : chaque fourm essaye de trouver la melleure soluton, mas ne possède qu une connassance locale de l espace de soluton. C est pourquo elle aura tendance a effectuer le chox le plus attrayant à court terme, en l occurrence celu qu engendre la melleure valeur de la foncton objectf. L attrat exprme ans un facteur d adaptaton ndvduelle. La trace : lors de la constructon d une soluton, une fourm a tendance à fare le chox présentant la plus forte trace. Les bons chox effectués précédemment lassent une trace mportante, ce qu assure une certane coopératon entre les fourms. Après la constructon d une soluton, les traces assocées aux chox effectués par la fourm sont mse à jour. Afn d évter les blocages rapdes sue des optma locaux ; en rason du facteur d amplfcaton que représente la trace, on pourra ntégrer un mécansme analogue à l évaporaton de la phéromone, fasant dsparaître les traces présentes depus un grand nombre d tératons. D une manère générale dans une tératon d algorthme de colones de fourms, f agents (fourms) construsent chacun une soluton d'après des décsons basées sur des crtères heurstques et sur des traces de phéromone. Les traces sont mses à jour en examnant les solutons obtenues. Elles sont renforcées pour les décsons ayant donné de melleures solutons et dmnuées pour les autres. Ce mécansme permet d'amélorer progressvement les solutons au cours des tératons. En pratque, on construt f solutons ntales, pus on répète l'tératon générale suvante jusqu à la réalsaton d un crtère d arrêt comme un nombre maxmum d tératons ou un écart donné par rapport à une borne nféreure : - Mse à jour des traces de phéromone dans le réseau ; - Génératon de f nouvelles solutons par les fourms, en explotant les traces de phéromone; - Applcaton avec une probablté donnée d une recherche locale à ces solutons. Les algorthmes à colones de fourms fournssent de très bons résultats comparables en qualtés à ceux obtenus avec les autres métaheurstques. Néanmons, le prncpal nconvénent de l'approche résde dans le coût relatvement élevé de la génératon des solutons. Les temps de calcul pour une tératon de l'algorthme à fourms nous ont condut à réalser un très fable nombre d'tératons par rapport au nombre d'tératons réalsées par l'algorthme génétque par exemple. Cette grande dfférence dans le nombre d'tératons explque partellement la domnance de l'algorthme génétque par rapport à l'algorthme de fourms La recherche tabou De même que le recut smulé, la recherche tabou (Glove 89) fgure au mons dans sa verson de base, comme une varante de la recherche locale. Le prncpe de cette recherche est très smple. Dans une recherche stochastque basque l faut générer des solutons ntales, pus on les modfe aléatorement à l ade d opérateurs de modfcaton appelés auss opérateurs de perturbaton. Les nouvelles solutons générées sont appelées vosns (Alan.H&al 97). Supposons que nous cherchons à mnmser une foncton f(x) les caractérstques essentelles d une recherche tabou sont résumées dans l algorthme suvant : Partant d une soluton s à l tératon K, nous défnssons un sous vosnage v * dans le vosnage N(s), en foncton de l hstorque déjà mené. Le chox de sous vosnage vse à évter une exploraton d une zone trop grande, mpratcable ou trop coûteuse en

4 temps. La melleure soluton s * est calculée dans v *, et devent la nouvelle soluton courante. Lorsque aucun mouvement amélorant la soluton actuelle n est pas possble, le rsque de vster la soluton précédente et plus généralement créer des cycles est présent. Il mporte donc d nterdre les mouvements condusant vers des solutons récemment vstées ce qu peut se fare en retrant ces solutons de vosnage de s. Plus généralement, le vosnage de s dépendra de l tnérare suv, ce que nous noterons N(s, K). L excluson de solutons peut se fare grâce à une ou pluseurs lstes tabou qu tennent en mémore les dernères solutons rencontrées ou des caractérstques communes à celles c. 4 Applcaton : Optmsaton d un réseau ntellgent d antennes Dans cette parte nous allons effectuer l étude et le développement d une approche de réjecton d nterférences, basée sur les métaheurstques : recut smulé et l algorthme génétque. Cette approche permet une exploraton statstque et une recherche optmale de l almentaton du réseau adaptatf d antennes mprmées. 4.1 Prncpe d un réseau ntellgent d antennes Un réseau d'antennes est un ensemble d'antennes élémentares, dsposées selon une géométre partculère, et destnées à émettre ou à recevor la même fréquence. En agssant sur la pondératon en ampltude et en phase du sgnal applqué ou reçu par chaque élément, on peut obtenr un dagramme de rayonnement partculer : par exemple très drectf, ou sur un angle solde donné, ou encore présentant une réjecton de drectons partculères. La commande électronque de la pondératon permet d'obtenr un "balayage électronque" dans l'espace, ce qu évte le recours à des antennes à orentaton mécanque. Le processus de sélecton des pods est effectué par des algorthmes d adaptaton qu construsent des sgnaux de référence à partr d'une connassance préétable de la structure des sgnaux de communcaton ou d'une porton des données transmses. Ans, à tout nstant, le rayonnement du réseau d antennes peut être adapté aux exgences de l utlsateur grâce à un chox appropré de la lo d almentaton des sources (Farna.A 92) (Rong.Z 96) (Qunou.T 99) (Lehne.P.H &al 99). En présence de sources d nterférences, le dagramme de rayonnement du réseau d antennes est adapté pour que le nveau des sgnaux reçus, dans chacune des drectons de broullage, sot fable ou nul. X 1 (t) X 2 (t) X n (t) w 1 Applcaton w 2 w n Algorthme de détermnaton des coeffcents de pondératon Fgure 1.Prncpe de base d un réseau ntellgent d antennes 4.2 Optmsaton par l algorthme génétque Le len entre l algorthme génétque et le problème d adaptaton du réseau d antennes est réalsé par la foncton ftness suvante: Sot un réseau rectlgne et unforme de N éléments. Le champ total est donné par : F N 1 = 0 θ et ϕ : angles de drecton, a (1) : ampltude de l almentaton du réseau d antennes, b : phase de l almentaton du réseau d antennes, d : représente l espacement entre les éléments du réseau, f ( θ ) champ d un élément du réseau d antennes (l est dentque pour l ensemble des antennes du réseau) et k 0 est le nombre d onde. Le prncpe de l adaptaton du réseau d antennes est de détermner la pondératon complexe d almentaton qu place des zéros dans les drectons des nterférences, c'est-à-dre trouver les valeurs de a et b. L approche utlsée à l ade de l algorthme génétque pour adapter le réseau d antennes à son envronnement est de fxer l ampltude de la pondératon et de rechercher unquement la lo de phase optmale qu mnmse les nveaux de rayonnement en drectons des nterférences. Le len entre l algorthme génétque et le problème d adaptaton du réseau d antennes est réalsé par la foncton ftness suvante: Σ Control y(t) ( θ ) = f ( θ ) a exp ( jk d sn θ ϕ + ) b 0 cos

5 M : le nombre d nterférence, s : vecteur d espace des sources. Les varables à optmser sont représentées par des gènes et l ensemble des gènes consttue un ndvdu. Par analoge avec notre problème, les gènes sont les b n et l ndvdu est l ensemble du vecteur phase de n éléments. Nous utlserons un codage bnare de 16 bts afn d augmenter la précson de calcul de la lo d almentaton. La premère étape de l algorthme génétque est de générer une populaton ntale sous forme d une matrce bnare de L lgnes et de C colonnes, telles que : L est le nombre d ndvdus et C est le nombre de gènes dans l ndvdu et est égal au nombre d éléments, c'est-à-dre N fos le nombre de bts du codage bnare utlsé. Nous évaluerons la force des ndvdus de la populaton, en calculant la ftness de chaque ndvdu (chaque lgne de la matrce ntale). Pour cela, on décode le chromosome correspondant à chaque ndvdu. On utlsera la formule de décodage suvante : p b = p mn ftness p p max (3) et sont les bornes supéreure et nféreure de l ntervalle de varaton des phases. Le vecteur b obtenu servra ensute à calculer la foncton ftness de cet ndvdu. A partr de cette étape, les opérateurs de l algorthme génétque vont ntervenr dans la reproducton de populatons par : la sélecton, le crosement et la mutaton. Notons que ces opératons sont réalsées sur la populaton codée en bnare. L AG effectue la sélecton et le classement des melleurs ndvdus en se basant sur le prncpe de la sélecton proportonnelle. Les dmensons de la matrce ntale dovent être mantenues après chaque opérateur. Après le classement de la populaton, on effectue le crosement et la mutaton séparément, on génère une nouvelle populaton dte populaton enfants. On répète les quatre opératons tant qu un nombre de génératons détermné à l avance n est pas attent. Implémentaton et résultats M + 1 N = 20 log 10 s f( θ ) a n exp = 1 n = 1 N 1 max mn 2 p + N 2 = 0 La méthode de l adaptaton d un réseau d antennes a été programmée sous Matlab. Comme premer essa, nous avons consdéré un réseau d antennes rectlgne à 10 éléments espacés unformément de λ/2. Le réseau d antennes est d abord almenté unformément en phase et en ampltude, son dagramme de rayonnement est représenté par la fgure 2. Les paramètres de l algorthme génétque sont : p mn ( jk ndsn θ cos φ + b ) 0 n n(2) Bornes de varaton de la phase : (-30, 30 ), Nombre de populaton : 80 Nombre de génératon : 40, Probablté de crosement : 0.7, Probablté de mutaton : n En présence d une nterférence localsée à la drecton 50, Le dagramme de rayonnement adapté par l algorthme génétque est présenté par la fgure 3. Dans cette fgure, nous remarquons que le dagramme de rayonnement ne subt aucune dégradaton et la réjecton est systématquement dans la drecton de l nterférence avec un nveau de réjecton très bas de l ordre de -64 db. Fgure2.Dagramme de rayonnement non adapté d un réseau rectlgne à 10 éléments. Fgure3. Réjecton d une nterférence à 50 pour un réseau rectlgne à 10 éléments.

6 Dans le cas de réjecton suvant, nous utlsons un réseau rectlgne à 100 éléments, en présence de deux nterférences localsées à 44 et 52. Le dagramme de rayonnement adapté est présenté dans la fgure 4. L augmentaton du nombre d éléments mplque une améloraton de la réjecton (le nveau de réjecton de l ordre de -55dB). Nous remarquons auss une dmnuton des nveaux de lobes secondares et aucune dégradaton du gan en drecton du sgnal utle. Fgure4. Dagramme adapté en présence d nterférences à 44 et 52 pour un réseau de 100 éléments. L optmsaton d un réseau d antennes par l algorthme génétque procure des résultats de réjecton assez ntéressants, pusque le taux de réjecton est très comparable avec les méthodes analytques sans aucune dégradaton en drecton du sgnal utle, ce qu peut être consdérer comme une mportante améloraton apportée par cette méthode. Notons que ces réjectons ont été obtenues, en n optmsant qu un seul paramètre de l almentaton du réseau, à savor la phase. Cec a pour effet drect de rédure le coût de réalsaton du réseau et son encombrement. Cependant, cette méthode de réjecton présente un nconvénent majeur représenté par le temps de calcul machne. Ce derner dépend de la talle de la matrce de la populaton à explorer (l faut un nombre élevé d ndvdus dans la matrce pour une melleur recherche de la soluton optmale), et surtout du chox de la foncton ftness. Cette dernère reste le paramètre clé de la convergence vers l almentaton optmale Optmsaton par le recut smulé L approche utlsée à l ade du recut smulé pour adapter le réseau d antennes mprmées à son envronnement est smlare à celle adopté dans le cas de l algorthme génétque c est à dre fxer l ampltude de la pondératon et rechercher unquement la lo de phase optmale qu mnmse les nveaux de rayonnement en drecton des nterférences. On garde la même foncton objectf (ftness) utlsée dans l algorthme génétque. Pour l optmsaton d un réseau d antennes mprmées par la méthode du recut smulé, nous avons développé l algorthme suvant : Sot un vecteur phase X( x1, x2,..., xh,..., x n ) à n nconnus (n correspond au nombre d éléments du réseau d antennes) dont chaque composante de ce vecteur est comprse dans un ntervalle [a, b] (bornes nféreure et supéreure de varaton de la phase). Sot f(x) la foncton coût que l on dot mnmser qu n est pas oblgatorement contnue mas qu dot être bornée ( f(x) = coût de l équaton 2). L algorthme de recut smulé procède de manère tératve lorsqu l génère successvement, à partr d un vecteur phase ntal X 0, les nouveaux vecteurs X1,...,X, jusqu à obtenton du mnmum global de la foncton coût f(x). ' Pour cela, on génère un nouveau vecteur X, à partr du vecteur courant ( ème X X représente la valeur de X acceptée par le recut smulé) avec la formule donnée c-dessous : X / ( X ) = X + g (4) Où : ( X) g transformateur suvant lequel évolue la varable du problème / S le vecteur X généré de cette manère n est pas comprs dans le domane du vecteur X, nous utlsons alors la modfcaton aléatore suvante : r + 1 X / = a + ( b - a ) 2 r est une varable aléatore comprse dans l ntervalle [-1,1]. S le vecteur phase X obtenu est melleur que X, l est alors accepté et devent X +1. Il est en plus enregstré dans X opt (melleur vecteur phase obtenu) et la soluton correspondante dans f opt (foncton coût mnmal). Dans le cas contrare, on utlse la probablté d acceptaton du processus du recut smulé, pour savor s nous gardons ou s nous rejetons le vecteur phase détermné. S le vecteur est accepté, nous générons alors le vecteur X +1 qu est égale à X. L algorthme démarre à haute température T 0 (température ntale). Après chaque M n tératons (M le nombre de transformaton à température constante), la température est rédute grâce à un coeffcent rt et une nouvelle séquence de mouvement est produte. Le processus est arrêté à une température assez basse (température fnale) pour laquelle aucune améloraton utle ne dot être obtenue. (5) Smulaton et Résultats La méthode de l adaptaton du réseau par le recut smulé a été programmée sous Matlab. Nous avons utlsé un réseau rectlgne à 10 éléments mprmés rectangulares et espacés unformément de λ/2. Nous supposons la présence d une nterférence localsée à la drecton 40. Le dagramme adapté par le recut

7 smulé est présenté par la fgure5: Fgure5. Réjecton d une nterférence à 40 par le recut smulé. D après la fgure 5, nous constatons que la réjecton se fat systématquement dans la drecton de l nterférence et Le nveau de réjecton de l nterférence est remarquablement très bas de l ordre de -82dB. Fgure6. La décrossance de la foncton coût du recut smulé. La fgure 6 montre la décrossance de la foncton coût (foncton à mnmser) lors de l exécuton du recut smulé en foncton du nombre d états acceptés, c'est-à-dre le nombre de mnmums engendrés durant tout le déroulement de l algorthme parm toutes les confguratons testées. Dans la smulaton suvante, nous allons étuder le comportement du processus du recut smulé en présence de pluseurs nterférences (3). Nous utlsons le même réseau rectlgne d antennes avec les mêmes paramètres d entrés du recut smulé. Fgure 7. Réjecton de 3 nterférences à -65, 10 et 50. Nous remarquons que le taux de réjecton reste très améloré. Le nveau de réjecton est de l ordre de - 60dB. Aucune dégradaton du gan dans la drecton du sgnal utle même pour les nterférences très proches du fasceau prncpal et la réjecton se fat systématquement dans la drecton de l nterférence. Nous avons développé un algorthme d optmsaton tératf basé sur le prncpe du recut smulé. Ce derner est connu pour son effcacté à résoudre des problèmes d optmsaton combnatores. Il peut cependant présenter l nconvénent de ne pas garantr une soluton globalement optmale. Cec est dû à une des proprétés du recut smulé qu peut fare prendre à l algorthme le mnmum global durant son déroulement. Pour reméder à cet nconvénent, nous avons ntrodut une varante qu consste à retenr l optmum absolu parm les mnmums engendrés durant tout le déroulement de l algorthme. Une améloraton sgnfcatve en termes de taux de réjecton d nterférences et de gan du sgnal utle a été apportée par cette technque avec un temps d exécuton très rasonnable. Des nveaux de réjecton très bas ont été obtenus, en n optmsant que la phase de l almentaton du réseau d antennes, ce qu rédut énormément le coût et l encombrement de la réalsaton. 4.4 Comparason entre le recut smulé et l algorthme génétque Le recut smulé est une recherche aléatore nformée, mas s le nombre de mnma locaux est élevé (ou peu élevé mas nconnu), le nombre d tératons devent prohbtf. Cependant, cet algorthme a la proprété d exploraton aléatore locale, au vosnage d un pont donné. Il est utle pour une recherche locale rapde. L algorthme génétque est une recherche aléatore dstrbuée. Il a la proprété de scruter un large espace de soluton mas l a des dffcultés de focalser la recherche sur une régon partculère. Il est utle pour détecter les régons potentelles de cet espace de solutons. Il faut noter que le temps de calcul d un AG

8 est proportonnel à la talle de la populaton (l faut évaluer chaque ndvdu à chaque génératon). En fat, ces méthodes, ben que la termnologe utlsée sot dfférente, partagent certanes caractérstques communes (tableau 1). Algorthme génétque Recut smulé Indvdu Confguraton Populaton - Ftness Nveau d énerge/coût chromosome confguraton Gène - Crosement /Mutaton Opérateurs de transformaton sélecton Crtère de Metropols Tableau 1. Correspondances entre AG et RS. Après avor applqué ces deux algorthmes aux problèmes de réjecton d nterférences par un réseau lnéare de 10 éléments d antennes, nous avons observé qu ls fournssent des performances à peu prés équvalentes. Mas la stratége de recut smulé est plus effcace que celle de l algorthme génétque avec un temps d exécuton plus rapde. Le tableau 2 donne la concluson de cette comparason. Méthodes Une seule nterférence Nveaux de réjecton Deux nterférences Quatre nterférences Recut -80 db -70 db -55 db Smulé Algorthme génétque -65 db -45 db -35 db Tableau 2. Résultats de réjecton obtenus par l AG et le RS. Concluson Les problèmes d optmsaton requèrent des méthodes robustes, effcaces et flexbles. Afn de s affranchr de la complexté du problème d adaptaton, de rédure le coût de réalsaton et de smplfer le modèle étudé et son système d almentaton, nous avons proposé l utlsaton de deux méthodes stochastques orgnales d optmsaton qu sont : l algorthme génétque et le recut smulé. L optmsaton d un réseau d antennes par ces deux méthodes a donné des résultats de réjecton très ntéressants, surtout pour le cas du recut smulé, pusque le taux de réjecton est très comparable avec les méthodes analytques sans aucune dégradaton en drecton du sgnal utle. Ce qu peut être consdéré comme une mportante améloraton apportée par cette méthode. Cependant, l faut se rendre compte du nombre de paramètres qu ntervennent dans l mplémentaton de ces approches de réjecton et de la forte nfluence de ces paramètres utlsés. Notons que ces réjectons d nterférences par l algorthme génétque et le recut smulé ont été obtenues, en n optmsant qu un seul paramètre de l almentaton du réseau, à savor la phase en gardant l ampltude fxe. Cec a pour effet drect de rédure le coût de réalsaton du réseau et son encombrement. Références Alan.H, & al 97 Alan.H et Erc.T : A tutoral on tabou search. local search n combnatoral optmzaton, pages J.Wley&Sons Ltd Barbay.J,98 Barbay.J, "capactés d adaptaton des algorthmes génétquesde dea, aout Bos H.c, 96 Bos H.C, "évaluaton de la sûreté de fonctonnement modèles combnatores et markovens", thèse de doctorat, rsa. décembre Costa D,&al 97 Costa D. et A. Hertz Ants can colour graphs, JORS, 48(3), pp Dorgo M.& al 97 Dorgo M. et L.M. Gambardella Ant Colony System: a cooperatve leanng approach to the Travellng Salesman Problem, IEEE Transactons on Evolutonary Computaton, 1(1), pp Dorgo M.& al 99 Dorgo M. et L.M. Gambardella.. Ant Algorthms for dscrete optmzaton. Artfcal lfe 5(3); Farna. A, 92 Farna. A "antenna-based sgnal processng technques for radar systems", artech house,nc Geman.s,& al 81 Geman.S and D.Geman, "stochastc relaxaton, gbbs dstrbuton and the bayesan restoraton of mages", eee transactons on pattern analyss and machne ntellgence pam, n o.6, pp , Holland J.H, 75 Holland J.H., "adaptaton n naturel and artfcal systems", mt press, Ingber.A.L, 89 ngber.a.l, "very fast smulated reannealng", math1.comput.modellng, vol.12, pp , Krpatrck.S,& al 83 Krpatrck. S, C.D.Gelatt and M.P.Vecch, "optmzaton by smulated annealng", scence,220(4598),pp ,june Lehne.P.H,& al 99 Lehne.P.H and M.Pettersen " an overvew of smart antenna technology for moble communcatons systems", eee communcatons survys vol.2 n o.4,1999. Rong.z, 96 Rong.z, " smulaton of adaptve array algorthms for cdma systems", master thess, vergna polytechnc and state unversty, blasksburg, vergna, september Salomon.M, 2001 Salomon.M, "etude de la parallésaton de méthodes heurstques d optmsaton combnatore", thèse de doctorat, unversté lous pasteur strasbourg 1, décembre.2001.

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