Enseignant : Félix MORA-CAMINO Rédacteur : Cédric LE GALLO

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1 CNAM COURS 86 B Modélsaton Optmsaton Complexté Algorthmes A.D. - Ensegnant : Félx MORA-CAMINO Rédacteur : Cédrc LE GALLO 9

2 SOMMAIRE. RAPPELS SUR LA THEORIE DES GRAPHES Défntons d un graphe...6 Graphe orenté...6 Graphe non orenté (clque)...7 Graphe smple...7 p-graphe...7 Applcatons multvoques : prédécesseurs et successeurs...8 Adjacence...8 Degré d un sommet...8 Cocycles...9 Fermeture transtve assocée à un sous-ensemble A de X... Base d un graphe smple orenté... Ant-base d un graphe smple orenté... Sous-ensembles absorbants d un graphe... Sous-ensembles stables dans un graphe... Foncton de Grundy Représentatons d un graphe Représentaton matrcelle...5 Matrce d ncdence sommets-sommets...5 Matrce d ncdence sommets-arcs...6 Comparason des deux représentatons matrcelles Représentaton vectorelle Connexté d un graphe smple orenté Défntons...8 Chaîne...8 Cycle...8 Chemn...8 Crcut...8 Chaîne eulérenne...8 Chaîne hamltonenne Composantes connexes...9 Nombre de connexté d un graphe...9 Isthme...9 Pont d artculaton...9 Graphe fortement connexe Algorthme de Trémeaux... Algorthme... Exemple Algorthme de Tarjan Graphes smples partculers Graphes symétrques Graphes ant-symétrques Graphe complet Graphe transtf Graphe njectf...6 9

3 .4.6. Graphe fonctonnel Graphe b-part...6. ARBRES ET ARBORESCENCES Défntons Arbre Arborescence Forêt Arbre maxmal d un graphe G connexe...8 Algorthme de constructon...8 Résultat...9 Exemple...9 Exemple...9 Arbre maxmal de pods mnmum... Arbre maxmal de pods maxmum Fermeture transtve En résumé..... Cycles et bases de cycles d un graphe Pré-requs et défnton Cycles ndépendants... Exemple... Exemple Base de cycles d un graphe smple orenté... Exemple... Nombre cyclomatque Cocycles et bases de cocycles d un graphe planare...4 Pré-requs et défntons...4 Nombre cocyclomatque...4. RECHERCHE DE CHEMINS DANS UN GRAPHE SIMPLE ORIENTE Défntons...5 Exemple...5 Hypothèse de base...6 Exemples d applcaton Algorthmes Moore-Djkstra (cas )...7 Exemple Berge (cas )...9 Exemple Bellman (cas ) Ford (cas ) Cas des graphes sans crcut (cas )...4 Exemple...4 Foncton rang APPLICATION AUX PROBLEMES D ORDONNANCEMENT Graphe potentel tâches Marge totale Marge lbre Marge certane Exemple applcatf Graphe potentel évènements PROGRAMMATION LINEAIRE CONTINUE Défnton

4 5.. Exemple Applcatons réelles Admssblté...48 Soluton admssble...48 Domane admssble...48 Smplexe...49 Possbltés Exercces Premer exercce Second exercce Trosème exercce...5 Applcaton numérque ALGORITHMES ET PERFORMANCES Problèmes combnatores...5 Défnton...5 Exemple...5 Questons...5 Approche élémentare...54 Exemple : les calculateurs...54 Exemple : le sac à dos Complexté d un algorthme Complexté en temps Complexté en mémore Crtères d évaluaton de la complexté...56 Coût unforme...56 Coût logarthmque...56 Comparason des coûts (exemple) Complexté asymptotque Ordre...58 Exemple...58 Remarque...59 Exercce Effcacté d un algorthme Premer algorthme possble Second algorthme possble Trosème algorthme possble...6 Remarques Exercce : calcul de a n Exercce : problème des célébrtés exercce : calcul du nombre de hamsters au bout de n mos Exemple : les tours de Brahma CLASSES DE COMPLEXITE DE PROBLEMES Premère classfcaton Seconde classfcaton (dte de complexté) Réductblté d un problème à un autre Équvalence Classe de complexté NP-Complet Problème de satsfasablté (SAT)...69 Exemple...69 Exemple Exemples

5 7... Problèmes de classe P Problèmes NP-Complets METHODES EXACTES D OPTIMISATION COMBINATOIRE Backtrackng...7 Exercce Branch & Bound...7 Exercce...74 Exemple : coloraton d un graphe...76 Exemple : voyageur de commerce Programmaton dynamque...8 Exemple : sac à dos...8 Exercce METHODES HEURISTIQUES D OPTIMISATION COMBINATOIRE Défnton...85 Exemple : sac à dos Structures d ndépendance...85 Exemple : algorthme de Kruskal Système d ndépendance...86 Exemple...86 Exemple Matroïde...86 Exemple...87 Algorthme général schéma d approxmaton Problèmes types Tâches ndépendantes Bn Packng Colorage des sommets d un graphe...9 Méthode exacte : algorthme de Zkov...9 Heurstque nsprée de l algorthme de Zkov

6 . RAPPELS SUR LA THEORIE DES GRAPHES Nous consdérons dès à présent un système, c est à dre un ensemble d éléments en nteracton et organsé en vue de réalser une certane foncton... DEFINITIONS D UN GRAPHE Graphe orenté Un graphe orenté G est tout couple [ X,U] dans lequel : X = { x, x,..., xn} : sommets U = { u, u,..., } : arcs avec : um ( X) ( U) N = card : nombre total de sommets M = card : nombre total d arcs tels que : u U, X et j X : u = u est l arc orenté de à j. (, j) Représentaton graphque : Sommets : ponts Arcs : flèches Exemple : foncton Plotage Automatque : Consgnes Plote Régulateur Actonneur Process Chaînes de transmsson Capteurs Vsu REMARQUE : le graphe est dt planare s aucun arc ne coupe un autre arc. 6 9

7 Graphe non orenté (clque) Dans ce cas, l ordre des éléments dans les couples n est plus prs en compte : { u, u,..., } U = : arêtes um Représentaton graphque : Arêtes : segments (pas de flèches) Graphe smple Il s agt de tout graphe sans boucle et ne contenant pas plus d un arc entre deux sommets. REMARQUE : s on a N sommets, comben de graphes smples orentés dfférents peut-on envsager? S on se base sur la représentaton matrcelle sommets-sommets (N colonnes et N lgnes) : Μ = = m j avec : : lgne j : colonne Alors : m j = s l exste un arc dans G ; m j = snon. Donc, le nombre total de cas envsageables vaut : N N Exemple numérque : 9 = = = 4 N= 9 9 Nombre total de cas : 9 =! 7 > On peut donc envsager un nombre fn de graphes smples orentés dfférents. Et ce nombre peut s avérer mmense. p-graphe C est un graphe dans lequel l n exste jamas plus de p arcs entre deux sommets. Donc, tout graphe est un p- graphe. -graphe -graphe -graphe (par assocaton) 7 9

8 Applcatons multvoques : prédécesseurs et successeurs est prédécesseur de j dans G s u U tel que u = (, j). On défnt alors la foncton Γ comme étant l ensemble des prédécesseurs de dans = [ X, Γ] Γ : X Γ X j est successeur de dans G s On défnt alors la foncton Γ : X Γ X u U tel que u = (, j). G : Γ comme étant l ensemble des successeurs de dans G = [ X, Γ ] : Il exste donc tros représentatons possbles des graphes : G = [ X,U] G = [ X, Γ] G = [ X, Γ ] Exemple : U = G = [ X,U] X = {,,,4,5 } {(, ), (, ), (,4 ), ( 4,5 )} 4 5 { } { } Γ = Γ = Γ : Γ = Γ4 = Γ5 = { 5} Γ = Γ = Γ : Γ = Γ4 = Γ5 = { } { } { } { 4} Adjacence Deux sommets sont adjacents s ls sont relés par un arc : Deux arcs sont adjacents s ls ont une extrémté commune : Degré d un sommet Le dem-degré extéreur consttue le nombre d arcs d orgne : Le dem-degré ntéreur consttue le nombre d arcs d extrémté : + d. d. Le degré d un sommet est donc la somme des dem-degrés : + d = d + d. REMARQUE : s le degré d un sommet est nul, celu-c est dt solé. + REMARQUE : le nombre d arcs M = d = d. X X 8 9

9 Exemple : U = G = [ X,U] X = {,,,4,5 } {(, ), (, ), (,4 ), ( 4,5 )} 4 5 d = d = d : d = d4 = d5 = + d = + d = + + d : d = + d4 = + d5 = Cocycles Consdérons un sous-ensemble A de sommets de G : A X. Alors : + ω A : ensemble des arcs d orgne dans A et de fn hors de A. ω A : ensemble des arcs de fn dans A et d orgne hors de A. D où le cocycle assocé à A : + A A ω ω ω (le sgnfe «défnt») Exemple : U = G = [ X,U] X = {,,,4,5 } {(, ), (, ), (,4 ), (,4 ), ( 4,5 )} A = {,4} 4 5 A ω A = ω+ A = {( 4,5 )} {(, ), (,4) } REMARQUE : l arc (,4) ne compte pas car à l appartent au sous-ensemble A. N REMARQUE : s on a N sommets et un ensemble des partes de X : P ( X) alors on peut défnr card ( P( X ) = cocycles. Exemples numérques : X = S N N {,, } P( X) = {, {, } { }, { }, {, }, {, }, {, }, {,, } card ( P( X) ) = = = 8 cocycles = card N ( P( X) ) = = = ( ) > ( ) =! REMARQUE : les cocycles sont organsés en espaces vectorels tant ls peuvent être nombreux. Et tout ensemble vectorel peut être ramené à sa base (résumé). 9 9

10 Fermeture transtve assocée à un sous-ensemble A de X Sot Γ ( A) l ensemble des successeurs de A : Γ ( A) = Υ Γ A On peut donc défnr le successeur des successeurs : Γ A Γ = Γ = Γ ( Γ ) ( Γ ) A On en dédut donc la fermeture : Γ N Υ n= ( A) = Γ n ( A) La fermeture sgnfe donc «tous les sommets que l on peut attendre en suvant les arcs». Exemples : G = [ X,U] N 4 5 A = { } Γ = {,,...,N} = X Γ A = A Γ G = [ X,U] A = {,4} ( ) = {,,,4,5 } = X Γ ( ) = {,,4,5 } Γ ( ) = {,4,5 } Γ ( 4 ) = { 4,5 } Γ ( 5 ) = { 5} Base d un graphe smple orenté La base d un graphe est l ensemble de sommets sans prédécesseurs : X et B s et seulement s Γ = Exemple : G = [ X,U] Ic, l n y a pas de base car tous les sommets ont un prédécesseur. REMARQUE : s la base se rédut à un seul sommet, c est une source. 9

11 Exemple : G = [ X,U] Ic, { } est la source. 4 5 REMARQUE : on dt que la base d un graphe est nstable. Ant-base d un graphe smple orenté La base d un graphe est l ensemble de sommets sans successeurs : X et B s et seulement s Γ = REMARQUE : s l ant-base se rédut à un unque élément, on dt que c est un puts. REMARQUE : on dt que l ant-base d un graphe est stable. REMARQUE : un sommet solé est à la fos base et ant-base : IG = BG BG. Exemple : G = [ X,U] 4 5 Ic, { } est solé. Il est donc base et ant-base. Sous-ensembles absorbants d un graphe A X est absorbant dans G s et seulement s ( X A), on a : Γ A. Exemple : G = [ X,U] A = {,4} est-l absorbant? { } { } {, } = {, } = Γ = 4 Γ5 = On a au mons deux sommets pour lesquels la A =,4 n est proprété n est pas respectée. { } donc pas absorbant. 9

12 Exemple : G = [ X,U] A = {,4,5,6 } est-l absorbant? { } { } {,4,5, } { 4} { 4} {,4,5, } Γ = 6 Γ = On a deux sommets pour lesquels la proprété A =,4,5,6 est absorbant. est respectée. { } REMARQUE : s on prend tous les sommets dans A, ça marche! REMARQUE : l faut nclure tous les sommets solés dans A snon ça ne marche pas. Le cardnal mnmum d un ensemble absorbant de G défnt le nombre d absorpton de G : α ( G). α ( G) est dffcle à trouver car l exste N sous-ensembles de G. Exemples : G = [ X,U] Ic, α ( G ) = G = [ X,U] Ic, α ( G ) = (on enlève le sommet 6)

13 Sous-ensembles stables dans un graphe A X est stable dans G s et seulement s : Γ A = A. De manère générale, X n est pas stable sauf s tous ses sommets sont solés. Snon, n mporte quel sommet de A convent. Exemple : G = [ X,U] Ic, en partant de 6 vers, on construt le sous-ensemble stable A dans G : A = {,,5,6 } On ne met pas le sommets 4 car 5 est son successeur. De même pour le sommet à cause de et 4. Le cardnal maxmal d un ensemble stable de G défnt le nombre de stablté de G : β ( G). Exemple : G = [ X,U] A = {,,5,6 } A est stable : β ( G ) = REMARQUE : c, A est également absorbant. Un sous-ensemble de sommets de G consttue un noyau s l est à la fos stable et absorbant. Il est possble qu un graphe G at pluseurs ou aucun noyau. REMARQUE : le noyau ne correspond pas forcément à α ( G) ou ( G) β : Exemple : G = [ X,U] { } n est pas un noyau car non absorbant. {,} n est pas un noyau car nstable. {,, } n est pas un noyau car non absorbant et nstable. 9

14 Foncton de Grundy A tout sommet, on fat correspondre le nombre enter g( ) tel qu l sot le plus pett enter naturel non présent dans les successeurs de : g: X = {,,,,... } G = [ X,U], A = {,,5,6 }, = {,,,,... } Exemple : Méthode :. On part d un sommet sans successeur. Par exemple, du sommet { 6 } : on lu attrbue l enter le plus fable, à savor =,,,,... ). ( { }. Il est va de même pour le sommet { 5 }.. Pour le sommet { 4 }, l enter le plus fable non mmédatement utlsé est ( = {,,,,... } ). 4. Pour le sommet { }, on a. En effet, l enter le plus fable le plus proche est ( = {,,,,... } ). 5. Pour le sommet { }, et sont utlsés : on aura ( = {,,,,... } ). 6. Enfn, pour le sommet { }, on aura ( = {,,,,... } ). A aucun moment, l n y a eu de dffculté à trouver un enter naturel. Ce graphe est donc une foncton de Grundy. REMARQUE : tout les graphes n admettent pas de foncton de Grundy. Contre-exemple : G = [ X,U], A = { }, = {,,,,... } Ic, le graphe n est pas une foncton de Grundy car l enter est utlsé pour deux sommets cotes à cotes. 4 REMARQUE : la foncton de Grundy permet de construre un noyau quand g( ) =. REMARQUE : tout graphe admettant une foncton de Grundy admet un noyau (et ce peut mporte sa talle). L nverse n est pas vra : tout graphe admettant un noyau n admet pas forcément de foncton de Grundy. 4 9

15 Exemples : G = [ X,U], A = {,,6 }, = {,,,,... } A est absorbant et stable : l s agt donc d un noyau. Il admet une foncton de Grundy. G = [ X,U], A = {, 4,6}, = {,,,,... } A est absorbant et stable : l s agt donc d un noyau. Il admet une foncton de Grundy... REPRESENTATIONS D UN GRAPHE Il exste dverses façons de représenter un graphe : par une énumératon des sommets et des arcs ; par un graphque (va de la reconnassance d mages) ; par une foncton multvoque ; par une matrce ; par un vecteur.... REPRESENTATION MATRICIELLE Matrce d ncdence sommets-sommets On a N colonnes et N lgnes : Α ss = = a j avec : = à N : lgne j = à M : colonne Alors : aj = s l exste un arc (, j ) dans G ; aj = snon. On défnt la densté d une matrce ans : nombre de cases non nulles densté = = d nombre total de cases 5 9

16 Pour la matrce Α ss, cela revent à : M M densté : dss = = N N N Du fat qu elle sot bnare, le prncpal avantage de cette représentaton est une vsualsaton rapde de la présence ou non d un arc. Malheureusement, sa fable densté entraîne une forte présence de zéro. On parle de matrce creuse (le terme anglophone est sparse). Cette représentaton n est donc pas faclement adaptable vers un algorthme. Matrce d ncdence sommets-arcs On a M colonnes et N lgnes : L L L L L Α sa = = a L L L L L j L L L L L avec : = à N : lgne j = à M : colonne Alors X et u U au = + a = a = u ju aju =, s u (, j) = : Exemple : 4 5 Α G = [ X,U] = + + Le prncpal avantage de cette représentaton est qu elle permet de connaître le sens de l arc. Toutefos, cette représentaton n est pas non plus faclement adaptable vers un algorthme du fat de sa fable densté : M densté : dsa = = N M N Comparason des deux représentatons matrcelles S on les compare, on s aperçot que dss > dsa s : M M N N > N De manère générale, aucune des deux représentons matrcelles n est effcace d un pont de vue algorthmque. 6 9

17 Leur factorsaton se fat par obtenton du détermnant de la matrce : etc. a b a d b c c d = a b e c d f = a d f h c b e h + g b f d e g h... REPRESENTATION VECTORIELLE Soent les vecteurs : α ( G) de dmenson N+. β ( G) de dmenson M. La lste des successeurs du sommet est dans β ( G) à partr de la poston ( ) α α ( ) β ( ) α ( ) β ( ) α ( ) β ( ) Méthode d après l exemple précédent :. On part du sommet : α ( ) = pour =.. On se reporte à la premère colonne (dernère lgne) pour remplr les successeurs du sommet β { } :. Pus part de la colonne mmédatement lbre (c, la quatrème) et on reporte son chffre dans α ( ). 4. On place alors le successeur du sommet { 4 } dans la colonne qu est lbre pour β ( ) (c, la quatrème). 5. Et ans de sute. 6. Lorsque le derner sommet est attent, on remplt les α ( ) avec M α ( ) 4 β ( ) α ( ) 4 β ( ) α ( ) 4 5 β ( ) α ( ) 4 5 M+ M+ M+ β ( ) L avantage majeur de cette représentaton est sa forte densté (ce qu est plus pour la machne). Malheureusement, cela devent llsble pour l homme. + ( k ) + d = α + α α = d + k= 7 9

18 .. CONNEXITE D UN GRAPHE SIMPLE ORIENTE... DEFINITIONS Chaîne Une chaîne de longueur q est une séquence d arcs telle que les arcs sont adjacents deux à deux (extrémté commune) : { u, u, u,..., u p, u p+,..., uq} Exemple : G = [ X,U] a b c 8 j Chaîne : { u e, u f, u h} Cycle 4 d e f g 5 6 h 7 9 Cycle élémentare : { u c, u e, u d, u b} Cycle composé : { u c, u e, u d, u b, u c, u e, u g, u f} Cycle C est une chaîne dont les extrémtés coïncdent. Elle commence et fnt au même sommet. Un cycle élémentare est un cycle qu ne content aucun autre cycle : l ne passe donc pas deux fos par le même sommet. REMARQUE : les cycles élémentares ne sont pas lnéarement ndépendants. Chemn C est une chaîne dont tous les arcs sont orentés dans le même sens. Crcut C est un chemn qu commence et fnt au même sommet : ce chemn est également un cycle. Tout comme pour le cycle, un chemn élémentare est un chemn qu ne content aucun autre chemn. Chaîne eulérenne C est une chaîne qu ne passe qu une seule fos par chaque arc. Chaîne hamltonenne C est une chaîne qu ne passe qu une seule fos par chaque sommet. 8 9

19 ... COMPOSANTES CONNEXES Un graphe est connexe s tout couple de sommets (, j) X peut être relé par au mons une chaîne. Relaton d équvalence sur X : Proprété : Rj s l exste une chaîne entre et j. Réflexvté : X : R (chaîne vde : zéro arcs). Symétre : et j X : Rj jr. Transtvté :, j, k X : Rj et Rk Rk. classes d équvalence (= composantes connexes). Ans, s le graphe est non connexe, l est composé de sous-graphes partels connexes ; on parle de composantes connexes. Par exemple : dans l exemple précédent, le graphe est composé de deux sous-graphes : l n est donc pas connexe. Nombre de connexté d un graphe C est le nombre de composantes connexes p. Isthme C est un arc tel que sa suppresson augmente le nombre de connexté p d un graphe. La présence d sthmes est généralement lée à des problèmes de fablté (exemple : les by-pass). Par exemple, dans l exemple précédent, le graphe est composé de deux sous-graphes : un sthme les sépare. Pont d artculaton C est un sommet tel que sa suppresson augmente le nombre de connexté p d un graphe. Tout comme les sthmes, les ponts d artculaton sont lés à des problèmes de fablté. L algorthme de Trémeaux et celu de Tarjan (plus performant, l se base sur celu de Trémeaux) permettent de vérfer leur présence ou non dans un graphe. Graphe fortement connexe Un graphe est dt fortement connexe s quelque soent les sommets et j, l exste un chemn relant ces deux sommets. Exemple : Graphe smplement connexe Graphe fortement connexe 9 9

20 ... ALGORITHME DE TREMEAUX Cet algorthme permet de vérfer la connexté p d un graphe. Pour cela, l recherche d abord «en profondeur» pus l revent par chaque bfurcaton («largeur»). Il est possble de commencer à partr de n mporte quel sommet. Notatons : num( ) : numéro du sommet dans l exploraton (par exemple, pour le premer sommet l : num( l) = ). P ( ) : prédécesseur du sommet dans l arborescence (en théore, le graphe est ntalement vde). d + : nombre de successeurs du sommet ( d + = Γ ) ( d est un compteur). ( k) Γ : k ème successeur du sommet (pour k = à d + ). n( ) : ndce du derner sommet exploré à partr du sommet (le graphe étant vde, l ndce est donc nul au départ). Algorthme Intalsaton : P ( ) = ( = à N) + d = d = à N n( ) = ( = à N) k = ( l = ) num( l) = P ( l) = l ( = l) Itératon : Tant que S n( ) ( n d ou l ) = d Alors :, répéter : P Snon : n( ) n( ) + j = Γ ( n( ) ) S P ( j) = Alors : P ( j) j k k + num( ) k Concluson : S k = N : le graphe est connexe. 9

21 Exemple 4 Γ = 4, Γ =,4, Γ =,4 avec : et Γ 4 = {,,,5 }, Γ 5 = { 4} { } { } { } 4 a 4 b 5 Méthode :. Intalement, on consdère que le graphe est vde : = ( = ) P à 5 d = Γ d =, d =, d =, d = 4, et d = n = 4 5 Les d ont été déduts des Γ ntaux.. Le premer sommet rencontré est le sommet { } : k =, l =, num = P =, =, n =. On procède à la premère tératon : = n = et d = Remarque : la premère condton est remple, l n est donc pas nécessare de contnuer le reste du test de base. = Γ ( = ) = = = P ( j) P ( 4) n n + = + n = j n 4 P j P 4 (valeur par défaut) = j = 4 k k + k = num k num 4 = 4. Le sommet suvant désgné est le sommet { 4 }. Le test se fera donc avec = 4. 4 = Γ 4 ( = ) = = = Test :n 4 = et d = 4 4 n 4 n 4 + = + n 4 = j n 4 P j P Le sommet { } a déjà été exploré : = 4 = = Γ 4 ( = ) = = = P ( j) P Test :n 4 et d 4 4 n 4 n 4 + = + n 4 = j n 4 P j P (sommet suvant) = j = k k + k = num k num = 9

22 4 5. Test avec = : = Γ ( = ) = = = P ( j) P ( ) Test :n = et d = n n + = + n = j n P j P (valeur par défaut) = j = k k + k = 4 num k num = 4 6. Test avec = : = Γ ( = ) = = = Test :n = et d = n n + = + n = j n P j P 4 Le sommet { } a déjà été exploré. b a = = = Γ ( = ) = = = Test :n et d n n + = + n = j n 4 P j P 4 Le sommet { 4 } a déjà été exploré. Test :n = et d = = ou test : = = P = 4 7. Test avec = : = = = Γ ( = ) = = = Test :n et d n n + = + n = j n 4 P j P 4 Le sommet { 4 } a déjà été exploré. Test :n = et d = = ou test : = = P = 4 Il n y a pas d autre successeur : on revent au sommet { 4 }. 4 b a 5 8. Test pour = 4 : 4 = Γ 4 ( = ) = = = Test :n 4 = et d = 4 4 n 4 n 4 + = + n 4 = j n 4 P j P 4 Le sommet { } a déjà été exploré. 9

23 4 5 4 = Γ 4 ( = ) = = = P ( j) P ( 5) 4 Test :n 4 = et d = 4 4 n 4 n 4 + = + n 4 = 4 j n P j P 5 (valeur par défaut) = j = 5 k k + k = 5 num k num 5 = 5 9. Test pour = 5 : 5 = Γ 5 ( = ) = = = Test :n 5 = et d = n 5 n 5 + = + n 5 = j n 5 4 P j P 4 Le sommet { 4 } a déjà été exploré. Test :n 5 = et d = = ou test : = 5 = P 5 = 4 5 Il n y a pas de successeur ; on revent au sommet { 4 } Test pour = 4 : Test :n 4 = 4 et d = 4 4 = 4 ou test : = 4 = P 4 = 4 Il n y a pas de successeur ; on revent au sommet { } Test pour = : Test :n = et d = = ou test : = = = P = Il n y a pas de successeur car le sommet { } est la racne du graphe. Concluson : k = 5 = N. Le graphe est donc connexe. REMARQUE : le nombre de boucles dans le graphe que l on peut fare au maxmum est nféreur à avec : Ans : { } + + dmax = maxmum d ( X) par rapport à N ( X = à N) : + dmax = N ( < N ) par rapport à M (U = à M) : dmax = k M + k (relaton lnéare!) Nota : k et k sont des constantes ndépendantes de N et M. + N d max + 9

24 ..4. ALGORITHME DE TARJAN Cet algorthme sert à la recherche des ponts d artculaton d un graphe connexe G à partr d un sommet quelconque. Pour ce fare, on utlse l algorthme de Trémeaux avec adjoncton pour chaque sommet d une condton d artculaton. Pour X, on a : D( ) : ensemble des descendants de dans l arborescence de Trémeaux applquée au graphe G. A chaque sommet j de D( ), on assoce le nombre = l j mn num k avec k Γ j. l( j ) : plus pett numéro des sommets adjacents à j dans le graphe G. On a donc l ndce nf ( ) = mn l( j ) avec j D. nf ( ) : plus pett des numéros des sommets pouvant être attents avec une seule arête à partr des descendants de dans l arborescence. Remarque : on a toujours nf ( ) num( ) pusqu à partr du successeur de, on peut remonter au sommet. Remarque : s nf ( ) = num, le sommet est un pont d artculaton dans le graphe. Algorthme de Tarjan : Intalsaton : Arbre vde à l orgne : P ( ) = ( = à N) + Compteur : d = d ( = à N) Indce nul à l orgne (arbre vde) : n( ) = ( = à N) nf ( ) = + ( = à N ) k = ( l = ) num( l) = P ( l) = l ( = l ) Itératon : Tant que S n( ) ( n d ou l ) = d Alors : q, répéter : nf P nf ( ) q S nf ( ) = Snon : n( ) n( ) + j Γ ( n( )) S P ( j) = Alors : nf P ( j) j num, est un pont d artculaton { } mn nf ( ),num( ) 4 9

25 k k + num( ) Snon : k r P j nf { } mn nf ( ),num( ) Les algorthmes de Trémeaux et de Tarjan sont complqués mas pas complexes..4. GRAPHES SIMPLES PARTICULIERS.4.. GRAPHES SYMETRIQUES j Deux graphes sont symétrques s et seulement s : (, j) U ( j,) U.4.. GRAPHES ANTI-SYMETRIQUES j Deux graphes sont ant-symétrques s et seulement s : (, j) U ( j,) U Nota : le graphe présenté en exemple est également njectf, fonctonnel, et b-part..4.. GRAPHE COMPLET j Un graphe est dt «complet» s et seulement s : (, j) U ( j,) U 5 9

26 .4.4. GRAPHE TRANSITIF j k Un graphe est dt «transtf» s et seulement s : (, j) U et ( j,k ) U (,k ) U.4.5. GRAPHE INJECTIF j Un graphe est dt «njectf» s et seulement s : X : d.4.6. GRAPHE FONCTIONNEL j Un graphe est dt «fonctonnel» s et seulement + s : X : d.4.7. GRAPHE BI-PARTI S X peut être partagé en X et X tel que X = X X et X X =, alors : s X j X (, j) X : s X j X 4 4 X X Remarque : tester s un graphe est b-part ou non est très long car on a N sommets : N N N N N C + C + K + C = 6 9

27 . ARBRES ET ARBORESCENCES.. DEFINITIONS... ARBRE C est un graphe connexe sans cycle. Défntons équvalentes : Graphe connexe admettant N- arcs. Graphe smple sans cycle admettant N- arcs. Graphe smple sans cycle qu, par l ajout d un arc, ntrodut un cycle unque. Graphe connexe qu, par le retrat d un arc, n est plus connexe. Tout couple de sommets relé par une chaîne unque. Exemple : Nota : tout arbre est b-part (proprété non-caractérstque). 7 9

28 ... ARBORESCENCE C est un ensemble de sommets dts «racnes» tels qu l exste un chemn entre ceux-c et tous les autres sommets du graphe FORET C est un graphe dont chaque composante connexe est un arbre (arborescence)...4. ARBRE MAXIMAL D UN GRAPHE G CONNEXE C est un sous-graphe de G comprenant tous les sommets de G et étant un arbre. Exemple : u u6 u7 u8 u u u9 u5 u u u u4 Algorthme de constructon G = X,U { } U = u, K,u n Algorthme :. Prendre = ( = ). Chercher j a u. u qu ne forme pas de cycle avec { K }. S l n y en a pas, { K } a,a,,a. a,a,,a sont les arcs d un arbre maxmal. 8 9

29 D après l exemple précédent : { u } { u,u} { u,u,u} { u,u,u,u4} { u,u,u,u 4,u5} { u,u,u,u,u,u } Résultat Le nombre d arbres maxmaux d un graphe est égal au mneur de n mporte quel élément de la dagonale prncpale d une matrce D. Sot l énème lgne et j l énème colonne, alors : D = d j d = d : degré du sommet S (, j) U dj = S (, j) U dj = Exemple 4 D = Le mneur assocé à (en haut à gauche) est le détermnant de la sous-matrce : ( ) + = 4 + = Avec cet arbre, l est possble de fabrquer arbres maxmaux. Exemple Pour un graphe complet G, l est possble de fabrquer N N arbres maxmaux : 9 9

30 a(n) S N=, on a 8 possbltés. Pour N=, on monte à! N Arbre maxmal de pods mnmum Foncton pods : u U w u Arbre = u X,A P arbre w u A Trouver l arbre maxmal de pods mnmum est complexe et long. Il exste une soluton rapde : l algorthme de Kruskal :. On ordonne les arcs du graphe par pods crossant : T ( u ) { u, K,u }. On consdère u k. S u k forme un cycle avec T, on rejète k n u. Snon : T T { u } = k Exemple :. On recommence avec k = k + tant qu l reste des arcs à consdérer. Arbre maxmal possble : w + w + w + w + w =? = u7 w7= u w=5 u w= u w= u w= Un autre : { u,u,u,u,u,u,u,u,u,u } = 9 Encore un autre : { u,u,u,u,u } = 9 4 u6 w6= u4 u5 u8 w5=4 u9 w8=5 w9= 5 w4= 6 Attenton : l ne faut pas fare de cycle! Varante de l algorthme :. U = { u, K,u } non-ordonné par pods : { } n T = u k =. On consdère u k. S u k forme un cycle avec T, on enlève de ce cycle l arc u qu a le pods maxmum.. k = k +, pus on contnue. Nota : l faudra quand même comparer les pods à la fn. La melleure méthode à adopter dépendra donc de l allure du graphe consdéré. Arbre maxmal de pods maxmum C est le rasonnement nverse. 9

31 ..5. FERMETURE TRANSITIVE La fermeture transtve ou la représentaton matrcelle permettent de détermner l exstence ou non d un cycle dans le graphe. Par exemple : Arrêt : cycle! EN RESUME Racne Cycle Graphe Arbre Arbre Arborescence.. CYCLES ET BASES DE CYCLES D UN GRAPHE... PRE-REQUIS ET DEFINITION Le graphe G dot être planare : E E Coupure : le graphe est non planare! M M M e M M M e G G 9

32 Le sens de référence est le sens des agulles d une montre : u u Consdérons un cycle : à chaque arc de ce cycle, on a un nombre : σ u = + : l arc u est parcouru en sens drect. u σ u = : l arc u est parcouru en sens contrare. u4 σ = u : l arc u n appartent pas à ce cycle. u8 u6 u5 Exemple : { } = ( ) = ( ) U = u,u,u,u,u,u,u,u r C,,,,,,, r C,,,,,,, u7 L arc u est orenté dans le sens drect. L arc u 4 est orenté dans le sens contrare.... CYCLES INDEPENDANTS r Deux cycles C r et n C sont ndépendants s écrre ( r ) = λ = r C mplque λ = ( = ) à n. Exemple r r ( ) ( ) ( ) λ C + λ C =, λ, λ, λ,, λ, λ, λ =,,,,,,, ndépendance Exemple u u { } = ( ) = = ( ) U = u,u,u,u,u,u,u,u r C,,,,,,, r C,,,,,,, r C,,,,,,, u7 u6 u8 C u5 C C u4 u Ic, on a : r r r C = C + C r r r r C + C C = r r + + { { ( ) r r C C C = 4 4 λ λ λ Ces cycles sont dépendants.... BASE DE CYCLES D UN GRAPHE SIMPLE ORIENTE Il s agt d un ensemble de cycles ndépendants tels que tout cycle du graphe pusse s écrre sous la forme : r n r r r C = ( λ C B ) où { B K Bn} = C,,C est la base. On appelle donc base de cycle le plus grand ensemble de cycles lnéarement dépendants. 9

33 Exemple u u { } = ( ) = = ( ) U = u,u,u,u,u,u,u,u r C,,,,,,, r C,,,,,,, r C,,,,,,, u7 u6 u8 C u5 C C u4 u { } r r r r r B = C,C avec : C,C,C r r r C = C + C r r r C = C + C r r r C = + C C Nombre cyclomatque C est la dmenson de la base d un graphe : où : ν G = M N + p ( M N + ) M : arcs N : sommets P : composantes connexes Dans l exemple précédent : M = 8, N = 7, p = ν = M N + p = = G ( B = { C r r,c} ) Remarque : cette formule est dérvée de la noton d arbre : p p p M N + = M N + p = M N + p = = = Exemple : arbre maxmal! Tout ajout d arc crée un cycle, donc crée une base supplémentare! 9

34 Autre exemple : u4 u u6 A B C C D u C u C u5 u7 C4 u8 Dans l arbre maxmal c-contre, tout cycle dot être consdéré comme une combnason lnéare des cnq autres. F u E C5 u9..4. COCYCLES ET BASES DE COCYCLES D UN GRAPHE PLANAIRE Pré-requs et défntons Sot le graphe G = X,U. On a : A X ω ( A) A Il n y a pas de sens de référence. Sot le vecteur ( µ K µ ),, : n S µ ω( A ) en rentrant, alors : µ = S µ ω A en sortant, alors : µ = S µ ω( A ), alors : µ = Donc pour = à n : r n C o sont ndépendants s ( λ r ) = r Co λ = = à n. = Nombre cocyclomatque C est la dmenson de la base d un cocycle λ G = N p avec : ν G + λ G = M Nota : les vecteurs assocés aux cycles et aux cocycles sont orthogonaux (produt scalare) : r C = ( λ, K, λn ) r C o = ( µ, K, µ n ) r r M r C Co = ( λ µ ) = = Les deux bases étant complémentares, elles ne sont donc pas suffsantes en elle-mêmes pour défnr un graphe. 4 9

35 . RECHERCHE DE CHEMINS DANS UN GRAPHE SIMPLE ORIENTE.. DEFINITIONS Sot un graphe G = X,U, on a la longueur de l arc u : u U: l( u ) Cette longueur peut être défne de pluseurs façons : { K R K } + { } { } l u,,,,,,,,, v,,v, La nature de l( u) dépend du graphe dans lequel elle est consdérée. Ans, pour chaque arc, on pourrat assocer pluseurs longueurs. Par exemple : u l u,l u,l u { { { tarf durée rsque De manère générale, la longueur d un chemn { K } k = l( w ) l ch = k = l( w ) L ch = w,,w k : Exemple P P4 P courbe logarthmque P P7 P56 P7 7 P76 6 P78 8 Pj Sot P j la probablté que étant en, on passe en j. Selon la théore des probabltés : P6 = P P P4 P45 P56 log P6 = log P + log P + log P4 + log P45 + log P56 5 9

36 ou encore : P6 = P P P7 P76 log P6 = log P + log P + log P7 + log P76 Dans ce cas, le chemn le plus probable est celu de longueur mnmale. Ce derner crtère est varable et dépend du contexte (le chemn le plus probable aurat pu être celu de longueur maxmale). De manère générale, on ne s ntéressera c qu aux chemns de longueur mnmale, la converson vers les chemns de longueur maxmale étant facle. log + Dans notre cas : l( u ) Hypothèse : l(, j) = log( P j) -log Hypothèse de base Dans le cas où l on recherche des chemns de longueur mnmale, l n exste pas de crcut de longueur négatve dans le graphe. Par exemple : 5 4 Pour le chemn de à 4 : ({ }) l,4 = l,,,,,4 = Mas attenton aux cycles : ({ }) = l,4 l,,,,,5, 5,6, 6,,,,,4 = = 8 De manère générale, l faut consdérer des chemns de longueur extrémale (mnmale ou maxmale). Les dfférents algorthmes de recherche de chemns extrémaux se dfférencent de deux façons : Par le domane de longueur des arcs. Par la nature du problème. Exemples d applcaton Cas : on a un sommet orgne et un sommet destnaton. On cherche le chemn extrémal entre ces deux sommets. Pour ces problèmes, on cherche généralement à se ramener au cas. Cas : on a un sommet orgne. On recherche le chemn extrémal entre ce sommet et tous les autres sommets du graphe. Algorthme arborescent. Il est possble de résoudre ce cas avec l algorthme du cas. 6 9

37 Cas : on recherche l ensemble des chemns extrémaux entre toutes les pares de sommets du graphe. Algorthme matrcel. Les algorthmes utlsés dans ce cas sont très performants. Cas 4 : on recherche les k melleurs chemns entre un sommet orgne et un sommet destnaton. Ce derner cas est très dffcle à résoudre... ALGORITHMES... MOORE-DIJKSTRA (CAS ) G = X, Γ l u (pour le sommet :,, K, N). π : longueur du melleur chemn trouvé jusqu à présent entre le sommet et le sommet. S : ensemble des sommets pour lesquels on n a pas encore de soluton. Algorthme : Intalsaton : { K } S =,,,N π = S, U: π = l S, U: π = + P = = à N Recherche : Chosr j S : π = mn ( π ) Tant que S = S { j } S j S S, fare : S = : fn Snon : Γj et S : π = mn { π, π j + l j} 7 9

38 Exemple Les successeurs du sommet : S = {,,4,5,6 } π = π = 7 π = π = π = π = Hypothèse de départ sur les sommets les plus proches : P = P = P = P4 = P5 = P6 = On commence par la plus pette longueur de chemn trouvée : π =. { } j = S =, 4,5,6 π = + 5 = 6 P = π 4 = + π 5 = + = P5 = π 6 = + 7 = 8 P6 = Pus on contnue selon la même logque d après les résultats trouvés : π = 5 { } j = 5 S5 =, 4,6 π = + + = 5 P = 5 π 4 = = 8 P4 = 5 Nota : π 6 n est pas concerné car l n a pas de successeur. Pus : π = 5 { } j = S = 4,6 π 4 = = 9 > 8 π 6 = = 6 P6 = Nota : on remarque que le π 4 trouvé est supéreur à celu trouvé précédemment. Donc, pour les P, on ne consdèrera que celu du sommet 6. Enfn : π = 6 6 { } j = 6 S6 = 4 j = 4 S4 = On a donc les longueurs mnmales des sommets à : l = 5 l = l4 = 8 l5 = l6 = 6 Ce qu donne la longueur fnale du chemn. Le chemn est celu parcouru : 8 9

39 4 5 P6 = P = 5 P5 = P = 6 4 Et : P4 = On remarque que la progresson du chemn est semblable à l eau qu s écoule. Le graphe formé est arborescent. Remarque : s d max est le degré maxmal pour les sommets, on obtent alors la dmenson du graphe qu vaut c ( N) + N* d max... BERGE (CAS ) G = X,U l( u ) (, j) U l j Algorthme : Intalsaton : π = π = + = à N P = = à N Recherche d un arc (, j ) tel que : S π j > π + l j : fn Snon π j = π + lj Pj = Prncpale dfférence avec l algorthme de Moore-Djkstra : l n y a plus de compteur. 9 9

40 Exemple π = π = π = π = π = π = P = P = P = P4 = P5 = P6 = 5 πj j 7 6 π lj On a les étapes suvantes :.. π = π = π = π 4 = π 5 = π 6 = + P = P = P = P4 = P5 = P6 = Arcs :,,,,,4,,6,,,,5,,6, 5,, 5,4, 6,5 Arc, π = 7 π > π + 7? non π = π + 7 = + 7 = 7 P =. Et ans de sute pour chaque arc, en tenant compte des résultats précédents.... BELLMAN (CAS ) l( u ) Algorthme : Intalsaton : π = π = + = à N Recherche : k = k π = { l } k k mn j j j Γ π = π + Tant que k N : k = k + k π = { l } k k mn j j j Γ π = π + S k = N : l exste un crcut de longueur négatve. k k S π = π { K },,N : fn 4 9

41 ..4. FORD (CAS ) l( u ) Algorthme : Intalsaton : π = π = + = à N Recherche : Tant que les π ne se sont pas stablsés ( =, K,N), fare : { } π = mn π + l j j j Γ..5. CAS DES GRAPHES SANS CIRCUIT (CAS ) l( u ) S : complémentare de S Algorthme : Intalsaton : π = π = + = à N S = { } Recherche de j S avec { l } π = mn π + j j j Γ j { } S = S j S S = X : fn Γj S : Snon : retourner au début. Exemple. π = et S = { }. π = et S = {, }. π = et S = {,, } 4. π 4 = et S = {,,,4 } 5. π 5 = et S = {,,,4,5 } 6. π 6 = 9 et S = {,,,4,5,6 } 7. π 7 = et S = {,,,4,5,6 } = X Remarque : dans ce graphe, on vot clarement apparaître le rang des sommets

42 Foncton rang Sot un graphe sans crcut présentant une source. On appelle rang d un sommet le nombre d arcs du chemn le plus long (en terme d arcs) jognant la source à ce moment. Avec E le nombre (cardnal) d éléments de l ensemble E. Algorthme : Intalsaton : d = Γ X k = S = X Recherche : Tant que S, fare : { } S = S d = k r = k S d = d j Γ j j S = S S k = k + k On aura donc N- tératons dans le pre des cas. k Exemple : d = d = d6 = d = d4 = d7 = d5 = k = S = X 5 D où :.. { } S = r = d = = d = S = S S =,, 4,5,6,7 k = + = { } { } S =, r = d4 = = d5 = d4 = = d7 = S = S S = 4,5,6,7 k = + =. Et ans de sute { } Remarque : comme l n y a pas de crcut, on ne revent jamas en arrère. 4 9

43 4. APPLICATION AUX PROBLEMES D ORDONNANCEMENT Étant donné un objectf attegnable par l exécuton préalable d un ensemble de tâches élémentares soumses à dverses contrantes, l s agt de détermner l ordre et le calendrer de ces tâches de façon à mnmser la durée totale de l applcaton. Ans, on assoce : Tâches durée d. Contrantes contrantes de successon (une tâche ne peut être réalsée qu à la sute ou avant une autre). Nota : l pourrat y avor des contrantes d excluson. On en dédut donc que le problème central de l ordonnancement correspond au couple contrante tâche. Il exste pluseurs méthodes : Graphe potentel tâches méthode françase. Graphe potentel évènements (= potentel étapes) méthode amércane. 4.. GRAPHE POTENTIEL TACHES À chaque tâche élémentare on assoce un sommet du graphe, et à chaque contrante de successon on assoce un arc orenté. Le graphe, smple et orenté, admet une foncton rang et ne comporte pas de crcut : Longueur d un arc orenté = durée de la tâche précédente. α et ω : tâches fctves assocées au graphe, symbolsant le début et la fn du graphe. De manère générale, on recherche la durée mnmale du projet (= chemn la plus court entre α et ω) MARGE TOTALE Soent : Date au plus tôt pour réalser une tâche : = { j + j} t max t d. j Γ Date au plus tard pour réalser une tâche : { } T = mn T d j j Γ On défnt la marge totale de la tâche comme : M = T t Localement, une tâche pourra être fne un temps T plus tard sans que l ensemble du projet n en sot affecté. S M =, la tâche est dte crtque (la marge totale est nulle). L ensemble de ces tâches consttue un chemn crtque ; cela sgnfe qu elles ne peuvent être retardés. 4 9

44 4... MARGE LIBRE La marge lbre correspond au déla dont l est possble de retarder une tâche sans que ses tâches successeurs soent retardées : { } m = mn t t d j j Γ Nota : s M =, alors m =. k l j j tj = tk + dk tj = tl + dl { } t + d mn t,t j j Les tâches k et l pénalsent la durée : l est donc possble de retarder le commencement de la tâche MARGE CERTAINE C est la marge dont on dspose pour réalser la tâche lorsque toutes ses précédentes commencent à leur date au plus tard et toutes ses successeurs commencent à leur date au plus tôt : { } { } µ = max,mn t + Γ j d max T j Γ k k d k Nota : s m =, alors µ =. k k j On ne s ntéresse qu à la parte à gauche de. k j l EXEMPLE APPLICATIF Données de départ : Tâche Durée Tâche antéreure On recherche la durée mnmale t ω du projet (= chemn le plus court entre α et ω). Ic, on a : t ω = T ω. 44 9

45 Représentaton graphque : 5 7 α ω Rang : D après les défntons précédentes, on peut compléter ans le tableau de données : Tâche Durée Tâche antéreure t T M m µ α - - = = 7-7 = 4-7- = 4 4- = = 4 max{, (5-)- max{(+), }} = = = 4-5- = 4 max{, (-)- max{(4+), 5}} = = = 5-5- = 5 max{, - max{(4+), 5}} = = = = ω - - = Le chemn crtque sut le chemn pour lequel M = retardées sont {4, 5, 6}. : {α,, 4, 6, 8, 9,, ω}. Les tâches ne pouvant être 4.. GRAPHE POTENTIEL EVENEMENTS Inventée par l amércan Roy, cette méthode est beaucoup plus connue sous le nom de P.E.R.T. (Program Evaluaton Research Technc) : Arcs Tâches. Sommets Contrantes de successon

46 5. PROGRAMMATION LINEAIRE CONTINUE La programmaton lnéare contnue (PLC) est la résoluton de problèmes d optmsaton lnéares contnus (par opposton aux problèmes dscrets qu sont l objet de la PLD). 5.. DEFINITION Sot la défnton suvante (pouvant varer selon le contexte) : ou : m = mn c x = c g x m = max c x = c g x t t Légende : c : paramètres nconnus. x : nconnues. c et x : vecteurs. t : transposée du vecteur. g : produt scalare. m : contrantes égaltés. D où : a x = b a x = b L a x = b m m A x = b x Nous pouvons donc conclure : t mn c gx A x = b x + ( ) m La premère lgne désgne la soluton à trouver, la seconde les contrantes et la dernère le domane. 46 9

47 5.. EXEMPLE On cherche à mnmser : x + x x x + x x x Hypothèse : on se crée de nouvelles varables. x + x x x + x + x = 4 4 x x x + x = x x = x x avec x et x On en dédut donc une nouvelle forme du problème : D où : = = x x x x X X X X x x x x X X X X x + x = X + X = 5 6 ( + ) ( = ) mn X X X X4 X à 6 Concluson : X X X g = et X { A X 5 b X6 { c Nota : c, on ne s ntéresse qu à la modélsaton. On gnore s le problème a une soluton. 5.. APPLICATIONS REELLES On peut magner pluseurs débouchés. Par exemple un problème culnare : Ingrédents : Coût untare : c = à n Pourcentage des ngrédents dans le produt fn : mn c x cn xn x x x mn α j x + xj β j Les PLC à structure partculère permettent également de résoudre des problèmes de flux (=flots). Une applcaton évdente est le réseau de dstrbuton. En effet, un réseau s apparente à un graphe orenté addtonné d un flux, où les arcs symbolseraent les flux ( arc α fx ). Ans : 47 9

48 fα fβ fα fα fβ S on consdère la proprété de conservaton des flux : fα fβ = alors f f est une contrante possble. α β On peut alors en dédure : mn c f A f = b b De manère générale, l exste des méthodes plus adaptées que la PLC généralsée pour résoudre ce type de problèmes ADMISSIBILITE Soluton admssble C est une soluton qu satsfat aux contrantes du problème : A x = b b Domane admssble C est un polytope tel que : X = { x A x = b, x } Sa partcularté est d avor une surface convexe. x x x x Α Α x = α x + α x Α α x A la surface de ce polytope, la frontère est alors sot un pont, sot une arête, sot une facette. Pour détermner s une surface est convexe ou non, l sufft de chosr un segment quelconque appartenant à celle-c. S l ensemble des ponts de ce segment appartent à la surface, alors celle-c est convexe : 48 9

49 Convexe Non convexe La parte du segment en dehors de la surface n est pas une soluton admssble du problème. De manère générale, la soluton admssble optmale se trouve à la frontère. Smplexe Le smplexe est la premère soluton admssble. Ans, s on observe au vosnage mmédat pour savor s l exste une melleure soluton et qu l n y en a pas, on a fn. Possbltés Comben de sommets peut avor un polytope? (cas général) D après la PLC : t g mn c x A x = b x + ( ) n avec : n : varables. m : contrantes n? m Alors, on pourra envsager m C n solutons. S n = m, l n y aura pas de solutons. Par exemple, C! (c est long). Pour certanes problèmes, la soluton de PLC la plus utlsée dans le commerce donne (paradoxalement) une soluton assez rapdement. En effet, une méthode récente (mons de ans) permet cela. 49 9

50 5.5. EXERCICES PREMIER EXERCICE ( + 5 x ) mn x x + x 5 x + x 7 x x Possbltés : C 4 = 6 Illustraton graphque en deux dmensons (l ne reste alors que 4 des 6 possbltés) : x 5 7/ x Ic, on peut remarquer que le domane admssble est convexe. Les solutons admssbles se trouvent sur les segments frontères. Les solutons optmales se trouvent dans les cons. La soluton optmale est donnée par la résoluton des contrantes : d où : x + x 5 x + x 7 x = 4 : x = 5 /4 ( 5 x ) mn x + mn /4 mn 57 /4 x = : x = 7 / ( 5 x ) mn x + mn / mn 5/ x = : x = ( 5 x ) mn x + mn + 5 mn x = 5 4 : x = ( 5 x ) mn x + mn mn 5 La soluton optmale est consttuée par le pont. 5 9

51 5.5.. SECOND EXERCICE ( + x ) mn x x + 4 x x + x x x Possbltés : C 4 = 6 Ic, la soluton est du type : x + 4 x + x t x + x + x4 mn c gx x 4 A x = b c = et A = et b = x x x x4 La méthode du smplexe donne : Trouver une soluton extrême ntale S=S() Solutons de base : x = x = x = x4 = Vérfer s'l exste une melleure soluton S=S(k+) Non Ou Changement de base S=S(k+) Melleures solutons possbles : L x + x x + x x + x L j j k k l l Illustraton graphque en deux dmensons (l ne reste alors que 4 des 6 possbltés) : x 4 /4 / x 5 9

52 De la même manère que précédemment, on détermne les coordonnées des ponts optmaux : x = /7 : x = /7 ( x ) max x + max /7 + /7 max 9 /7 x = : x = /4 ( x ) max x + max + /4 max /4 x = : x = ( x ) max x + max + max x = / 4 : x = ( x ) max x + max / + max La soluton optmale est consttuée par le pont. Rappel : détermnaton des coordonnées du pont : + = * * + = + = * * + = x 4 x x 8 x x x x x x + 8 x = x + x = = 7 x = x = /7 x = / TROISIEME EXERCICE Le cas traté démontre que, dans certans cas, la méthode du smplexe peut se révéler très lente. Ans le problème suvant : ( n n n ) ( n k ) n n + + L + + k max x x x x max x k= entraîne n tératons. x 5 x + x 5 x + x + x 5 L x + x + + x + x 5 x n n n L n n k Applcaton numérque contrantes et varables : = > = Le nombre de solutons possbles est ggantesque! 5 9

53 6. ALGORITHMES ET PERFORMANCES De manère générale, les problèmes que l on dot résoudre sont de nature combnatore. 6.. PROBLEMES COMBINATOIRES Défnton Chox dscret, sélecton, organsaton d un ensemble dscret, éléments de l ensemble qu sont organsés dans une certane structure (par exemple : graphe). Exemple ( ) max x + x x + 4 x C B C B x C B + x x x x x x,,,8,7,6,76 { } x {,,,8,7,6,76 } Modélsaton graphque : C B x C B x 4 C B Questons Exste-t-l une soluton? Comben l y a-t-l de solutons? Quelle est ou quelles sont les solutons? 5 9

54 Approche élémentare Génératon d'une soluton Evaluaton de la soluton Cycle Non Il y a-t-l d'autres solutons? Ou Ans, sur n objets, le nombre d tératons sera souvent de l ordre de n ou n!. Exemple : n Temps d tératon (cycle) -9 secondes (hypothèse) 5. µs.7 ms s 8 ans 68 ans Cette approche est donc lmtée à des problèmes de pette dmenson. Exemple : les calculateurs Sot un calculateur A. Trouver un problème de dmenson n en T untés de temps. On a : n A T = t A t : durée d une tératon avec le calculateur A. Sot un calculateur B fonctonnant x fos plus vte que A. Quelle est la talle N des problèmes que peut trater B pendant l ntervalle de temps T? Réponse : B A t N B N+ B t = t T et t > T x A N t N T n = T = x = x N = log x + n x A t Le terme sgnfe qu l faut prendre l enter mmédatement nféreur. Applcaton numérque : n = x = 4 8 < < 6 < < S on consdère que est très proche de 6, alors N=4! Concluson : augmenter la performance du calculateur ne sert à ren. On parle d exploson combnatore. Face à celle-c, on a développé : des méthodes exactes spécalsées (les problèmes résolus sont de l ordre de n<5) ; des méthodes approchées (heurstques) (les problèmes résolus sont de l ordre de n<5). 54 9

55 Exemple : le sac à dos Soent : n, b : enters non nuls { a = à n}, { c à n} a b = à n = : enters naturels n Il faut trouver { x, L,xn} tels que ( c x ) soent maxmum alors que la contrante est ( a x ) On a : n : nombre de varables de décson. = c : pondératon postve de la varable. a : pondératon négatve de la varable. b : capacté. n b. = Réponse : La programmaton lnéare entère (PLI) ou ben la programmaton lnéare bnare (PLB) seraent plus n approprées dans le cas qu nous occupe. En effet, on à solutons à envsager : l s agt d un arbre bnare à n feulles. S on veut une soluton exacte, l faudra donc fare n tératons. x n max = ( c x ) n ( a x ) b = x = {,} = à n x xn x S c c c c cn Une soluton possble : p = L. a a a a an Hypothèse de chox : x = quand a < b. Ans : a > b a S x = : ren. S x = a b a a. Etc. pendant n tératons! 6.. COMPLEXITE D UN ALGORITHME 6... COMPLEXITE EN TEMPS Hypothèse de base : le temps d exécuton d un algorthme applqué à la résoluton d un problème ne dépend que de la talle de l nstance du problème et non des valeurs numérques de celle-c. 55 9

56 Exemple : le temps d exécuton des deux problèmes c-dessous sera sensblement le même. ( + x ) max x x + x 5 x =, { } { } x =, ( + x ) max x x + 8 x x =, { } { } x =, La complexté en temps d un algorthme est la foncton qu rele la talle du problème à son temps d exécuton par l algorthme. Ans, plus la machne sera pussante, plus l algorthme sera résolu rapdement (de manère générale). Le temps d exécuton par l algorthme correspond donc au nombre moyen d opératons élémentares nécessare à sa résoluton COMPLEXITE EN MEMOIRE La complexté en mémore d un algorthme est la foncton qu assoce à la talle du problème la talle moyenne de l espace de mémore nécessare à sa résoluton CRITERES D EVALUATION DE LA COMPLEXITE Coût unforme L exécuton d une nstructon élémentare consomme une unté de temps et l exécuton d une opératon de mémorsaton consomme une unté d espace. On retendra ce coût par la sute car l est le plus usté. Coût logarthmque Le temps et l espace mémore nécessares à l exécuton d une nstructon élémentare sont proportonnels au nombre de bts nécessares pour représenter une nstance du problème. Comparason des coûts (exemple) Problème : étant donné n enter supéreur à, calculer Hypothèse de bornage : on prendra n maxmum tel que n n. n n < Algorthme de calcul : Début Fn Lre n S n : écrre Snon : x n y n Tant que y >, fare : x x n y y Écrre x 56 9

57 Pour le coût unforme en temps, on se concentre sur les opératons d écrture (lre, écrre, ). On en dénombre cnq. Pus on s ntéresse au nombre d opératons au sen de la boucle du tant que : on a cnq fos n mons une tératons au pre. On en dédut que : Coût unforme en temps : ( ) + 5 ( n ) = 5 n Pour le coût en mémore, on compte le nombre de varables. Elles sont au nombre de tros : x, y, et n. Donc : Coût unforme en mémore :. Pour le coût logarthmque en temps, on consdère l énème tératon : ω n = log n + n= Cette longueur est proportonnelle à : ω( n ) n= qu est comprs entre : = n n n n log n n log n n ω + = n n On obtent alors quelque chose comme : t log ( n) + ( n ) n log ( n) t est le coût logarthmque en temps. Pour le coût logarthmque en mémore, on aura pour n tératons : n et on défnt la longueur en bts : n log n +. S on compare les coûts dans le temps : Complexté en temps Coût logarthmque 5.n Coût unforme Cout ˆ logarthmque en temps = n log n Cout ˆ unforme en temps Cout ˆ logarthmque en mémore = n log n Cout ˆ unforme en mémore n De manère générale, on s ntéressera au coût en temps et on chosra l évaluaton la plus smple (= unforme) : Nombre d'opératons n ou n! élémentares a.n 4 Dans ce type de polynôme (dégré 4 par exemple), on trate plus de cas. Asymptote n 57 9