Dans un lycée qui ne reçoit pas d interne, la répartition de 895 élèves se fait de la manière suivante :

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1 TES Correction des exercices Probabilités (5). Dans cette série d exercices on a parfois noté P(A B) la probabilité conditionnelle de A sachant B. La notation P B (A) est donc parfois remplacée par la notation P(A B). Dans un lycée qui ne reçoit pas d interne, la répartition de élèves se fait de la manière suivante : Niveau Seconde Première Terminale Total Externes Demi-pensionnaires Total a. Compléter le tableau ci-dessus. 1.b. On rencontre un élève du lycée au hasard. On note E l événement l élève rencontré est un externe, S l événement l élève rencontré est en seconde, T l événement l élève rencontré est terminale. En supposant que tous les élèves ont une même probabilité d être rencontrés, calculer les probabilités P(E S) et P ( E T ) (les résultats numériques seront donnés sous forme décimale, arrondie à 10 près. P(E S) = 50 0,0, P ( E T ) = 195 0,. 1.c. Les événements E et T sont-ils indépendants? justifier la réponse. P(E) P(T) = ,08 0,095 = P(E T), les événements E et T ne sont donc pas indépendants. Citer deux événements incompatibles. Par exemple E et E sont incompatibles. 1.d. Calculer les probabilités conditionnelles P S ( E ) et PE (T) (les résultats numériques seront donnés sous forme décimale, arrondie à 10 près. ( ) P(E S) P S E = 0,44. P(S) = = ,85, P E(T) = P(E T) P(E) = = Exercice de probabilité issu d un énoncé de bac (1995). Un clown en bois est usiné successivement par deux machines M1 et M, les résultats des deux usinages étant indépendants. Après passage dans la première machine M1 on trouve 5% des pièces présentant un défaut dans la couleur du nez. On note A l événement le nez est défectueux après passage dans M1. Après passage dans la seconde machine M (et quel que soit leur état après passage dans M1) on trouve % de clowns dont les pieds sont défectueux. On note B l événement les pieds sont défectueux. On extrait au hasard un clown parmi ceux ayant subis les deux usinages..a. Calculer les probabilités des événements A et B. P(A) = et P(B) = 100..b. Exprimer à l aide de A et B les événements C =le clown est défectueux pour le nez et pour les pieds, D =le clown présente au moins un des deux défauts et E =le clown ne présente aucun des deux défauts. Calculer les probabilités

2 Exercice de probabilité issu d un énoncé de bac (1990). Le jeu du tapis vert consiste à cocher quatre cartes, un seul pique, un seul cœur, un seul carreau et une seul trèfle dans le tableau suivant 1 roi dame valet roi dame valet roi dame valet roi dame valet a. Un joueur ayant coché quatre cartes (en suivant la règle) quelle est la probabilité de chacun des événements suivants qui seuls permettent un gain: : A = les quatre cartes cochées ont été tirées, B = exactement trois des quatre cartes cochées ont été tirées, C = exactement deux des quatre cartes cochées ont été tirées. En déduire la probabilité que le joueur soit gagnant. Pour chacune des quatre couleurs on a 1 chance sur 8 d avoir coché la bonne réponse. Les choix dans chaque ligne sont deux à deux indépendants, donc P(A) = ( ) = La ligne qui contient la case cochée non tirée peut être une des quatre lignes. Il y a 7 choix possibles pour la case cochée non tirée dans cette ligne et 1 seul pour chacune des trois cases cochées et tirées. On a donc P(B) = = Il y a = façons de déterminer quelles sont les deux lignes où la case cochée n a pas été tirée, d où P(C) = La probabilité que le joueur soit gagnant est P(A B C). Or les trois événements A, B et C sont disjoints deux à deux, ainsi P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) = = = b. Un tirage a lieu à la télévision chacun des sept jours de la semaine. On suppose qu un joueur joue chaque jour un tableau. Quelle est la probabilité que celui-ci soit gagnant exactement une fois en une semaine? Les résultats de chacun des jours étant indépendants les uns des autres, cette probabilité est 7 (1 ) , c. Exactement deux fois en une semaine? Il y a 7 = 1 façons de déterminer les deux jours gagnants parmi les 7 jours. La probabilité cherchée est 1 (1 ) 79 5 ( ) 0, d. Quelle est la probabilité qu il gagne au moins une fois en une semaine? Le plus simple est de partir de l événement contraire, à savoir qu il ne gagne pas du tout pendant une semaine, dont la probabilité est ( ) 7. La probabilité qu il gagne au moins une fois en une semaine est dont 1 ( ) 7 0,430. Exercice de probabilité issu d un énoncé de bac (1995). On lance un dé à six faces deux fois de suite. On suppose que tous les résultats sont équiprobables. On désigne par E l événement la somme des deux nombres est a. Calculer la probabilité de E. E = {(4,),(,4),(5,5),(5,),(,5),(,)}, d où P(E) = = 1. 4.b. On répète cette expérience 10 fois de suite. Quelle est la probabilité que l événement E soit réalisé exactement 1 fois? C est 10 P(E) (P ( E )) 9 = 10 1 (5 ) 9 0,33. 4.c. Dans les mêmes conditions. Quelle est la probabilité que l événement E soit réalisé exactement fois? C 10 (P (E)) (P ( E )) 8 = 10 9 (1 ) ( 5 ) 8 0,91.

3 4.d. On répète cette expérience n fois de suite. Calculer la probabilité que E soit réalisé au moins une fois. Quel est le nombre minimum de répétitions à réaliser pour que cette probabilité dépasse 0,999? Quelle est la limite de cette probabilité lorsque n +. La probabilité que E soit réalisé au moins une fois est 1 P( E n est jamais réalisé ) = 1 ( 5 n. ) C est une fonction croissante de n. 1 ( ) n 5 0,999 ( 5 ) n 0,001 nln ( ) 5 ln 0,001 ln 0,001 n ln ( ) 5. L inversion de l inégalité étant due au fait que 5 < 1 donc ln( 5 ) < 0. On trouve que n doit être supérieur à 37,8; le nombre minimum de répétitions à réaliser est donc de 38. Lorsque n + la quantité ( 5 n ) tend vers 0 parce que 1 5 < 1, ainsi cette probabilité tend vers 1 0 = 0. Un sac contient deux boules vertes et une boule bleue. On tire les boules successivement et sans remise jusqu à ce qu il ne reste dans le sac que des boules d une même couleur (si il n y a pas plus qu une boule on s arrête donc aussi). 5.a. Faire la liste de tous les événements élémentaires possibles et calculer la probabilité de chacun d eux. Il y a trois résultats possibles :1B, 1V B et 1V V. Comme il y a trois boules dans l urne initialement et qu une seule est bleue P(B) = 1 3. Si la première boule est verte il reste alors dans l urne 1 boule bleue et une boule verte pour le second tirage, donc P(1V B) = P(1V ) P(B 1V ) = = 1 3. Pour des raisons semblables P(1V V ) = P(1V ) P(V 1V ) = = 1 3. On constate que les trois événements élémentaires sont équiprobables, ce qui ne transparaissait pas dans l énoncé. 5.b. On commence avec boules vertes et 3 boules bleues et l on procède comme à l exercice précédent. Mêmes questions. On constate d après le schéma ci-dessus que les différents résultats possibles sont 1V V, 1V B 3V, 1V B 3B 4V, 1V B 3B 4B, 1B V 3V, 1B V 3B 4V, 1B V 3B 4B, 1B B 3V 4V, 1B B 3V 4B et 1B B 3B. 3

4 Leurs probabilités sont : P(1V V ) = = 1 10, P(1V B 3V ) = = 1 10, P(1V B 3B 4V ) = = 1 10, P(1V B 3B 4B) = = 1 10, P(1B V 3V ) = = 1 10, P(1B V 3B 4V ) = = 1 10, P(1B V 3B 4B) = = 1 10, P(1B B 3V 4V ) = = 1 10, P(1B B 3V 4B) = = 1 10, P(1B B 3B) = = On remarque encore l équiprobabilité des événements élémentaires. Au tir à l arc Kestner Covin expédie sa flèche huit fois sur dix dans la cible..a. Il effectue trois tirs successifs. Quelle est la probabilité qu il ait touché deux fois exactement la cible? L énoncé ne faisant pas référence aux tirs précédents on peut supposer que les tirs successifs sont indépendants. Ainsi P( la cible est touchée fois sur 3 tirs ) = 3 0,8 0, = 0,384. Le coefficient 3 vient du fait que ce ne sont pas nécessairement les deux premiers tirs qui sont bons..b. Dans la même situation qu à l exercice précédent, combien de tirs successifs Kestner Covin doit-il effectuer pour que la probabilité de ne jamais rater la cible soit inférieure à 1/? P( ne jamais rater la cible sur n tirs ) = 0,8 n. Or 0,8 n 0,5 nln 0,8 ln 0,5 n, le changement de sens de l inégalité étant dû au signe négatif ln 0,5 ln 0,8 ln 0,5 de ln 0,8. Comme ln 0,8 3,11 on voit que la probabilité de ne jamais rater est inférieure à 0,5 à partir de 4 tirs. Une entreprise de brosses à dents lumineuses utilise trois photocopieurs : Deux sont du modèle A et le troisième est du modèle B. Les trois machines sont entretenues en même temps, toutes les trois semaines. La probabilité qu un photocopieur de modèle A tombe en panne entre deux entretiens est de 0,04, alors que cette probabilité est de 0,01 pour un appareil de modèle B. 7.a. Quelle est la probabilité pour qu un seul des photocopieurs tombe en panne entre deux entretiens? Notons A 1, A et B les trois photocopieurs et si le photocopieur fonctionne, dans le cas contraire. Remarquons que P (A 1 ) = 0,04, P (A ) = 0,04 et P (B ) = 0,01, donc P (A 1 ) = P ( A 1 ) = 1 0,04 = 0,9, P (A ) = P ( A ) = 1 0,04 = 0,9 et P (B ) = P ( B ) = 1 0,01 = 0,99. Les fonctionnements (ou non) des photocopieurs sont vraisemblablement indépendants. L événement auquel on s intéresse s écrit (A 1 A B ) (A 1 A B ) (A 1 A B ), c est la réunion de trois événements deux à deux disjoints. Sa probabilité est donc P [(A 1 A B ) (A 1 A B ) (A 1 A B )] = P (A 1 A B ) + P (A 1 A B ) + P (A 1 A B ). Or si les fonctionnements des photocopieurs sont indépendants ceci est égal à [P (A 1 ) P ( A ) P ( B )]+ [P (A 1 ) P (A ) P (B )]+[P (A 1 ) P (A ) P (B )] = [0,04 P0,9 0,99]+ [0,9 0,04 0,99] + [0,9 0,9 0,01] = 0, b. Quelle est la probabilité pour que deux photocopieurs exactement tombent en panne entre deux révisions? 4

5 Par un raisonnement tout à fait semblable au précédent [0,04 P0,04 0,99] + [0,9 0,04 0,01] + [0,04 0,9 0,01] = c. On considère deux périodes d utilisation des photocopieurs séparées par un entretien. On admet que ce qui se passe avant l entretien n a aucune incidence sur ce qui se passe après. Quelle est la probabilité qu un photocopieur de type A tombe en panne au moins une fois lors de deux périodes d utilisation successives? Grâce à l indépendance des périodes, la probabilité qu un photocopieur de type A ne tombe pas en panne ni pendant la première période, ni pendant la seconde période est 0,9. La probabilité cherchée qui est celle de l événement contraire est donc 1 0,9 = 0, d. Toujours sous les mêmes hypothèses qu à la question précédente à partir de combien de périodes successives d utilisation d un photocopieur A la probabilité d avoir au moins une panne est-elle supérieure à 0,1? En passant par l événement contraire on voit que la probabilité qu un photocopieur de type A tombe en panne au moins une fois lors de n utilisations est 1 0,9 n. Comme 1 0,9 n 0,1 0,9 n 0,9 nln 0,9 ln 0,9 n ln 0,9 ln 0,9 on voit qu il suffit que n dépasse,59, dont soit au moins égal à 3. Un pharmacien vieillissant mélange par erreur dans la même boîte 50 comprimés contre la chute des cheveux avec 0 comprimés contre les maux de tête. 8.a. La personne qui a acheté la boîte prend deux comprimés dans l espoir de soulager sa migraine. Quelle est la probabilité pour que le traitement n ait pas du tout l effet recherché? C est à dire quelle est la probabilité qu aucun des deux comprimés ne soit destiné aux maux de tête. Il y a 70 9 tirages de deux comprimés parmi lesquels tirages de deux comprimés contre la chute des cheveux, la probabilité cherchée est donc = b. Si la personne ayant acheté la boîte avait pris trois comprimés, quelle aurait été cette probabilité? = c. Supposons maintenant que la pharmacien ait mélangé dans une même boîte de 70 comprimés, a comprimés contre la chute des cheveux avec b comprimés contre les maux de tête. Supposons que si l on prend deux comprimés dans cette boîte la probabilité qu aucun des deux ne soit destiné à soulager la migraine soit de Déterminer a et b. 380 On aurait 70 9 = a(a 1) (a+b)(a+b 1). Mais a + b = 70 et cette probabilité vaut 380 encore 70 9 = a(a 1) On en tire 380 = a(a 1), soit a a 380 = 0 : une équation du second degré dont la discriminant est 151 = 39 et les solutions sont 1 39 = 19 et 1+39 = 0. Seule la solution positive a un sens, donc a = 0 et b = 50. Une caisse contient des pastèques numérotées : Un tiers des pastèques portent le numéro 1, un sixième des pastèques portent le numéro et le reste porte le numéro 3. On tire successivement avec remise deux pastèques de la caisse. 9.a. Quelle est la probabilité pour que ces deux pastèques portent le numéro 1? On suppose les tirages de chacune des deux pastèques indépendants. Appelons N le nombre total de pastèques initialement dans la caisse. On verra ensuite que ce nombre n intervient pas dans la réponse. Il y a alors N pastèques 1, N pastèques et 3N pastèques 3. La probabilité cherchée est N N N N = 1 9 (il y a remise). 5

6 9.b. Quelle est la probabilité pour qu elles aient le même numéro? (N) +N +(3N) N N = c. Quelle est la probabilité pour que la somme des numéros qu elles portent soit paire? C est à dire (1,1), (1,3), (,), (3,1) et (3,3). Cette probabilité vaut (N) +N 3N+N +3N N+(3N) N N = On dispose d un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à, d un jeu de 3 cartes et d un jeu de 5 cartes (il n y a pas de jokers). Les cartes du jeu de 3 ne peuvent être distinguées lors de chaque tirage (toutes les cartes ont donc une égale probabilité d être tirées). Il en est de même de celles du jeu de 5. Chaque fois qu une carte est tirée elle est lue puis remise dans le paquet de façon que tous les tirages soient effectués sur des jeux complets. On suit la règle du jeu suivante : on lance d abord le dé, si le dé fait on tire une carte dans le jeu de 5 cartes, si le dé donne un résultat impair on tire une carte dans le jeu de 3 cartes, si le dé donne 4 ou on tire au hasard une des 13 cartes de pique du jeu de 5 cartes. Un événement élémentaire est donc décrit par un numéro donné par le dé suivi par une valeur de carte possible. 10.a. Combien y a-t-il d événements élémentaires commençant par un nombre impair? Il y a 3 nombres impairs possibles puis 3 cartes possibles, cela fait 9 événements élémentaires commençant par un nombre impair. 10.b. Combien y a-t-il d événements élémentaires commençant par un? Il y en a 1 5 = c. Combien y a-t-il d événements élémentaires commençant par un nombre pair? Au 5 événements élémentaires commençant par un il faut ajouter 13 = événements élémentaires commençant par 4 ou. Cela fait donc 78 événements élémentaires commençant par un nombre pair. 10.d. Combien y a-t-il d événements élémentaires en tout? Ceux commençant par un nombre pair plus ceux commençant pas un nombre impair, cela fait = 174 événements élémentaires en tout. On considère les événements suivants : A n = le dé donne n (n étant un entier entre 1 et ), A pair = le dé donne un nombre pair, C ( truc ) = la carte tirée est un truc, où truc est une des cartes possibles. Par exemple C(4 ) est l événement la carte tirée est le 4 de cœur et C(4) est l événement la carte tirée est un quatre. 10.e. Expliciter en français (on ne demande pas de calculer leur probabilité) les événements suivants : A, puis A 11, C(8 ), A 3 C(8 ), C(8 ) A 3. A = le dé donne, A 11 = le dé donne 11, C(8 ) = la carte tirée est le 8 de cœur, A 3 C(8 ) = le dé donne 3 et la carte tirée est le 8 de cœur, C(8 ) A 3 = la carte est un 8 de cœur sachant que le dé a donné f. Calculer P (A n ) pour tous les n possibles. Le dé étant bien équilibré P (A n ) = 1 pour n {1,,3,4,5,} et P (A n) = 0 pour toutes les autres valeurs de n. 10.g. Expliciter les deux égalités reliant entre elles les probabilités des événements C(8 ) A 4, C(8 ) A 4, A 4 C(8 ), A 4 et C(8 ). D après la relation de définition des probabilités conditionnelles P(E F) = P(E F) P(F) vraie pour n importe quels événements d un même univers, on a :

7 P (C(8 ) A 4 ) = P (C(8 ) A 4 ) P (A 4 ) et P (C(8 ) A 4 ) = P (A 4 C(8 )) P (C(8 )). 10.h. Calculer P (C( ) A 3 ) puis P (C( ) A n ) pour tous les n possibles. Lorsque le dé donne 3 on tire la carte dans un jeu de 3 cartes dans lequel il n y a pas de, ainsi P (C( ) A 3 ) = 0. On trouve pour la même raison P (C( ) A 1 ) = P (C( ) A 5 ) = 0. Si le dé donne on tire la carte dans un jeu de 5 cartes dans lequel il y a un de pique. On a donc P (C( ) A ) = 1 5. Lorsque le dé donne 4 ou on tire parmi les 13 cartes de pique parmi lesquelles il y a un et un seul numéro. Ainsi P (C( ) A 4 ) = P (C( ) A ) = i. Justifier que les événements C( ) A n forment une partition de C( ). En déduire P (C( )). On a bien ( n=1 (C( ) A ) n) = C( ) n=1 A n = C( ) et les événements C( ) A n sont deux à deux disjoints [ pour deux valeurs quelconques de n. ] Ceci permet d écrire P (C( )) = P n=1 (C( ) A n) = n=1 P (C( ) A n) = n=1 [P (C( ) A n) P (A n )] = 1 n=1 P (C( ) A n) = ( ) 1 = j. Calculer P (A 3 C(5)) puis P (A 3 C(7)). Ces deux événements sont-ils indépendants? A priori on n en sait rien, il faut donc faire usage de la formule des probabilités conditionnelles. P (A 3 C(5)) = P (C(5) A 3 ) P (A 3 ) = 0 1 = 0, puisque si le dé donne 3 on tire dans un jeu qui ne contient pas de 5. D autre part P (A 3 C(7)) = P (C(7) A 3 ) P (A 3 ) = = 1 48, puisqu il y a 4 sept dans un jeu de 3 cartes. Enfin P [A 3 C(5) A 3 C(7)] = P [A 3 C(5) C(7)] = 0 puisqu une carte ne peut être à la fois un 5 et un 7. On a finalement P [A 3 C(5) A 3 C(7)] = 0 = = P (A 3 C(7)) P (A 3 C(7)), les événements sont effectivement indépendants. 10.k. Les événements A et A 3 sont-ils indépendants? P (A A 3 ) = 0 alors que P (A ) = P (A 3 ) = 1. On a P (A A 3 ) P (A ) P (A 3 ), ce qui montre que ces événements ne sont pas indépendants. 7

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