Complément d information concernant la fiche de concordance

Transcription

1 VENDREDI 1 ER FÉVRIER 2013 Sommaire Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler pendant les regroupements : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 3 Un rappel de cours sur la notion de pourcentages ; Page 4 Un rappel sur l étude du signe d une expression ; Page 7 Un premier rappel de cours sur l étude des fonctions numériques ; Page 8 Un rappel de cours sur les suites ; Page 15 Un premier rappel de cours sur les fonctions logarithmes, exponentielles et puissances ; Page 16 Un rappel de cours sur les séries statistiques à deux variables ; Page 19 Un rappel de cours sur le calcul intégral ; Page 22 Un rappel de cours sur les probabilités ; Page 23 Un exercice intitulés: «Évolution des subventions» pour travailler la notion de pourcentage ; Page 31 Trois exercices intitulés «Élasticité des prix», «Du coût marginal au coût moyen» et Page 32 «Étude de fonction» pour travailler la notion d étude d une fonction. Deux exercices intitulés : «Association de gymnastique» et «Achat immobilier» pour Page 34 travailler la notion de suites ; Un QCM pour travailler les fonctions. Page 35 Deux exercices intitulés : «La part du nucléaire» et «Club de rugby» pour travailler la Page 36 notion de statistiques ; La suite du QCM donné précédemment, et deux exercices classiques pour poursuivre les Page 38 études de fonctions. Trois exercices intitulés : «Sexe et couleur des yeux», «Loterie» et «Tirs au but» pour Page 41 travailler la notion de probabilités ; Un problème d étude de fonction. Page 42 Complément d information concernant la fiche de concordance Vous devez avoir en votre possession la fiche de concordance «mathématiques» afin de savoir quels sont les chapitres à revoir. Je vous conseille par ailleurs de vous procurer un manuel de terminale ES si ce n est pas déjà fait, je vous propose le suivant : «Hyperbole Terminale ES : enseignement obligatoire et de spécialité». Vous ne devez revoir que les chapitres 1 à 10 ainsi que le chapitre 13 de ce manuel. Page 1

2 Pour les regroupements à venir Afin que chaque regroupement vous soit le plus utile possible, je vous invite à reprendre ce que nous aurons fait lors des séances précédentes afin de préparer des éventuelles questions. Par ailleurs, nul besoin d attendre le prochain regroupement pour avancer dans les exercices. Chacun doit aller à son rythme de façon à avoir travaillé l ensemble du programme avant l épreuve du mois de juin. Je vous rappelle les dates des prochains regroupements : Samedi 23 février 2013 ; Samedi 23 mars Je suis à votre disposition pour toutes vos questions : amandine.balestra@u-psud.fr Page 2

3 RENTRÉE 2012 MATIÈRE Mathématiques CHAPITRES À ÉTUDIER DANS LES DOCUMENTS FOURNIS PAR LE CNED Les documents fournis par le CNED ont été entièrement renouvelés il y a deux ans. Vous y trouverez l intégralité du cours au programme du DAEU. Cependant, il est inutile de s attarder sur le tome 1. Il faut le lire, puis y revenir en fonction des besoins. CONSEILS POUR LA PRÉPARATION L examen portera sur une partie du programme actuel de la classe de terminale ES (enseignement obligatoire et le complément sur les suites de l enseignement de spécialité). DOCUMENTS UTILES Un manuel de terminale ES (obligatoire et spécialité) ou tout autre livre d aide aux élèves de terminale ES (rappels de cours, fiches méthodes, exercices corrigés...) selon votre convenance. Des annales du baccalauréat de terminale ES (obligatoire et spécialité) DESCRIPTIF DE L ÉPREUVE Durée : 3 heures Matériel accepté : calculatrice Un formulaire pourra être fourni avec le sujet. Page 3

4 LA NOTION DE POURCENTAGE I. Définition : Un pourcentage est une façon d'exprimer un nombre comme une fraction de cent, généralement en utilisant le signe %. On utilise le pourcentage seulement lorsqu'un nombre représente une proportion ou une fraction d'un ensemble. Un pourcentage seul ne signifie rien. Il faut toujours préciser à quelle grandeur il se rapporte (15% de la population, 80% du temps, 10% de chances ). D'usage très fréquent dans le monde actuel puisqu'on le rencontre en statistique comme en économie, le pourcentage est une notion qui peut induire de nombreuses erreurs de raisonnement. II. Premier savoir-faire : Appliquer un pourcentage : Exemple : Dans un lycée, 500 élèves ont passé le bac. Le taux de réussite est égal à 75%. Combien d élèves ont eu leur bac? 75% de 500 se traduit mathématiquement par l opération suivante : : On effectue alors le calcul : = = élèves ont obtenu leur bac dans ce lycée. Remarque : Pour effectuer ce calcul, on peut aussi multiplier 500 par le nombre décimal : 75/100 = 0, % de 500 s écrit alors 0, = 375 III. Deuxième savoir-faire : Calculer un pourcentage : Exemple : Dans un établissement scolaire de 700 élèves, 175 sont des demi-pensionnaires. Quel est leur pourcentage? On a le tableau de proportionnalité suivant : Demi-pensionnaires 175 x Nombre total d élèves On peut aussi signaler que 175 élèves On cherche x tel que = x 100 On peut par exemple utiliser la méthode du produit en croix On a : x = = % des élèves de cet établissement sont demi-pensionnaires. sur 700 correspondent à soit 0,25 ou encore 25 (on a mis la 100 fraction précédente sur 100). Page 4

5 IV. Troisième savoir-faire : Pourcentage d augmentation ou de réduction : Exemple : Un commerçant vend une table 70. Pendant les soldes, il baisse son prix de 10%. Quel est son nouveau prix? Calculons la remise : = 0,1 70 = 7 donc la remise est de Calculons le prix après la remise 70 7 = 63 donc le prix soldé est 63 A la fin des soldes, il ré-augmente son prix de 10%. Combien vaut désormais la table? Calculons l augmentation : = 0,1 63 = 6,3 donc l augmentation est de 6,3 100 Calculons le prix après les soldes : ,3 = 69,3 donc le prix après les soldes est de 69,3 Attention!!! Réduire de 10% puis augmenter de 10% ne permet pas d obtenir le même prix qu au départ. On ne peut ni ajouter, ni soustraire des pourcentages puisqu il s agit de proportion sur des quantités différentes. Remarque et astuce importante : La méthode précédente fonctionne très bien lorsqu il n y a qu une variation à utiliser et aucun «retour en arrière» à effectuer. Il existe une méthode plus efficace et qui permet d effectuer des opérations successives. Si on diminue de 10% le prix de la table, on effectue le calcul suivant : = = (1 ) 70 = (1 0,1) 70 = 0,9 70 = 70 = Autrement dit : Effectuer une réduction de 10 % revient à ne prendre que 90 % de la quantité de départ, c'est-à-dire à multiplier par ( ) = = 0,90 De même pour l augmentation : = (1 + ) 63 = 1,1 63 = 63 = 69, Autrement dit : Effectuer une augmentation de 10 % revient à prendre 110 % de la quantité de départ, c est-à-dire à multiplier par ( ) = = 1,10 Page 5

6 V. Composer des pourcentages : Exemple : Dans un collège, l effectif a augmenté de 10% entre 2007 et 2008 puis de 20% entre 2008 et De quel pourcentage, l effectif du collège a-t-il augmenté entre 2007 et 2009? Soit x l effectif du collège en Lors de l augmentation de 10 % entre 2007 et 2008, l effectif est multiplié par ( ) = 1,10 donc 100 l effectif est 1,10x. Lors de l augmentation de 20 % entre 2008 et 2009, l effectif est multiplié par ( ) = 1,20 donc 100 l effectif est 1,20 1,10x = 1,32x. Entre 2007 et 2009, l effectif du collège est passé de x à 1,32x. Il a été multiplié par 1,32. Or 1,32 = L effectif a donc augmenté de 32%. Page 6

7 ÉTUDE DU SIGNE D UNE EXPRESSION I. Signe de ax + b, a 0 : On détermine la valeur de x qui annule ax + b puis on applique la règle «signe de a après le 0». x b a + ax + b Signe de a 0 Signe de a II. Signe de ax 2 + bx + c, a 0 : On calcule le discriminant = b 2 4ac (sauf cas évident) puis : Si < 0, on applique la règle «toujours du signe de a» : x + ax 2 + bx + c Signe de a Si = 0, on calcule la racine double : x 1 = b et on applique la règle «toujours du signe de a et s annule 2a en x 1» : x x 1 + ax 2 + bx + c Signe de a 0 Signe de a Si > 0, on calcule les deux racines : x 1 = b 2a a à l extérieur des racines» : et x 2 = b + 2a et on applique la règle «du signe de x x 1 x 2 + ax 2 + bx + c Signe de a 0 Signe de a 0 Signe de a III. Dans les autres cas : On peut utiliser les variations d une fonction ou résoudre une inéquation pour déterminer le signe d une expression. Page 7

8 FONCTIONS I. Généralités : a. Ensemble de définition : Définitions : Une fonction f définie sur D f associe à chaque réel x de D f un unique réel noté f( x ). D f est appelé l ensemble de définition de f. f( x ) est l image de x par f. Tout réel x de D f tel que f( x ) = y est dit antécédent de y par f. Principe général pour déterminer l ensemble de définition d une fonction : Si l expression de f( x ) admet un quotient, alors x appartient à l ensemble de définition D f si et seulement si le dénominateur est non nul. Si l expression de f( x ) admet une racine carrée, alors x appartient à l ensemble de définition D f si et seulement si l expression sous la racine est positive. b. Courbe représentative Dans un repère donné, la courbe représentative de la fonction f est l ensemble des points M de coordonnées ( x ; f( x ) ) où x décrit l ensemble de définition de f. Une équation de la courbe est y = f( x ). Remarque : Recherche graphique de l image d un réel : Recherche graphique des antécédents d un réel : L image d un réel a est l ordonnée du point de la Les éventuels antécédents d un réel b sont les courbe d abscisse a : abscisses des points de la courbe d ordonnée b : Page 8

9 c. Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle Soit I un intervalle contenu dans l ensemble de définition de la fonction f. f est dite croissante sur I si pour tous réels a et b tels que a < b, on a f ( a ) < f( b ). Autrement dit, les images sont rangées dans le même ordre que les réels de départ. f est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b tels que a < b, on a f( a ) > f( b ). Autrement dit, les images sont rangées dans l ordre contraire que les réels de départ. II. Continuité : a. Notion de continuité : On peut définir mathématiquement la notion de continuité d une fonction mais cette définition relativement compliquée. Graphiquement, on peut reconnaître une fonction continue sur un intervalle par le fait que le tracé de la courbe représentative de la fonction sur cet intervalle peut se faire sans lever le crayon de la feuille. Théorème : Continuité des fonctions de références Toute fonction polynôme est continue sur. La fonction inverse est continue sur * - et sur * +. Elle n est pas définie en 0. La fonction racine carrée est continue sur +. Théorème : Conservation de la continuité par les opérations usuelles Soient f et g deux fonctions continues sur I. Les fonctions f + g, f g et k f ( k ) sont continues sur I. Si de plus g( x ) 0 pour tout x de I, le quotient f est continu sur I. g Si f est continue sur I et si g est continue sur f( I ), la composée gof (f suivie de g) est continue sur I. Page 9

10 b. Théorème des valeurs intermédiaires et équation f( x ) = k : Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soient a I et b I. Pour tout réel k compris entre f( a ) et f( b ), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f( c ) = k. Autrement dit : l équation f( x ) = k a au moins une solution c comprise entre a et b. Si de plus la fonction est strictement monotone sur l intervalle I, alors le réel c est unique. On utilise la méthode du «balayage» pour en déterminer une valeur approchée. III. Limites : a. Définitions : Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle admettant + comme borne supérieure. On dit que f a pour limite + en + ou que f( x ) tend vers + quand x tend vers + lorsqu on peut toujours trouver un x assez grand pour que f( x ) soit aussi grand que l on veut. On écrit alors que lim f( x ) = + x + On peut définir de même lim f( x ) = +, lim x x f( x ) = + et lim f( x ) = x On dit qu une fonction f a pour limite le réel l en + (ou que f( x ) tend vers l quand x tend vers + ) lorsqu on peut toujours trouver un x assez grand pour que f( x ) soit aussi proche de l que l on veut. On écrit alors que lim f( x ) = + x l On peut définir de même lim f( x ) = x l Page 10

11 Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; b[. On dit que f a pour limite + en a (par valeurs supérieures) lorsqu on peut toujours trouver un x assez proche de a (x > a) pour que f( x ) soit aussi grand que l on veut. On écrit alors que lim f( x ) = + x a x a On peut définir de même lim f( x ) =, lim f( x ) = + x a x a x a x a et lim f( x ) = x a x a Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a ou de borne a. On dit que f a pour limite le réel l en a lorsqu on peut toujours trouver un x assez proche de a pour que f( x ) soit aussi proche de l que l on veut. On écrit alors que lim f( x ) = l. x a Si f est définie en a alors lim f( x ) = f( a ) x a b. Limites des fonctions de référence : lim x x2n = + 1 lim x x = 0- lim x + x = + lim x + x2n = + 1 lim x 0 x 0 x = lim x x2n + 1 = 1 lim x 0 x 0 x = lim x + x2n + 1 = + 1 lim x + x = 0+ Propriété : En + et en, une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. En + et en, une fonction rationnelle (c est à dire, un quotient de deux polynômes) a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. c. Opérations sur les limites : Limite d une somme : Si f a pour limite et si g a pour limite Alors f + g a pour limite l l l + l l + + l Forme indéterminée Page 11

12 Limite d un produit : Si f a pour limite et si g a pour limite Alors f g a pour limite l l l l l 0 + (signe de l) l 0 (signe de l) ± Forme indéterminée Limite d un quotient : Si f a pour limite et si g a pour limite Alors f a pour limite g l l 0 l l l ± 0 l 0 ± ± ± Forme indéterminée ± l ± 0 Forme indéterminée d. Asymptotes : Asymptotes verticales : o Elles n existent que pour x tendant vers un nombre fini. o Si lim f( x ) = ± alors la droite d équation x = a est asymptote verticale x a à la courbe de f. Asymptotes horizontales : o Elles n existent que pour x tendant vers un «infini» (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou aux deux infinis). o Si lim f( x ) = l alors la droite d équation y = l est asymptote horizontale x ± à la courbe de f. o Pour étudier la position relative entre l asymptote et la courbe de f, il suffit d étudier le signe de : f( x ) l. Asymptotes obliques : o Elles n existent que pour x tendant vers un «infini» (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou aux deux infinis). o Si lim f( x ) ( ax + b ) = 0 alors la droite d équation y = ax + b est x ± asymptote oblique à la courbe de f. o Pour étudier la position relative entre l asymptote et la courbe de f, il suffit d étudier le signe de : f( x ) ( ax + b ). Page 12

13 IV. Variation d une fonction Dérivation : a. Variations d une fonction : Pour étudier les variations d une fonction f sur un intervalle I : On dérive la fonction f ; On étudie le signe de la fonction dérivée f sur l intervalle I à l aide d un tableau de signes ; On dresse le tableau de variation de la fonction f sur I en utilisant la propriété suivante. Propriété : f étant une fonction dérivable sur I, pour tout intervalle J inclus dans I : Si f ( x ) > 0 pour tout x de J alors f est strictement croissante sur J. Si f ( x ) < 0 pour tout x de J alors f est strictement décroissante sur J. Si f ( x ) = 0 pour tout x de J alors f est constante sur J. b. Dérivées des fonctions usuelles : Fonction f Fonction dérivée f k 0 ax + b a x n ; n * n x n 1 1 x 1 x 2 1 x n ; n n * x n 1 x 1 2 x c. Opérations sur les dérivées : Fonction Fonction dérivée u + v u + v ku ; k ku uv u v + uv 1 u u u 2 u v u v uv v 2 u n ; n * n u u n 1 d. Tangente à une courbe : Définition et propriété : Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, alors la tangente à la courbe de f au point d abscisse a est la droite passant par le point A ( a ; f( a ) ) et dont le coefficient directeur est égal à f ( a ). Une équation de cette droite est y = f( a ) + f ( a ) ( x a ). Page 13

14 V. Primitive : a. Définition et propriétés : F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si pour tout x de I, F ( x ) = f( x ). Si F 0 est une primitive de f sur un intervalle I alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme : F( x ) = F 0 ( x ) + C où C est une constante réelle. Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. b. Primitives des fonctions usuelles : Fonction f Fonction primitive F a ax x n x n + 1 ; n * n x n ; n 1 * ( n 1 )x n x x c. Formules générales : Forme de f une primitive de f u n + 1 u u n ; n * n + 1 u u ; n > 1 1 n ( n 1 )u n 1 u 2 u u Page 14

15 LES SUITES NUMÉRIQUES I. Suites arithmétiques : Une suite arithmétique est une suite numérique pour laquelle on passe d'un terme au terme suivant en ajoutant toujours un même nombre r appelé raison de la suite. Pour tout n, on a : u n+1 = u n + r Pour tout n, on a : u n = u 0 + nr Pour tout n et tout p, on a : u n = u p + ( n - p )r Si pour tout n, on a : u n+1 - u n = constante; Alors (u n ) est une suite arithmétique de raison égale à cette constante. premier terme + dernier terme S = (nombre de termes) 2 En particulier : u 0 + u u n = (n + 1) II. Suites géométriques : Une suite géométrique est une suite numérique pour laquelle on passe d'un terme au terme suivant en multipliant toujours un même nombre q appelé raison de la suite. Pour tout n, on a : u n+1 = u n q Pour tout n, on a : u n = q n u 0 Pour tout n et tout p, on a : u n = q n - p u p Si pour tout n, on a : = constante; Alors (u n ) est une suite géométrique de raison égale à cette constante. Pour une raison différente de 1, S = En particulier : u 0 + u u n = Page 15

16 LES FONCTIONS LOGARITHME, EXPONENTIELLE ET PUISSANCE I. Fonction logarithme : 1. Définition : Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive sur ]0 ; + [ de la fonction qui s'annule en 1. Conséquences : ln (1) = 0 ln est dérivable sur ]0 ; + [ et on a : (ln x)' = 1 x 2. Propriétés : 3. Étude de la fonction logarithme : x (ln x)' + + y 1 ln x x Étude d'une fonction ln (u) : Si u est une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I, alors : Les fonctions u et ln (u) ont le même sens de variation sur l'intervalle I. On utilise le théorème sur la limite d'une fonction composée pour étudier les limites de la fonction ln (u). Si de plus, u est dérivable sur I, la fonction ln (u) est dérivable sur I et (ln (u))' = u' u. Une primitive de u' sur I est ln (u). u Page 16

17 II. Fonction exponentielle : 1. Définition : Définition : La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction définie sur qui, à chaque réel x, associe le réel strictement positif dont le logarithme népérien est x. On convient d'écrire exp (x) = Conséquences : e 0 = 1 et e 1 = e Pour tout réel x, e x > 0 Pour tout réel x et pour tout y strictement positif, y = e x si et seulement si x = ln y Si x est strictement positif, e ln x = x ln (e x ) = x 2. Propriétés : e a + b = e a e b e - a = 1 e a e a - b = ea e b e na = (e a ) n 3. Étude de la fonction exponentielle : La fonction exponentielle est dérivable sur et (exp x)' = e x x (exp x)' + + e exp x 1 3 y x 4. Étude d'une fonction exp (u) : Si u est une fonction définie sur un intervalle I, alors : Les fonctions u et exp (u) ont le même sens de variation sur l'intervalle I. On utilise le théorème sur la limite d'une fonction composée pour étudier les limites de la fonction exp (u). Si de plus, u est dérivable sur I, la fonction exp (u) est dérivable sur I et (exp (u))' = u' exp (u). Une primitive de u' exp (u) sur I est exp (u). Page 17

18 III. Fonction puissance : 1. Définition : Définition : Pour tout réel a > 0 et pour tout réel b, on note a b le réel tel que : a b = e b ln(a). Conséquences : a b > 0 ln (a b ) = b ln (a) 2. Racine nième d'un réel positif : Pour tout entier n > 0 et pour tout réel a positif ou nul, l'équation x n = a admet une unique solution dans l'intervalle [0 ; + [. Cette solution est appelée la racine nième de a et est notée ou On a : 3. Étude de la fonction puissance : Soit a un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base a est la fonction définie sur par f(x) = a x. Elle est dérivable et f '(x) = a x ln a Si 0 < a < 1 x - + f ' (x) - + a x 0 3 y 2 1 Si a > 1 x - + f ' (x) + + a x 0 3 y x x 4. Croissances comparées : Pour n > 0 : lim x ln x = x 0 lim ln x x + x n = e x lim x + x n = lim x - xn e x = Autrement dit : à l'infini, les puissances de x l'emportent sur le logarithme népérien de x et l'exponentielle de x l'emporte sur les puissances de x. Page 18

19 LES SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES Le but des statistiques est d induire des lois de comportement à partir d un grand nombre d observations. En particulier, un thème majeur d étude est la recherche d une corrélation entre deux caractères (ou grandeurs ou variables) x et y, partagés par les individus (ou éléments) d une population (ou ensemble étudié). Il s agit donc de détecter qu un caractère varie en fonction de l autre puis de trouver un modèle mathématique de cette dépendance, c est-à-dire trouver une fonction f telle que l on puisse écrire y f(x) On utilisera alors le modèle f, pour estimer la valeur de y associée à une valeur non observée de x. Quand la série est chronologique, cette approche permet de prédire des comportements futurs, à moyen terme, pour la variable y. I. Séries statistiques à deux variables : On appelle série statistique à deux variables, la donnée de n couples (x i ; y i ) de valeurs réelles. A chaque couple (x i ; y i ), on peut associer, dans un repère orthogonal, un point M i de coordonnées (x i ; y i ). L ensemble des points ainsi obtenus est appelé nuage de points associé à la série statistique. On appelle alors point moyen de cette série, le point G de coordonnées ( ; ) où et sont les moyennes respectives des séries x 1 ; x 2 ;... ; x n et y 1 ; y 2 ;... ; y n : On a : et II. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés : Effectuer un ajustement, c est chercher une fonction dont la représentation graphique décrive au mieux le nuage de point associé à la série statistique considérée. Si la fonction cherchée est affine, on parle d ajustement affine. On peut décider, au vu du dessin, de choisir telle ou telle droite. En général on cherche à minimiser une certaine notion de distance entre la droite et le nuage. On parle alors d ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Lors d un ajustement affine de y par x par la méthode des moindres carrés, on cherche une fonction f de la forme f(x) = ax + b passant par le point moyen G. Dans ces conditions, on a : et La droite obtenue est appelée la droite de régression de y en x. Remarques : est la covariance des deux séries x i et y i, on la note cov(x ; y) ; est la variance de la série x i, on la note var(x). On peut donc écrire : Page 19

20 III. Exemple : Le tableau suivant représente l évolution du chiffre d affaires en milliers d euros d une entreprise pendant dix années, entre 1995 et Année Rang de l année x i Chiffre d affaires y i Représenter le nuage de points M i (x i ; y i ). 2. Quel est en pourcentage, l augmentation du chiffre d affaires entre les années 1995 et 2004? 3. Soit G le point moyen du nuage. Calculer les coordonnées du point G et le placer sur le dessin. 4. Justifier qu il est judicieux de procéder pour cette série à un ajustement affine. Donner l équation de la droite D d ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés. 5. Vérifier que G appartient à la droite D et tracer la droite D sur le dessin. 6. En admettant que l évolution continue au même rythme et en utilisant l ajustement affine, quel chiffre d affaires peut-on attendre pour l année 2010? 7. On suppose qu à partir de l année 2004, le chiffre d affaires progresse de 8 % par an. Quel est alors le chiffre d affaires prévisible en 2010? Chiffre d'affaires G Chiffre d'affaires D Entre les années 1995 et 2004 le chiffre d affaires est passé de 110 à 295 milliers d euros. On a : 295 2,69 donc entre les années 1995 et 2004 le chiffre d affaires a été multiplié par 2, ,69 = 1 + 1,69 = Entre les années 1995 et 2004, le chiffre d affaires a augmenté de 169 %. Page 20

21 3. Le point G a pour coordonnées (4,5 ; 202,4). 4. Le nuage de point a une forme rectiligne, il est donc judicieux de procéder à un ajustement affine. On remplit le tableau suivant : ,5 20,25-92,4 415, ,5 12,25-72,4 253, ,5 6,25-48, ,5 2,25-22,4 100, ,5 0,25-12,4 6, ,5 0, , ,5 2,25 37,6 56, ,5 6,25 42,6 106, ,5 12,25 67,6 236, ,5 20,25 92,6 416,7 Ainsi : et L équation de la droite D est : y = 20,8x + 108,8. 5. Pour x = 4,5, on a : 20,8x + 108,8 = 93, ,8 = 202,4 Le point G appartient à la droite D. 6. L année 2010 est l année de rang 15. Pour x = 15, on a : 20,8x + 108,8 = ,8 = 420,8 Le chiffre d affaires attendu pour 2010 est de 420,8 milliers d euros. Il s agit d une extrapolation (on parle d interpolation pour des valeurs à l intérieur de la plage des données et d extrapolation pour des valeurs à l extérieur de cette plage). 7. Une augmentation de 8 % correspond à une multiplication par = 1,08. Si on suppose une progression annuelle de 8 %, en 6 années (de 2004 à 2010) le chiffre d affaires sera multiplié 6 fois par 1,08. Le chiffre d affaires prévisible pour l année 2010 est environ 468 milliers d euros. Page 21

22 CALCUL INTÉGRAL I. Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a et b de I : où F est une primitive de f sur I. II. Propriétés : f et g sont des fonctions continues sur un intervalle I, a, b et c sont des éléments de I et k est un réel. Propriétés de linéarité : Positivité et ordre : Pour, si pour tout x de [a ; b] on a : Pour, si pour tout x de [a ; b] on a : Relation de Chasles : III. Valeur moyenne : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a et b de I avec a < b, la valeur moyenne de f sur [a ; b] est le réel : IV. Aire sous la courbe : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. est l aire de la partie du plan comprise entre la courbe de f, l axe des abscisses et les droites d équation x = a et x = b en unités d aire. Page 22

23 PROBABILITÉS I. Vocabulaire : Ci-contre figure le tableau de distribution des fiches d'élèves d'un lycée susceptibles de présenter une épreuve au baccalauréat, selon deux critères le niveau et la section. Niveau Section E S S L Total Première Terminale Total On définit comme épreuve ou expérience aléatoire le fait de tirer une fiche au hasard. Le résultat de l'épreuve est l'ensemble des éléments que l'on peut observer sur cette fiche. L'obtention d'une ou plusieurs caractéristiques lors de l'examen des résultats est la réalisation d'un évènement. Exemple : on note T est l évènement «Est élève de terminale» Des évènements peuvent être liés par «la relation logique et notée :» ou «la relation logique ou notée :». A B désigne l événement ( A et B ) qui est réalisé lorsque à la fois A et B sont réalisés. A B désigne l événement ( A ou B ) qui est réalisé lorsque l un au moins des deux événements est réalisé. Exemple : On note : T l évènement «Est élève de terminale» et ES l évènement «Est élève de ES». L évènement TES est l évènement «Est en terminale ou en section ES». L évènement TEs est l évènement «Est en terminale ES». II. Probabilités : 1. Définition : À partir des données du tableau précédent et en considérant que le tirage au hasard ne permet pas de favoriser une fiche par rapport à une autre, on associe à un évènement E un nombre réel compris entre 0 et 1, appelé probabilité de l évènement E. Par exemple à l évènement T : «Est élève de terminale» il semble naturel d associer le nombre T.. Ce nombre nous donne une indication sur la possibilité de réalisation de l évènement La probabilité de l évènement impossible est nulle : Si on note I l évènement : «Est élève en S et ES» :. La probabilité de l évènement certain est égale à 1 : La probabilité de l évènement U: «Est un élève» est. Page 23

24 La probabilité de l évènement contraire d un évènement E noté est :. La probabilité de l évènement : «Est élève de première» est. 2. Propriétés : La probabilité d un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. Si A = { a 1, a 2,..., a k } alors p(a) = p(a 1 ) + p(a 2 ) p(a k ). p( A ) = 1 p(a) p(ab) = p(a) + p(b) p(ab) La probabilité p(ab) de l union de deux événements incompatibles A et B est égale à la somme p(a) + p(b) des probabilités. Exemple : On note : T l évènement «Est élève de terminale», E s l évènement «Est élève de ES», S l évènement «Est élève de S». La probabilité de l évènement «Est en terminale ou en section ES» est : E S et S sont deux évènements incompatibles, la probabilité de l évènement E S S est : 3. Équiprobabilité : L équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Il en résulte que : p 1 = p 2 =... = p n = n 1. Dans le cas où tous les événements élémentaires sont équiprobables, la probabilité d un événement A est : Exemple : Une roue est partagée en douze secteurs de même dimension : 3 sont rouges ; 4 sont verts et 5 sont bleus. Quand on fait tourner la roue elle s arête de façon aléatoire et la flèche ne peut indiquer qu un seul secteur. On note B l évènement «le secteur désigné est bleu», R l évènement «le secteur désigné est rouge» et V l évènement «le secteur désigné est vert» Si on s interresse à la couleur du secteur du secteur désigné : Page 24

25 III. Probabilité conditionnelle : Reprenons le tableau de distribution des élèves. On tire la fiche d un élève de terminale, la probabilité qu il soit en section ES est :. La probabilité de l évènement «est inscrit en section ES, sachant qu il est élève de terminale» est dite probabilité conditionnelle. Si on note : T l évènement «Est élève de terminale», et ES l évènement «Est en section ES», la probabilité conditionnelle de l évènement ES sachant T est notée p(est) ou p T (ES). 1. Définition : Si p(a) 0, la probabilité conditionnelle de l événement B sachant que l événement A est réalisé, notée p A (B) ou p(b A), est définie par : Dans le tableau suivant on a calculé les probabilités conditionnelles des différentes sections pour le niveau connu : Tableau de distribution des probabilités conditionnelles des différentes sections pour le niveau connu. Section E S S L Ensemble Première 7/19 8/19 4/19 1 Niveau Terminale 8/21 9/21 4/21 1 Rappel Ensemble 15/40 17/40 1/5 1 Remarque : La lecture du tableau de distribution des probabilités conditionnelles des différentes sections pour le niveau connu ne nous permet pas de trouver les probabilités des différents évènements ES, S ou L. Pour cela nous avons besoin de formules permettant de calculer la probabilité d un évènement, à partir de la probabilité d autres évènements. 2. Formule des probabilités composées : Cette formule permet de calculer la probabilité p(ab) de la réalisation simultanée des évènements A et B à partir de la réalisation de l un des évènements et de la probabilité de réalisation conditionnelle de l autre évènement sachant que le premier est réalisé. Elle se déduit de la définition de la probabilité conditionnelle. A et B sont deux événements, de probabilité non nulle. p( A B ) = p( A B ) p(b) = p( B A ) p(a) Exemple : On note : T l évènement «Est élève de terminale», E s l évènement «Est élève de ES» p( E s T ) = p( E s T ) p(t) = ce qui est bien ce que l on avait d après le premier tableau : Page 25

26 3. Formule des probabilités totales : E est l ensemble des évènements élémentaires d une expérience aléatoire. Les évènements A 1, A 2,..., A m forment une partition de E lorsque E est la réunion des évènements A i et que les évènements A i sont deux à deux incompatibles. A 1, A 2,..., A m forment une partition de E, la probabilité d un évènement B est donnée par événements, de probabilité non nulle. p(b) = p( B A 1 ) + p( B A 2 ) p( B A m ) Exemple : On note : T l évènement «Est élève de terminale», E s l évènement «Est élève de ES» T et forment une partition d où p(e s ) = p( E s T ) + p( E s ) =. 4. Arbres pondérés : Arbre pondéré T T probabilités composées E s p( E s T ) = p( E s T ) p(t) = S p( S T ) = p( S T ) p(t) = probabilités totales L p( L T ) = p( L T ) p(t) = p(e s )= E s p( E s T ) = p( E s T ) p( T ) = S p( S T ) = p( S T ) p( T ) = p(l)= L p( L T ) = p( L T ) p(t ) = p(s)= Règles d'utilisation : On admettra plus généralement que : La somme des probabilités affectées aux branches issues d un même nœud est égale à 1. Lorsqu'une situation est représentée par un arbre pondéré, la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin. Page 26

27 IV. Indépendance de deux évènements : Définition : Dire que deux événements sont indépendants signifie que : p( A B ) = p(a) p(b) Remarques : Si p( A B ) = p(a) p(b) alors p( A B ) = p(a) et p( B A ) = p(b). Ainsi la probabilité d obtenir A sachant que B est réalisé est égale à la probabilité d obtenir A. intuitivement cela signifie que A ne dépend pas de B. Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles Exemple : Considérons le tirage au hasard d une carte d un jeu de 32 cartes. On note A l événement «tirer un as», B l événement «tirer un cœur» et C l événement «tirer un as rouge». donc A et B sont indépendants. donc B et C ne sont pas indépendants. V. Variable aléatoire : Une roue est partagée en quinze secteurs de même dimension. Trois secteurs sont de couleur rouge six de couleur verte, cinq sont bleu-clair et un de couleur bleu foncé. Quand on fait tourner la roue elle s arête de façon aléatoire et la flèche ne peut indiquer qu un seul secteur. On complète la situation précédente par la règle suivante : «On mise d abord 5 pour une partie. Si la flèche désigne un secteur rouge on gagne 25 ; Si la flèche désigne un secteur vert on ne gagne rien ; Si la flèche désigne un secteur bleu-clair on récupère sa mise ; Si la flèche désigne le secteur bleu foncé on perd 25» À chacune des quatre couleurs on associe le gain algébrique obtenu à la fin de la partie. On dit que l on définit ainsi une variable aléatoire notée X. Définir une variable aléatoire X, c est associer à chaque évènement élémentaire {a i } d une épreuve un nombre réel x i. Page 27

28 Quel est l ensemble des gains possibles? Si on tombe sur un secteur rouge, on gagne 20, cet évènement est noté (X = 20) Si on tombe sur un secteur vert, on perd 5 (la mise) ; Si on tombe sur un secteur bleu clair, on ne gagne rien et on ne perd rien ; Si on tombe sur le secteur bleu foncé, on perd 30. La variable aléatoire peut donc prendre 4 valeurs : 20 ; 5 ; 0 et 30. Remarque : On peut définir plusieurs variables aléatoires sur un même ensemble ; il suffit, par exemple de définir de nouvelles règles de jeu). Pour un joueur il est préférable avant de jouer de connaître la probabilité de gagner ou de perdre plutôt que celle de tirer telle ou telle couleur. Gain x i p( X = x i ) On dit que l on a ainsi définit la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Quelle est la probabilité de l évènement G «avoir un gain positif»? Quelle est la probabilité de l évènement? Quelle est la probabilité p(-25 X 25)? L espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre : Elle donne le gain moyen que l on peut espérer. On dit qu un jeu est équitable lorsque son espérance est nulle. La variance de la variable aléatoire X est le nombre : La variance mesure le risque de s écarter de l espérance. Quel est le gain moyen qu un joueur obtiendrait s il jouait un très grand nombre de fois? Page 28

29 VI. Loi Binomiale : 1. Épreuve de Bernoulli : Considérons une expérience dont l'univers ne contient que deux événements élémentaires. On appelle SUCCÈS la réalisation de A et ÉCHEC la réalisation de son contraire. Posons P(A) = p la probabilité de l événement A et P( ) = q la probabilité de l événement. p et q sont liés par la relation p + q = 1 Exemple : Un joueur lance un dé non pipé et on s intéresse à l obtention du six. Soit A l'événement «on obtient un six». Nous avons P(A) = 1/6 et P ( ) = 5/6. Lorsqu'on s'intéresse ainsi à un événement A ou à son contraire appelée épreuve de Bernoulli. Son espérance est p, sa variance est pq ou p(1 p)., la réalisation de l'expérience est 2. Loi binomiale : Considérons une suite de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On note p la probabilité commune de succès. On dit alors qu on est dans un schéma de Bernoulli caractérisé par p la probabilité de succès à chaque épreuve et n le nombre d épreuves. Soit n un entier tel que n 1 et soit p [0, 1]. Par définition la variable aléatoire X qui désigne le nombre de succès de probabilité commune p dans un schéma de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B (n ; p). Son espérance est np, sa variance est npq ou np(1 p). Exemple : On lance plusieurs fois un dé et on s intéresse au nombre d apparitions du six on lance le dé deux fois : S S Probabilités S (1/6) 2 S (1/6) (5/6) S (1/6) (5/6) S (5/6) 2 La loi de probabilité de la variable X qui compte le nombre de succès est : x i p( X = x i ) L espérance mathématique est La variance est Page 29

30 on lance le dé trois fois : S S S S S S Probabilités S (1/6) 3 S (1/6) 2 (5/6) S (1/6) 2 (5/6) S (1/6) (5/6) 2 S (1/6) 2 (5/6) S (1/6) (5/6) 2 S (1/6) (5/6) 2 S (5/6) 3 La loi de probabilité de la variable X qui compte le nombre de succès est : x i p( X = x i ) L espérance mathématique La variance est Page 30

31 EXERCICE : ÉVOLUTION DES SUBVENTIONS La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de pour l année Depuis 2002, l évolution de la subvention en pourcentage d une année sur l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Évolution en + 17% + 15% + 10% + 9% + 6% pourcentage Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2004 à 2005 est une augmentation de 10% 1. a. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euros). Les résultats seront arrondis à l unité. b. Le responsable sportif se plaint d une diminution continuelle des subventions depuis l année Quelle confusion fait-il? 2. On admet que le montant de la subvention en 2007 est de a. Calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 2002 à b. Si le taux d évolution de la subvention d une année à l autre était fixe et égal à t %, quelle serait la valeur de t arrondie à 10 3 près qui donnerait la même augmentation de la subvention entre 2002 et 2007? c. Avec ce même taux d évolution t, quelle serait la subvention, arrondie à l unité, en 2008? Page 31

32 EXERCICE : ÉLASTICITÉ DES PRIX Pour un certain article, on a pu établir que sa demande est fonction du prix p, en euros, et vérifie : f( p ) = 100, où p ]5 ; + [. p 5 On appelle élasticité de la demande par rapport au prix p le réel : E( p ) = p f ( p ) f( p ). On admettra que ce réel, sans unité, indique le pourcentage de variation de la demande pour un accroissement de 1 % d un prix p donné. L élasticité E( p ) est négative quand une augmentation du prix entraîne une diminution de la demande. 1. Vérifier que la fonction de demande f est décroissante. 2. Déterminer la fonction élasticité pour la fonction de demande f. 3. Etudier les variations de la fonction E donnée par : E( p ) = p sur ]5 ; + [. p 5 4. Etudier les limites de E aux bornes de ]5 ; + [. 5. Calculer l élasticité de la demande pour un prix donné de Pour quel prix p 0 une augmentation de 1 % du prix conduit-elle à une diminution de 1,5% de la demande? EXERCICE : DU COÛT MARGINAL AU COÛT MOYEN Une entreprise fabrique q milliers d objets, q appartenant à l intervalle [0 ; 15]. Le coût marginal en euros de cette production est défini sur [0 ; 15] par : C m ( q ) = 3q 2 36q La fonction coût total C est une primitive sur [0 ; 15] de la fonction coût marginal C m. On sait de plus que les coûts fixes s élèvent à 200. Déterminer l expression de C( q ). 2. La fonction coût moyen C M est définie par C M ( q ) = C( q ) sur l intervalle ]0 ; 15]. q a. Déterminer l expression de C M ( q ). b. Calculer C M ( q ) et vérifier que l on a, pour tout q de ]0 ; 15] : C M ( q ) = 2( q 10 )( q2 + q + 10 ) q 2 c. Etudier le signe de C M ( q ) et dresser le tableau de variation de C M sur ]0 ; 15]. d. Combien d objets faut-il fabriquer pour que le coût moyen soit minimal? e. Calculer le coût moyen et le coût marginal correspondant. Que remarque-t-on? Page 32

33 Soit f une fonction définie par : f( x ) = x3 x 2 + 3x + 5 x EXERCICE : ÉTUDE DE FONCTION 1. Quel est son ensemble de définition? c 2. Mettre f sous la forme : f( x ) = ax + b + x En déduire les limites de f( x ) en + et en. 4. Montrer que la courbe de f admet la droite D d équation y = x 1 comme asymptote en + et en. 5. Calculer la dérivée de f. Montrer que f s écrit pour tout x : f ( x ) = ( x 1 )2 ( x 2 + 2x + 9 ) ( x ) 2 6. En déduire les variations de f. 7. Montrer qu il existe un et un seul point A de la courbe de f notée C f tel que la tangente à C f en A soit parallèle à D. 8. Tracer la courbe représentative de f dans le repère orthonormé suivant : y 1 1 x Page 33

34 EXERCICE : ASSOCIATION DE GYMNASTIQUE Dans un village, l association de gymnastique volontaire possédait 50 adhérents en Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année, elle reçoit 18 nouvelles adhésions et que 85 % des anciens inscrits renouvellent leur adhésion. On note a n le nombre d adhérents pour l année n. 3. Déterminer a 0 puis exprimer a n+1 en fonction de a n pour tout entier naturel n. 4. Soit (u n ) la suite définie par u n = a n 120 pour tout entier naturel n. a. Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. Démontrer que pour tout entier naturel n, a n = ,85 n. c. Déterminer la limite de la suite (a n ) quand n tend vers l infini. Interpréter ce résultat. 5. Chaque semaine, 60 % des adhérents s inscrivent pour une heure de gymnastique et 40 % pour deux heures de gymnastique. a. Exprimer en fonction de n le nombre d heure de gymnastique à prévoir par semaine pour l an n. b. Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu alors n doit vérifier l inéquation 98 0,85 n < 8. c. Résoudre cette inéquation et conclure. EXERCICE : ACHAT IMMOBILIER Pour un achat immobilier, lorsqu'une personne emprunte une somme de euros, remboursables par n mensualités chacune égales à A euros, pour un intérêt mensuel de 0,4 %, le montant de cette mensualité est donné par : (on ne demande pas d'établir cette relation). 1. Calculer la mensualité A lorsque cette personne emprunte euros remboursables par 120 mensualités pour un intérêt mensuel de 0,4 %. On donnera une valeur arrondie au centième d'euro. Calculer alors le montant total des intérêts pour ce prêt. 2. Mêmes questions avec un emprunt de euros sur 8 ans à 0,4 % mensuel. 3. Afin de payer le moins d'intérêts possible, l'emprunteur doit augmenter le montant de la mensualité et diminuer la période de remboursement. Mais il ne peut supporter au maximum que des remboursements de 950 euros par mois. a. Résoudre dans [0 ; + [ l'inéquation : 950 b. En déduire le nombre entier n minimum de mensualités pour lequel le montant de la mensualité A est inférieur ou égal à 950 euros. Que vaut alors A arrondi au centime d'euro? Calculer alors le montant total des intérêts. 4. Voici des extraits du tableau d'amortissement d'un prêt de euros remboursable par 60 mensualités pour un intérêt mensuel de 0,4 %. Calculer, en détaillant, les nombres a, b, c, d et e qui figurent dans le tableau. On donnera des valeurs arrondies au centime d'euro. N de la mensualité Montant de la mensualité en euros Part des intérêts en euros pour cette mensualité Capital amorti en euros Capital restant à rembourser en euros 1 938, , , ,99 197,04 a b 3 938,99 c d e 4 938,99 191,10 747, , ,99 7,47 931,52 935, ,99 3,74 935,25 0 Page 34

35 QCM Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [ 5 ; 5 2 ]. Le plan est muni d'un repère orthonormé. La courbe (C f ) représentée ci-dessous est celle de la fonction f. Les points A (0 ; 2), B (1 ; e) et C (2 ; 0) appartiennent à la courbe (C f ). Le point de la courbe (C f ) d'abscisse 5 a une ordonnée strictement positive. La tangente (T) en A à la courbe (C f ) passe par le point D ( 2 ; 0). La tangente en B à la courbe (C f ) est parallèle à l'axe des abscisses. 1. On note f ( 0 ) le nombre dérivé de la fonction f en 0. Quelle est sa valeur? a. f ( 0 ) = 1 b. f ( 0 ) = 2 c. f ( 0 ) = 0 2. On note ln la fonction logarithme népérien et g la fonction composée ln( f ). Quel est l'ensemble de définition de la fonction g noté D g? a. D g = ] 0 ; 5 2 [ b. D g = [ 5 ; 2 ] c. D g = [ 5 ; 2 [ 3. Quelle est la valeur de g( 0 )? a. g( 0 ) = 2 b. g( 0 ) = 0 c. g( 0 ) = ln (2) 4. On note g ' la fonction dérivée de la fonction g. Quelle est la valeur de g ( 1 )? a. g ( 1 ) = e b. g ( 1 ) = 0 c. g ( 1 ) = 1 e 2 5. Quelle est la limite de g( x ) quand x tend vers 2? a. lim x g( x ) = b. lim 2 x g( x ) = 0 2 c. lim x 2 g( x ) = + Page 35

36 EXERCICE : LA PART DU NUCLÉAIRE Le tableau suivant donne la production d électricité d origine nucléaire en France, exprimée en milliards de kwh, entre 1979 et Les rangs des années sont calculés par rapport à l année Année Rang de l année x i Production y i 37,9 213,1 297,9 358,8 395,2 401,3 416,5 420,7 427,7 Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous : Partie A : Recherche d un ajustement affine 1. Donner une équation de la droite d ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième). 2. a. D après cet ajustement, quelle serait la production d électricité nucléaire en France en 2005? b. En réalité, en 2005, la production d électricité nucléaire a été de 430 milliards de kwh. Calculer le pourcentage de l erreur commise par rapport à la valeur réelle, arrondi à 0,1 % près, lorsque l on utilise la valeur fournie par l ajustement affine. Partie B : Un autre modèle Compte tenu de l allure du nuage de point, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d électricité nucléaire par la fonction f définie pour tout x de [4 ; + [ par : f(x) = 197 ln x Calculer la production d électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l année Quelle conclusion peut-on en tirer? 2. a. Résoudre dans [4 ; + [ l inéquation f(x) 460. b. Avec ce modèle, en quelle année peut-on prévoir que la production d électricité dépassera 460 milliards de kwh? Page 36

37 EXERCICE : CLUB DE RUGBY Le tableau suivant donne l évolution du nombre d adhérents d un club de rugby de 2001 à Année Rang de l année x i Nombre d adhérents y i On cherche à étudier l évolution du nombre y d adhérents en fonction du rang x de l année. Partie A : Un ajustement affine 1. Dans le plan muni d un repère orthogonal d unités graphiques : 2 cm pour une année sur l axe des abscisses et 1 cm pour 20 adhérents sur l axe des ordonnées, représenter le nuage de points associés à la série (x i ; y i ). 2. Déterminer une équation de la droite d ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent. (les coefficients seront arrondis à l unité). 3. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années à venir, donner une estimation du nombre d adhérents en On pose z = ln y. Partie B : Un ajustement exponentiel 1. Compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de z i au millième : x i z i 4, Déterminer une équation de la droite d ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés. (les coefficients seront arrondis au millième). 3. En déduire une approximation du nombre d adhérents y en fonction du rang x de l année. 4. En prenant comme approximation et en supposant qu elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d adhérents en Partie C : Comparaison des ajustements En 2007, il y eu 280 adhérents. Lequel des deux ajustements semble le plus pertinent? Justifier la réponse. Page 37

38 QCM (SUITE) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [ 5 ; 5 2 ]. Le plan est muni d'un repère orthonormé. La courbe (C f ) représentée ci-dessous est celle de la fonction f. Les points A (0 ; 2), B (1 ; e) et C (2 ; 0) appartiennent à la courbe (C f ). Le point de la courbe (C f ) d'abscisse 5 a une ordonnée strictement positive. La tangente (T) en A à la courbe (C f ) passe par le point D ( 2 ; 0). La tangente en B à la courbe (C f ) est parallèle à l'axe des abscisses. 6. A quel intervalle appartient le réel I =? a. [0 ; 3] b. [3 ; 6] c. [6 ; 9] 7. Parmi les trois courbes ci-après, l une est la représentation graphique de la fonction dérivée f de la fonction f. Laquelle? a. La courbe (C 1 ) b. La courbe (C 2 ) c. La courbe (C 3 ) 8. Parmi les trois courbes ci-après, l une est la représentation graphique d une primitive F de la fonction f, F étant définie sur l intervalle. Laquelle? a. La courbe (C 1 ) b. La courbe (C 2 ) c. La courbe (C 3 ) Page 38