Chapitre 4 Fonction de transfert

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1 Chatre 4 Focto de trasfert Chatre 4 Focto de trasfert 4.. Exresso de la focto de trasfert Pour u système léare cotu et varat, ous avos vu que la relato etre la sorte s( et l etrée e( est doée ar ue équato dfféretelle léare à coeffcets costats de la forme : ds( a s( a d s( () a b e( b (m) de( d e( bm m E reat la trasformée de Lalace de cette équato, o obtet : a a [Ps()]... a [ s()... s ()] = b E() b [PE()e()]... b [ E() e()... e ()] D où b b... bm a a... a m CI().E() a a... a Où CI() est u olyôme qu déed des coos tales. Sl les coos tales sot ulles alors, CI()= et ous ouvos exrmer le raort : b b... bm H() E() a a... a état l ordre du système Ce raort corresod à la focto de trasfert ou la trasmttace oératoelle du système. E effet, la trasmttace oératoelle d u système est le raort les coos tales sot ulles. m E() lorsque Remarque : O retrouve la même exresso que le ga comlexe déf our ue etrée susoïdale, e remlaçat ar j. Le schéma foctoel du système de la focto de trasfert H() est le suvat : e( H() s( Fgure 4. : Schéma foctoel d u système léare 6

2 Chatre 4 Focto de trasfert Exemle Rereos l exemle du système du remer ordre costtué ar le crcut RC comme l dque le fgure ccotre. Nous cosdéros que c est u système ayat ue etre e( et ue sorte s( et ous suosos qu l y a as d médace qu charge la caacté. E alquat la deuxème lo de Krchhoff as que la lo de Faraday, o obtet : e( R ( s( ds( avec ( C D où l équato dfféretelle du système : ds( R C s( e( Calculos la trasformée de Lalace de cette équato dfféretelle. Sot RC. = E(). D où e( H() E() RC Le schéma foctoel de ce système se rédut à : ( R C Fgure 4. : Crcut RC s( e( RC s( Fgure 4.3 : Schéma foctoel d u système du er ordre Remarque : Utlsato de la focto de trasfert S o coaît la focto de trasfert H(), l est ossble de calculer la réose du système à morte quelle etrée selo le schéma de rce suvat : e( s( L L E() H =H().E() Fgure 4.4 : Flot d utlsato de la trasformée de Lalace 7

3 Chatre 4 Focto de trasfert S e( = ( alors =H(). La focto de trasfert est das ce cas égale à la trasformée de la Lalace de la réose ulsoelle. 4.. Pôles et zéros d ue focto de trasfert 4... Forme géérale La focto de trasfert se résete sous la forme d ue fracto de deux olyômes e, le umérateur N() et le déomateur D() qu ossèdet des races. Les races z du umérateur rerésetet les zéros alors que les races du déomateur, ls costtuet les ôles de la focto de trasfert H(). La focto de trasfert se met sous la forme cdessous : N() H() C. D() m j (z) (z )(z )...(z ) C. ( ) ( )( )...( m ) Cette exresso eut se décomoser e élémets smles our doer a [ j a H() Sachat que ] a e u(, le soussystème assocé au ôle est stable lorsque L t Re( )<. Par coséquet, u système est stable lorsque les ôles de sa focto de trasfert sot à artes réelles strctemet égatves Régme trastore et mode d ue focto de trasfert O cosdère ue focto de trasfert ( ) H() 4. (5)( 6 5) Cette focto admet : u ôle réel (5) et deux ôles comlexes ( 4j) 3, u zéro (). E oérat ue mlatato des ôles et des zéros das le la comlexe o obtet : 8

4 Chatre 4 Focto de trasfert P Im() P Z Réel() P 3 Fgure 4.5 : Imlatato des ôles et des zéros das le la comlexe Cherchos la réose dcelle d u tel système : E (), sot E ( ) 4. (5)( 6 5) E décomosat cette exresso e élémets smles, o a : A A A A L s( A Régmeétabl A e 5t Ae3 t cos( t ) 4 Eexoetel oscllatore Régme trastore Le régme oscllatore déed des modes suvats : La ature des modes est lée uquemet aux ôles de H() dot l mlatato sur le la comlexe doe ue rerésetato cocrète de H(). E artculer : S u ôle aaraît à l axe des réels égatfs, le système est stable. S u ôle aartet à l axe des réels ostfs, le système est stable. Deux ôles comlexes cojugués coduset à u mode oscllatore. Le régme trastore est d autat lus log que les ôles sot lus roches de l axe magare. U ôle beaucou lus roche de l axe magare que les autres trodut u mode domat. E effet, o aelle le ou les modes domats, le ou les comortemets assocés aux ôles les lus roches de l axe magare. Ce qu revet à cosdérer e remère aroxmato des foctos de trasfert d ordre, et évetuellemet 3 dot ue tégrato. Le dagramme des ôles et des zéros offre auss la ossblté our détermer grahquemet les résdus A, A, A, A 3, etc. de calculer auss la réose s(. 9

5 Chatre 4 Focto de trasfert Rereos otre exemle tel que ( ) 4. (5)( 6 5) A A A A3 Calculos grahquemet le terme A 5 34j 34j. E se référat à la fgure 4.6, o eut détermer A, e cosdérat tous les vecteurs qu aboutsset à l mage du ôle corresodat au résdu qu o calculera. P Im() P Réel() Z P 3 Fgure 4.6 : Détermato grahque de A Z P Sot : A 4, Ce qu doée : OP.P P.P P 3 Z P A OP.P P.P P Arg(A) ( ) 4.3. Focto de trasfert d u système asserv Système asserv 3 U système asserv est costtué d ue chaîe d acto et d ue chaîe de réacto. A chacue de ces deux chaîes, o assoce u bloc foctoel. E() () H () X() H () Fgure 4.7 : Rerésetato d u système asserv X : rerésete le sgal de retour. : costtue l erreur d asservssemet. 3

6 Chatre 4 Focto de trasfert Focto de trasfert d u système e boucle fermée Das ce cas, o a les relatos suvates : H (). () H ()[E() X()] et X() H(). D où : () H ()[E() H ().E()] Sot, S H() H() E() H ()H () H() est e la focto de trasfert du système e boucle fermée Focto de trasfert e boucle ouverte d u système asserv O déft la focto de trasfert e boucle ouverte ar : X() F O () H ().H () () Trasmttace de l erreur Le sgal d erreur est doé ar l exresso : ( e( x(. O déft la trasmttace de l erreur ar : () Err() E() Or : ( ) E() X() E() H ()H (). (), d où : Exemle () Err() E() H ()H () O cosdère le motage de la fgure c cotre. E alquat les los de Krchhoff o obtet : SA(V V E V et V I C ) C R (A) I S(R )I C D où SA(EV ) e s Fgure 4.8: Exemle de système asserv Sot V /C S R/C RC D où le schéma foctoel du système : 3

7 Chatre 4 Focto de trasfert E() () A V () RC Fgure 4.9 : Schéma foctoel du système La focto de trasfert e boucle fermée est doée ar l exresso suvate : F BF () E() A( RC) A RC A RC II.4. Itroducto d ue erturbato O cosdère le système asserv suvat : Z() E() () H () H () Fgure 4. : Système asserv avec erturbato Lorsque z=, o a : H().H() S () E() H ().H () Lorsque E=, le schéma focto du système devet : Z() () H () X() H () Fgure 4. : Schéma foctoel e absece de la cosge H () H ().H () As, l exresso de la sorte est doée ar : Z() E résece de e( et z( à la fos, o alque le théorème de suerosto : H().H() H() S () E() Z() H ().H () H ().H () 3

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